Cz ˛e´s´c II

(1)

Astronomia sferyczna Wykład 9: PRECESJA i NUTACJA

Tadeusz Jan Jopek

Obserwatorium Astronomiczne, UAM

Semestr II

(Uaktualniono 2015.05.12)

Precesja L-S Precesja planetarna Precesja ogólna Precesja – ´sci´sle

Cz ˛e´s´c I

PRECESJA

1 Precesja L-S Precesja Luni Solarna

2 Precesja planetarna Precesja planetarna

3 Precesja ogólna Precesja ogólna

4 Precesja – ´sci´sle

Precesja ogólna, podej´scie ´scisłe

Precesyjny ruch biegunów niebieskich

Precesyjny ruch biegunów to zjawisko wywołane wpływem czynników zewn ˛etrznych na wiruj ˛ac ˛a spłaszczon ˛a Ziemi ˛e.

Precesja L-S fizyczna strona zjawiska

Moment pary sił F1,F2to efekt grawitacyjnego oddziaływania Sło ´nca i Ksi ˛e˙zyca na równikowe wybrzuszenia ziemskiej bryły. Wypadkowy ´sredni

“słoneczny” moment składowych tych sił d ˛a˙zy do ustawienia równika Ziemi w płaszczy´znie ekliptyki.

Moment “ksi ˛e˙zycowy” d ˛a˙zy do ustawienia równika w płaszczy´znie orbity Ksi ˛e˙zyca. Ale orbita Ksi ˛e˙zyca zmienia swoje poło˙zenie wzgl ˛edem ekliptyki, st ˛ad w usrednieniu, moment “ksi ˛e˙zycowy” równie˙z ustawia równik w płaszczy´znie ekliptyki.

Biegun ´sredni, równik ´sredni

υ.

ϕ.

ψ.

N B C

rownik A figury

Biegun

ekliptyki ω

Chwilowa pr ˛edko´s´c k ˛atowa regularnego ruchu wirowego Ziemi jest wektorow ˛a sum ˛a stałych składowych ˙ψr, ˙ϑr, ˙ϕr.

~

ωr= ( ˙ψr, ˙ϑr, ˙ϕr) Punkty przeci ˛ecia kierunku wektora chwilowej regularnej pr ˛edko´sci ~ωrze sfer ˛a niebiesk ˛a nazywamy´srednimi biegunami

´swiatadanej epoki.

Sprz ˛e˙zone z tymi biegunami koło wielkie nosi miano´sredniego równika.

ψ˙r— opisuje precesj ˛e L-S ´srednich biegunów ´swiata.

Precesja L-S (1)

Precesja luni-solarna (L-S) to regularny ruch bieguna ´swiata.

Punkt P — ´sredni biegun ´swiata, K nieruchomy biegun ekliptyki, Υ´sredni punkt równonocy wiosennej, wszystkie punkty odpowiadaj ˛a tej samej epoce t.

łuk KP = ε,

gwiazda X ma współrz ˛edne (α, δ), łuk PX = 90^◦− δ, k ˛at KPX = 90^◦+ α, w układzie ekliptycznym gwiazda ma współrz ˛edne (λ, β), mamy te˙z KX = 90^◦− β i PKX = 90^◦− λ.

Precesja L-S (2)

Precesja luni-solarna jest dominuj ˛acym efektem precesyjnym, powoduje ruch bieguna ´swiata wokół bieguna ekliptyki po kole małym PP⁰w czasie około 26000 lat. ψ—roczna precesja w długo´sci.

Roczne tempo tego ruchu wynosi ψ ≈50⁰⁰/rok .

Opis ten jest przybli˙zeniem gdy˙z biegun ekliptyki K nie jest nieruchomy, podlega precesji planetarnej, ale w krótkich interwałach czasu (1-2 lata) przybli˙zenie to jest uzasadnione.

(2)

Precesja L-S (3)

P⁰jest poło˙zeniem bieguna ´swiata w momencie t + τ , k ˛at PKP⁰= ψτ.

Nowy równik przebiega przez punkty U⁰, Υ⁰,V⁰.

Υ⁰jest nowym punktem równonocy.

PK Υ = P⁰K Υ⁰=90^◦natomiast łuk ΥΥ⁰= ψτ.

W takim uj ˛eciu, równonoc porusza si ˛e po ekliptyce ruchem wstecznym z jednostajn ˛a szybko´sci ˛a ψ.

Precesja L-S (4)

Zmiany współrz ˛ednych gwiazdy wywołane precesj ˛a L-S s ˛a nieskomplikowane w układzie współrz ˛ednych ekliptycznych.

Skoro zało˙zyli´smy, ˙ze biegun ekliptyki K jest nieruchomy, st ˛ad z powodu precesji L-S nie mamy ˙zadnych zmian szeroko´sci ekliptycznej gwiazdy.

Z drugiej strony punkt Υ przemieszcza si ˛e o ψτ wzdłu˙z ekliptyki, czyli z powodu precesji L-S długo´s´c ekliptyczna wszystkich gwiazd zwi ˛eksza si ˛e o t ˛a sam ˛a warto´s´c.

Zatem

d λ = ψτ

d β = 0 (1)

Precesja L-S we współrz ˛ednych równikowych (1)

Zmiany we współrz ˛ednych równikowych s ˛a bardziej zło˙zone. Dla trójk ˛ata PKX z wzoru cosinusów mamy

sin δ = cos ε sin β + sin ε cos β sin λ Poniewa˙z jedynie δ i λ s ˛a zmienne, st ˛ad ró˙zniczkuj ˛ac obie strony równania otrzymamy

cos δd δ = sin ε cos β cos λd λ (2) Stosuj ˛ac do trójk ˛ata PKX wzór sinusów otrzymamy

cos β cos λ = cos δ cos α. (3) Mo˙zemy wi ˛ec wyeliminowa´c współrz ˛edne ekliptyczne w (2), a korzystaj ˛ac z (1) uzyskamy

d δ = ψτ sin ε cos α (4)

Precesja L-S we wspołrz ˛ednych równikowych (2)

Zmian ˛e w rektascensji otrzymamy ró˙zniczkuj ˛ac równanie (3).

Eliminacji sinusów i cosinusów k ˛atów λ, β dokona´c mo˙zna stosuj ˛ac do trójk ˛ata PKX stosowny wzór pi ˛ecioelementowy i dodatkowo równania (1) i (4).

Ostatecznie otrzymamy

d α = ψτ (cos ε + sin ε sin α tan δ) (5) Równania (4) i (5) okre´slaj ˛a jedynie przybli˙zone precesyjne zmiany w α i δ, dlatego ich stosowalno´s´c ograniczona jest do interwałów rz ˛edu jednego roku.

Tempo precesji L-S

Roczne tempo precesji L-S mo˙zna opisa´c w kategoriach dynamiki Newtonowskiej i małej poprawki relatywistycznej rz ˛edu ∼ 0.02⁰⁰, zwanej precesj ˛a geodezyjn ˛a. Z ogólnej teorii wzgl ˛edno´sci wynika bowiem, ˙ze inercjalny układ odniesienia w pobli˙zu orbituj ˛acej Ziemi posiada niewielk ˛a rotacj ˛e wzgl ˛edem inercjalnego układu heliocentrycznego. Rotacja ta wchodzi do oblicze ´n ψ.

Warto´s´c ψ zale˙zy od szeregu parametrów jak: dynamiczna figura Ziemi, nachylenie ekliptyki do równika, masy oraz elementy orbit Sło ´nca i Ksi ˛e˙zyca.

W szczególno´sci, ψ jest wprost proporcjonalne do cos ε, a poniewa˙z nachylenie ekliptyki do równika wykazuje drobne zmiany wiekowe (z powodu precesji planetarnej) w konsekwencji i ψ zmienia sw ˛a warto´s´c. Z teorii precesji wynika, ˙ze roczna precesja w długo´sci ekliptycznej

ψ =50.⁰⁰3878 + 0.⁰⁰0049T (6) gdzie T to czas w stuleciach od epoki fundamentalnej J2000,

T = (t − 2000)/100.

Precesja planetarna (1)

Planety wywieraj ˛a zaniedbywalny wpływ na poło˙zenie osi rotacji Ziemi. Jednak˙ze perturbacje od planet wyra´znie wpływaj ˛a na heliocentryczn ˛a orbit ˛e Ziemi. Elementy orbity Ziemi zmieniaj ˛a si ˛e w czasie, w szczególno´sci zmian doznaje poło˙zenie płaszczyzny orbity.

Ekliptyka zdefiniowana jest jako rezultat u´srednienia płaszczyzny orbitalnej barycentrum układu Ziemia-Ksi ˛e˙zyc. Jako taka nie podlega wpływom

krótkookresowym, a jedynie wiekowym.

Wynikaj ˛ace st ˛ad zmiany układu odniesienia, zmiany precesyjne, nazywane precesj ˛a planetarn ˛a, z definicji nie zawieraj ˛a ˙zadnych członów nutacyjnych.

Tym razem biegun ´swiata P b ˛edzie nieruchomy, K i Υ b ˛ed ˛a biegunem ekliptyki i równonoc ˛a w pewnej epoce pocz ˛atkowej. K⁰, Υ⁰b ˛ed ˛a punktami z epoki o niewielki interwał τ pó´zniejszej.

”Star ˛a” ekliptyk ˛a jest koło UΥV , now ˛a koło U⁰Υ⁰V⁰. Dwie ekliptyki przecinaj ˛a si ˛e w punktach N i N⁰, na rysunku pokazano tylko punkt N.

Ruch ekliptyki mo˙zna sobie wyobra˙za´c jako jej powolny obrót wokół osi NN⁰. Tempo tego ruchu wynosi π = 0.⁰⁰5 na rok.

A zatem łuk ΥNΥ⁰= πτ.

Poło˙zenie osi obrotu NN⁰okre´slone jest przez jej długo´s´c ekliptyczn ˛a Π wzgl ˛edem ekliptyki pocz ˛atkowej. St ˛ad ΥN = Π. Zauwa˙zmy te˙z, ˙ze N i N⁰s ˛a biegunami łuku KK⁰jaki biegun ekliptyki zakre´sla na sferze niebieskiej.

Na (α, δ) precesja planetarna wpływa w bardzo prosty sposób. Skoro biegun P jest teraz nieruchomy to d δ = 0.

Równonoc przemieszcza si ˛e po łuku ΥΥ⁰ o k ˛at λ⁰τ. λ⁰zwana jestroczn ˛a precesj ˛a planetarn ˛aw rektascensji. Zatem w efekcie precesji planetarnej

d α = −λ⁰τ

d δ = 0 (7)

Parametr λ⁰daje si ˛e wyznaczy´c z trójk ˛ata sferycznego ΥΥ⁰N.

(3)

Precesja planetarna wpływ w λ, β (1)

Jak widzimy:

ΥN = Π, ΥΥ⁰= λ⁰τ, ΥNΥ⁰= πτ, NΥΥ⁰= ε, ΥΥ⁰N = 180^◦− (ε + d ε).

Ze wzoru sinusów mamy

sin Π sin(πτ ) = sin(λ⁰τ )sin(ε + d ε) Dla τ dostatecznie małego, sin(πτ ) ≈ πτ , sin(λ⁰τ ) ≈ λ⁰τoraz sin (ε + d ε) ≈ sin ε, wówczas b ˛edzie

λ⁰= πsin Π csc ε (8)

Wyznaczymy teraz zmian ˛e nachylenia d ε ekliptyki do równika. Stosuj ˛ac do trójk ˛ata ΥΥ⁰N wzór cztero-elementowy otrzymamy cos ε cos(λ⁰τ ) =sin(λ⁰τ )cot Π+sin ε cot(ε+d ε)

Po przemno˙zeniu przez sin(ε + d ε)

sin(ε + d ε) cos ε cos(λ⁰τ ) −cos(ε + d ε) sin ε = sin(λ⁰τ )cot Π sin(ε + d ε) Stosuj ˛ac przybli˙zenia małych k ˛atów cos(λ⁰τ ) ≈1, sin(λ⁰τ ) ≈ λ⁰τ, wykorzystaj ˛ac w lewej stronie to˙zsamo´s´c dotycz ˛ac ˛a sinusa sumy dwóch k ˛atów, korzystuj ˛ac jeszcze z równania (8) otrzymamy

sin d ε = πτ cos Πsin(ε + d ε) sin ε

Przy zało˙zeniach: sin d ε ≈ d ε oraz sin(ε + d ε) ≈ sin ε dostaniemy

d ε = πτ cos Π (9)

Z trójk ˛ata sferycznego KPX wyprowadzimy wzory na zmiany współrz ˛ednych (λ, β) wywołane precesj ˛a planetarn ˛a.

Zmiany te musz ˛a by´c wyra˙zone w postaci ró˙zniczek np. d β, zatem potrzeba nam wyra˙zenia postaci sin β = . . . lub cos β = . . .. W trójk ˛acie KPX ze wzoru cosinusów mamy

sin β = cos ε sin δ − sin ε cos δ sin α Ró˙zniczkuj ˛ac to równanie dostaniemy

cos β d β = −(sin δ sin ε + cos ε cos δ sin α)d ε − sin ε cos δ cos α d α (10)

Aktualnie "pracujemy"we współrz ˛ednych ekliptycznych dlatego trzeba wyeliminowa´c st ˛ad współrz ˛edne równikowe. I tak, za pomoc ˛a równa ´n (3) i (7) pozbywamy si ˛e wyra˙zenia cos δ cos α d α, a ze wzoru cosinusów zastosowanego do boku (90^◦− δ) w trójk ˛acie PKX usuniemy sin δ:

sin δ = sin β cos ε + cos β sin ε sin λ wreszcie, pozostaj ˛ac w trójk ˛acie PKX i posługuj ˛ac si ˛e wzorem 5-cio elementowym, wyrugujemy cos δ sin α

sin(90^◦−δ) cos(90^◦+α) =cos(90^◦−β) sin ε−sin(90^◦−β) cos ε cos(90^◦−λ) czyli

cos δ sin α = − sin β sin ε + cos β cos ε sin λ

Podstawiaj ˛ac te wyra˙zenia do równania (10) na cos βd β dostaniemy cos βd β = −(sin ε sin β cos ε + sin²εcos β sin λ −

cos ε sin ε sin β + cos β cos²εsin λ)d ε − (−λ⁰τ )sin ε cos β cos λ Po obustronnym podzieleniu przez cos β, redukcji podobnych wyrazów, zastosowaniu wzoru jedynkowego otrzymamy

d β = − sin λd ε + λ⁰τsin ε cos λ.

Korzystaj ˛ac z równa ´n (8) i (9), po paru przekształceniach przekonamy si ˛e, ˙ze

d β = πτ sin(Π − λ) (11)

Wyra˙zenie na d λ otrzymamy ró˙zniczkuj ˛ac równanie (3) cos β sin λd λ = cos δ sin α d α − sin β cos λd β

Czynnik cos δ sin α ju˙z wiemy jak wyeliminowa´c, mamy te˙z, ˙ze d α = −λ⁰τ.

Z kolei (−λ⁰) mo˙zna zast ˛api´c praw ˛a stron ˛a równania (8), natomiast zamiast d β mo˙zemy wzi ˛a´c praw ˛a stron ˛e równania (11) — po podstawieniach

cos β sin λd λ = (− sin β sin ε + cos β cos ε sin λ) · (−πτ sin Π · 1 sin ε) − sin β cos λ · πτ sin(Π − λ) Po wymno˙zeniu wyra˙ze ´n w nawiasach, obustronnym podzieleniu przez cos β sin λ, mamy

d λ = πτ 1

sin λsin Π tan β − πτ cot ε sin Π − πτ tan β cot λ sin(Π − λ) d λ = πτ

sin Π tan β · 1

sin λ− tan β cot λ sin(Π − λ) − cot ε sin Π

d λ = πτ

sin Π tan β · 1

sin λ− tan β cot λ sin(Π − λ) − cot ε sin Π

w kroku nast ˛epnym otwieramy sin(Π − λ) i z pierwszych dwóch składników wył ˛aczamy przed nawias tan β

d λ = πτ

tan β

sin Π · 1

sin λ− sin Π cot λ cos λ + cos Π cot λ sin λ

− cot ε sin Π]

po wył ˛aczeniu sin Π z dwóch pierwszych wyrazów w nawiasach okr ˛agłych

d λ = πτ

tan β

sin Π ·1 − cos²λ

sin λ +cos Π cos λ

− sin Π cot ε

czyli

d λ = πτ [tan β (sin Π sin λ + cos Π cos λ) − sin Π cot ε]

a dalej mamy

d λ = πτ [tan β cos(Π − λ) − sin Π cot ε]

Ostatecznie, wpływ precesji planetarnej na współrz ˛edne ekliptyczne gwiazd wyra˙za si ˛e wzorami

d λ = −λ⁰τcos ε + πτ tan β cos(Π − λ) d β = πτ sin(Π − λ)

(12) Na rysunku k ˛at Π naniesiono jako k ˛at ostry (prostszy rysunek). Tymczasem w rzeczywisto´sci punkt N le˙zy w pobli˙zu punktu równonocy jesiennej oraz Π '175^◦.

Uproszczenie nie ma wpływu na wyprowadzone wy˙zej rezultaty. Jedynie zmiany nachylenia ekliptyki do równika s ˛a inne ni˙z mo˙zna by wnioskowa´c z rysunku. Aktualnie, nachylenie to w miar ˛e upływu czasu maleje.

(4)

Precesja planetarna, parametry λ⁰, π, Π

Roczne tempo λ⁰precesji planetarnej wyra˙zone jest za pomoc ˛a parametrów πi Π. Oba parametry nie s ˛a stałymi absolutnymi. Ich warto´sci dane s ˛a wzorami:

Π =174.^o8764 + 0.^o9137T

π =0.⁰⁰4700 − 0.⁰⁰007T (13)

gdzie T — to czas liczony w stuleciach od epoki J2000.

Parametr λ⁰(roczna zmiana w rektascensji z powodu precesji planetarnej) oraz ε (nachylenie ekliptyki do równika) z wystarczaj ˛ac ˛a dokładno´sci ˛a daj ˛a si ˛e policzy´c z formuł

λ⁰=0.⁰⁰1055 − 0.⁰⁰0189T

ε =23^◦26⁰21.⁰⁰45 − 46.⁰⁰81T (14)

Precesja ogólna

Podej´scie stosowane do opisu precesji planetarnej jest przybli˙zeniem.

Przyj ˛eto w nim, ˙ze równik niebieski jest nieruchomy, ignoruj ˛ac fakt jego ruchu w efekcie precesji luni-solarnej. Jednak przybli˙zenie to daje po˙zyteczne rezultaty.

Precesja ł ˛aczna — tzw.precesja ogólna— wynikaj ˛aca ze zmian poło˙zenia zarówno równika jak i ekliptyki mo˙ze by´c traktowana jako superpozycja precesji luni-solarnej i planetarnej. Zasada superpozycji b ˛edzie jednak wa˙zna jedynie w niewielkim interwale czasu τ .

Rozwa˙zmy precesj ˛e ogóln ˛a we współrz ˛ednych (α, δ) gwiazdy. Dodaj ˛ac równania (4) i (5) do równa ´n (7) otrzymamy

d α = ψτ (cos ε + sin ε sin α tan δ) − λ⁰τ

d δ = ψτ sin ε cos α + 0 (15)

Precesja ogólna w α, δ i λ, β

Wprowadzaj ˛ac nowe stałe precesyjne m = ψ cos ε − λ⁰

n = ψ sin ε (16)

zamiast równa ´n (15) mamy

d α = mτ + nτ sin α tan δ

d δ = nτ cos α (17)

Stałe m i n nazywane s ˛aroczn ˛a perecesj ˛a w rektascensji i deklinacji, odpowiednio.

Podobnie dla współrz ˛ednych (λ, β), ł ˛acz ˛ac równania (1) i (12) dostaniemy d λ = pτ + πτ tan β cos (Π − λ)

d β = πτ sin (Π − λ) (18)

gdzie p — jestroczn ˛a precesj ˛a ogóln ˛a(w długo´sci ekliptycznej).

p = ψ − λ⁰cos ε (19)

Stałe precesji ogólnej

Stałe m, n, p nie s ˛a stałymi absolutnymi bowiem doznaj ˛a zmian wiekowych.

Na podstawie formuł podanych wcze´sniej mo˙zna napisa´c:

p = 50.⁰⁰2910 + 0.⁰⁰0222T (20) m = 3.^s07496 + 0.^s00186T

n = 1.^s33621 − 0.^s00057T = 20.⁰⁰0431 − 0.⁰⁰0085T (21) gdzie T — interwał czasu liczony w stuleciach od epoki J2000.

Precesja ogólna, podej´scie ´scisłe (1)

Obserwacje wykonane w odległych od siebie momentach czasu musz ˛a by´c sprowadzane do wspólnego układu odniesienia za pomoc ˛a innych formuł ani˙zeli (17), (18).

Podamy tego typu transformacj ˛e dotycz ˛ac ˛a współrz ˛ednych równikowych tej samej gwiazdy, z epoki t do epoki standardowej t₀.

Punkty P0i Υ0oznaczaj ˛a biegun ´swiata i punkt równonocy z epoki t0. Równik dla tej epoki jest kołem wielkim U0Υ0,V0. W epoce t0gwiazda ma współrz ˛edne (α0, δ0).

Niech P bedzie poło˙zeniem bieguna ´swiata w epoce t. Łuk P₀P = θ_A, jest łukiem koła wielkiego, ale nie reprezentuje on trajektorii po jakiej przesuwał si ˛e biegun P, łuk ten jedynie jest jej do´s´c bliski.

Ruch bieguna P, przynajmniej na pocz ˛atku, odbywał si ˛e wzdłu˙z koła wielkiego P0Υ0. W konsekwencji k ˛at PP0Υ0b ˛edzie małym k ˛atem, d ˛a˙z ˛acym do zera gdy (t − t0) d ˛a˙zy do zera.

Oznaczamy go przez ζA. W epoce pocz ˛atkowej rektascensja α0= Υ0P0X a w trójk ˛acie PP0X mamy, ˙ze PP0X = α0+ ζAoraz P0X = 90^◦− δ0. Niech UΥV b ˛edzie równikiem w epoce t, Υb ˛edzie now ˛a równonoc ˛a. Z powodu, dla których k ˛at PP₀Υ₀uwa˙za´c mo˙zna za mały, k ˛at ΥPP₀b ˛edzie bliski 180^◦. Mamy zatem, ˙ze ΥPP0=180^◦+zA. Oba k ˛aty ζA,zA— s ˛a to małe k ˛aty dodatnie, a w interwale czasu (t − t0) s ˛a one identyczne co do rz ˛edu pierwszego.

Oznaczmy przez (α, δ) współrz ˛edne gwiazdy X wzgl ˛edem nowego równika i równonocy. Mamy α = ΥPX , co poci ˛aga P₀PX = 180^◦− (α − zA)oraz PX = 90^◦− δ.

Ustalili´smy pi ˛e´c elementów trójk ˛ata sferycznego P0PX :

P₀P = θ_A, P₀X = 90^◦− δ0, PP₀X = α + ζ_A, PX = 90^◦− δ, P₀PX = 180^◦− (α − zA).

Mo˙zemy teraz powi ˛aza´c ze sob ˛a współrz ˛edne (α0, δ0) z epoki t0ze współrz ˛ednymi (α, δ) z epoki t. W podanych formułach b ˛ed ˛a tkwiły parametry k ˛atowe θA, ζA,zA.

Za pomoc ˛a wzorów 5-cio elementowego, wzoru sinusów i wzoru cosinusów, odpowiednio, mamy

cos δ cos(α − zA) =cos θAcos δ0cos(α0+ ζA) −sin θAsin δ0

cos δ sin(α − zA) =cos δ0sin(α0+ ζA) sin δ = sin θAcos δ0cos(α0+ ζA) +cos θAsin δ0

(22)

oraz wzory odwrotne

cos δ0cos(α0+ ζA) =cos θAcos δ cos(α − zA) +sin θAsin δ cos δ0sin(α0+ ζA) =cos δ sin(α − zA)

sin δ0= −sin θAcos δ cos(α − zA) +cos θAsin δ

(23)

Wzory (22) i (23) s ˛a ´scisłe, nie dokonali´smy w trakcie ich wyprowadzania

˙zadnych zało˙ze ´n upraszczaj ˛acych.

(5)

Precesja ogólna, k ˛aty Newcomba-Andoyera

By zastosowa´c wzory (22), (23) potrzebne s ˛a warto´sci k ˛atów ζA,zA, θA, te za´s mo˙zna uzyska´c z teorii precesji ziemskiej osi obrotu.

W praktyce s ˛a one obliczane za pomoc ˛a szeregów pot ˛egowych interwału czasu (t − t0), o wyrazach do trzeciego rz ˛edu wł ˛acznie. Współczynniki szeregów ró˙zni ˛a si ˛e nieco od epoki do epoki. Dla epoki J2000 mamy formuły

ζ_A=0.ô6406161T + 0.ô0000839T²+0.ô0000050T³ zA=0.ô6406161T + 0.ô0003041T²+0.ô0000051T³ θA=0.ô5567530T − 0.ô0001185T²− 0.ô0000116T³

(24)

gdzie T jest interwałem (t − t0) wyra˙zonym w stuleciach julia ´nskich (Stulecie julia ´nskie liczy 36525 dni).

K ˛aty precesyjne ζA,zA, θA(Newcomba-Andoyera)definiuj ˛a w pełni poło˙zenie bieguna P i punkt równonocy Υ wzgl ˛edem ich poło˙ze ´n pocz ˛atkowych. Mo˙zna za ich pomoc ˛a obliczy´c zmiany precesyjne współrz ˛ednych równikowych ciał niebieskich.

Ale znajomo´s´c tych k ˛atów nie wystarcza do wyznaczenia odpowiednich zmian we współrz ˛ednych ekliptycznych.

Precesja ogólna, współrz ˛edne ekliptyczne

W epoce t₀, biegun ekliptyki K₀le˙zy gdzie´s na kole wielkim P₀U₀prostopadłym do koła Υ0P0.

Podobnie mo˙zna powiedzie´c o biegunie K , ale nic wi ˛ecej.

Aby okre´sli´c poło˙zenie bieguna ekliptyki dokładnie, trzeba zna´c nachylenie ekliptyki do równika.

Podamy za teori ˛a precesji, ˙ze nachylenie ekliptyki do równika wynosi ε =23^◦26⁰21.⁰⁰448 − 46.⁰⁰815T − 0.⁰⁰001T²+0.⁰⁰002T³ (25) gdzie T — interwał w julia ´nskich stuleciach od epoki J2000.

Współrz ˛edne ekliptyczne (λ, β) na epok˛e t mo˙zna wi ˛ec obliczy´c ze współrz ˛ednych (α, δ) dokonuj ˛ac odpowiedniej transformacji obrotu o k ˛at ε.

Precesja ogólna, macierz precesji (1)

Wzory (22), (23) mo˙zna zast ˛api´c podej´sciem wektorowym, transformacje pomi ˛edzy układami z ró˙znych epok sprowadzaj ˛a si ˛e do transformacji obrotu.

Pełna transformacja jest superpozycj ˛a trzech obrotów:

wokół pocz ˛atkowej osi Z o k ˛at −ζ_A, wokół powstałej osi Y o k ˛at θ_A, wokół powstałej osi Z o k ˛at −z_A.

Po zło˙zeniu tych obrotów biegun P0przejdzie w biegun P, Υ0Υ.

Pełnamacierz precesjiz epoki t0do epoki t ma posta´c

P = r(−zA)q(θA)r(−ζA) (26) gdzieq, r s ˛a macierzami obrotu wokół osi Y i osi Z odpowiednio.

Precesja ogólna, macierz precesji (2)

Transformacja wersoras₀poło˙zenia ciała z epoki t0w wersors z epoki t ma posta´c

s = Ps0 (27)

Transformacja odwrotna

s0=P⁻¹s (28)

Wobec ortogonalno´sci macierzy obrotówq i r mamy P⁻¹=P^T=r(ζA)q(−θA)r(zA) a zatem

s0=P^Ts (29)

Nutacja Wpływ nutacji na współrz ˛edne Podej´scie wektorowe

Cz ˛e´s´c II

NUTACJA

5 Nutacja

Przyczyny ruchu nutacyjnego Wpływ Sło ´nca

Wpływ Ksi ˛e˙zyca

6 Wpływ nutacji na współrz ˛edne Nutacja w α, δ

7 Podej´scie wektorowe Nutacja w α, δ Precesja i nutacja w α, δ

Nutacja ziemskiej osi — efekt oddziaływania Sło ´nca i Ksi ˛e˙zyca Teoria precesji i nutacji to bardzo zło˙zona teoria wykraczaj ˛aca poza ramy naszego wykładu. Podamy jedynie pewne u˙zyteczne komentarze ilustruj ˛ace podstawowe aspekty zagadnienia.

Ruch bieguna ´swiata rozdzielamy na regularn ˛a precesj ˛e L-S i okresow ˛a nutacj ˛e. Nutacja obejmuje wszystkie okresowe składowe zmian w poło˙zeniu prawdziwego bieguna wzgl ˛edem poło˙zenia ´sredniego bieguna.

Przyczyn ˛a precesji i nutacji jest moment skr ˛ecaj ˛acy pary sił usiłuj ˛acy ustawi´c płaszczyzn ˛e równika ziemskiego w płaszczy´znie ekliptyki. Główna rol ˛e graj ˛a tu grawitacyjne oddziaływania pomi ˛edzy Ziemi ˛a, Ksi ˛e˙zycem i Sło ´ncem.

Precsja L-S to regularny ruch ´sredniego bieguna ´swiata wokół nieruchomego bieguna ekliptyki. Interesuje nas sk ˛ad bior ˛a si ˛e okresowe wyrazy nutacyjne?

Moment sił działaj ˛acy na brył ˛e ziemsk ˛a

Moment sił czyli wektork z powodu symetrii rozwa˙zanego zagadnienia jest prostopadły do linii Ziemia-Sło ´nce oraz do chwilowej osi obrotu Ziemi.

Słonce ma współrz ˛edne (α_s, δs), st ˛adk le˙zy w płaszczy´znie równika i jest skierowany ku punktowi o αs− 90^◦. Z teorii wirowania doskonale sztywnej Ziemi wynika, ˙ze długo´s´c |k| wektora momentu sił jest proporcjonalna do sin 2δs. Zatem moment siłk ma charakter okresowy i np. w warunkach równonocy znika.

W układzie współrz ˛ednych równikowych

k = k0sin 2δs[cos (αs− 90^◦),sin (αs− 90^◦),0]

k = 2k0sin δs[sin αscos δs, −cos αscos δs,0] (30) gdzie k0oznacza stał ˛a.

(6)

k we współrz ˛ednych ekliptycznych (1)

N jest w ˛ezłem wst ˛epuj ˛acym orbity Ksi ˛e˙zyca na ekliptyce, M jest w ˛ezłem wst ˛epuj ˛acym tej orbity na równiku.

S oznacza Sło ´nce, ΥNM = i, ΥN = Ω, NΥM = ε.

Zakładamy ruch Ziemi po orbicie kołowej oraz β_S=0 ,wówczas ΥS = λ_s=L, gdzie L — oznacza ´sredni ˛a długo´s´c Sło ´nca w orbicie.

W rezultacie na współrz ˛edne Sło ´nca (αs, δs)mamy wyra˙zenia cos α_scos δ_s=cos L

sin δ_s=sin L sin ε sin αscos δs=sin L cos ε

(31)

k we współrz ˛ednych ekliptycznych (2)

Kład ˛ac zwi ˛azki (31) do (30) dostaniemy k = 2k0sin L sin ε[sin L cos ε, − cos L, 0]

a dalej

k = k0sin ε[cos ε(1 − cos 2L), − sin 2L, 0]

(32)

Wektor momentu p ˛edu ruchu wirowego Ziemi jest skierowany ku punktowi P, czyli ku chwilowemu biegunowi ´swiata.

Moment skr ˛ecaj ˛acyk jest prostopadły do kierunku chwilowej osi obrotu Ziemi i dlatego nie mo˙ze zmieni´c długo´sci wektora momentu p ˛edu Ziemi. Mo˙ze jednak zmieni´c jego kierunek, a wi ˛ec poło˙zenie bieguna P.

Zmiany poło˙zenia chwilowego bieguna ´swiata (1)

By dyskutowa´c zmiany poło˙zenia bieguna P, dobrym poci ˛agni ˛eciem jest posłu˙zenie si ˛e układem współrz ˛ednych okre´slonym w oparciu o jakie´s wybrane, ustalone poło˙zenie bieguna.

Niech wersors(x , y , z) b ˛edzie okre´slał poło˙zenie bieguna na sferze, wzgl ˛edem osi równikowych, okre´slonych za pomoc ˛a

´sredniego bieguna i ´sredniej równonocy z epoki pocz ˛atkowej, kiedy długo´s´c Sło ´nca L = 0.

Zmiany poło˙zenia chwilowego bieguna ´swiata (2)

Wówczas, jako ˙ze mamy do czynienia z drobnymi ruchami, zmiany składowych wektoras b ˛ed ˛a proporcjonalne do składowych wektorak, a st ˛ad

dx = k₀cos ε sin ε[1 − cos 2L] · dt dy = k₀cos ε tan ε[− sin 2L] · dt dz = 0 · dt

albo dla składowej x

dx_{sin ε}¹ = ψ1dt − ψ1cos 2L · dt x csc ε = ψ1t − 0.5 · ψ1 dL

dt

−1

sin 2L gdzie ψ1=k0cos ε jest stał ˛a zale˙zn ˛a m.in. od nachylenia ekliptyki do równika.

Zmiany poło˙zenia chwilowego bieguna ´swiata — wpływ Sło ´nca (1)

Po scałkowaniu wszystkich składowych mamy, ˙ze po upływie czasu t od momentu odpowiadaj ˛acego poło˙zeniu pocz ˛atkowemu, współrz ˛edne bieguna w przybli˙zeniu wynosz ˛a

x csc ε = ψ1t − 0.5 · ψ1 dL dt

−1

sin 2L y = 0.5ψ1tan ε ^dL_dt−1

cos 2L z = 1

(33)

Wyra˙zenie x csc ε jest przemieszczeniem bieguna w długo´sci, y natomiast opisuje przyrost w nachyleniu ekliptyki do równika.

W równaniach (33) mo˙zna wyró˙zni´c ró˙zne człony, liniowy ze wzgl ˛edu na czas wyraz ψ1stanowi ˛acy przyczynek od precesji słonecznej (stanowi on około 1/3 wpływu) oraz dwa wyrazy nutacyjne, jeden w długo´sci, drugi w nachyleniu.

Oba człony nutacyjne maj ˛a okres półroczny.

Zmiany poło˙zenia chwilowego bieguna ´swiata — wpływ Sło ´nca(2)

W równaniu (33) mogłyby si ˛e pojawi´c dalsze wyrazy pochodzenia czysto słonecznego. Pojawi ˛a si ˛e one je´sli do odpowiednich formuł wprowadzimy roczne zmiany odległo´sci Ziemi od Sło ´nca czyli po uwzgl ˛ednieniu mimo´srodu orbity Ziemi np. do wyrazów rz ˛edu pierwszego.

Wówczas w wyniku sprz ˛e˙ze ´n z wyrazem precesyjnym powstan ˛a nowe wyrazy nutacyjne o okresie jednego roku. A wskutek sprz ˛e˙ze ´n z istniej ˛acymi ju˙z członami nutacyjnymi, powstan ˛a dodatkowe dwa człony nutacyjne o okresach roku i czterech miesi ˛ecy, itd.

Zatem, moment skr ˛ecaj ˛acyk, którego ´zródłem jest jedynie grawitacja Sło ´nca, nie generuje dominuj ˛acego wyrazu nutacyjnego o okresie 18.6 lat i amplitudzie 17⁰⁰jaki obserwujemy badaj ˛ac zmienno´s´c współrz ˛ednych gwiazd.

Wpływ nutacyjny Ksi ˛e˙zyca

Podobnych rozwa˙za ń mo˙zna dokonać dla Ksi ˛e˙zyca. Korzystaj ˛ac z rezultatów uzyskanych w przypadku Sło ńca, wektor k⁰— czyli moment skr ˛ecaj ˛acy pochodz ˛acy od Ksi ˛e˙zyca ma składowe k⁰=k₀⁰sin I[cos I(1−cos 2L⁰), −sin 2L⁰,0]

(34) gdzie I nachylenie orbity Ksi ˛e˙zyca do równika, L⁰jest k ˛atow ˛a odległo´sci ˛a Ksi ˛e˙zyca od punktu M.

Równanie (34) okre´sla składowe momentu sił pochodz ˛acego od Ksi ˛e˙zyca w układzie zwi ˛azanym z płaszczyzn ˛a orbity Ksi ˛e˙zyca. Co oznacza, ˙ze układ współrz ˛ednych (x⁰,y⁰,z⁰) w jakim wyra˙zono składowe wektorak⁰nie jest standardowym układem równikowym. Wprawdzie o´s z tego układu jest skierowana na biegun ´swiata, ale o´s x skierowana jest do punktu M a nie do punktu równonocy Υ.

Zmiany poło˙zenia chwilowego bieguna — wpływ Ksi ˛e˙zyca

k⁰=k00sin I[cos I(1 − cos 2L⁰), −sin 2L⁰,0]

Równanie to mo˙zemy potraktowa´c tak jak równanie (32).

Po scałkowaniu składowych (dx⁰,dy⁰,dz⁰) otrzymamy, ˙ze po upływie czasu t od momentu pocz ˛atkowego, współrz ˛edne bieguna w przybli˙zeniu wynios ˛a

x⁰csc I = ψ⁰₁t − 0.5 · ψ⁰₁

dL⁰ dt

−1

sin 2L⁰ y⁰=0.5ψ⁰₁tan I

dL⁰ dt

−1

cos 2L⁰ z⁰=1

(35)

Mamy tu wyraz quasi-precesyjny ψ⁰₁=k₀⁰cos I oraz dwa wyrazy nutacyjne o okresach równych połowie miesi ˛aca ksi ˛e˙zycowego, około 14 dni.

Jednak nie s ˛a to najwi ˛eksze wyrazy nutacyjne. S ˛a one miejsze od głównych wyrazów słonecznych, mimo i˙z k₀⁰=2k0. Przyczyn ˛a jest czynnik (dL⁰/dt)⁻¹, który jest blisko 12 razy mniejszy od jego słonecznego odpowiednika.

Okazuje si ˛e, ˙ze główne wyrazy nutacyjne ruchu bieguna ´swiata tkwi ˛a w tym co okre´slono wy˙zej jako człon quasi-precesyjny ψ⁰₁. Wyja´snimy to nieco szerzej.

(7)

Wpływ nutacyjny składowej ksi ˛e˙zycowej ψ₁⁰(1)

W˛ezeł N ´sredniej orbity Ksi ˛e˙zyca porusza si ˛e po ekliptyce ruchem wstecznym z okresem 18.6 lat. Dlatego kierunek osi x⁰, (punkt M), nie jest stały, oscyluje wokół kierunku ´sredniego.

Poniewa˙z nachylenie i orbity Ksi ˛e˙zyca do ekliptyki jest niedu˙ze (∼ 5^◦), niedu˙zy b ˛edzie zakres tych oscylacji. W konsekwencji, wzgledem układu równikowego, składowa ψ⁰₁· sin I wektora k⁰wykazuje zmiany zarówno co do wielko´sci jak i kierunku.

Wzgl ˛edem osi standardowego równikowego układu odniesienia składowa ta (wektorkP) wynosi

kP=0.5 · k0⁰sin 2I(cos ΥM, sin ΥM, 0) (36)

Wpływ nutacyjny składowej ksi ˛e˙zycowej ψ⁰₁(2)

Oszacujemy składowekPz dokładno´sci ˛a do wyrazów I-rz ˛edu k ˛ata nachylenia I. W trójk ˛acie ΥMN ze wzoru sinusów

sin ΥM sin I = sin Ω sin i (37) Przyjmujemy, ˙ze ε ≈ I oraz cos ΥM ≈ 1, dlatego z wystarczaj ˛ac ˛a dokładno´sci ˛a b ˛edzie

sin ΥM = i · sin Ω csc ε

cos ΥM = 1 (38)

Z trójk ˛ata ΥMN i wzoru czterocz ˛e´sciowego mo˙zna otrzyma´c cos ΥM cos ε = sin ΥM cot Ω + sin ε cot I Wykorzystuj ˛ac (37) i przybli˙zenie cos ΥM ≈ 1 mamy

cos ε = sin i sin Ω csc I cot Ω + sin ε cot I sin I cos ε − sin ε cos I = sin i cos Ω sin (I − ε) = sin i cos Ω

Wpływ nutacyjny składowej ksi ˛e˙zycowej ψ₁⁰(3)

Ostatnie równanie, z dokładno´sci ˛a do wyrazów I-rz ˛edu przyjmie posta´c

I = ε + i cos Ω (39)

Kład ˛ac otrzymane wyra˙zenia na sinΥM, cosΥM oraz I do równania (36) otrzymamy

kP=0.5 k₀⁰sin [2(ε + i cos Ω)] [1, i sin Ω csc ε, 0]

kP=k⁰₀sin (ε + i cos Ω) cos (ε + i cos Ω) [1, i sin Ω csc ε, 0]

kP=k₀⁰[(sin ε cos (i cos Ω) + cos ε sin (i cos Ω)) · (cos ε cos (i cos Ω) − sin ε sin (i cos Ω))] [1, i sin Ω csc ε, 0]

Poniewa˙z i cos Ω s ˛a wielko´sciami małymi pierwszego rz ˛edu, mo˙zemy poło˙zy´c cos (i cos Ω) ≈ 1 oraz sin (i cos Ω) ≈ i cos Ω. Odrzucaj ˛ac jeszcze wyrazy drugiego rz ˛edu ze wzgl ˛edu na (i cos Ω), uzyskamy

k_P=k⁰0(sin ε cos ε + i cos Ω cos 2ε) [1, i sin Ω csc ε, 0] (40)

Wpływ nutacyjny składowej ksi ˛e˙zycowej ψ⁰₁(4)

k_P=k₀⁰[sin ε cos ε + i cos Ω cos 2ε, i sin Ω cos ε, 0]

Równanie to mo˙zemy potraktowa´c tak jak równania (32), (34) Całkuj ˛ac zmiany dx , dy , dz poło˙zenia bieguna powodowane momentemk_Potrzymamy składowe przemieszczenia bieguna wzgl ˛edem jego poło˙zenia pocz ˛atkowego

x csc ε = ψ₁⁰⁰· t + 2 i ψ⁰⁰1cot 2ε^{d Ω}_dt−1

sin Ω y = −iψ₁⁰⁰ ^{d Ω}_dt−1

cos Ω z = 1

(41)

gdzie ψ⁰⁰₁jest stał ˛a tak dobran ˛a by reprezentowała wyraz precesyjny w długo´sci. Tym razem składowe x , y , z wyra˙zone s ˛a w układzie współrz ˛ednych równikowych.

W (41) mo˙zna zidentyfikowa´c ksi ˛e˙zycowy człon precesyjny jak i ksi ˛e˙zycowe wyrazy nutacyjne w długo´sci i nachyleniu, ale tutaj maj ˛a one okresy 18.6 lat.

S ˛a to najwi ˛eksze człony nutacyjne, ∼ 10 razy wi ˛eksze od 6-cio miesi ˛ecznych członów słonecznych, które je´sli chodzi o amplitud ˛e s ˛a zaraz na drugim miejscu.

Ko ´nczymy dyskusj ˛e przebiegu zjawiska nutacji. To co powiedziano wy˙zej miało na celu ukazanie w jaki sposób powstaj ˛a najwa˙zniejsze człony precesyjne i nutacyjne.

Pełna teoria precesji i nutacji jest bardzo skomplikowana i wykracza poza ramy podstawowego kursu astronomii sferycznej.

Jeszcze nie tak dawno teoria nutacji oparta była na modelu sztywnej Ziemi.

Równania (33) i (41) odpowiadaj ˛a takiemu wła´snie podej´sciu.

W roku 1980 opublikowano now ˛a teori ˛e nutacji, któr ˛a w dwa lata pó´zniej zaaprobowała MUA. Teoria ta oparta jest na bardziej realistycznym modelu Ziemi, modelu elastycznym osiowo niesymetrycznym. Jest to tzw. pełna teoria nutacji zawieraj ˛aca po 106 wyrazów zarówno w długo´sci jak i w nachyleniu.

W tej teorii przemieszczenie bieguna ´swiata w długo´sci oznaczono przez ∆ψ, przemieszczenie prostopadłe do niego przez ∆ε. Przemieszczenia te nazwanonutacj ˛a w długo´sciinutacj ˛a w nachyleniu, odpowiednio. W naszej poprzedniej notacji odpowiadaj ˛a one składowym x csc ε i y .

Pełna teoria nutacji podaje formuły na ∆ψ i ∆ε w formie szeregów postaci

∆ψ =P106

1 Sisin (aiL + biL⁰+ciF + diD + eiΩ)

∆ε =P106

1 Cicos (aiL + biL⁰+ciF + diD + eiΩ) (42) gdzie ai,bi,ci,di,eis ˛a liczbami całkowitymi, Si,Cito współczynniki amplitudowe poszczególnych członów nutacyjnych podane w formie tabel (Seidelmann 1992), natomiast

L to ´srednia długo´s´c Ksi ˛e˙zyca minus ´srednia długo´s´c perigeum orbity Ksi ˛e˙zyca,

L⁰to ´srednia długo´sć Sło ńca minus ´srednia długo´sć preigeum orbity Sło ńca,

F jest sredni ˛a długo´sci ˛a Ksie˙zyca pomniejszon ˛a o ´sredni ˛a długo´s´c w ˛ezła orbity Ksi ˛e˙zyca,

D jest ´sredni ˛a długo´sci ˛a Ksi ˛e˙zyca minus ´srednia długo´s´c Sło ´nca, czyli

´sredni ˛a elongacj ˛a Ksi ˛e˙zyca od Sło ´nca,

Ωto długo´s´c ´sredniego wst ˛epuj ˛acego w ˛ezła orbity Ksi ˛e˙zyca na ekliptyce mierzon ˛a od punktu równonocy daty.

Wszystkie parametry L, L⁰,F , D, Ω zmieniaj ˛a si ˛e w czasie (Seidelmann 1992).

W teorii z 1980 roku główne człony nutacyjne dyskutowane w tym rozdziale dane s ˛a formułami :

∆ψ = −17.⁰⁰1996 sin Ω − 1.⁰⁰3187 sin (2F − 2D + 2Ω) − 0.⁰⁰2274 sin (2F + 2Ω) + 0.⁰⁰2062 sin (2Ω)

∆ε =9.⁰⁰2025 cos Ω + 0.⁰⁰5736 cos (2F − 2D + 2Ω) + 0.⁰⁰0977 cos (2F + 2Ω) − 0.⁰⁰0895 cos (2Ω) (43) Współczynniki 17.⁰⁰1996 oraz 9.⁰⁰2025, niekiedy nazywane s ˛astałymi nutacji.

Ich warto´sci jak i pozostałych współczynników w równaniu (43) odpowiadaj ˛a epoce J2000.0 .

Niekiedy wygodnym jest podział na długo i krótkookresowe człony nutacyjne.

Wyrazy długookresowe s ˛a to wyrazy niezale˙zne od ´sredniej długo´sci L Ksi ˛e˙zyca, wszystkie te wyrazy maj ˛a okresy wi ˛eksze od 90 dni.

Po´sród wyrazów krótkookresowych nie ma ani jednego o okresie wi ˛ekszym od 35 dni. Zsumowane wyrazy krótkookresowe oznaczane s ˛a przez d ψ i d ε.

Nutacja a nachylenie ekliptyki do równika

Poło˙zenia punktów P, P⁰,K , X odpowiadaja pewnej dacie JD.

P to ´sredni biegun ´swiata, P⁰biegun prawdziwy, przesuni ˛ety wzgl ˛edem P wzdłu˙z łuku KP o k ˛at ∆ε.

X to gwiazda o (λ, β) lub (α, δ).

K to biegun ekliptyki daty JD, jego k ˛atow ˛a odległo´s´c od P wynosi ε0— nachylenie ekliptyki do ´sredniego równika daty JD.

K ˛at ε oznacza nachylenie ekliptyki do prawdziwego równika na moment JD.

Wielko´sci te dane s ˛a formułami (Seidelmann 1992)

ε0=23^◦26⁰21.⁰⁰448 − 46.⁰⁰8150 T − 0.⁰⁰00059 T²+0.⁰⁰001813 T³ ε = ε0+ ∆ε

T = (JD − 2451545.0)/36525

(8)

Nutacja we współrz ˛ednych sferycznych

W przypadku współrz ˛ednych ekliptycznych wpływy nutacyjne przejawiaj ˛a si ˛e bardzo prosto: do poprawionej na precesj ˛e luni-solarn ˛a długo´sci ekliptycznej nale˙zy doda´c ∆ψ — nutacj ˛e w długo´sci, szeroko´s´c ekliptyczna nie ulega z powodu nutacji ˙zadnym zmianom.

Inaczej ma si ˛e rzecz w przypadku współrz ˛ednych równikowych.

Wpływ ∆ψ mo˙zna wydedukowa´c natychmiast z równa ´n (4) i (5), mianowicie d α = ∆ψ(cos ε0+sin ε0sin α tan δ)

d δ = ∆ψ sin ε0cos α (44)

Wpływem ∆ε — nutacji w nachyleniu na α, δ musimy zaj ˛a´c si ˛e dodatkowo.

Nutacja ∆ε w rektascensji i deklinacji (1)

Sredni biegun P został przemieszczony´ do bieguna P⁰wzdłu˙z łuku KP o k ˛at ∆ε.

Przemieszczenie bieguna z P do P⁰nie wpływa na bok KX ani na k ˛at PKX , zatem oznacza to brak wpływu ∆ε na współrz ˛edne ekliptyczne.

Zmiany k ˛ata ε0wpływaj ˛a na współrz ˛edne równikowe gwiazdy. Z trójk ˛ata PKX , ze wzoru cosinusów

sin δ = sin β cos ε0+cos β sin ε0sin λ (45) Obliczaj ˛ac ró˙zniczki tego równania (λ, β s ˛a tu stałymi) mamy

cos δ d δ = (− sin β sin ε0+cos β cos ε0sin λ) ∆ε (46) gdzie celowo ró˙zniczk˛e d ε zast ˛apiono przyrostem ∆ε.

Nutacja ∆ε w rektascensji i deklinacji (2)

Nawias w (46) eliminujemy za pomoc ˛a wzoru 5-cio elementowego

− cos δ sin α = sin β sin ε0−cos β sin ε0sin λ st ˛ad

d δ = ∆ε sin α (47) Ze wzóru sinusów w trójk ˛acie PKX mamy

cos α cos δ = cos λ cos β Ró˙zniczkuj ˛ac to równanie dostaniemy

sin α cos δ d α + cos α sin δ d δ = 0

Kład ˛ac tu prawa strone (47) otrzymamy wyra˙zenie na przyrost w rektascensji

d α = −∆ε cos α tan δ (48)

Nutacja ∆ψ, ∆ε w rektascensji i deklinacji

Wpływ nutacji w długo´sci ∆ψ i nutacji w nachyleniu ∆ε na współrz ˛edne równikowe, ma posta´c

d α = ∆ψ(cos ε₀+sin ε₀sin α tan δ)

d δ = ∆ψ sin ε₀cos α (49)

d α = −∆ε cos α tan δ

d δ = ∆ε sin α (50)

Wyra˙zenia (49) i (50) s ˛a pierwszego rz ˛edu ale poniewa˙z k ˛aty nutacyjne s ˛a niewielkie, dlatego wykorzystywane s ˛a niemal we wszystkich przypadkach.

Całkowity wpływ nutacji mo˙zna bra´c jako prost ˛a superpozycj ˛e (49) i (50).

Nutacja w rektascensji i deklinacji, podej´scie wektorowe (1)

We współczesnej praktyce wpływy nutacji najcz ˛e´sciej uwzgl ˛ednia si ˛e w formali´zmie macierzowym. Niechs = (x , y , z) b ˛edzie wersorem kierunku do gwiazdy, okre´slonym wzgl ˛edem kartezja ´nskich osi zdefiniowanych za pomoc ˛a ´sredniego bieguna i ´sredniej równonocy na dan ˛a dat ˛e JD.

Składowe wersoras wynosz ˛a

s =



 x y z



=



 cos δ cos α cos δ sin α sin δ





Niechs⁰= [x⁰,y⁰,z⁰]b ˛edzie wersorem tego samego kierunku, okre´slonym w oparciu o prawdziwy równik i prwdziwy punkt równonocy odpowiadaj ˛ace danej dacie JD.

Nutacja w rektascensji i deklinacji, podej´scie wektorowe (2) Transformacja wersoras ze ´sredniego układu równikowego w wersors⁰z układu prawdziwego, wymaga trzech obrotów:

wokół osi x o k ˛at ε₀, przej´scie do

´sred. układu ekliptycznego daty JD, wokół osi z układu ekliptycznego o k ˛at (−∆ψ), jeste´smy w prawdziwym układzie ekliptycznym daty JD, wokół osi x prawdziwego układu ekliptycznego o k ˛at (−ε), co daje prawdziwe współrz ˛edne równikowe wersoras⁰na dat ˛e JD.

Przemiany składowych wersoras w składowe s⁰mo˙zna dokona´c za pomoc ˛a

s⁰=N s (51)

gdzieN jestmacierz ˛a nutacji

N = p(−ε)r(−∆ψ)p(ε0) (52)

Precesja i nutacja — wpływ ł ˛aczny macierzowo

Niechs0b ˛edzie wersorem poło˙zenia obiektu wzgl ˛edem ´sredniego równika i równonocy z epoki standardowej, np. J2000. Wówczas wersors jego poło˙zenia wzgl ˛edem ´sredniego układu daty JD obliczymy za pomoc ˛a (27)

s = Ps0

P jest precesyjn ˛a macierz ˛a obrotu.

Współrz ˛edne prawdziwes⁰obiektu na dat ˛e JD dostaniemy za pomoc ˛a (51) s⁰=N s = (NP) s₀=R s₀ (53) MacierzR ≡ NP jest macierz ˛a ł ˛acz ˛ac ˛a wpływ precesji i nutacji.

Transformacja odwrotna od współrz ˛ednych prawdziwych daty JD do współrz ˛ednych ´srednich epoki J2000, otrzymamy z (53) działaj ˛ac na ´n lewostronnie macierz ˛a odwrotn ˛aR⁻¹

R⁻¹s⁰=R⁻¹R s0=s0 (54) Wobec ortogonalno´sci macierzy obrotuR mamy

R⁻¹=R^T= (NP)^T=P^TN^T=r(ζ_A)q(−θ_A)r(z_A)p(−ε₀)r(∆ψ)p(ε) (55)

Literatura

Seidelmann K., P. editor (1992). Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Mill Valley, California.

(9)

Rysunek:Nutacyjny ruch bieguna: rzeczywistego (linia ˙zółta), wg starej (linia niebieska) i nowej (linia zielona) teorii nutacji.

[http://www.astronet.ru/db/msg/1195760]

Poczatek wykładu