SZEREGI FUNKCYONE

(1)

SZEREGI FUNKCYONE

26,27

(2)

CIA , Gl I SZEREGI FUN KCYJNE 1

Naturalnymuogolerieniempojqu.eszeregupotsgowegojestszeregfeukyjmy2niaudpo1egametgmizewyra2s2eregumiejestliubqefuuky.q2alezhqod2miennejinn@MnCxI-uslxstuzHtusCx1t.Powstawieniukonknetnejwartoscixotmymujemyu2wykIujszereglicsbowy.2bieznylubmie.feslidldpewnychximp2odcinkeIs2ereigjestsoiezhyjegosumewkazdympunku.exeIoKreildfunkq.qfiI-RfH-ZuuuH.Mowimywtedyizes2eregZunHjestpunktowoabieznydofunkipf.Bowlauiesbieznoscipuuktowejszeregufuukqjmegomieroznin.qisfotnieodbadanieszereg.owlicsbowyck.Prob1empojawienqKieolychcauywnioskowQiowTasno5a.amfuuKyigranicznejmepodstawiewTasnosa.wyrrazowsze.reyu.Mvp.limytuloy.owTasnojciaatgpuciggtosc.vo2hicskowaluosiicatkowoluosc.PR2YKtADiRo2wazmyszeragfuukcyjmyfEnnex3unHtyYTxynsumycsqscioweiuoaniuna.xyxIIju.cxtxyxftt3IjT.Tenpnyktoudjestotylepnosty.zemozemytotwopoliuyiogoluyponaisumycsgia.owejuncxkEfnxtxtx.x

;Iok#rK=i#f÷F" ⁼

=ilY×I( ¹

^-

man ^)=Htx7H

^-

Kann ⁾

(3)

ncxknhjmohktnhjmo ( ^AXYG

^-

H#*)=G+xY ^our ^ho

jedhak ^owe ^x=o 2

Un ( ^o ) ⁼ ¹

^.

( 1

^-

ht ⁾⁼⁰ ^sateen ^U ⁽ ^o ⁾ ^-0

Uco )

^.^.

{ ^ttx

' x*o

0 X

^.^-

O

.

Fuukqie grranicsne jest miecigopew ^zeme

^.

^02ham ^to ^Ze ^mie

mozne samieniei kolejnosci pmehodzenie ^do _granicy

xhigonhdounkttonujmokigonnixi

h :

Rim

'

Tu .

Un

Wniosek ^:

ciqg fuukji ciqgtych ^, szeregfuukgi ciqgfych niemusibyi abiezny

do fuukji ciqgej

^.

(4)

PRZYKTAD ^: fncx )= £ ^sin ⁽ ^nx ⁾ ³

ftp.fnh-nhjmonnsincnxio

Funky ^.e _granicsne jest state ^a

fioo gfz ^wigc ^No Zhicskowowme

d

Ciegpoawdnycn ^flnlx ⁾

^-^-

rnwsfnx )

Eu tfz

hie jest sbiezhy ^, wniektorycu ^punktoui

me granite ^x ^, ^w ^niektivych ^hie

me granting

^.

Many ^wigc _cipg noznicskowalnyur funkyi ^abiezhy ^do oznicskowolng

^.

Yra

^.

Miy ^ale ciqg pocbodnyan ^mie ^me gnanicy

^.

^W ^szcsego ^osci ^Mie ^mozne

nopisao

ftp.go#emAxttuaPotmebujemysoAemjakiegossposobuno2po2mewaniekieolymepodstawiewTasnosciwyrrasiWciggucsyszeregufunkyjmegomozemywnioskoWadotyIrsamycnwTasnosaiechoUdfunkgigvanicsnyoh

Problem

y ² zachowanicm wtashisci funkgi pmy ^pmq.s.in ^do granicy ^wiqzq ^siq ² tym ^, ^ze ^w otoueniupewnycu punktow wyrozy ciqgu amieniajq ^tie conaznyoug

.

wraz one smiaug ^m. ^W pierwhym pmyktadzie dotyuy ^to ^punktu ^xo ^, ^w ^drugs ^'m kazdegoz puuktoir

^.

^Takie _sytuage Noaposhajemy kokystajqc ² pqqaie ^abiezhosa

.

jednonajnq

^.

^tan ^sbiezhosci aigufunkqjnego ^w ^mebyce supremum

^.

DEFINICJA ^: ^Niech ^X bgdzie ^zbionem ^a ( ^Y d) _, pmestmehiq mehycang

^.

^Nied takze fn ^: ^X ^Y ^men bqokie _ciqgiem ^odwaonowan

^' ^.

Mowing ^ze

G) fndezy ^do f punktowo pile

.

txex nlignofnlx ⁾ =f

(5)

Hfndpzydof jednostajnie ^jes.li ^nhjm _. sugpd (fnfx ⁾ ,fa)=o 4

tan HE > OF N

:

th _>N

syp ^ol ( _fnk ⁾ _, fat ) ⁽ ^E

(3) file

^.

^doolatkowo ^X jest pmestneuig mehycznp ^to mowing ^, ^te fu _olpty olof miemaljednohojniejezeli fndqtydof jeolnostojnie ^me

tazdym ^onwowtym ^podsbiome ^X

^.

Zauwazmyze ^w pmyktaoke ¹ cipg ^sum csgsuiwycn

UnH= ( ^ttx ^' ⁾ ( ^1- Hann ⁾ dqzy punkbwo ^do UoH={ ^" to ^" Eto

mie jest ^to jeolmek sbieznosijednonajne _gdyz ^ala koidego ^m ^anojokiemy

oloueuie ^x=o take

.

Ze warts .ci funkyi granting

.

sqbliskie ¹ ^aas ^{warts .ci} funkig ^Un ^bliskie ^zeru

^.

Wystaray Nozwazyi

unlut ) ⁱ ^red ^'s

)=

ttntznniatem ^sup ^/ ^Unlit

^-

^U ^. ⁽ ^× ⁾ ^/ ³¹

^.

¥4

^.

h¥Y" 1¥

TWIERDZENIE ^: Niech ( ^X , d) , ( 7

, g) bqdq pmestmeniamimehryanymi

^.

Graniaejednonojne apgu ^odwsorowan

^'

^ajgtych fu ^{:X Y} _jest

odwsorowaniem cipgym

Dow ^Ey 'o: ^- ^fn ^fm ^Tf

yffcxo ⁾ ^, ^f ⁽ xD ! dyfflxo ⁾ ^xD ,fn( )+dy(fn( ^xo ⁾ ^,fH ⁾ ^f

dyfflxohfnlxo ⁾ ) ⁺ dyffnlxo ⁾ ^, ^fnk ⁾ ⁾ ⁺⁰¹ ^, ⁽ ^fnlx ⁾ ^, ^fkl ⁾

(6)

Wezimyteraz ^me ^IN ^take zeby ^sup of (

ftp.f#swholypierwnyitmeu.sttowlniksumyjesiagranicsonypmez

E

.

5 Drug

^.

ograniaamy ^komptoyiqc ² ^cigqlosafn ^: ^biememy ⁵ ^: ^owe

dxlx ^, ^xo ⁾ ⁽ ⁸ _many ^dy ⁽

fnktfnk

^.

dyfflxo ⁾ ^, ^f ⁽ ^xD ^! dyfflxo ⁾ ^xD ,fn( )+dy(fn( ^xo ⁾ ^,fH ⁾ ^f

dyfflxohfnko ⁾ ) ⁺ dyffnlxo ⁾ ^, ^fnlx ⁾ ⁾ ⁺⁰¹ ^, ⁽ ^fnlx ⁾ ^, ^fkl ⁾

f { ^f ^E f E

baleen old 5 ^: d×( ^xo ,x)c5 dyff ⁽ ^xo ⁾ _, f ⁽ ^xD ⁽ ^3C ^co ^dowoolzi

ciegrosu

.

f

:

On

Uwaga ^: ^Gqgtosi jest pojqaem lokolnym ^, ^co ^oamecsa ^, ^ze waatozehioidr tvierokenie mozme atagodzic ^' ^wowunek jednostojnej sbieznosa

^.

do miemol jeolnostojng

^.

^the pmestmeni ^lokalnie warty

^.

ayli

takiej ^, Kling

^.

tazdy punkt ^posiowke ^Harte ^otouenie

W dodszym cipgu interesowoic _was bgdq ^take wtasnoscijakvoznicz

^.

Kowaluosc

^.

^I wikowalmosi _, ^wobec teyo ogvanicsymy ^rig ^do funky

^:

okreslonych ^me ^R ^lub _jego podzbionach ^I ^o wowtosciodr ^w R but

¢

.

Jesli funky ^.ee ^me ^wowtosci ^u ^¢ traktujemy le jak pargfunkyi

meosywistyck

^.

TWIERDZENIE ^: fm ^:] ^a ^,b[ ^IR _klasy ^th , sbiezny ^puuklowo

do f. _Jesiliciqg _pochodnycn ⁽ ^{flu )} new jest sbiezny ^do g

Miemal jednostajnie ^he ^Ja ^,b[ ^to f jest vozninkowalne

'=g

^.

if

(7)

Dow 'oD ^:

Naszym ^aadaniem jest wykdzai ^istnienie gnanicy

fcxth )

^-

f ( ^× )

lim no = ^oroz to _,ze graniue ^he ^jest ^vownd

ga ^, 6

tu Ye >o7bo ^: Inks 1fh¥fk ^'

^.

gaskc

Wiadomo

, ze fu sq klasy ^Cz ^, ^tour wszcsagilm.su

.

ffxth ⁾ ^th .f'fx+Jh )=ffx ⁾ ^Je ^]on[

f- 1 xtu )

^-

f¥ ⁿ ⁼ f 'nlx+Jn )

/ fnl×tnhtfn#ga/=/f' nation ⁾

^-

gulf Ifilxtontylxton ^)/+

lglxtrh ⁾

^.

g.

giestgraniqjednosojnenciqgu fuukgiaeoryu ^wiqc jest upgda

^.

wtejsytueagi ône unownego ê îsanieje ⁸ ^take ît

jeili 10h 1<5 ^to |g(x+Jh )|< ⁾

^-

gcx ⁴²

^.

^Poniewoz ^JEJQNE

wystaraywsipi ^h< ^S

^.

g jestgnaniq memaljednonajnq ciqgufnl

^.

^fes.li ^wigc ^weimie

^.

my ^[ ^x ,p]c]a,b[ ^takiize ^xe ^Eyp ^] ^to ^istnieje ^N ^tekie ^,

ze ahem >N

sup ^/ fiat

^-

_get ^/ ⁽ 42

XEK _, p ^]

Ostatecsnie wiqc ^dhe 141<8 ^im ^>N many

/ fnfxth f= ⁾

^.

n

-

ga/< ^c

(8)

/ fncxth ⁾

^.

fug

/

Nierownosc ^' ^to wymayqaby 7

-

gcx ⁾ ^{( E} ^m byte wystowuojpw ^ante

^.

h pvawe ^shone at m me

|n o ^salezy ^, ^mozne ^wigc ^wzipc

.

him ⁿ ^-

/ f€h¥k ^'

^.

gCxYfETanieiownoscobowipujeahlhkfTWlERDZENleNiechHnaNbgdzieciggiemfunkyiwukowaluychmeTaibJsbieznymjednostajniedofenKyif.wtedyfcaikiwalereinlcnoPefnCxIdx-f@bfHdx.fes.lifcaIkowaluetotwierdzeniejestNacsejocsywisteilfbfnHdxbffHoixI-lfknH-fCxDdx1ffdfnH-fCxydxfCb-oD.Edhewystaruojgwdnzychm.JakwyKazdicaekowalnosif7.Musimypoka2aiizedhedowolnegoEs0isAniejepodzioujTodcinkeLaibJtakii2e5fTftSGT-fkE.Wiao6mo.zedlefntakipodziaiistnig.e

: 5( ^I _, _fu ₎

^-

_{§ (} t.lu ⁾ ^< _y ^T={ ^a ^,t±

^,

^tz ^,

^...

^, ^-4<-1 ^, ^b ^}

the matego 7

(9)

Zauwazmyize ^the wystarcsojgw duzych ^m many 8

sup ^/ fnk )

^-

fft ^/ ⁽ y ^w ^oznecse ^ze

xe[ ^a ,bJ

fncxtg ^< ^fat ⁽ ^fnlx ⁾ ⁺ ^y

idalej

supfn

^-

yf ^supf ^f

supfnty infffinffnty ^inffn

^.

^g ^{

No to swojetonsekwenge ^owe sunny doling

^.

ⁱ ^go.mg

^.

5 supfntz ( ,fn)tg( _off ⁾

⁼

Zsupf ⁽ ^ti

^-

^ti

^.

^, ⁾ ^f ^Z ⁽ ⁾ ⁽ ^ti

^-

^ti ⁾ ⁼ ^5ft ^b- ^a)

§ ( ^I ,f)=2TjIf¥ -74 ⁽ ti D ^. ti

^.

, ) > ^Z ( ^inffn

^-

⁽ ^ti

^-

^ti

^.

^. ⁾

⁼

^Eftfn ⁾

^.

^a)

§ ( ^5Gt fn ^fnlty , I ^, ^fu ) ⁾

^-^-

² ⁽ ^y+2y( ^b- Î ^, â) ^fu ⁾ ^f Ê ^§ ⁽ y ^b- ^{f ,I} ê) ⁾

⁼

^f ^. _y ⁵ ⁽ ¹⁺² ^(f ^, ^I ⁽ ⁾ ^{b- a)} ^! ) ⁵ ⁽ ^I ^, ⁽ ^b

^-

^a)

Nalezy ^wigc ^waigi ^I ⁱⁿ odpowieolnie ^the y= 1+2 ^E- ( ^b

^-

e)

Dm

Widac ^' _wigc _, Ze istotnq nolgw badaniu wtasnosa

.

funkyi granicsnycn ^me Spraudzanie ^, ^ze ^Iiezhosi jest jednostajme ^but ^miemal jednostajna

^.

^Dbe

ciqgiw fuukcyjnych sazwycsg

^.

voting ^to zdefimigi

^.

SZEREGI FUNKCYONE