3. Zgodnie z przyjętymi założeniami, Ziemia i Wenus obiegają Słońce w tej samej płaszczyźnie, po okręgach o promieniach: aZ =1,0000au i aW = 0,7233 au.
Prędkości orbitalne planet są stałe i wynoszą odpowiednio vZ oraz vW.
Na rysunku, prosta k jest kierunkiem, w jakim z Ziemi widzimy Wenus na tle odległych gwiazd. Istnieje taka konfiguracja planet względem Słońca, że dla obserwatora geocentrycznego Wenus osiąga stanowisko, tzn. nieruchomieje na tle gwiazd. Ma to miejsce w momencie, w którym obserwowany ruch planety zmienia się na przeciwny. Wtedy składowe prędkości obu planet, te prostopadłe do kierunku k, są sobie równe: vZT = vWT.
Daje to warunek: vZ cos γ = vW cos β. (1)
W zadaniu należy obliczyć wartość kąta γ, czyli wartość elongacji Wenus dla momentu, w którym planeta osiąga stanowisko. Kąt β określa wartość chwi- lowej składowej tangencjalnej prędkości Wenus.
Te same kąty pozwalają zapisać twierdzenie sinusów dla trójkąta SZW (Słońce-Ziemia-Wenus):
aW sinγ = aZ sin(180o– β) = aW sinβ. (2)
Mamy więc dwa równania z dwoma niewiadomymi kątami γ i β, przy czym wartość kąta γ jest szukaną elongacją Wenus. Wartość ilorazu prędkości planet wyznaczymy, korzystając z III prawa Keplera: vZ /vW= 0,8505.
Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymamy: γ = 28,854o. Zauważmy, że z uwagi na symetrię ruchu planet względem złączenia dolnego, podczas okresu synodycznego Wenus osiąga drugie stanowisko, o takiej samej elongacji.
k
γ γ
β β S
Z W
k’
aW aZ
vWT vW
vZ
vZT
