ANALIZA UKŁADU BEZPRZEWODOWEGO PRZESYŁU ENERGII Z SZEREGOWO–SZEREGOWYM OBWODEM REZONANSOWYM

__________________________________________

* Politechnika Poznańska.

Milena KURZAWA*

Rafał M. WOJCIECHOWSKI*

ANALIZA UKŁADU BEZPRZEWODOWEGO PRZESYŁU ENERGII Z SZEREGOWO–SZEREGOWYM

OBWODEM REZONANSOWYM

W artykule przedstawiono obwodowy model układu bezprzewodowego przesyłu energii elektrycznej umożliwiający analizę statycznych i dynamicznych stanów pracy.

Rozpatrzono układ złożony z transformatora powietrznego z szeregowo–szeregowym obwodem rezonansowym, elementów obwodu zasilającego i odbiorczego. Przedstawio- no równania opisujące rozpatrywany układ bezprzewodowy. Podano warunki doboru pojemności obwodów rezonansowych. W celu rozwiązania równań opisujących rozpa- trywany układ bezprzewodowej transmisji energii zastosowano metodę polegającą na dyskretyzacji czasu, tj. metodę kolejnych kroków czasowych (ang. time stepping met- hod) oraz schemat numeryczny z parametrem wagowym. Przeprowadzono analizę sta- nów pracy układu. Przedstawiono wybrane wyniki obliczeń symulacyjnych.

SŁOWA KLUCZOWE: bezprzewodowa transmisja energii elektrycznej, transformator powietrzny, model obwodowy

1. WPROWADZENIE

Od ponad dziesięciu lat obserwuje się rosnące zainteresowanie układami bezprzewodowego przesyłu energii elektrycznej. Początkowo układy te opra- cowywano z myślą o ich zastosowaniu w systemach bezprzewodowego zasila- nia urządzeń mobilnych, tj. telefonów komórkowych [3] czy laptopów [10].

Z czasem obszar stosowania rozszerzono o układy zasilania baterii pojazdów elektrycznych [13], czy manipulatorów stosowanych w produkcji przyrządów półprzewodnikowych [9]. Obecnie układy te znajdują także szerokie zastoso- wanie w medycynie. Wykorzystuje się je miedzy innymi w systemach ładowa- nia baterii urządzeń wspomagających pracę organów ludzkich [5, 7, 8] jak rów- nież w układach zasilających sensory medyczne wykorzystywane w badaniach i diagnostyce [1, 2]. Prace nad układami bezprzewodowej transmisji energii prowadzone są zarówno przez ośrodki krajowe [5, 9], jak i zagraniczne [11, 12].

W stosowanych obecnie systemach bezprzewodowej transmisji stosuje się naj- częściej transformatory powietrzne działające w oparciu o zjawisko indukcji

elektromagnetycznej [12]. Transformatory te najczęściej składają się z dwóch cewek [10] sprzężonych magnetycznie. W literaturze można spotkać także układy złożone z czterech lub większej liczby cewek [14]. Najczęściej w prak- tyce wykorzystuje się cewki spiralne [6]. Niestety, budowanie układu składają- cego się z samych cewek (transformatora) jest mało efektywne. W celu zwięk- szenia efektywności oraz ilości przesyłanej energii transmitowanej za pomocą transformatora powietrznego jest korzystne dopiero po odpowiednim skompen- sowaniu indukcyjności rozproszeń uzwojeń transformatora. Wzrost efektywno- ści uzyskuje się, zatem przez odpowiednie szeregowe lub równoległe dołącza- nie kondensatorów kompensujących [5]. W ogólnodostępnej literaturze można odnaleźć dużo zależności i wzorów umożliwiających dobór pojemności kom- pensacyjnych [4]. Najczęściej spotykanym podejściem jest dobór pojemności kondensatorów w sposób umożliwiający uzyskanie maksimum sprawności przy pożądanej mocy na wyjściu układu. Innym stosowaną metodą jest rozwiązanie bazujące na kryterium minimum energii pola magnetycznego. Można również dążyć do uzyskania zerowego przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem i prądem zasilającym układ. Bardzo często kryteria te stosowane są łącznie.

W niniejszej publikacji przedstawiono obwodowy model umożliwiający anali- zę statycznych jak i dynamicznych stanów pracy układu bezprzewodowej trans- misji energii (UBTE). Rozpatrzono układ składający z dwóch cewek sprzężonych ze sobą magnetycznie, z których cewka stanowiąca nadajnik energii została połą- czona ze źródłem napięcia sinusoidalnego, natomiast cewka będąca odbiornikiem energii z elementami stanowiącymi obciążenie. Dodatkowo dla zwiększenia sprawności układu, cewki połączono szeregowo z pojemnościami kompensują- cymi tworząc tzw. szeregowo – szeregowy obwód rezonansowy. Dobierając po- jemności kierowano się kryterium maksymalnej sprawności przy zadanej warto- ści mocy na odbiorniku układu. W celu rozwiązania uzyskanych równań modelu rozpatrywanego UBTE zastosowano metodę polecająca na dyskretyzacji czasu – metodę kroków czasowych – oraz schemat numeryczny z wagą . W pracy war- tość parametru wagi przyjęto równą 0,5, tj. zastosowano schemat numeryczny niejawny odpowiadający schematowi zaproponowanemu przez Cranka – Nicol- sona. Obliczenia wykonano w opracowanym przez Autorów oprogramowaniu własnym. Przedstawiono wybrane wyniki obliczeń oraz podano wybrane prze- biegi prądów i napięć w badanym układzie.

2. OBWODOWY MODELUKŁADU BTE

W pracy rozpatrzono układ złożony z dwuuzwojeniowego transformatora powietrznego wraz z dołączonymi szeregowo do jego uzwojeń (cewek) konden- satorami kompensującymi odpowiednio C1 i C2, źródła napięcia e(t) sinusoidal- nie zmiennego o częstotliwości f dołączonego do obwodu nadawczego UBTE oraz elementu rezystancyjnego Ro stanowiącym obciążenie układu, po stronie

obwodu odbiornika energii. Schemat zastępczy rozpatrywanego układu zilu- strowano na rysunku 1.

Rys. 1. Schemat zastępczy UBTE

Podany powyżej schemat zastępczy układu poza wymienionymi para–

metrami uwzględnia także rezystancję uzwojeń R1 i R2 transformatora powietrz- nego, indukcyjności własne L1 i L2 tych uzwojeń oraz indukcyjność wzajemną M pomiędzy nimi. Dla tak zdefiniowanego UBTE równanie napięciowe dla obwodu (oczka) stanowiącego część nadawczą badanego układu przyjmuje postać:

dt t M di dt

t L di t i R t u t

e _C () ()

) ( ) ( )

( _{11 1} ^{1 2}

1   

 (1)

a obwodu reprezentującego część odbiorczą postać następującą:

dt ) t ( M di dt

) t ( L di ) t ( i R ) t ( u ) t ( i R

0 _{0 2 C 2 2 2} ^{2 1}

2   



 (2)

gdzie: i1 oraz i2 są odpowiednio prądami obwodu nadawczego i odbiorczego rozpatrywanego układu transmisji, a uC1 i uC2 stanowią spadki napięć na pojem- nościach kompensujących C1 i C2 przy uwzględnieniu, że

dt t C du t

i ^C ()

)

( ₁ ¹

1  (3)

oraz

dt t C du t

i ^C ( )

)

( ₂ ²

2  (4)

W celu rozwiązania równań napięciowych opisujących rozpatrywany układ zastosowano metodę polegająca na dyskretyzacji czasu – (kroków czasowych) oraz schemat numeryczny z parametrem wagowym . Po zastosowaniu tego schematu oraz dyskretyzacji czasu równania (1) oraz (2) przyjmują następujące formy:

t i M i t

i L i

i i

R u

u e

e

n n n

n

n n

C C

n

n _{n n}



 



 

























 _

1 2 2 1 1 1 1

1 1 1

1

1 (1 ) [ (1 ) ]

) 1

(   1  1 1  



(5)

t i Mi t

i L i u

u i

i

R _{n n C C} ^{n n n n}

n

n 

 



 











 _ ^{ }



1 1 1 1 2 2 2 1

2 2

0[ (1 ) ] 2 (1 ) 2 1

0     (6)

gdzie: symbol t jest długością przyjętego kroku czasowego. Indeksem dolnym n oznaczono wielkości odnoszące się do aktualnie rozpatrywanej n–tej chwili czasowej, natomiast indeksem n–1 wielkości dotyczące chwili czasowej po- przedzającej aktualnie rozpatrywaną chwilę. W pracy wartości napięć na kon- densatorach

Cn

u 1 i

Cn

u 2 określano korzystając z relacji (3) i (4). Po uwzględnie- niu tych relacji dla przyjętego schematu numerycznego wartości napięć na kon- densatorach obliczano z następujących zależności:

1 1 1

1

1 1

1 (1 ) )

(

 





 ^

n

n n n C

C u

C i i

u t  

(7)

1 2 2

2

1 2

2 (1 ) )

(

 





  ^

n

n C

n n

C u

C i i

u t 

(8)

Po wstawieniu zależności (7) do (5) i (8) do (6) oraz połączeniu uzyskanych równań otrzymano następujący układ równań:

























n n n

n

E E i

i Z Z

Z Z

2 1 2

1 22 21

12

11 (9)

w którym:

1 2 1

1

11 C

t t R L

Z 

 ^



 (10a)

t Z M

Z₁₂  ₂₁ (10b)

2 2 2

0 2

22 ( )

C t t R L R

Z 

 ^





 (10c)

oraz

1 2 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1

1 1

) 1 (

) 1 ( )

1 (













 



 













 n

C n

n n

n n n

ti u M

C i t

t i Li

R e

e E

n











(11a)

1 1 2

1 2 1

2 1 2 0 2

2 _{2 1}

) 1 ) (

)(

1

( _ ^{ } _



 



 







 C  n

n n

n

n i

t u M

C i t

t i Li

R R

E n



  (11b)

Otrzymany układ równań (9) należy rozwiązać N razy, gdzie N jest liczbą kro- ków czasowych przyjętych w symulacji.

3. DOBÓR POJEMNOŚCI KOMPENSACYJNYCH

Projektując UBTE najwięcej uwagi i czasu poświęca się na czynności zwią- zane z doborem wartości pojemności kompensacyjnych obwodów rezonanso- wych. Odpowiedni dobór tych pojemności, przy znanych warunkach pracy, umożliwia budowę UBTE, które pracują z sprawnościami przekraczającymi 90% [11]. W niniejszej pracy zdecydowano, że wartości pojemności kompensu- jące C1 i C2 będą dobierane na podstawie kryterium dotyczącego maksymalnej sprawności układu  przy zadanej wartości mocy wyjściowej P_oN, tj. mocy na odbiorniku układu Ro. Korzystano z następującego warunku:

oN

o P

P 

 )

max( (12)

w którym: symbolem Po oznaczono moc wyjściową układu. Poszukując warto- ści pojemności spełniających narzucone kryterium posłużono się następującymi zależności, tj.:

(a) zależnością opisującą moc wyjściową układu Po, o postaci:





























 



 











 





 



2

2 1 1

2 1

1 1

2 2

1 2

1 1

2 1

2 1

2

2 1 2 1 1

2 1 2

) / 1 (

) / 1 ( ) ) (

/ 1 2 (

) / 1 (

) (

] ) / 1 ( [ ) (

C L

R

C L

C M C L

L R R M R R

E C L

R M P R

o

o o









 

 











(13) (b) zależnością opisującą moc pobieraną przez układ Pin i daną wzorem:







































 



























 



















 

 2

2 2 2 2 2 o

2 2

2 1

1 2

2 2 2 2 2 o

2 o 2 1

2 2 2 2

2 2 o

2 o 2 1

in

) C / 1 L ( ) R R (

) C / 1 L ( ) M ) (

C / 1 L ) (

C / 1 L ( ) R R (

) R R ( ) M R (

) E C / 1 L ( ) R R (

) R R ( ) M R (

P









 















(14) oraz (c) stosunkiem tych mocy definiującym sprawność rozpatrywanego ukła- du, tj.

in o /P P

 (15)

Należy dodać, że występujące w zależnościach (13) i (14) symbole E i  ozna- czają odpowiednio wartość skuteczną napięcia zasilającego e(t), oraz pulsację elektryczną ( = 2f) sygnału zasilającego.

Wymienione zależności (13)  (15) posłużyły Autorom do opracowania skryptu umożliwiającego wyznaczanie pojemności układu. Opracowując skrypt zastosowano algorytm wykorzystujący metodę przeszukiwania przestrzeni. Jako

punkt startowy (C₁^s, C₂^s) poszukiwań przyjmowano wartości pojemności obli- czane z następującej relacji:

2 , 1 1

2( )]

) 2

[(  ^ _

 _{i i}

s

i f L M

C  (16)

oraz przeszukiwano przestrzeń C, którą zdefiniowano dla obu wartości pojem- ności w zakresie Ci  0,1Cis

,10Cis

. W większości rozpatrywanych przypad- ków dla zdeklarowanego przedziału uzyskiwano sprawności układu przekracza- jące, 90% co stanowiło satysfakcjonujący wynik. Następnie poszukiwano takich wartości pojemności, dla których moc na odbiorniku układu była równa zadanej wartość, tj. Po  PoN. Otrzymane wartości pojemności zapamiętywano. Po do- konaniu przeglądu przestrzeni, dla otrzymanych wartości pojemności obliczano moc pobieraną przez układ Pin oraz sprawność . Uzyskane wyniki porówny- wano poszukując tych rozwiązań, dla których badany układ uzyskiwał najwyż- sze sprawności. W przypadku, gdy otrzymane wartości sprawności nie przekra- czały spodziewanych 90% obszar poszukiwań rozszerzano, a obliczenia powta- rzano dla rozszerzonej przestrzeni. Należy dodać, że przedstawiony tutaj sposób poszukiwania pojemności Autorzy stosowali w odniesieniu do UBTE, w któ- rych odległość pomiędzy uzwojeniami (cewkami) transformatora była stała i nie ulegała zmianie.

4. WYNIKI OBLICZEŃ

Opracowany model układu bezprzewodowej transmisji posłużył Autorom do opracowania własnego oprogramowania umożliwiającego analizę ustalonych oraz przejściowych stanów pracy układu. Rozpatrzono układ, w którym warto- ści parametrów: rezystancji, indukcyjności własnych uzwojeń transformatora powietrznego oraz indukcyjności wzajemnej pomiędzy uzwojeniami zostały przyjęte na podstawie pomierzonych wartości parametrów istniejącego układu.

Wartości tych elementów dla rozpatrywanego układu zestawiono w tabeli 1.

Podaną w tabeli wartość indukcyjności wzajemnej otrzymano, dla odległości pomiędzy cewkami równej 15 mm. Założono, że badany układ będzie zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnego o regulowanej wartości częstotliwości f. Dla rozpatrywanych w pracy przypadków, wartości pojemności C1 i C2 dobierano w zależności od wartości częstotliwości napięcia zasilania f zgodnie z kryteria- mi podanymi w rozdziale 3, korzystając z opracowanego skryptu.

W pierwszym etapie badań skoncentrowano się na analizie wpływu wartości pojemności kondensatorów kompensacyjnych na wartość sprawności , mocy pobieranej przez układ oraz mocy uzyskiwanej na rezystancji Ro. Analizę prze- prowadzono dla częstotliwości f równej 500 kHz. Na rysunku 2 zilustrowano sprawność układu w funkcji pojemności C1 i C2. Natomiast na rysunku 3 poda- no odpowiednio (a) zależność mocy pobieranej przez układ i (b) mocy uzyska- nej na rezystancji obciążenia również w funkcji pojemności C1 i C2. Zauważo-

no, że na sprawność układu decydujący wpływ ma pojemność C2, tj. pojemność kompensująca indukcyjność rozproszenia strony wtórnej transformatora. War- tość pojemności C1 decyduje natomiast o wartości mocy uzyskiwanej na wyj- ściu układu.

Tabela 1. Wartości rezystancji i indukcyjności dla rozpatrywanego UBTE

Parametr Jednostka Wartość

R1 [Ω] 0.309

R2 [Ω] 0.318

L1 [µH] 17.7

L2 [µH] 17.9

M [µH] 8.75

Rys. 2. Zależność sprawności w funkcji pojemności C1 i C2

Następnie przeprowadzono analizę wpływu częstotliwości f źródła zasilania na sprawność układu dla dwóch wartości mocy P_oN równych odpowiednio 10 W i 20 W. W pracy dążono do uzyskania maksymalnej sprawności układu dla rozpa- trywanego zakresu częstotliwości f, każdorazowo dobierając wartości pojemności kondensatorów. Częstotliwość źródła zasilania zmieniano w zakresie od 100 kHz do 1 MHz. Wartość skuteczną napięcia zasilającego układ przyjęto równą 12 V, a wartość rezystancji obciążenia Ro równą 10 Ω. Na rysunku 4 przedstawiono zależność uzyskanej sprawności  w funkcji częstotliwości f napięcia zasilania.

Dla obu zadanych wartości mocy sprawności układu przekraczały 87%, przy czym zauważono, że powyżej częstotliwości 200 kHz ich wartości były nie- zmienne i osiągały odpowiednio: (a) 94,7% dla układu o mocy PoN równej 10 W i (b) 92,4% dla układu, o mocy PoN równej 20 W.

a) b)

Rys. 3. Zależność mocy: a) pobieranej przez układ b) na rezystancji R₀ obciążenia, w funkcji pojemności C1 i C2

Rys. 4. Zależność sprawności w funkcji częstotliwości źródła zasilania

W pracy zbadano także wpływ zmian wartości rezystancji obciążenia Ro na sprawności i moc układu (rys. 5). Przyjęto jednak, że wartości pojemności będą niezmienne. Ich wartość dobrano dla przypadku, w którym wartość rezystancji była równa 10 Ω, a moc układu PoN = 10 W. Badania wykonano dla układu zasilanego z źródła napięcia o wartości skutecznej równej 12 V i częstotliwości f = 500 kHz. Wpływ rezystancji R_o badano w zakresie od 1 Ω do 30 Ω. Celem badań było określenie przedziału zmian wartości rezystancji obciążenia układu, dla których moc P_oN 10 W przy   90%. Tak zdefiniowany warunek spełnia- ły wartości Ro w zakresie od 4,5 Ω do 10 Ω. Poniżej wartości rezystancji 4,5 Ω co prawda układ spełniał kryterium mocy do wartości 2,5 Ω, ale przy sprawno- ściach niższych niż założono. Powyżej wartości 10 Ω układ wykazywał nato- miast sprawności przekraczające nawet 95 %, ale przy mocach znacząco poni- żej oczekiwanej wartości PoN = 10 W.

Rys. 5. Zależność sprawności układu w funkcji rezystancji obciążenia

Opracowany przez Autorów program umożliwia także obserwację przebie- gów napięć i prądów na poszczególnych elementach obwodu. Poniżej zilustro- wano wybrane przebiegi prądów i napięć, oraz mocy w UBTE dla przypadku, w którym był on zasilany również z źródła napięcia o wartości skutecznej rów- nej 12 V i częstotliwości f = 500 kHz. Wartość rezystancji przyjęto równą 10 Ω, a wartości pojemności C1 i C2 odpowiednio równe 0,12 nF i 9,29 nF. Przyjęto również, że napięcia na pojemności C1 oraz C2 w momencie załączenia były równe zero, tj. kondensatory były nienaładowane. Na rysunku 6 zestawiono przebieg prądu i1 pobieranego przez układ, tj. przebieg prądu w obwodzie na- dajnika oraz przebieg napięcia zasilającego układ.

Rys. 6. Przebiegi napięcia i prądu w obwodzie nadajnika – stan ustalony

Przebiegi przedstawiono dla ustalonego stanu pracy układu. Natomiast na rysunku 7 zestawiono i porównano przebiegi prądu i1 i prądu i2 odbiornika R_o, tj. prąd płynący w obwodzie odbiornika energii. Dla przyjętych wartości po- jemności przebieg prądu i1 był w fazie z napięciem zasilającym, natomiast prąd i2 na odbiorniku był przesunięty w fazie o kąt 5π/36. Przebiegi przedstawione na rysunku 7 zilustrowano od momentu załączenia napięcia zasilania do uzy- skania ustalonego stanu pracy przez układ. W stanie ustalonym wartość sku- teczna prądu i2 wyniosła 1 A, a prądu i1 0,9 A. Na kolejnym rysunku 8 przed- stawiono i porównano przebiegi mocy pobieranej przez układ oraz mocy ukła- du, tj. mocy na odbiorniku rezystancyjnym.

Rys. 7. Zależność prądu wejściowego i prądu wyjściowego w funkcji czasu

Rys. 8. Przebiegi mocy pobieranej przez układ oraz mocy wyjściowej układu

5. PODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono wybrane wyniki obliczeń uzyskane na podstawie obwodowego modelu układu bezprzewodowej transmisji energii elektrycznej.

Przedstawiono równania opracowanego modelu obwodowego UBTE z szeregowo – szeregowym obwodem rezonansowym. Zaproponowano podej- ście umożliwiające dobór wartości pojemności układu w zależności od pożąda- nej mocy układu i wartości obciążenia. Zbadano wpływ wartości pojemności C1

i C2 na sprawność układu, moc pobieraną i moc wyjściową UBTE. Zapropono- wany w pracy sposób opracowano z myślą o wykorzystaniu istniejących cewek powietrznych, bez konieczności projektowania nowych oraz przy założeniu sta-

łej odległości pomiędzy cewkami. W pracy zbadano także wpływ częstotliwości napięcia zasilania oraz wartości rezystancji obciążenia na sprawność układu i moc wydatkowaną przez układ.

Dalsze badania Autorów będą koncentrowały się na opracowaniu sposobu doboru pojemności kondensatorów umożliwiających optymalną pracę UBTE dla różnych odległości pomiędzy cewkami transformatora. Autorzy przewidują tak- że dalsze badania mające na celu poznanie innych konfiguracji układów bez- przewodowej transmisji energii elektrycznej.

LITERATURA

[1] Blakiewicz G., Bezprzewodowe zasilanie sensorów medycznych. Przegląd Elek- trotechniczny, n. 9/2014, pp. 12–14.

[2] Cheong J.H. et al., An inductively powered implantable blood flow sensor microsystem of vascular grafts, IEEE Tran. Biomed. Eng., 2012, vol. 59, pp. 2466–2475.

[3] Choi B., Nho J., Cha H., Ahn T., Design and implementation of low–profile con- tactless battery charger using planar printed circuit board windings as energy transfer device, IEEE Tran. Ind. Electron., 2004, vol. 51, no. 1, pp. 140–147.

[4] Cieśla T., Kaczmarczyk Z., Grzesik B., Stępień M., Obwody do bezprzewodowe- go przesyłu energii elektrycznej, Elektryka, 2009, no. 4, pp. 135–149.

[5] Cieśla T., Układ do bezprzewodowej transmisji energii elektrycznej, Rozprawa Doktorska, Politechnika Śląska, Katedra Energoelektroniki, Napędu Elektryczne- go i Robotyki, Gliwice 2012.

[6] Khan I., Khan S., Khalifa O., Wireless transfer of power to low power implanted biomedical devices: coil design considerations, IEEE International Instrumenta- tion and Measurement Technology Conference, Graz, Austri, 2012.

[7] Lee S., Cheng Ch., Liang M., A low–power bidirectional telemetry device with a near–field charging feature for a cardiac micro stimulator, IEEE TBioCAS, 2012, vol. 5, no.4, pp 357 – 367.

[8] Li X., Zhang H., Peng F., Yang T., Wang B., Fang D., A wirelles magnetic reso- nance energy transfer system for micro implantable medical sensors, Sensors 2012. N. 12. p. 10292 – 10308

[9] Maradewicz A., Kaźmierkowski M., Resonant converter based contactless power supply for robots and manipulators, JAMRIS, 2008, vol. 2, no. 3, pp. 20–25.

[10] Maradewicz A., Miśkiewicz R., Systemy bezstykowego zasilania komputerów przenośnych, Prace Instytutu Elektrotechniki, 2008, no. 236, pp. 47–62.

[11] Miura H., Arai S., Kakubari Y., Sato F., Matsuki H., Sato T., Improvement of the transcutaneous energy transmission system utilizing ferrite cored coils for artifi- cial hearts, IEEE Trans. Magn., 2006, vol. 42, no. 10, pp. 3578–3580.

[12] Rahman S., Ahmed O., Islam S., Awal R., Design and construction of wireless power transfer system using magnetic resonant coupling, AJEA Journal, 2014, vol. 2, no. 2, pp. 11 – 15.

[13] Sakamoto H., Harada K., Washimiya S., Tekehara K., Matsuo Y., Nakao F., Large air–gap coupler for inductive charger, IEEE Trans. Magn., 1999, vol. 35, no. 5, pp. 3526–3528.

[14] Waters B., Sample A., Bonde P., Smith J., Powering a vantricular assist device (vad) with the free–range resonant electrical energy delivery (FREE–D) system, Proceedings of the IEEE, 2012, vol. 100, no. 1, pp. 138–149.

THE ANALYSIS OF WIRELESS ENERGY TRANSMISSION SYSTEM WITH SERIES–SERIES RESONANT CIRCUIT

The paper deals with a circuit model of the wireless energy transmission system al- lowing the analysis of static and dynamic of the operating conditions. The system consisting of an air transformer with a series–series resonant circuit and the elements of circuits of transmitter and receiver has been considered. The equations of the studied wireless system have been given. The way of selection of capacity for the resonant circu- its has been proposed and discussed. In order to solve the equations describing the con- sidered wireless power transmission system the time stepping method and the numerical scheme with weight parameter have been applied. The selected results of simulation have been presented and discussed.

(Received: 29. 02. 2016, revised: 3. 03. 2016)