2. OBLICZANIE PRZEPŁYWÓW MOCY 2.1. Przep

(1)

2. OBLICZANIE PRZEPŁYWÓW MOCY

2.1. Przepływ mocy w układzie promieniowym 2.1.1. Założenia dla obliczeń mocy

Moc pozorna wyraża się wzorem:

(ϕ −ϕ) ϕ

∗ = =

=UI UIe^j UIe^j

S ^u ⁱ (2.1)

gdzie:

i u −ϕ ϕ

= ϕ

W układzie trójfazowym będzie:

(ϕ −ϕ ) ϕ

∗ = =

=3UI 3UIe^j 3UIe^j

S ^u ⁱ (2.2)

Gdyby napięcie było napięciem międzyprzewodowym to mamy:

(ϕ −ϕ) ϕ

∗ = =

= 3UI 3UIe^j 3UIe^j

S ^u ⁱ (2.3)

Przy czym:

(

cos jsin

)

P jQ S

S= ϕ+ ϕ = + (2.4)

Tym wzorom odpowiada wykres wskazowy pokazany na rys. 2.1.

Przyjmujemy, że kierunek dodatni to prąd odbierany z węzła. Z tego założenia wynika, że:

1) Moc czynna pobierana z węzła jest dodatnia a moc dostarczana do węzła ujemna,

2) Moc bierna indukcyjna pobierana z węzła jest dodatnia tzn. że moc bierna pojemnościowa pobierana do węzła ujemna,

3) Moc bierna indukcyjna dostarczana do węzła jest ujemna tzn. że moc bierna pojemnościowa dostarczana do węzła dodatnia.

Im

Re U

I

ϕU

ϕI

ϕ

Rys. 2.1 Wykres wskazowy napięcia i prądu.

(2)

2.1.2. Obliczenia napięć:

Rozpatrując odcinek linii pomiędzy węzłami A i B a zawierający jedynie elementy wzdłużne i uwzględniając napięcia międzyprzewodowe można napisać:

B L B

AB B

A U U U 3Z I

U = +∆ = + (2.5)

*B

B 3U

I = S (2.6)

(

+

)(

−

)

₌

=

∆ *

B

B B

L AB L

U

jQ P jX U R

− = + +

= _*

B L B L B

*B L B L B

U R Q X jP U

X Q R P

2 B B

L B L B 2B

L B L

B U

U R Q X jP U

X Q R P











 −

+ +

= (2.7)

W przypadku, gdy można założyć, że U_B =U_B (można to przyjąć w dowolnym miejscu) to:

B L B L B B

L B L B B

A U

R Q X jP U

X Q R U P

U = + + + − (2.8)

Moduł napięcia w węźle początkowym wynosi:

2

B L B L B 2

B L B L B B

A U

R Q X P U

X Q R U P

U 









 −

 +











 +

+

= (2.9)

2.1.3. Obliczanie strat mocy

Wzdłużne straty mocy w rozpatrywanej linii będą wynosić:

( )

B2 2 L 2 B

B B2

2 L L B

B2

L U

R Q P

U R R S

I 3

P +

=

∆ (2.10)

Gdyby w linii należało uwzględnić elementy poprzeczne to straty mocy w elementach poprzecznych można wyliczyć z zależności:

*L B2

*Y B

Y 3U I U Y

S = =

∆ (2.11)

gdy:

B L

Y Y

3

I = U (2.12)

(3)

Powyższe straty mocy można wyrazić jako:

2 L B

Y U G

P =

∆ (2.13)

2 L B

Y U B

Q =−

∆ (2.14)

Gdy elementem poprzecznym jest pojemność linii to BL>0 a ∆Q_Y <0 co zgadza się ze znakiem dla mocy biernej pojemnościowej.

2.1.4. Zadanie 1

Dany jest schemat sieci elektroenergetycznej jak na rys. 2.2.

G

T1

A B C

D

E

T2 UE

15 kV 110 kV

110 kV 220 kV

L SB

G

Rys. 2.2 Schemat sieci Dane elementów sieci:

G: SN=150 MVA UNG=15,75 Xd=180%

T1: SN=150 MVA 121kV/15,75kV ∆Uz=11%

L: XK=0,4 Ω/km l=40km

T2: SN=500 MVA 220kV/110kV ∆UZ=9%

UE: SZ=∞.

Zakładając, że U_B =110kV a ^S_B ⁼

(

²⁰⁰⁺ ^jO

)

^MVA obliczyć rozpływ mocy napięcia w węzłach i narysować wykres wskazowy.

1) Schemat zastępczy:

XG D XT1

XG E XT1

A XL B XT2 C Ed

Ed

EUE

Rys. 2.3 Schemat zastępczy sieci

2) Obliczanie impedancji odbędą się na poziomie 110 kV:

(4)

Ω

 =



 



=  υ

= 176

75 , 15

121 150

75 , 15 100 180 S

U 100 X X

2 2 21

Ng T 2Ng

% g d

Ω

=

= 10,7

150 121 100 X_T₁ 11 ²

Ω

=

=0,4*40 16 X_L

Ω

=

= 2,18

500 110 100

X_T₂ 9 ²

3) Napięcie U _A

AB B

A U 3 U

U = + ∆

− = + +

=

∆ *

B

AB B AB B

*B

AB B AB AB B

U R Q X

jP U

X Q R

U P

kV 1 . 29 110 j

0 0 16 j200 110

160 0 0

200⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =

=

kV e

8 , 113 1 , 29 j 110

U_A = + = ^j¹⁴^,⁸^o przy czym:

kV 8 . 113 1

. 29 110

U_A = ² + ² = 8o

. 110 14

1 . tg 29

A arc

U = =

ϕ

4) Straty mocy w linii:

0 U R

Q

P P _L

2B 2B

B2 + =

=

∆

MVA 9 . 52 110 16

X 200 U

Q Q P

2 2 2 L

B 2B

B2 + = =

=

∆

(

200 j52.9

)

MVA S

S

S_A = _B +∆ = +

5) Napięcie na zaciskach generatora:

(5)

W celu uproszczenia obliczeń zakładamy, że napięcie na szynach A znajduje się w osi odniesienia tzn. U_A =U_A. Moc w transformatorze T1 wynosi:

(

200 j52.9

) (

100 j26.45

)

MVA 2

S 1 2

S_T₁=1 _A = + = +

− = + +

+

′ =

A

1 T 1 T 1 T 1 T A

1 T 1 T 1 T 1 A T

G U

R Q X jP U

X Q R

U P U

(

+ +

)

=

=



 



 ⋅ + ⋅

+

= 113.8 2.49 j9.40

8 . 113

7 . 10 j100 8

. 113

7 . 10 45 . 8 26 . 113

kV e

7 . 116 40 . 9 j 3 .

116 + = ^j⁴^.⁶²^o

=

o o

o j14.8 j19.4

62 . 4

G 116.7ej e 116.7e

U = =

6) Straty mocy w transformatorze T1

var M 84 . 8 7 . 8 10

. 113

45 . 26 X 100

U Q Q P

2 2 2

1 2 T

A 21 2 T

1 1 T

T + = + =

=

∆

(

100 j35.3

)

MVA S

S

S_G = _T₁ +∆ _T₁ = +

7) Siła elektromotoryczna generatora

− = + +

+

= *

G G G G G

*G G G G G G

d U

R Q X jP U

X Q R U P

E

= +

+

=



 



 ⋅ + ⋅

+

= 116.7 53.2 j151

7 . 116

176 j100 7

. 116

176 3 . 7 35 . 116

(

170+ j151

)

kV=227e^j⁴¹^.⁶^o kV

=

(

110 j199

)

kV kV

e 227 e

e 227

E_d = ^j⁴¹^.⁶^o ^j¹⁹^.⁴^o = ^j⁶¹^.⁰⁰ = + Po przeliczeniu mamy:

kV e

5 . 121 29

75 . e 15

227

E_d = ^j⁶¹^.⁰⁰ = ^j⁶¹^.⁰^o

jw e

87 . 75 1

. 15

e 5 .

E_d 29 ^j⁶¹^.⁰ ^j⁶¹^.⁰^o

o

=

8) Napięcie sieci sztywnej

− = + +

+

= *

B

2 T B 2 T B

*B

2 T B 2 T B B

C U

R Q X

jP U

X Q R

U P U

(6)

(

110 j3.96

)

kV 110

18 . 2 j200 U 110

X jP

U *

B 2 T

B − B = − ⋅ = −

=

kV e

0 . 110 96 . 3 j 110

U_C = − = ⁻^j²^.⁰⁶^o 9) Kąt δ

1o

. 63 06 . 2

C 61

G −δ = + =

δ

= δ

10) Wykres wskazowy

wy .1.5. Zadanie 2

UB

Ed

UA

UG

IB I_A

d IA

X j

ϕUA

Rys. 2.4 Wykres wskazo 2

any jest schemat sieci elektroenergetycznej jak na rys. 2.2.

i należy dodatkowo uwzględnić:

; cosϕ=0.8 ind., D

Dane elementów takie same jak w zadaniu 1 przy czym w lini

L: Rk=0.06 Ω/km;

Bk=2.76 µS/km;

Zakładając, że generatory są obciążone mocą SG=150 MVA przy UG=UNG=15.75 kV oraz że w sieci tej są następujące odbiory:

a) Szyny D i E: PD=PE=10 MW

b) Szyna A: S_A =

(

200+ j100

)

MVA; przy UA=UNA i poniższych zależnościach od napięcia:

(7)

5 . 1

NA AUN A

A U

P U

P 

 



= 

2

NA AUN A

A U

Q U

Q 

 



= 

c) Szyna B: S_B =

(

400+ j100

)

MVA;

obliczyć rozpływ mocy, napięcia w węzłach i narysować wykres wskazowy.

1) Obliczanie impedancji:

Ω

=

⋅

=

⋅

=R l 0.06 40 2.4 R_L _k

S 4 . 110 40 76 . 2 l B

B_L = _k ⋅ = ⋅ = µ

2) Moce generatora

MW 5 . 127 85 . 0 150 cos

S

P_G = _G ⋅ ϕ_G = ⋅ =

var M 0 . 79 85

. 0 1 150 sin

S

Q_G = _G ⋅ ϕ_G = ⋅ − ² = 3) Siła elektromotoryczna generatora

Obliczenia będą wykonywane na poziomie 110 kV, w tym celu napięcie na zaciskach generatora trzeba przeliczyć na ten poziom napięcia:

kV 75 121

. 15 75 121 . 15 U

U_G _G _T₁  =



 



=  υ

′ =

⋅ =

⋅ + +

= '

G d G 'G

d G 'G

d U

X jP U

X U Q

E

= +

+

⋅ =

⋅ + +

= 121 115 j185

121 176 5 . j127 121

176 0 . 121 79

(

236+ j185

)

kV=300e^j³⁸^.¹^o kV

=

Po przeliczeniu jest:

kV e

0 . 39 121 e

75 . 30015

E_d = ^j³⁸^.¹^o = ^j³⁸^.¹^o

jw e

48 . 2 75e

. 15

0 .

E_d = 39 ^j³⁸^.¹^o = ^j³⁸^.¹^o

(8)

4) Moce w węźle D

var M 5 . 7 8 . 0 8 1 . 0 sin 10

cos

Q P _D ²

D

D D ϕ = − =

= ϕ

5) Moc w transformatorze T1

MW 5 . 117 10 5 . 127 P

P

P_T₁ = _G − _D = − =

MW 5 . 71 5 . 7 79 Q

Q

Q_T₁ = _G − _D = − = 6) Napięcie U _A

− = + −

−

=

G

1 T 1 T 1 T 1 T G

1 T 1 T 1 T 1 G T

A U

R Q X jP U

X Q R U P

U

⋅ =

−

− ⋅

⋅ +

− ⋅

= 121

0 5 . 71 7 . 10 55 . j117 121

7 . 10 5 . 71 0 5 . 121 117

(

114.7 j10.4

)

kV 115.2e kV 4

. 10 j 32 . 6

121− − = − = ⁻^j⁵^.¹⁸^o

=

7) Straty mocy w transformatorze T1

0 U R

Q

P P _T₁

2G 21 2 T

1 1 T

T + =

=

∆

var M 8 . 13 7 . 121 10

5 . 71 5 . X 117

U Q Q P

2 2 2

1 2 T

1 T

21 2 T

1 1 T

T + = + =

=

∆

(

117.5 j71.5

)

j13.8

(

117.5 j57.7

)

MVA S

S

S_T₁_A = _T₁ −∆ _T₁ = + − = + 8) Moc odbierana z węzła A

MW 110 214

2 . 200 115 U

P U P

5 . 5 1

. 1

NA AUN A

A  =



 



= 



 



= 

var M 110 110

2 . 100 115 U

Q U Q

2 2

NA AUN A

A  =



 



= 



 



= 

9) Moc wpływająca do linii

MW 21 214 5 . 117 2 P P

2

P_LA = ⋅ _T₁_A − _A = ⋅ − =

var M 4 . 5 110 7 . 57 2 Q Q

2

Q_LA = ⋅ _T₁_A − _A = ⋅ − =

(9)

10) Poprzeczne straty mocy w linii

var M 733 . 0 4 . 2110 2 1 . 115 2 B

U 1

Q_YA =− _A² ⋅ ⋅ _L =− ² =−

∆

11) Moc w linii

MW 21 P

P_L = _LA =

(

0.733

)

6.13Mvar 4

. 5 Q

Q

Q_L = _LA −∆ _YA = − − =

12) Napięcie na szynach B

− = + −

−

′ =

A L L L L A

L L L A L

B U

R Q X jP U

X Q R U P

U

=



 



 ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅

−

= 115.2

4 . 2 13 . 6 16 j21 2

. 115

16 13 . 6 4 . 2 2 21

. 115

(

−

)

=

−

=115.2 0.44 0.85 j2.92 j0.13 113.9 j3.05 kV kV

e 114 ⁻^j¹^.⁵³^o

=

kV e

114 e

e 114

U_B = ⁻^j¹^.⁵³ô ⁻^j⁵^.¹⁸ô = ⁻^j⁶^.⁷¹ô 13) Podłużne straty mocy w linii

MW 0865 . 0 4 . 2 2 . 115

13 . 6 R 21

U Q P P

2 2 2

2 L A

2L L2

L + =

+ =

=

∆

var M 577 . 0 2 16

. 115

13 . 6 X 21

U Q Q P

2 2 2

2 L A

2L L2

L + =

+ =

=

∆

14) Poprzeczne straty mocy w linii

var M 717 . 0 4 . 2110 114 1 2 B

U 1

Q_YB =− _B² ⋅ ⋅ _L =− ² =−

∆

15) Moc wypływająca z linii

MW 9 . 20 0865 . 0 21 P P

P_LB = _L −∆ _L = − =

(

0.717

)

6.27Mvar 577

. 0 13 . 6 Q

Q Q

Q_LB = _L −∆ _L −∆ _YA = − − − = 16) Moc dopływająca z transformatora T2 do szyn B

MW 381 9 . 20 400 P

P

P_T₂_B = _B − _LB = − =

(10)

MW 7 . 93 27 . 6 100 Q

Q

Q_T₂_B = _B − _LB = − = 17) Straty mocy w transformatorze T1

var M 8 . 25 18 . 114 2

7 . 93 X 381

U Q Q P

2 2 2

2 2 T

B 22B 2 T

B 2 2 T

T + = + =

=

∆

18) Napięcie sieci sztywnej

= +

+

′ =

B B 2 T B 2 T B

B 2 T B 2 B T

C U

X jP U

X U Q

U

= +

+

=



 



 ⋅ + ⋅

+

= 114 1.79 j7.29

114 18 . 2 j381 114

18 . 2 7 . 114 93

kV e

116 29 . 7 j

116+ = ^j³^.⁶⁰^o

=

2.2. Układ dwumaszynowy

Rozważmy prosty układ dwóch maszyn synchronicznych połączonych z sobą przez impedancję podłużną

G1 Z G2

Rys. 2.5 Schemat sieci

Pierwsza maszyna może być generatorem druga silnikiem synchronicznym lub odwrotnie.

Rozważmy układ symetryczny. Wtedy rozważanie możemy prowadzić w układzie jednofazowym jak na rysunku.

I2

=Ze^jθ

Z

j 2

2

2 E e

E = ^δ I1

j1

1 E1e E = ^δ

θ

α Im

Re

=Ze^jθ

Z

Rys. 2.6 Schemat zastępczy sieci W stanie ustalonym zakładamy, że ω1=ω2. Prąd I z prawa Ohma ₁

(δ −θ)− (δ −θ

=

−

− =

= ¹ ² ¹ ² ¹ ^j ¹ ² ^j ²

1 e

Z e E

Z E Z E Z E Z

E

I E )_(2.15)

Moc pierwszego generatora:

(11)

(δ −δ +θ θ −

=

= ^j ¹ ² ^j ¹ ²

12 1* 1

1 e

Z E e E

Z I E E 3

S )_(2.16)

(

δ −δ +θ

)

=

− θ

= ¹ ² ₁ ₂

12

1 cos

Z E cos E

Z P E

(

δ +θ

)

=

− θ

= ¹ ² ₁₂

12 cos

Z E cos E

Z E

(

δ −α +

α

= ¹ ² ₁₂

12 sin

Z E sin E

Z

E

)

(2.17)

(

δ −δ +θ

)

=

− θ

= ¹² ¹ ² ₁ ₂

1 sin

Z E sin E

Z Q E

(

δ +θ

)

=

− θ

= ¹ ² ₁₂

12 sin

Z E sin E

Z E

(

δ −α

− α

= ¹² ¹ ² cos ₁₂ Z

E cos E

Z

E

)

(2.18)

Moc drugiego generatora:

(δ −δ +θ θ −

=

= ^j ¹ ² ^j ² ¹

22

*2 2

2 e

Z E e E

Z I E E 3

S )_(2.19)

(

δ −δ +θ

)

=

− θ

= ¹ ² ₂ ₁

22

2 cos

Z E cos E

Z P E

(

δ +θ

)

=

− θ

= ¹ ² ₂₁

22 cos

Z E cos E

Z E

(

δ −α

)

= α−

(

δ +α

+ α

= ²² ¹ ² ₂₁ ²² ¹ ² sin ₁₂ Z

E sin E

Z sin E

Z E sin E

Z

E

)

(2.20)

(

δ −δ +θ

)

=

− θ

= ¹ ² ₂ ₁

22

2 sin

Z E sin E

Z Q E

(

δ +θ

)

=

− θ

= ¹ ² ₂₁

22 sin

Z E sin E

Z E

(

δ +α

− α

= ¹ ² ₁₂

22 cos

Z E cos E

Z

E

)

(2.21)

R I 3 P P

P= ₁+ ₂ = ²

∆ (2.22)

Na rys 2.8 i rys. 2.10 przedstawiono zależności mocy czynnej od kąta δ zgodnie z równaniami (2.17) i (2.20). Na rys 2.9 i rys. 2.11 przedstawiono zależności mocy biernej od kąta δ. Krzywe te wykreślono przy założeniu, że siła elektromotoryczna pierwszego generatora jest większa niż

(12)

drugiego. Krzywe z rys. 2.8 i z rys. 2.9 wykreślono przy pominięciu rezystancji obwodu, czyli dla α=0 Sieć można wtedy opisać równaniami:

2 12

1 1 sin

X E

P =E δ (2.23)

2 12 2 1

1 1 cos

X E E X

Q = E − δ (2.24)

2 12

2 1 sin

X E

P =−E δ (2.25)

2 12 2 1

2 2 cos

X E E X

Q = E − δ (2.26)

P1i

P2i

∆Pi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

6 4 2 0 2 4 6

Rys. 2.7 Charakterystyka P1 oraz P2 w funkcji kąta δ12 dla α=0.

P2

∆P

P1

11.25

1 Q1i

Q2i

3.141593

0 δ i.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

5 0 5 10 15

Rys. 2.8 Charakterystyka Q1 oraz Q2 w funkcji kąta δ12 dla α=0 rad.

Q1

Q2

(13)

Krzywa dla mocy czynnej posiada swoje maksimum dla δ12=90 stopni. Moc tą nazywamy mocą graniczną przesyłu i wyraża się ona zależnościami:

X E

P₁_gr =E¹ ² (2.27)

X E

P₂_gr =−E¹ ² (2.28)

Z wzorów od (2.23) do (2.26) jasno wynika, że przy małych wartościach kąta δ12 (mniej niż 30^o) moc czynna zależy przede wszystkim od tego kąta a moc bierna on napięć.

W przypadku ogólnym moce graniczne opisane są wzorami:

Z E sin E

Z

P E ¹ ²

12 gr

1 = α+ (2.29)

Z E sin E

Z

P E ¹ ²

22 gr

2 = α− (2.30)

6.24168

4.20532 P1i

P2i

∆Pi

3.141593

0 δ i.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

6 4 2 0 2 4 6 8

Rys. 2.9 Charakterystyka P1 oraz P2 w funkcji kąta δ12 dla α=0.2 rad.

∆P P1

P2

Moce graniczne to największe moce jakie można przesłać pomiędzy dwoma punktami sieci elektroenergetycznej zdefiniowanych napięciami oraz impedancją pomiędzy nimi.

Charakterystyki ukazane na rys. 2.7, rys. 2.8, rys. 2.9 oraz rys.2.10 można uzyskiwać stosując program o nazwie char_moc. Program ten dodatkowo umożliwia obserwację wpływu gałęzi poprzecznej, odbiorczej na w.w charakterystyki mocy.

(14)

11.025749

0.980067 Q1i

Q2i

3.141593

0 δ i.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

5 0 5 10 15

Rys. 2.10 Charakterystyka Q1 oraz Q2 w funkcji kąta δ12 dla α=0.2 rad.

Q2

Q1

2.3. Przepływy mocy w układzie wielomaszynowym W pierwszym etapie rozpatrzmy układ trójmaszynowy.

G1 G2

G3

Rys. 2.11 Schemat sieci trójmaszynowej I1

E1 Z₁

I2 Z² ^E²

I3

E3

Z3

Rys. 2.12 Schemat zastępczy sieci trójmaszynowej

Aby wyznaczyć przepływy mocy musimy znać prądy I₁, I₂, I₃. Prądy wyznaczamy stosując metodę superpozycji. W pierwszym etapie pomijamy siły elektromotoryczne źródła 2-go i 3-go i schemat zastępczy jest postaci jak na rys. 2.14.

(15)

I11

E1 Z₁

I21 Z²

I31

Z3

Rys. 2.13 Schemat zastępczy sieci trójmaszynowej dla metody superpozycji przy założeniu, że pomijamy siły elektromotoryczne źródła 2-go i 3-go.

Prąd płynący w źródle 1-szym wynosi:

11 1

3 2

3 1 2

11 1 Z

E

Z Z

Z Z Z

I E =

+ + ⋅

= (2.31)

a impedancję Z to: ₁₁

3 2

3 1 2

11 Z Z

Z Z Z

Z = + + (2.32)

Prąd płynący w źródle 2-im wynosi:

( )

+ = +

+

= +

3 2

3 3 2 2 1 3 1

3 2 1 3

2 11 3

21 Z Z

Z Z Z Z Z Z Z

Z Z E Z

Z I Z I

21 1

3 2 2 1

1

Z E

Z Z Z Z

Z

E =

+ +

= (2.33)

3 2 2 1

1

21 Z

Z Z Z

Z

Z = + + (2.34)

Prąd płynący w źródle 3-im wynosi:

31 1

2 3 3 1

1

1 3

2 11 2

31 Z

E

Z Z Z Z

Z

E Z

Z I Z

I =

+ + + =

= (2.35)

2 3 3 1

1

31 Z

Z Z Z

Z

Z = + + (2.36)

(16)

W drugim etapie stosowania metody superpozycji pomijamy siły elektromotoryczne źródła 1-go i 3-go i schemat zastępczy jest postaci jak na rys. 2.14.

I12

Z1

I22 Z² ^E²

I32

Z3

Pomijając siły elektromotoryczne źródła 1-go i 3-go prąd płynący w źródle 2-im wynosi:

22 2

3 1

3 2 1

22 2 Z

E

Z Z

Z Z Z

I E =

+ +

= (2.37)

3 1

3 2 1

22 Z Z

Z Z Z

Z = + + (2.38)

W tym etapie prąd płynący w źródle 1-szym wynosi:

( )

₌

+ +

+

= +

3 1

3 3 2 2 1 3 1

3 1 2 3

1 22 3

12 Z Z

Z Z Z Z Z Z Z

Z Z E Z

Z I Z I

12 2

3 2 2 1

1

2

Z E Z

Z Z Z

Z

E =

+ +

= (2.39)

3 2 2 1

1

12 Z

Z Z Z

Z

Z = + + (2.40)

a prąd w 3-im źródle jest postaci:

32 2

1 3 3 2

2

2 3

1 22 1

32 Z

E

Z Z Z Z

Z

E Z

Z I Z

I =

+ + + =

= (2.41)

1 3 3 2

2

32 Z

Z Z Z

Z

Z = + + (2.42)

(17)

I13

Z1

I23 Z² I33

E3

Z3

Pomijając siły elektromotoryczne źródła 1-go i 2-go prąd płynący w źródle 3-im wynosi:

33 3

2 1

2 3 1

33 3 Z

E Z Z

Z Z Z

I E =

+ +

= (2.43)

2 1

2 3 1

33 Z Z

Z Z Z

Z = + + (2.44)

Prąd w gałęzi 2-iej:

( )

+ = +

+

= +

2 1

2 3 2 2 1 3 1

2 1 3 2

1 33 2

13 Z Z

Z Z Z Z Z Z Z

Z Z E Z

Z I Z I

13 3

2 3 3 1

1

3

Z E Z

Z Z Z

Z

E =

+ +

= (2.45)

2 3 3 1

1

13 Z

Z Z Z

Z

Z = + + (2.46)

Prąd w gałęzi 2-iej:

23 3

1 3 3 2

2

3 2

1 33 1

23 Z

E

Z Z Z Z

Z

E Z

Z I Z

I =

+ + + =

= (2.47)

1 3 3 2

2

23 Z

Z Z Z

Z

Z = + + (2.48)

Prądy w gałęziach (źródłach) wynoszą:

13 3 12

2 11 13 1 12 11

1 Z

E Z

E Z I E I I

I = − − = − − (2.49)

(18)

23 3 21

1 22 23 2 21 22

2 Z

E Z

I E I I

I = − − = − − (2.50)

32 2 31

1 33 32 3 31 33

3 Z

E Z

I E I I

I = − − = − − (2.51)

Powyższe trzy równania można zapisać w postaci macierzowej:

































−

=

















3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

3 2 1

E E E

Z 1 Z

1 Z

1

Z 1 Z

1 Z

1

Z 1 Z

1 Z

1

I I I

(2.52)

lub E Y

I= _R (2.53)

Macierz Y nazywana jest macierzą transferową sieci elektroenergetycznej. _R Moce płynące w poszczególnych źródłach można wyrazić zależnościami:

=











 − −

=

= _*

13

*3 12*

*2 11*

*1

* 1 1 1

1 Z

E Z

E Z E E I E

S (2.54)

( ₁ ₂ ₁₂) ( ₁ ₃ ₁₃)

11 j

13 3 j 1

12 2 j 1

11

12 e

Z E e E

Z

E _θ _δ ₋_δ ₊_θ _δ ₋_δ ₊_θ

−

=

( ) (

₁ ₃ ₁₃

)

13 3 12 1

2 12 1

2 11 1

11 12

1 cos

Z E cos E

Z

P = E θ − δ −δ +θ − δ −δ +θ (2.55)

α

−

=

θ 90 (2.56)

lub:

( ) (

₁₃ ₁₃

)

13 3 12 1

12 12 2 11 1

11 12

1 sin

Z E sin E

Z

P = E α + δ −α + δ −α

(2.57)

( ) (

₂₃ ₂₃

)

23 3 22 2

22 22 21

21 21 1

2 2 sin

Z E sin E

Z sin E

Z E

P =E δ −α + α + δ −α

(2.58)

(19)

( ) ( )

₃₃

33 23 32

32 32 2 31 3

31 31 1

3 3 sin

Z sin E

Z E sin E

Z E

P =E δ −α + δ −α + α

(2.59) Uogólniając otrzymujemy:

∑ (

≠=

α

− δ

− δ +

α

= ⁿ

i j 1

j i j ij

ij j ii i

ii 2i

i sin

Z E sin E

Z

P E

)

^(2.60)

dla i=1..n Moce bierne:

( ) (

₁₃ ₁₃

)

13 3 12 1

12 12 2 11 1

11 12

1 cos

Z E cos E

Z

Q = E α − δ −α − δ −α

(2.61)

( ) (

₂₃ ₂₃

)

23 3 22 2

22 22 21

21 21 1

2 2 cos

Z E cos E

Z cos E

Z E

Q =−E δ −α + α − δ −α

(2.62)

( ) ( )

₃₃

33 32 32

32 32 2 31 3

31 31 1

3 3 sin

Z cos E

Z E cos E

Z E

Q =−E δ −α − δ −α + α

(2.63) Uogólnienie:

∑ (

≠=

α

− δ

− α

= ⁿ

i j 1

j i j ij

ij j ii i

ii i2

i cos

Z E cos E

Z

Q E

)

^(2.64)

dla i=1..n

2.4. Obliczanie macierzy admitancji własnych i wzajemnych

Istnieje kilka metod obliczanie macierzy admitancji własnych i wzajemnych, a mianowicie:

• metoda przekształcania schematu zastępczego sieci do gwiazdy wieloramiennej,

• metoda prądów jednostkowych czyli metoda superpozycji (została omówiona w poprzednim podrozdziale),

• metoda eliminująca węzły odbiorcze zwana też metodą redukcji modelu sieci.

2.4.1. Metoda redukcji modelu sieci

Rozważmy n-węzłowy system elektroenergetyczny.

(20)

G1

Gk M M

M M

1

k

k+1

n M M

Rys. 2.16 Schemat sieci wielomaszynowej.

Schemat zastępczy będzie postaci jak na rys. 2.17:

I1

E1 Z₁

Ik

Ek Z_k

M M

M M k+1

k+k

k+k+1

k+n

Umyślony przewód powrotny 1

k

Rys. 2.17 Schemat zastępczy sieci wielomaszynowej.

Dla węzła odniesienia umieszczonego w umyślonym przewodzie powrotnym równania potencjałów węzłowych są postaci:

U Y

I= (2.65)

Wszystkie węzły rozpatrywanego systemu podzielimy na dwie grupy. Do zbioru {R} zaliczymy węzły od 1 do k-tego czyli węzły na zaciskach sił elektromotorycznych generatorów a do zbioru {E} zaliczymy pozostałe węzły. W wyniki mamy:



 







 



=



 





E R EE ER

RE RR

E R

U U Y

Y

Y Y

I

I (2.66)

gdzie:

[ ]

^E

U_R = E₁ K E_k ^T = (2.67)

E =0

I (2.68)

(21)

Po podstawieniu otrzymamy:

E RE RR

R Y E Y U

I = + (2.69)

E EE ER E Y U Y

0= + (2.70)

stąd z drugiego równania:

E Y Y

U_E =− _EE⁻¹ _ER (2.71)

a po podstawieniu do równania pierwszego mamy:

(

⁻

)

⁼

+

= +

=Y E Y U Y E Y Y ⁻ Y E

I_R _RR _RE _E _RR _RE _EE ¹ _ER

(

^Y_RR ⁻^Y_RE ^Y_EE⁻¹^Y_ER

)

^E

= (2.72)

lub w innej postaci:

E Y

I_R = _R (2.73)

gdzie:

1 ER EE RE RR

R Y Y Y Y

Y = − ⁻ (2.74)

1 ER EE

D Y Y

Y =− ⁻ (2.75)

Macierz Y to znana już macierz transferowa sieci elektroenergetycznej. Macierz _R Y to macierz _D dystrybucji napięć w sieci elektroenergetycznej.

Przeanalizujemy teraz poszczególne podmacierze. Analizując węzły należące do zbioru {R}, które określają podmacierz Y_RR, widzimy, że do tych węzłów są dołączone jedynie gałęzie łączące je z węzłami zbioru {E} brak jest natomiast gałęzi łączących węzły zbioru {R} pomiędzy sobą. W takiej sytuacji podmacierz Y_RR jest podmacierzą diagonalną o postaci:

k 1

Z 0 1

Z 0 0 1

0 Z 0

1

k 1

k 2

1 RR













=

K K

M O M

K

M M M

Y (2.76)

Podmacierz Y_RE jest definiowana jedynie przez gałęzie łączące węzły należące do zbioru {R} z węzłami zbioru {E}, czyli:

(22)

k n 1 k 2 k k 1

k

0 Z 0

0 1

0 Z

0 1

0 0

0 Z 0

1

k 1

k 2

1 RE

+ + +

+













−

=

K M

K K

O M M M O M

M O M M M

K M

K

Y

(2.77) Podmacierz Y_RE składa się z podmacierzy Y_RR ze znakiem minus i macierzy zerowej tak jak

pokazano poniżej:

[

^Y ⁰

]

Y_RE = − _RR (2.78)

Podmacierz Y_ER jest macierzą transponowaną w stosunku do Y_RE:



 



=−

0

Y_ER Y^RR (2.79)

Rozważmy teraz podmacierz Y_EE. Jeżeli założymy, że E₁ = L=E_k =E to węzły od 1 do k-tego możemy zewrzeć i w tym miejscu przyjąć węzeł odniesienia. Przy zwarciu w węźle m-tym otrzymujemy schemat zastępczy:

I1

E Z₁

Ik

E Z_k

M M

M M k+1

k+k

k+k+1

k+n

Umyślony przewód powrotny 0

Rys. 2.18 Schemat zastępczy sieci wielomaszynowej dla określenia podmacierzy Y_EE.

W tej sytuacji równanie potencjałów węzłowych dla sieci z rys. 2.19 będzie identyczna jak podczas obliczania prądów zwarciowych czyli:

(23)

















∆

−

∆

=

















+ +

−

n k

1 m

1

EE m

U U

E U

U

0 0 I

0 0

M M

Y (2.80)

Macierz Y_EE po odwróceniu i podzieleniu jej na cztery podmacierze dla węzłów ze zbioru {k+1...2k} i {2k+1...n} możemy zapisać jako:

n k 1

k 2 k 2 1

k n k

1 k 2

k k

1 k

nn ng

gn gg

1 EE EE

+ +

+













+ + +

+

=

− =

K K

M M

Z Z

Z

Y (2.81)

Po podstawieniu tych podmacierzy do wzoru (2.74) otrzymujemy:

[ ]

_⁼



 



−











− 

−

= 0

Y Z

Z Z 0 Z

Y Y

Y ^RR

nn ng

gn RR gg

RR R

RR gg RR

RR Y Z Y

Y −

= (2.82)

Podmacierz Z_gg można zapisać jako:

















=

+ + +

+

+ + +

+

k k , k k 1

k , k k

k k , 1 k 1

k , 1 k gg

Z Z

K

M O

M

K

Z (2.83)

Obliczając występujący we wzorze (2.82) składnik Z_gg Y_RR mamy więc:

















=

+ + +

+

+ + +

+

k k k , k 1 k

1 k , k k

k k k , 1 1 k

1 k , 1 k RR gg

Z Z 1

K

M O

M

K Y

Z (2.84)

Po dalszym wymnożeniu powyższej zależności przez Y_RR i odjęciu tego wyniku od Y_RR otrzymujemy, że poszczególne elementy macierzy transferowej wyrażają się wzorami:

(24)

i2 ii i ii i

i Rii i

Z Z Z Z Z 1 Z

1 Z

Y 1 −

=

−

= (2.85)

j i

ij ij ij

Rij i Z Z

Z Z

Z 1 Z

Y =− 1 =− (2.86)

gdzie:

Z , i Z_j - impedancja gałęzi łączącej węzły ze zbioru {R} z węzłami ze zbioru {E}, Z - impedancja własna węzła ze zbioru {R}, ii

Zij - impedancja wzajemna węzłów ze zbioru {R}.

2.4.2. Metoda przekształcania schematu zastępczego sieci

Załóżmy, że znamy macierz admitancyjną sieci. Eliminujemy k-ty węzeł poprzez przekształcenie gwiazdy w wielobok.

stare kk

stare stare kj stare ik

nowe ij

ij Y

Y Y Y

Y = − (2.87)

Porównajmy ten wzór z algorytmem eliminacji zmiennych rozwiązywania równań liniowych. Z porównania tego wynika, że obliczenie macierzy transferowej Y to wykonanie poprzez k kroków _R eliminacji. To co zostaje po tych k krokach to macierz transferowa Y . _R

n 1

k k 1

0 0

n 1 k

k 1

R nowe

, k

K K

K M O M

K

K K

M O M M O M

K K

M M

+













= +

Y

Y (2.88)

2.5. Charakterystyki odbiorów

Odbiory pracujące w SEE pobierają moce zależne od napięć występujących w punktach ich przyłączenia. Moce te są określone przez tzw. statyczne napięciowe charakterystyki odbiorców. W literaturze występuje kilka postaci matematycznych tych charakterystyk. Jedną z nich jest postać wykładnicza:

p

n UN

P U P

α



 



=  (2.89)

q

n UN

Q U Q

α



 



=  (2.90)

(25)

Postać tą możemy stosować tylko przy niewielkich odchyleniach napięcia od napięcia znamionowego. Wykładniki αp i αq zależą od składu odbiorców. Zwykle wahają się w następujących granicach:

• αp=0,4÷1,2

• αq=1,2÷4,0

Wartości średnie tych współczynników to: αp=0,6, αq=2,0.

Przypadki charakterystyczne dla αp, αq:

• αp=αq=2

Odbiór można wtedy zastąpić równoległym połączeniem stałą R i X. Wartości te wyznaczamy z wzoru:

const P

U P

R U ²

N 2N

o = = = (2.91)

const P

U Q

X U ²

N 2N

o = = = (2.92)

W modelu tym mamy ze zbyt dużą zależnością mocy czynnej od napięcia.

• αp=αq=1

Odbiór można wtedy zastąpić stałym prądem const

U 3

P U

3 I P

N

'= N = = (2.93)

const U

3 P U

3 I Q

N

'' = N = =

− (2.94)

Prosty w obliczeniach sieci promieniowych, niewygodny do obliczeń w sieciach WN zamkniętych. Zbyt duża zależność mocy czynnej od napięcia.

• αp=αq=0

Model pobierający stałą moc czynną i bierną. Typowy dla obliczeń w sieciach WN.

Na rys. 2.19 zaprezentowano przykładowe zależności mocy od napięcia.

(26)

P

PN

UN U

αP=0 αP=1 αP >1

Rys. 2.19 Zależność mocy od napięcia

Druga postać charakterystyk napięciowych to postacie wielomianowe, np.:

u uU b a

P= − (2.95)

u 2 u

uU d U e

c

Q= − − (2.96)

Przykładowo dla miast są one postaci:

P=1,5 U-0,5 (2.97)

Q=6,3 U² –10 U+4,7 (2.98)

Rozważymy kilka typów odbiorów. Najważniejszym z odbiorów jest silnik asynchroniczny.

Schemat zastępczy silnika asynchronicznego pokazano na rys. 2.20.

ys. 2.20 Schemat zastępczy silnika asynchronicznego, gdzie:

przypadku, gdy napięcie maleje to rośnie poślizg, co wynika z charakterystyk: momentu elektromagnetycznego i oporowego silnika. Granicznym punktem jest utyk tzn. su=1. Napięcie, przy którym występuje utyk wynosi:

U Xµ

Xr

s R_w = R

R

Xr – reaktancja rozproszenia wirnika, Xµ - reaktancja magnesująca silnika, Rw – rezystancja wirnika,

s – poślizg wirnika.

W