12 12 1 ⋅ =

Zadania 167

Zad. 2-5. Żaden z kondensatorów w podanym układzie nie był naładowany w chwili przyłączenia źródła napięciowego. Oblicz wartości napięć na kondensatorach i ładunków kondensatorów.

Uwaga. Formalnie, ładunek kondensatora jest dodatni, a znaki ładunków zgromadzonych na jego okładzinach są związane z biegunowością napięcia. Napięcia stałe strzałkuje się na ogół tak, by ich wartości były dodatnie (występowały ze znakiem plus). Znaki ładunków na okładzinach są więc określone przez zwroty strzałek napięcia i znak napięcia. Gdy napięcie zmienia znak, to samo staje się z ładunkami na jego okładzinach. Gdy napięcie jest ujemne, to znaki ładunków na okładzinach są odwrotne, niżby to wynikało z jego zwrotu.

Symbole pojemności oraz ładunków, występujące we wzorach, nie zawsze są opisane na rysunkach.

Z zasady mają one takie same indeksy, jak napięcia, więc nie powoduje to niejasności.

a) Rozwiązanie:

Przy równoległym połączeniu kondensatorów, na każdym z nich jest to samo napięcie, a zatem:

3 12

2

1 =U =U =U =

U V;

12 12

1 1

1 =C ⋅U = ⋅ =

Q µC,

24 12

2 2

2 =C ⋅U = ⋅ =

Q µC,

36 12

3 3

3 =C ⋅U = ⋅ =

Q µC.

b)

Rozwiązanie składa się z dwóch etapów: „zwinięcia” i „rozwi- nięcia” układu. W I etapie oblicza się wartość pojemności za- stępczej układu; w II etapie poszukuje się wartości napięć i ła- dunków.

Obliczenia I etapu zostały już wykonane w zadaniu 2-1b.

Pojemność zastępcza układu ma wartość C = 1 µF.

Przy szeregowym połączeniu kondensatorów, ładunki każdego z nich są takie same, równe całkowi- temu ładunkowi układu (tzn. ładunkowi kondensatora o pojemności zastępczej), a zatem obliczenia II etapu, stanowiące powrót od układu zastępczego do układu zadanego ( ), przebiegają następu- jąco:

12 12 1 ⋅ =

=

⋅

= C U

Q

Q Q Q

Q₁ = ₂ = ₃ = ;

2 6 12

1

1

= = =

C

U Q

3 4 12

2

2

= = =

C

U Q

2

6 12

3

3

= = =

C

U Q

c) (I etap: wyznaczenie pojemności zastępczej)

2 µF 3 µF 6 µF

12 V

U3

U2

U1

1 µF 2 µF 3 µF

12 V

1 µF 2 µF 3 µF +Q1 –Q1

+Q2 –Q2

+Q3 –Q3

12 V

2 µF

12 V

8 µF 8 µF 12 V

4 µF 4 µF

8 µF

12 V 2 µF 6 µF

+Q – Q 1 µF

12 V 2 µF 3 µF 6 µF

12 V

U3

U2

U1

+Q –Q +Q –Q +Q –Q

Elektrotechnika podstawowa 168

(II etap: obliczenie wartości ładunków i napięć)

Obliczenia II etapu przebiegają następująco:

Q = C ⋅ U = 2 ⋅ 12 = 24

4 24

1 1

1 = = =

C

U Q V, 3

8 24

2 2

2 = = =

C

U Q V,

U₃ =U₄ =U −U₁−U₂ =12−6−3=3V albo 3 8 24

34 34 4

3 = = = =

C U Q

U V,

Q₃ =C₃⋅U₃ =6⋅3=18µC, Q₄ =C₄⋅U₄ =2⋅3=6µC (sprawdzenie: Q3 +Q4 =Q).

d)

Obliczenia II etapu przebiegają następująco:

Q = C ⋅ U = 4 ⋅ 12 = 48

4

12 48

1 1

1 = = =

C

U Q V, U₂ =U −U₁ =12−4=8V, Q₂ =C₂⋅U₂ =2⋅8=16µC,

(Q₃₄)=Q₃ =Q₄ =Q−Q₂ =48−16=32µC,

2,67

12 32

3 3

3 = = ≅

C

U Q V, 5,33

6 32

4 4

4 = = ≅

C

U Q V

(sprawdzenie: U1+U3 +U4 =U).

12 µF 12 µF

2 µF 6 µF 12 V

12 µF

4 µF 2 µF 12 V

12 µF

6 µF 12 V

4 µF

12 V

+Q –Q +Q

–Q 12 µF

U1

6 µF 12 V

U2

+Q4

–Q4

U4

U3

12 µF 12 µF

U1

2 µF 6 µF 12 V

U2

+Q –Q +Q2

–Q2

+Q3 –Q3

12 µF

U1

4 µF 2 µF 12 V

U2

(+Q34)

(–Q34) +Q2

–Q2

+Q –Q

4 µF

12 V +Q –Q 2 µF

12 V +Q –Q

U2

2 µF 6 µF +Q3

–Q3

–Q +Q U1

U3

+Q4

–Q4

+Q –Q

8 µF 12 V

4 µF

U4 8 µF

–Q +Q +Q –Q

(+Q34)

(–Q34) U3

8 µF 12 V

4 µF

U1

U2

Zadania 169

e)

(I etap)

Pojemność zastępcza układu została obliczona w zadaniu 2-4b. Ma ona wartość C = 2 µF.

(II etap)

Na schemacie układu nie umieszczono – dla przejrzystości – symboli ładunków kondensatorów.

Związek ich z zaznaczonymi napięciami jest oczywisty, więc nie jest to konieczne.

Obliczenia II etapu przebiegają następująco:

Q = C ⋅ U = 2 ⋅ 12 = 24

6

4 24

1 1

1 = = =

C

U Q V, U₂ =U −U₁ =12−6=6V, Q₂ =C₂⋅U₂ =3⋅6=18µC, (Q_3..7)=(Q₃₄)=(Q₅₆₇)=Q₃ =Q₄ =Q−Q₂ =24−18=6µC,

2

3 6

3 3

3 = = =

C

U Q V, 2

3 6

4 4

4 = = =

C

U Q V,

U₇ =U₂ −U₃ −U₄ =6−2−2=2V albo 2 3 6 ) (

) (

567 567

7 = = =

C

U Q V,

Q₇ =C₇⋅U₇ =2⋅2=4µC, (Q₅₆)=Q₅ =Q₆ =(Q₃₄)−Q₇ =6−4=2µC,

1

2 2

5 5

5 = = =

C

U Q V, 1

2 2

6 6

6 = = =

C

U Q V

(sprawdzenie: U1 +U3 +U4 +U5 +U6 =U).

f)

Dane: C₁ =1µF, C₂ =C₅ =C₇ =2µF, C₃ =C₄ =3µF, C₆ =6µF, U =18V.

Odpowiedzi: Q₁ =6µC, Q₂ =12µC, Q₃ =18µC, Q₄ =Q₅ =Q₆ =6µC, Q₇ =12µC;

U₁ =U₂ =U₃ =U₇ =6V,

U₄ =2V, U₅ =3V, U₆ =1V.

(do samodzielnego rozwiązania) 12 V

4 µF 2 µF 3 µF 3 µF 2 µF 2 µF

3 µF

+Q – Q 2 µF

12 V 4 µF 2 µF

3 µF 3 µF 2 µF 2 µF

3 µF U1 U7

U2

U3 U4 U5 U6

12 V

(C34) (C567) 4 µF

3 µF 1,5 µF 3 µF

12 V

(+Q) (– Q) +Q – Q

U2

U1

C3

C7

U C6 C5 C4

C1

C2