DOŚWIADCZALNE WYZNACZANIE SZTYWNOŚCI KONTAKTOWEJ KULEK ŁOŻYSKOWYCH

DOŚWIADCZALNE WYZNACZANIE SZTYWNOŚCI KONTAKTOWEJ KULEK ŁOŻYSKOWYCH

Jan Kosmol

1Katedra Budowy Maszyn, Politechnika Śląska

ajan.kosmol@polsl.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono wyniki badań eksperymentalnych i analitycznych dotyczących odkształceń kontaktowych w obszarze kontaktu kulki łożyskowej z powierzchnią płaską. Celem tych badań było zweryfikowanie spotykanych w literaturze modeli analitycznych do obliczania współczynnika sztywności kontaktowej. Spotykane w literaturze modele analityczne niekonieczne dają takie same wyniki. W artykule przedstawiono stanowisko badawcze do pomiaru odkształceń kontaktowych, w którym można swobodnie wywierać i mierzyć siłę kontaktową oraz mierzyć przemieszczenie kontaktowe. Badaniami objęto kulki o trzech średnicach: 6, 10,4 i 12,7 mm. Analiza porównawcza zmierzonych odkształceń kontaktowych i obliczonych wg modeli analitycznych potwierdziła, że dla kontaktu kulki z płaską powierzchnią różnice są niewielkie, co pozwala sformułować wniosek o zasadności stosowania modeli analitycznych do obliczeń odkształceń kontaktowych.

Słowa kluczowe: kontakt, sztywność kontaktowa, odkształcenie kontaktowe

EXPERIMENTAL IDENTIFICATION OF STATIC CONTACT STIFFNES OF BALL BEARING

Summary

The paper presents results of experimental and analytical investigation of contact displacements in the field of a bearing ball and flat surface contact. The main aim of the investigation was verification of research literature analytical models for contact stiffness coefficient computation. The analytical models finding in literature not necessarily give the same results. The paper shows an experimental stand for contact displacements measuring and generating and measuring contact loads. The investigation has taken into account balls about three diameters: 6, 10,4 and 12,7 mm. The comparing analysis of measured contact displacements and computed using analytical models confirmed that for a ball and flat surface contact differences are small. It makes possible to formulate a conclusion about legitimacy of using the analytical models for contact displacements computation.

Keywords: contact, contact stiffness, contact displacement

1. WPROWADZENIE

Rozwój obróbki wiórowej i ściernej jest determinowany dwoma tendencjami: dążeniem do coraz większej wydajności i jakości obróbki. Pierwsza z tendencji wymusza stosowanie coraz wyższych parametrów kinematycznych, tj. prędkości skrawania i prędkości

posuwu, co znalazło swoje odzwierciedlenie w technologii nazywanej obróbką szybkościową HSC (High Speed Cutting). Technologia HSC wymaga dużych zmian w konstrukcjach obrabiarek, narzędziach skrawających, uchwytach przedmiotowych i narzędziowych. W odnie- sieniu do obrabiarek skrawających zmiany konstrukcyjne

i napędy posuwu, ale także korpusy.

Jednym z istotnych problemów konstrukcyjnych gniazd łożyskowych w obrabiarkach HSC jest wzrastająca ilość ciepła, spowodowana większymi prędkościami obro- towymi. Konstruktor gniazda łożyskowego powinien mieć możliwość oszacowania, jeszcze na etapie projektu wstępnego, oporów ruchu w łożyskach w postaci momentu oporów M, a na tej podstawie ilości ciepła.

W literaturze można znaleźć proste formuły analityczne, które pozwalają na oszacowanie momentu oporów ruchu łożyska w funkcji obciążenia zewnętrznego, np.:

M

M

M =

+

gdzie:

M – sumaryczny moment oporów ruchu w łożysku tocznym,

M1 – moment oporów ruchu wynikający z obciążenia łożyska,

Mv – moment oporów ruchu wynikający z obecności smaru lub oleju.

Formuła (1), jakkolwiek bardzo prosta, ma tę wadę, że nie uwzględnia obciążeń wewnętrznych w łożysku, np. z tytułu sił odśrodkowych od wirujących kulek łożyskowych. Oznacza to, że niezależnie od prędkości obrotowej łożyska (kulek, pierścienia wewnętrznego lub zewnętrznego) opory ruchu łożyska będą takie same (dla takiego samego obciążenia zewnętrznego).

Doniesienia literaturowe [1], [2], [3], [4], [10] pokazują, że prędkość obrotowa łożyska istotnie wpływa na wewnętrzne oddziaływania pomiędzy kulką a bieżniami łożyska, tzn. na siły kontaktowe Q występujące w strefach kontaktowych.

Musiał i Styp-Rekowski [9] wykazali, że opory ruchu w łożysku tocznym, wywołane siłami kontaktowymi (dynamicznymi siłami wewnętrznymi), są funkcją tych sił i mogą zostać przedstawione w postaci:

∑

=



 



 +

= ¹

0

5 , 0 ^{j Z}

j j kj

1 m Q f

D

M d (2)

gdzie:

Qj – j-ta siła kontaktowa pomiędzy kulką i bieżnią łożyska,

dm, D – średnia średnica łożyska i średnica kulki,

fkj, - j-ty współczynnik tarcia tocznego pomiędzy kulką i bieżnią łożyska,

Z – liczba kulek.

kontaktowe Qj oraz współczynniki tarcia fkj pomiędzy kulkami i bieżniami łożyska.

Z doniesień literaturowych [1], [2], [3], [10] i z badan własnych [5], [4] wynika, że wielkość sił kontaktowych Qj

istotnie zależy od tzw. kątów działania łożyska αi, αo (rys. 1), które to kąty są funkcją m.in. sztywności kontaktowej pomiędzy kulką i bieżniami łożyska [4]. Dla analitycznej oceny wielkości sił kontaktowych niezbędne jest przyjęcie modelu kontaktowego, który wiąże siły kontaktowe z odkształceniami kontaktowymi.

QO

Q =0O

Qi

Q =0i

α^O αO

αⁱ αⁱ

a) b)

α α αi= =o

odkształcenia kontaktowe

Rys. 1. Kąty działania w łożysku skośnym w stanie: a) nieobciążonym b) obciążonym: i, o – kąty działania, Qi, Qo – siły kontaktowe

W literaturze powszechnie spotykany jest model Jonesa, bazujący na modelu Hertza, w postaci

δ

K

Q = ⋅

gdzie:

δ - odkształcenie kontaktowe,

K - współczynnik sztywności kontaktowej,

Q – siła normalna w strefie kontaktu kulki i bieżni łożyska.

Pewnym problemem jest współczynnik sztywności kontaktowej K, który według niektórych autorów jest funkcją jedynie cech geometrycznych kulki lub wałeczka i bieżni łożyskowych [3] lub cech geometrycznych i kątów działania [1]. W [4] dokonano porównania współ- czynników sztywności kontaktowej dla kilku modeli kontaktowych i stwierdzono, że różnice mogą sięgać nawet jednego rzędu.

W literaturze (Harris [3], Moszyński [8], Palmgren [11], Krzemiński-Freda [6]) dominuje model obliczeniowy odkształceń kontaktowych w postaci:

𝛿𝛿 = 𝐶𝐶𝛿𝛿^∗�𝑄𝑄²∑ 𝜌𝜌 𝐸𝐸𝑧𝑧2

3 = 𝐶𝐶^∗𝛿𝛿^∗�𝑄𝑄^{3 2}Σ𝜌𝜌 (4)

gdzie:

δ - odkształcenie kontaktowe rozumiane jako zbliżenie dwóch stykających się powierzchni,

δ^∗ − stała łożyska, będąca funkcją krzywizn stykających się powierzchni (najczęściej wyznaczana na podstawie

dostępnych nomogramów); dla pary kulka – powierzchnia płaska δ^* = 1,

Σρ - sumaryczna, zastępcza krzywizna stykających się powierzchni (dla pary: kulka – powierzchnia płaska Σρ = 4/D, gdzie D – średnica kulki),

Ez – zastępczy moduł Younga dla stykającej się pary elementów (_𝐸𝐸¹

𝑧𝑧=^1−𝜗𝜗_𝐸𝐸 ¹²

1 +^1−𝜗𝜗_𝐸𝐸 ²²

2 , gdzie E1, E2, ν1, ν2 – moduły Younga oraz współczynniki Poissona materiałów stykającej się pary). Dla takich samych materiałów pary elementów, np. ze stali łożyskowej (𝐸𝐸 = 2,1 10⁵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀, 𝜗𝜗 = 0,3), 𝐸𝐸_𝑧𝑧=_1−𝜗𝜗^𝐸𝐸₂= 2,308 10⁵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀.

C, C^* – stałe, zależne od układu jednostek (poszczególni autorzy [8],[11],[6] stosują różne układy jednostek,

najczęściej mieszane, w związku z czym, stałe C i C^* mają inne wartości) oraz od zastępczego modułu Younga Ez. Przykładowo, dla obciążenia Q [N], modułu E [MPa], krzywizn ρ [1/mm], odkształcenia δ [mm] i dla Ez=2,308 10⁵ stała C^* = 2,79 10^-4 a stała C = 1,04977.

W dalszym ciągu w artykule analizowana będzie tylko para kinematyczna kulka – powierzchnia płaska, ponieważ weryfikacyjne badania doświadczalne dotyczyć będą takiej konfiguracji. Wówczas model obliczeniowy (4) przyjmuje postać uproszczoną, mianowicie:

𝛿𝛿 = 2,79 10⁻⁴�4𝑄𝑄² 𝐷𝐷

3 (5)

Na rys. 2 przedstawiono zależność (5) w postaci graficznej dla pary: kulka – powierzchnia płaska.

Rys. 2. Porównanie wyników obliczeń odkształceń kontaktowych kulki na płaszczyźnie wg (5), (6) i (8); średnica kulki 10,4 mm W literaturze, oprócz dominującego modelu obliczeniowego (4), spotyka się także nieco inne postaci.

W popularnym poradniku technicznym [14], do obliczania odkształceń kontaktowych zalecono następującą formułę (wzór (6) dotyczy pary kulka – powierzchnia płaska, wykonanych ze stali łożyskowej):

𝛿𝛿 = �9𝑄𝑄(1 − 𝜗𝜗²)² 2𝐸𝐸²𝐷𝐷

3 (6)

gdzie:

D – średnica kulki.

Na rys. 2 przedstawiono także zależność (6) w postaci graficznej. Widoczna jest duża różnica pomiędzy modelami (5) i (6), co stawia któryś z tych modeli pod znakiem zapytania.

Z kolei w literaturze można znaleźć zależności na odkształcenia kontaktowe bazujące także na modelu Hertza, ale ostateczna postać modelu jest inna.

Przykładowo, Chodor [15] za Petersenem [12] a także Romanowicz [13] podają dla pary: kulka – płaszczyzna zależność na obliczenie promienia okręgu odkształcenia kontaktowego rc,

𝑟𝑟𝑐𝑐= �3𝑄𝑄𝑄𝑄 4𝐸𝐸

3 (7)

gdzie:

rc – promień okręgu odkształcenia kontaktowego, R – promień kulki.

Wtedy odkształcenie kontaktowe kulki δ (zbliżenie środka kulki i płaszczyzny (rys. 3) można wyznaczyć na podstawie związków geometrycznych w postaci analitycznej:

𝛿𝛿 = 𝑄𝑄 − �𝑄𝑄^{2 2}− 𝑟𝑟_𝑐𝑐²

(8) 𝛿𝛿 = 𝑄𝑄 − �𝑄𝑄²− �(3𝑄𝑄𝑄𝑄)

(4𝐸𝐸)²

3 2 2

Dla porównania wyników obliczeń odkształcenia kontaktowego δ kulki stykającej się z powierzchnią płaską wg modeli (5), (6) i (8) na rys. 2 przedstawiono zależności δ w funkcji Q, dla kulki stalowej D = 10,4 mm

δ

R rc

Q

Okrąg odkształcenia kontaktowego kulki Rys. 3. Model odkształcenia kontaktowego kulki z płaską powierzchnią

modeli kontaktowych pary kulka – powierzchnia płaska wskazuje na duże zróżnicowanie wyników obliczeń odkształceń kontaktowych. Stąd sugestia, aby zweryfikować adekwatność spotykanych modeli na drodze eksperymentalnej.

2. STANOWISKO BADAWCZE DO WYZNACZANIA ODKSZTAŁCEŃ KONTAKTOWYCH

W Katedrze Budowy Maszyn Politechniki Śląskiej opracowane zostało stanowisko do badania sztywności kontaktowej kulek łożyskowych [7]. Umożliwia ono zadawanie i pomiar w sposób ciągły siły normalnej, wywieranej na kulkę łożyskową będącą w kontakcie z powierzchnią płaską oraz pomiar zbliżenia kulki do tej powierzchni. Na rys. 4 przedstawiono widok stanowiska badawczego i jego model CAD.

czujnik siły typu Kistler 5011, który został napięty wstępnie siłą 10 kN, natomiast do pomiaru przemieszczeń użyto indukcyjnego czujnika przemieszczeń typu Sylvac P5, pozwalający na pomiar z rozdzielczością 0,5 µm.

Czujnik przemieszczenia mierzy zbliżenie dwóch płyt, pomiędzy którymi znajduje się kulka. Tak zmierzone przemieszczenie jest interpretowane jako podwojone odkształcenie kontaktowe pomiędzy kulką a powierzchnia płaską.

Schemat toru pomiarowego przedstawiono na rys. 5.

Rejestracja sygnału siły dociskającej kulkę odbywa się cyfrowo w komputerze pomiarowym z częstotliwością próbkowania 256 Hz, natomiast rejestracja sygnału przemieszczenia odbywa się przy użyciu modułu Sylvac D300S, dedykowanego czujnikowi przemieszczenia Sylvac P5. Moduł ten jest sterowany z komputera pomiarowego (Trigger) synchronicznie do rejestrowanego sygnału siły.

a) b)

Rys. 4. Stanowisko do wyznaczania sztywności kontaktowej: a) widok stanowiska, b) model CAD stanowiska

Czujnik siły Kistler 5011

Wzmacniacz

ładunku Interface

D300S Czujnik przemieszczenia

Sylvac P5

PC+ Karta pomiarowa

Trigger Stanowisko badawcze

Registration

Rys. 5. Schemat toru pomiarowego

3. PRZYKŁADOWE WYNIKI POMIARÓW ODKSZTAŁCEN KONTAKTOWYCH

Badania odkształceń kontaktowych wykonano dla kulki o średnicy: 10,4 mm, przy czym, maksymalna wartość siły ściskającej wynosiła 500N.

Każdy pomiar powtarzano trzykrotnie i uśredniano. Tym sposobem zmniejszano wpływ zakłóceń spowodowanych niedoskonałością stanowiska pomiarowego, wpływających na wyniki pomiarów. Na rys. 6 przedstawiono przykładowe wyniki badań w postaci zależności: sygnał pomiarowy przemieszczenia w funkcji sygnału pomiarowego siły.

4. WERYFIKACJA MODELU KONTAKTOWEGO KULKI

Głównym celem badań eksperymentalnych była weryfikacja modelu kontaktowego. Weryfikacji podlegała postać matematyczna jak i stałe C i C^* (4).

Rys. 6. Graficzna zależność wyników pomiaru przemieszczenia od wyników pomiaru siły dla kulki o średnicy: 10,4 mm,

………

Na rys. 6 przedstawiono także krzywą regresji (tzw. linię trendu) w postaci:

𝛿𝛿 = 0,0004𝑄𝑄^0,667= 0,0004�𝑄𝑄^{3 2} (9) Z porównania zależności (4) i (9) wynika, że model kontaktowy Jonesa (3), który jest podstawą do modelu (4) jest właściwy, jako że wykładniki w modelach (4) i (9) są identyczne (Q^2/3).

Współczynnik stojący przy �𝑄𝑄^{3 2} w modelu regresyjnym (9) wynosi 0,0004 a w modelu analitycznym (4), dla kulki o średnicy 10,4 mm wynosi 2,0557 10^-4, ponieważ

𝛿𝛿 = 2,79 10⁻⁴�4𝑄𝑄² 𝐷𝐷

3 = 0,00020557 �𝑄𝑄^{3 2} (10)

Porównując współczynniki stojące przy �𝑄𝑄^{3 2} w zależnościach (9) i (10), można stwierdzić, że różnią się one 1,9458 razy, czyli różnią się prawie o 95%.

Regresyjna zależność (9) dotyczy badań eksperymentalnych i mówi o odkształceniach kulki stykającej się z dwoma płaskimi powierzchniami (górna i dolną, rys. 4). Natomiast zależność analityczna (10) dotyczy odkształceń kontaktowych kulki stykającej się z jedną płaską powierzchnią. Stąd przy porównywaniu współczynników stojących przy �𝑄𝑄^{3 2} należy wziąć pod uwagę tylko ½ wartości z zależności (9), tj. 0,0002.

Wówczas iloraz obu współczynników z zależności (9) i (10) wynosi 0,9729, tzn., że różnią się one nie więcej niż o 3%.

5. PODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono wyniki analizy literaturowej dotyczącej spotykanych kontaktowych modeli analitycznych elementów tocznych (kulek, wałeczków) z bieżniami łożyskowymi. Stwierdzono, że jeden z modeli dominuje, tzn. jest częściej spotykany, ale spotykane są i inne modele. Porównanie wszystkich, znalezionych w literaturze, modeli wskazuje na znaczące rozbieżności w obliczaniu za ich pomocą odkształceń kontaktowych.

W artykule przedstawiono fragmenty badań ekspery- mentalnych w postaci zmierzonych przemieszczeń kulki i płaskiej powierzchni, poddanych działaniu siły normalnej. Tak zmierzone przemieszczenia traktowano jako odkształcenia kontaktowe kulki stykającej się z płaską powierzchnią. Na podstawie tych wyników zidentyfikowano eksperymentalną, regresyjna funkcję, która stanowiła eksperymentalny model kontaktowy kulki i płaskiej powierzchni.

Dokonano analizy porównawczej spotykanych w litera- turze analitycznych, kontaktowych modeli pary: kulka – płaska powierzchnia z modelem eksperymentalnym. Na tej podstawie stwierdzono, że analityczna postać modelu (10), powstała z modelu (4) jest identyczna z postacią modelu eksperymentalnego, tzn., że odkształcenie kontaktowe jest funkcją �𝑄𝑄^{3 2}.

Również ilościowa ocena porównania modeli (10) i ekspe- rymentalnego (9) (porównywano współczynniki stojące przy �𝑄𝑄^{3 2}) potwierdziła wniosek o zgodności tych modeli (współczynniki różniły się mniej niż o 3%).

W wyniku przeprowadzonych badań można stwierdzić, że analityczne model kontaktowe spotykane w literaturze w postaci (4) dają najlepszą zgodność z wynikami eksperymentu, kiedy dotyczą pary: kulka – powierzchnia płaska. Dla pełnego uogólnienia takiego wniosku powinno się jeszcze powtórzyć takie badania dla pary: kulka – powierzchnia krzywoliniowa.

Dla pełnej jasności trzeba jednak zauważyć, że badania eksperymentalne były przeprowadzone w warunkach statycznych, kiedy kąty działania αi, αo (rys. 1) są takie same, a współczynnik sztywności K w zależności (3) jest tylko funkcją cech geometrycznych i cech materiałowych pary kulka – bieżnia. Natomiast w warunkach dynamicznych współczynnik K jest również funkcją kątów działania (Antoine [1]), czyli zależy m.in. od aktualnej prędkości obrotowej łożyska. Wówczas modele kontaktowe, np. (4), niekoniecznie będą dobrze opisywały odkształcenia kontaktowe pary kulka – bieżnia.

Literatura

1. Antoine F., Abba G., Molinari A.: A new proposal for explicit angle calculation in angular contact ball bearing.

“Journal of Mechanical Design” 2005, 128(2), p. 468-478.

2. Chen J-S., Hwang Y-W.: Centrifugal force induced dynamics of motorized high-speed spindle. “International Journal Advance Manufacturing Technologies” 2006, 30, p. 10-19.

3. Harris T., Kotzalas M.: Rolling bearing analysis. Fifth edition. Advanced Concepts of Bearing Technology, Taylor&Francis Group, London, 2013, p. 352.

4. Kosmol J.: Determination of motion resistances in high-speed spindle angular bearings. Monography. Gliwice:

Silesian University of Technology 2016, pp. 93.

5. Kosmol J., Stawik K.: Symulacyjne badania wpływu prędkości obrotowej na siły kontaktowe w łożysku tocznym.

W: Inżynieria maszyn, 1, Wrocław 2016, s. 28-42

6. Krzemiński-Freda H.: Łożyska toczne. Warszawa: PWN, 1985r

7. Lasak K.: Projekt stanowiska badawczego do wyznaczania sztywności kontaktowej kulki łożyskowej. Praca przejściowa. Gliwice; Pol. Śl., 2016.

8. Moszyński W.: Wykład elementów maszyn.Cz. II „Łożyskowanie”. Warszawa: PWN, 1955.

9. Musiał J., Styp-Rekowski M.: Analityczno-eksperymentalny sposób określania współczynnika oporów ruchu przy tarciu tocznym. W: Materiały konferencyjne "Problemy niekonwencjonalnych układów łożyskowych". Łódź 1999, s. 59-65

10. Noel D., Rithou M., Furet B., Leloch S.: Complete analytical expression of the stiffness matrix of angular contact ball bearing. “Journal of Tribology” 2013, 135 (4).

11. Palmgren A.: Łożyska toczne. Warszawa: PWN, 1951.

12. Peterson C.: Stahlbau. Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauen. Wiesbaden:

Springer Vieweg, 2013.

13. Romanowicz P.; Analiza zmęczeniowa wybranych elementów maszyn pracujących w warunkach kontaktu tocznego. Rozprawa doktorska. Kraków: Pol. Krakowska, 2009.

14. Technisches Taschenbuch INA. Walzlager Schaeffler KG. 8522 Herzogenaurach, 1990.

15. www.chodor-projekt-net/encyclopedia/lozyska-konstrukcjach-budowlanych

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl