Integralność konstrukcji

(1)

Integralność konstrukcji

Wykład Nr 4

Metoda naprężenia nominalnego

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

http://zwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/imir.html

(2)

4.1. NAPRĘŻENIA NOMINALNE (lub średnie) - S i NAPRĘŻENIA LOKALNE - 

a) rozciąganie pręta pryz- matycznego: _y = S;

b) zginanie pręta pryzma- tycznego:

_y = S, gdy S < R_e,

_{y max} < S, gdy S >R_e; c) rozciąganie elementu z karbem: _y  S

_{y max} = k_t S, gdy k_t S  R_e;

_y < k_t S, gdy k_t  S >R_e.

Rys 4.1. Przykłady rozkładu naprężeń nominalnych S i lokalnych _y w przekrojach wzdłuż osi x.

(3)

4.2. WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU

Rys 4.2. Krzywa S-N dla gładkich próbek ze stali A517 przy zginaniu obrotowym, z naprężeniem średnim _m = 0.

(4)

4.2. WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU

Pojęcia podstawowe:

a) Wytrzymałość zmęczeniowa trwała materiału  największa amplituda naprężenia _aprzy której nie dochodzi do zniszczenia próbki.

Wytrzymałość zmęczeniową trwałą wyznacza się ją z krzywej S - N dla próbek gładkich, jako:

 asymptotę Z = _a, przy N_f  (stale zwykłej jakości i niskostopowe)

W tym przypadku jest to największa amplituda naprężenia, przy której nie nastąpi zniszczenie zmęczeniowe próbki.

 wartość Z = _a przy N_f = 10⁷ lub 10⁸ cykli, gdy brak asymptoty (np. stopy Al, Cu)

Wytrzymałość zmęczeniowa trwała jest stałą materiałową, ale zależy od sposobu obciążenia, np. przy zginaniu jest o 10-15 % wyższa niż przy rozciąganiu.

Stale: rozciąganie przy R = -1 Z  0.5 R_m (wartość niższa w stalach o wysokiej wytrzymałości)

(5)

4.2. WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU

Pojęcia podstawowe:

b) Wytrzymałość zmęczeniowa ograniczona  największa amplituda naprężenia _a, przy której nie nastąpi zniszczenie próbki przed upływem danej liczbie cykli N_f (np. N_f =10⁵).

c) Zmęczenie wysokocyklowe  naprężenia są na tyle niskie ze można pominąć odkształcenia plastyczne

d) Zmęczenie niskocyklowe  typowo w zakresie 10²-10⁴ cykli, znaczne odkształcenia plastyczne.

Czynniki wpływające na wytrzymałość zmęczeniową:

 obecność karbu,

 naprężenia średnie _m,

 środowisko ,

 Mikrostruktura,

 naprężenia resztkowe (w związku z wpływem naprężenia średniego cyklu _m).

(6)

4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU

Jeżeli krzywa Wöhlera (S-N) może być we współrzędnych podwójnie logarytmicznych aproksymowana linią prostą, to do jej opisu używa się zależności



_a versus N_f w formie:

a) równania:



_a

= A N

_fB

(4.1 a)

Rys. 4.3a Ilustracja opisu matematycznego krzywej Wöhlera wg równania (4.1a)

(7)

4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU

Jeżeli krzywa Wöhlera (S-N) może być we współrzędnych podwójnie logarytmicznych aproksymowana linią prostą, to do jej opisu używa się zależności



_a versus N_f w formie:

a) równania:



_a

= A N

_fB

(4.1 a) b) równania Basquina:



_a

= 

_f

’ (2N

_f

)

^b (4.1 b)

Rys. 4.3b Ilustracja opisu matematycznego krzywej Wöhlera wg równania (4.1b)

(8)

4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU

(4.1 a) (4.1 b)

Stałe materiałowe A, B lub _f’, b wyznacza się z dopasowania do równania (4.1 a) lub (4.1 b) danych z badań na próbkach gładkich.

Przy dużych odkształceniach plastycznych należy używać naprężenia rzeczywistego

Ponieważ 2N_f jest liczbą nawrotów obciążenia (1 cykl=2 nawroty), to _f’ można interpretować jako wartość _a, przy której następuje zniszczenie próbki po jednym nawrocie (półcyklu), tj. przy 2N_f = 1 (N_f = 0.5).

 ~

_a

(9)

4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU

(4.1 b)

Komentarz do równania Basquina (4.1b):

Gdyby własności materiału przy obciążeniu cyklicznie zmiennym były takie, jak przy obciążeniu monotonicznym, to naprężenie



_f

’

byłoby równe rzeczywistemu naprężeniu niszczącemu ( ), - por. rys. 2.4 i rów. (2.10) - gdyż próbę monotonicznego rozciągania można traktować jako jeden nawrót obciążenia zmęczeniowego. Jednak _f’ różni się nieco od , gdyż



_f

’

wyznacza się przez ekstrapolację do N_f = 0.5 prostej dopasowanej do punktów (



_a^{, N}_f) otrzymanych z badań zmęczeniowych, gdy wartości materiału uległy zmianie na skutek cyklicznego umocnienia lub osłabienia (por. p. 3.3). Podobnie jak , naprężenie



_f

’

jest zawsze wyższe od niszczącego naprężenia inżynierskiego i od R_m, przy czym różnica ta jest mniejsza dla metali o wyższej wytrzymałości, które wykazują małe odkształcenia plastyczne. Wartości b dla różnych metali są na ogół zbliżone.

 ~

_f

 ~

_f

 ~

_f

(10)

4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU

(4.1 a)

(4.1 b)

_a = A N_f^B

_a = _f’ (2N_f)^b Tabela 4.1 Parametry materiałowe występujące w równaniach (4.1a) i (4.1b)

Materiał R_e R_m _a = _f^’(2N_f)^b=AN_f^B

_f^’ A b=B MPa MPa MPa MPa ---

stale

AISI 1015

normalizowana 227 415 976 886 -0.14 Man-Ten

walcowana na gorąco 322 557 1089 1006 -0.115 RQC-100

hart. i odpuszczana 683 758 938 897 -0.0648 AISI 4142

hart. i odpuszczana 1584 1757 1937 1837 -0.0762 AISI 4340

lotnicza 1103 1172 1758 1643 -0.0977 metale

nieżelazne

Al 2024-T4 303 476 900 839 -0.102 Ti-6Al-4V

przesycony i starzony 1185 1233 2030 1889 -0.104

(11)

4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU

𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝝈_𝒂𝒓 +𝒌_𝒇𝒎𝝈_𝒎 𝑹_𝒎 = 𝟏 𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝝈_𝒂𝒓 + 𝒌_𝒇𝒎𝝈_𝒎 𝑹_𝒎

𝟐

= 𝟏

𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝝈_𝒂𝒓 +𝒌_𝒇𝒎𝝈_𝒎 𝝈_𝒇^′ = 𝟏



_ai



_mi

i=1 n

RainFlow

 = f(t) t



=



zr

Reguła P-M 𝑩_𝒇 𝑵_𝒊

𝑵_𝒇𝒊 = 𝟏

B

_f

k

_fi

, k

_fmi

k_t, , ,  ^𝒌𝒇= 𝟏 + 𝒌_𝒕− 𝟏 𝟏 + 𝜶 𝝆 𝒌_𝒇= 𝟏 + 𝒌_𝒕− 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

N_i

_ai,_mi



_ari

N

_fi



_ar

N_f R=-1

(12)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)

4.4.1. Prezentacja wyników badań zmęczeniowych materiału (tzn. na próbkach gładkich) przy niezerowych naprężeniach średnich (



_m^{= S}_m⁾

Gdy



_m



0 to wyniki badań zmęczeniowych materiału przedstawia się według jednej z poniższych trzech koncepcji.

a) R = const

Rys. 4.4 Krzywe S-N materiału przy stałym współczynniku asymetrii cyklu ( R = const.) Gdyby prezentowane tu wyniki przedstawiać jako dane _a vs N_f, to najwyżej leżałaby krzywa R=-1 a najniżej krzywa R=0.

Np. dla N_f =10⁴:

R 0 -0.5 -1



_a(MPa) 410 530 570

(13)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)



_m^{= S}_m⁾

Gdy



_m



b) _m = const

Rys. 4.5 Krzywe S-N materiału przy stałym naprężeniu średnim _m = const)

(14)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)



_m^{= S}_m⁾

Gdy



_m



c) N_f = const

Rys. 4.6 Wykresy stałej wartości (N_f=const) Uwaga: wykresy N_f=const na rys. 4.6 otrzymano z wykresów _m = const z rys. 4.5 (por. te same oznaczenia punktów na obu rysunkach).

(15)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)

4.4.2. Znormalizowany wykres _a /_ar

Jeżeli każdą z krzywych N_f=const (rys. 4.6) przedstawi się w formie znormalizowanego wykresu _a/_ar versus _m, gdzie _ar - wytrzymałość zmęczeniowa przy _m = 0 (R = -1) dla danego N_f, to wszystkie takie wykresy mają następujące dwa wspólne punkty:

(_a/_ar = 1; _m = 0) oraz

(_a/_ar = 0; _m = R_m).

Rys. 4.7 wskazuje, że występuje tendencja do konsolidacji punktów (_a/_ar; _m) dla różnych N_f w pojedynczą krzywą.

Rys. 4.7 Znormalizowany wykres amplitudy w funkcji naprężenia średniego otrzymany z wykresów na rys. 4.5

(16)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)

4.4.3. Matematyczny opis zależności _a/_ar versus _m Aproksymacja linii _a/_ar versus _m:

a) równanie Goodmana (prosta): (4.2)

b) Równanie Gerbera (parabola): (4.3)

c) Równanie Morrowa (prosta): (4.4)

 1



m m ar

a

R



0 przy

, 1

2



 



 



 

_m

m m ar

a

R 



 1

 

f m ar

a



_f^’  amplituda niszcząca po 1 nawrocie obciążenia (2N_f = 1), por. równanie (4.1b) i rys. 4.3b

(17)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)

4.4.3. Matematyczny opis zależności _a/_ar versus _m

a) równanie Goodmana (prosta): (4.2)

b) Równanie Gerbera (parabola): (4.3)

c) Równanie Morrowa (prosta): (4.4)

 1



m m ar

a

R



0 przy

, 1

2



 



 



 _m

m m ar

a

R 



1

 

f m ar

a



Równanie (4.2) - najlepsze wyniki dla materiałów o niskiej ciągliwości.

Równanie (4.3) - najlepsze wyniki dla materiałów o wysokiej ciągliwości (wydłużenie procentowe w próbie rozciągania > 5 %, por p. 2.1). Przewiduje ono, niezgodnie z doświadczeniami, niekorzystny wpływ _m<0 na wytrzymałość zmęczeniową. Założenie zachowawcze: przy _m  0 - linia punktowana pozioma.

Równanie (4.4) - lepsza zgodność z eksperymentem w porównaniu z (4.2). Dobra aproksymecja wyników dla wszystkich materiałów ciągliwych.

Metale kruche (żeliwo): równanie (4.2) prowadzi do wyników niezachowawczych (punkty doświadczalne leżą pod prostą Goodmana). Stosuje się do nich specjalne równania.

(18)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)

4.4.4. Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim _m Podstawowa idea:

Dla danego materiału (scharakteryzowanego przez R_m lub _f) trwałość zmęczeniowa przy dowolnej kombinacji amplitudy _a i niezerowego naprężenia średniego _m jest taka sama, jak przy amplitudzie _ar i _m=0.

Takie podejście jest dogodne, gdy dysponujemy tylko krzywą Wöhlera dla 

_m

= 0, a chcemy wyznaczyć trwałość N

_f

(lub wytrzymałość zmęczeniową 

_a

) przy 

_m

 0.

Wtedy:

N

_f

(

_a

, 

_m

0) = N

_f

(

_ar

, 

_m

=0)

(19)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)

4.4.4. Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim _m

N

_f

(

_a

, 

_m

0) = N

_f

(

_ar

, 

_m

=0)

Z równania Goodmana (4.2) można wyznaczyć _ar jako: (4.5)

Trwałość przy (_a, _m0) można wyznaczyć podstawiając do równania Basquina (4.1b):

prawą stronę równania (4.5) zamiast _ar, otrzymując:

(4.6)

Z równania Morrowa (4.4) mamy: (4.7)

Uwzględniając (4.7) i równanie Basquina (4.1b) otrzymamy zależność:

(4.8) również określaną jako: równanie Morrowa

m m a ar

R

 





 1



_ar

= 

_f

 (2N

_f

)

^b

 

f ^b f

m m

a

N

R 2

1  

 _ ^



 



 



f m a ar



 



 

 1



_a

= (

_f

 - 

_m

) (2N

_f

)

^b

(20)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)

4.4.4. Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim _m Np. przy tej samej amplitudzie _a

_m/R_m _ar/_a (wg. 4.5)

0.2 1.25

0.5 2

m a m

ar

R

 





 1

1 (4.5) 

(21)

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (

_m

lub S

_m

)

i=1 n

RainFlow

 = f(t) t



=



zr

𝑵_𝒇𝒊 = 𝟏

B

_f

k

_fi

, k

_fmi

k_t, , ,  ^𝒌𝒇= 𝟏 + 𝒌_𝒕− 𝟏 𝟏 + 𝜶 𝝆 𝒌_𝒇= 𝟏 + 𝒌_𝒕− 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

N_i

_ai,_mi



_ari

N

_fi



_ar

N_f R=-1

𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝟐

= 𝟏

𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝝈_𝒂𝒓 +𝒌_𝒇𝒎𝝈_𝒎 𝝈_𝒇^′ = 𝟏



_ai



_mi

(22)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Rzeczywiste przebiegi obciążeń w czasie (tzw. historie obciążenie - czas) spotykane w warunkach eksploatacyjnych mają zazwyczaj charakter zmiennoamplitudowy.

Rys. 4.8 Siła w lewym kulistym przegubie zawieszenia samochodu w czasie przejazdu przez tory kolejowe

Przykłady :

(23)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Rys. 4.9 Maksymalne naprężenia zginające w połączeniu skrzydła z kadłubem w czasie jednego lotu samolotu o nieruchomych skrzydłach; a ) historia rzeczywista, b ) historia uproszczona

Przykłady obciążeń eksploatacyjnych:

(24)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Rys. 4.10 Zapis naprężeń w drążku kierowniczym samochodu: a) rzeczywista historia obciążenia; b) fragment historii obciążenia w czasie jazdy po nierównościach; c) obciążenie w czasie manewrowania

Przykłady obciążeń eksploatacyjnych:

(25)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

4.5.1. Reguła Palmgrena - Minera

Założenia: Jeżeli amplituda 

_a,i

powtarza się przez N

_i

cykli, a liczba cykli do zniszczenia określona z krzywej S-N przy tej amplitudzie wynosi N

_f,i

, to część trwałości zużytej przy 

_a,i

wynosi N

_i

/N

_f,i

. Zniszczenie nastąpi, gdy:

1

,

 

i f

i

N

_(4.9a)

tzn. trwałość przewidywana wynosi:

N f _, P _ M   N i

^(4.9b)

(26)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

1

,

 

i f

i

N

(4.9a)

N f _, P _ M   N i

^(4.9b)

Rys. 4.10 Schemat objaśniający wykorzystanie reguły P - M do przewidywania trwałości materiału przy zmiennych amplitudach naprężeń dla przypadku: _m = 0 (R = -1)

(27)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

1

,

 

i f

i

N

(4.9a)

N f _, P _ M   N i

^(4.9b)

Jeżeli jedna i ta sama sekwencja obciążenia, którą wtedy można nazwać okresem, jest powtarzana wiele razy, np. lot samolotu, to:

1

, 1

 







 



 

okres i

f i

f

N

B N

gdzie: B_f - liczba powtórzeń okresu (4.10)

okres i

f i

N N

,

 

1





 



 

 uszkodzenie zmęczeniowe w 1 okresie

Jeżeli w jakichś cyklach historii obciążenie  czas występują niezerowe naprężenia średnie, to N_f,i trzeba wyznaczyć np. z równań (4.6) lub (4.8).

(28)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

4.5.2. Efekty interakcji obciążeń

Zjawisko to polega na tym, że w zmiennoamplitudowej historii obciążenia uszkodzenie zmęczeniowe D_i spowodowane danym cyklem i (_a,i, _m,i) może być inne, niż przy obciążeniu stałoamplitudowym, tzn.:

i f

i

N

D

,

 1

(4.11) gdzie: N_{f, i}  trwałość przy obciążeniu stałoamplitudowym o

parametrach _a,i, _m,i

W zależności od historii obciążenia (spektrum obciążenia), materiału, poziomu średniego naprężenia spektrum i geometrii elementu może być:

i f

i

N

D

,

 1

i f

i

N

D

,

 1

niekorzystny efekt interakcji

korzystny efekt interakcji

(4.12a)

(4.12b)

(29)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

4.5.2. Efekty interakcji obciążeń

Ponieważ reguła Palmgrena - Minera nie uwzględnia efektu interakcji obciążeń, w bardzo wielu przypadkach może dawać wyniki wysoce niezgodne z doświadczeniem, zarówno nadmiernie zachowawcze, jak i niezachowawcze. Może być:

1 100  N

^

 100

N rzeczywiste

f P M f

,

Sposoby uwzględniania efektu interakcji obciążeń:

1) nieliniowe reguły kumulacji uszkodzeń 2) względna reguła P  M

3) uwzględnienie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej

(30)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Ad. 2 Względna reguła Palmgrena-Minera (Schütz, 1972)

Założenie: jeżeli dwie historie obciążenia są dostatecznie podobne, to odchylenia od reguły P - M mają te same kierunki i względne wartości.

Jeżeli dla jednego spektrum znamy gdzie to odpowiednio trwałości rzeczywiste i obliczone z reguły P-M, to dla drugiego spektrum które jest

„podobne” będzie:

obl f eksp

f

N

N   N 

_f_eksp

, N 

_f _obl

obl obl

"

_f _eksp

"

_f

f eksp

f

N N N

N   

a stąd:



obl



"

obl

"

_f _eksp

N

_f

N

_f _eksp

N

_f

N   

^(4.13)

Wada: brak ogólnego kryterium „podobieństwa” spektrum.

(31)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Ad. 2 Względna reguła Palmgrena-Minera (Schütz, 1972) Praktyczne zastosowanie:

a) historia eksploatacyjna inna niż projektowa (zmiana zadań urządzenia, inne niż przewidziano warunki eksploatacji),

b) spektrum eksploatacyjne nie zostało ocenione prawidłowo,

c) nie jest możliwe przeprowadzenie w laboratorium badań symulujących pełną historię obciążenia w eksploatacji, np.: w przypadku spektrum obciążenia o długim „ogonie”

małych amplitud ze względów czasowych trzeba pominąć znaczną liczbę „małych” cykli

Rys. 4.11 Ilustracja konieczności pominięcia „małych” cykli w badaniach laboratoryjnych

(32)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Rys. 4.11 Ilustracja konieczności pominięcia „małych” cykli w badaniach laboratoryjnych

N - liczba przekroczeń danego poziomu amplitudy _a

liczba cykli uwzględniona w badaniach laboratoryjnych: 10⁷ liczba cykli przewidywana w eksploatacji: 10⁹

liczba cykli pominiętych w badaniach laboratoryjnych N_pom = 10⁹-10⁷ cykli = 9.9x10⁸ cykli Zysk na czasie badań przy założeniu częstości obciążenia 20 Hz:

10⁹ cykli = 578 dni; 10⁸ cykli = 58 dni; 10⁷ cykli = 6 dni

Widma lotnicze: pominięcie cykli o amplitudach poniżej 0.5Z - wzrost trwałości o 10 - 30 %.

„Małe” cykle w realistycznych, nieregularnych historiach obciążenia mogą się okazać szkodliwe, gdy w materiale istnieją już mikrouszkodzenia zmęczeniowe (także pasma poślizgów) spowodowane przez poprzedzające cykle.

(33)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Ad. 3 uwzględnienie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej

1 3 2

10

⁷

 _a

Z

(log)N _f

Rys. 4.12 Różne propozycje modyfikacji krzywej S-N do obliczeń trwałości przy obciążeniach zmienno- amplitudowych, 1 - obciążenie stałoamplitudowe (krzywe Wöhlera)

Modyfikacja krzywej S-N wg linii 2 lub 3.

Poprawa ocen trwałości przy zmiennych amplitudach przy użyciu linii 2 lub 3

jest możliwe tylko przy niekorzystnych efektach interakcji (por. równanie

4.12a). przy korzystnych efektach interakcji (por. równanie 4.12b) użycie linii

2 lub 3 spowoduje pogorszenie ocen N

_f

.

(34)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

i=1 n

RainFlow

 = f(t) t



=



zr

k

_fi

, k

_fmi

k_t, , ,  ^𝒌𝒇= 𝟏 + 𝒌_𝒕− 𝟏 𝟏 + 𝜶 𝝆 𝒌_𝒇= 𝟏 + 𝒌_𝒕− 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

N_i

_ai,_mi



_ari

N

_fi



_ar

N_f R=-1

𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝟐

= 𝟏

𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝝈_𝒂𝒓 +𝒌_𝒇𝒎𝝈_𝒎 𝝈_𝒇^′ = 𝟏



_ai



_mi

𝑵_𝒇𝒊 = 𝟏

B

_f

(35)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

4.5.3. Zliczanie cykli – metoda Rainflow

W przypadku nieregularnych historii obciążenia (por. np. rys. 4.8- 4.10) nie jest jasne, jakie wydarzenie uznać za cykl obciążenia. W licznych metodach liczenia cykli, które zaproponowano, wysunięto rozmaite propozycje. Obecnie za najbardziej racjonalne metody liczenia cykli uważa się techniki typu Rainflow (pierwsza propozycja - T. Endo, Japonia, 1968). W metodzie Rainflow zawsze uwzględnia się zakres między najwyższym maksimum i najniższym minimum.

Rys.4.13 Podstawowe wydarzenia obciążenia nieregularnego

(36)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Rys. 4.13 Podstawowe wydarzenia obciążenia nieregularnego

Rys. 4.14 Warunek naliczania cyklu metodą Rainflow

(37)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Rys. 4.15 Przykład naliczania cykli metodą Rainflow

(38)

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

k

_fi

, k

_fmi

k_t, , ,  ^𝒌𝒇= 𝟏 + 𝒌_𝒕− 𝟏 𝟏 + 𝜶 𝝆 𝒌_𝒇= 𝟏 + 𝒌_𝒕− 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

_ai,_mi



_ari

N

_fi



_ar

N_f R=-1

𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝟐

= 𝟏

𝒌_𝒇𝝈_𝒂

𝝈_𝒂𝒓 +𝒌_𝒇𝒎𝝈_𝒎 𝝈_𝒇^′ = 𝟏



_ai



_mi

𝑵_𝒇𝒊 = 𝟏

B

_f

i=1 n

RainFlow

 = f(t) t



=



zr

N_i

(39)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Pęknięcia zmęczeniowe i w rezultacie zniszczenie elementów konstrukcyjnych zostają z reguły zainicjowane w karbach (nieciągłości geometryczne, jak otwory, odsadzenia, rowki itp.). Przyczyna - spiętrzenie naprężeń spowodowane karbem, którego miarą jest współczynnik koncentracji naprężeń k

_t

(por p.6

„Przypomnienie” i rys.4.1c)

k

_t

zależy od: geometrii elementu, sposobu obciążenia

k

_t

nie zależy od: wielkości obciążenia, materiału, wielkości elementu

Uwaga: definicja naprężenia nominalnego S może się opierać na przekroju netto lub brutto, a jej wybór wpływa na wartość k

_t

.

W przykładzie z rys. 4.1c może więc być:

 w d  t S P



 

lub

t w S P

 

Wartości k_t można znaleźć w różnych poradnikach.

(40)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Rys. 4.15. Przykłady zmienności k_t dla różnych karbów w zależności od geometrii

(41)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.1. Wpływ karbu przy obciążeniach statycznych.

Rys.4.16 Element z karbem a) i rozkład naprężeń dla różnych przypadków: b) odkształcenie liniowo - sprężyste; c) lokalne płynięcie w materiale ciągliwym; d) płynięcie całego przekroju w materiale ciągliwym; e) naprężenie niszczące dla próbki z materiału kruchego

(42)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.1. Wpływ karbu przy obciążeniach statycznych.

Rys.4.16

Materiały ciągliwe (rys. 4.16 b-d): stan naprężenia w przekroju karbu przed zniszczeniem (rys. 4.16d) jest taki, jak w próbce gładkiej o przekroju A_n. Stąd zniszczenie próbki z karbem, gdy:

S = naprężenie niszczące w próbce gładkiej o przekroju A_n, tj.:

S = R_e (płynięcie przekroju netto), S = R_m (utrata spójności) Materiały kruche (rys.4.16e): utrata spójności, gdy:

_max  R_m czyli

t m

k

S  R

(43)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.2. Wpływ karbu przy obciążeniach zmęczeniowych - współczynnik działania karbu.

Gdyby o wytrzymałości zmęczeniowej decydowało naprężenie na dnie karbu,

to byłoby:

 

f ^t a

f

a

k

N S

N 



(4.14) gdzie:

_a(N_f) - wytrzymałość zmęczeniowa próbki gładkiej

S_a(N_f) - wytrzymałość zmęczeniowa próbki z karbem wyrażona w naprężeniach nominalnych

_a i S_a - przy tej samej trwałości N_f Doświadczenie wskazuje, że:

   

_f ^t

a f

a

k

N S

N 



(4.15) Współczynnik działania karbu k_f (polskie oznaczenie _k), definicja:

ar ar

f

S

k _ 

(4.16) gdzie  i S odnoszą się do R = - 1 i długiej trwałości (N = 10⁶  10⁷ cykli)

(44)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Rys. 4.17 Wpływ karbu przy zginaniu obrotowym na krzywą S - N, stopu aluminium oraz porównanie wytrzymałości zmęczeniowej zredukowanej przy użyciu k_t i k_f

Wnioski z rys. 4.17:

krzywa - - - wg równania (4.14) leży pod eksperymentalną krzywą S-N próbki z karbem dla wszystkich trwałości

krzywa  wg równania (4.16) leży pod eksperymentalną krzywą S-N próbki z karbem dla niskich trwałości. Oznacza to, że stosunek wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej do wytrzymałości zmęczeniowej próbki z karbem zależy od trwałości:

(4.17)

 

f f f

ar f ar

f

f N k

N S

k   N  

) (

)

 (

(45)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Współczynnik wrażliwości na karb (definicja):

1 0

1 1  



  q

k q k

t f

(4.18)

Wartości graniczne q:

 q=1, k_f= k_t (najwyższy możliwy wpływ karbu na wytrzymałość zmęczeniową)

 q=0, k_f =1 (karb nie wpływa na wytrzymałość zmęczeniową)

(46)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.3. Przyczyny efektu k_f < k_t - interpretacja jakościowa

(4.19) 1) Gradient naprężeń w karbie (por. rys. 4.18)

Rozkład naprężeń w przekroju karbu _y(x) przy założeniu materiału idealnie liniowo - sprężystego;

gradient naprężeń - miara spadku naprężeń ze wzrostem odległości x punktu od karbu

a) uszkodzenie zmęczeniowe w pewnej małej, skończonej objętości materiału

Rys. 4.18 Interpretacja wytrzymałości zmęczeniowej jako średniego naprężenia w skończonej odległości  od wierzchołka karbu

(47)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.3. Przyczyny efektu k_f < k_t - interpretacja jakościowa 1) Gradient naprężeń w karbie

a) uszkodzenie zmęczeniowe w pewnej małej, skończonej objętości materiału (4.19)

k_f wg (4.19) będzie tym bardziej różnić się od k_t im większy gradient naprężeń, a więc im mniejszy promień karbu . Trend zgodny z doświadczeniem, jak pokazuje rys. 4.19.

k średnia amplituda naprężenia między x i x

f

S

a

  

t

0  

k

Rys. 4.19 Współczynniki działania karbu dla różnych promieni karbu wyznaczone doświadczalnie z równania (4.16) dla stali miękkiej przy zginaniu obrotowym

(48)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

b) teoria najsłabszego ogniwa

Przy ustalonej wartości _max region wysokich naprężeń koniecznych do inicjacji uszkodzenia w miejscu defektu mikrostrukturalnego jest tym mniejszy, im wyższy gradient d_y/dx.

Argument statystyczny: im mniejsza objętość materiału poddanego działaniu wysokich naprężeń, tym niższe prawdopodobieństwo, że znajdzie się tam defekt mikrostruktury, w którym nastąpi inicjacja pęknięcia (por. p. 1.2).

Stąd współczynnik k_f będzie niższy przy większym gradiencie naprężeń, a więc mniejszym promieniu .

(49)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

c) obecność pęknięcia (por. rys. 4.20)

Wierzchołek pęknięcia o długości l w próbce gładkiej znajduje się w strefie wyższych naprężeń, niż wierzchołek takiego samego pęknięcia w próbce z karbem.

Potwierdzenie: obecność tzw. pęknięć niepropagujących w próbkach z ostrymi karbami poddanych zmęczeniu wysokocyklowemu (N_f=10⁶-10⁷ cykli) przy amplitudach poniżej wytrzymałości zmęczeniowej.

Rys. 4.20 Próbka gładka i próbka z karbem przy tych samych naprężeniach lokalnych w miejscu zainicjowania pęknięcia (l = 0)

(50)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.3. Przyczyny efektu k_f < k_t - interpretacja jakościowa 2) Odkształcenia plastyczne w karbie

Dotyczy zmęczenia niskocyklowego we wszystkich materiałach i zmęczenia wysokocyklowego w materiałach o bardzo wysokiej ciągliwości:

W strefie plastycznej karbu _a< k_t S_a, stąd musi być k_f < k_t

Rys. 4.21 Efekt odwróconego płynięcia w niewielkim obszarze w pobliżu karbu przy amplitudzie naprężeń S

(51)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.4. Empiryczne oszacowanie k_f

Najczęściej używane równania empiryczne:

a) Równanie Petersona:

k k

f

 

t





1 1

1 



(4.20)



- stała materiałowa (zależna od sposobu obciążenia):

zginanie, rozciąganie:

mm - stopy Al

mm - stale niskowęglowe normalizowane

mm - stale hartowane i temperowane







 



 

0 51 0 25

0 064 . .

.

wyżarzane lub

skręcanie: _skr  0.6 

Stale o podwyższonej i wysokiej wytrzymałości:

 ^R ⁵⁵⁰ ^{M Pa} 

2070 mm

025 .

0

_m

8 . 1

 



 



 

R

m

 MPa

(4.21)



- promień dna karbu

(52)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.4. Empiryczne oszacowanie k_f a) Równanie Petersona:

k k

f

 

t





1 1

1 



(4.20)

2070 mm 025

. 0

8 . 1



 



 

Rm



MPa _(4.21)

dla R_m  550MPa

Rys. 4.22 Współczynnik wrażliwości na karb q (a) i wartości stałej



(b) dla stali wg równania Petersona (4.20).

(53)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.4. Empiryczne oszacowanie k_f b) Równanie Neubera:

(4.22)

(4.23)

Rys. 4.23 Współczynnik wrażliwości na karb q (a) i wartości stałej  dla stali (b) wg równania Neubera







 

 1

1

^t

1

f

k k

- stała materiałowa (zależna od sposobu obciążenia)



- promień dna karbu

MPa mm R

_m

586 log  134



 

dla R_m  1520 MPa (stale)

(54)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

b) Równanie Neubera:

(4.22)







 

 1

1

^t

1

f

k k

a) Równanie Petersona:



 

 

 1 1

^t

1

f

k k

_(4.20)

Równania (4.20) i (4.22) nadają się do przybliżonego oszacowania k_f dla karbów konstrukcyjnych (stosunkowo łagodnych).

Jeżeli karb jest głęboki i ostry, to lepszym podejściem jest mechanika pękania.

(55)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Wnioski z rys. 4.22a) i 4.23a):



dla danego materiału: q rośnie z ;



dla danej klasy materiałów: q rośnie z R_m;



rozbieżność między k_f i k_t jest największa dla materiałów o dużej ciągliwości i ostrym karbie (por. też rys. 4.19).

Rys. 4.22 a) Rys. 4.23 a)

(56)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach

Generalnie, stosunek wytrzymałości próbki gładkiej _ar do wytrzymałości próbki z karbem S_ar zależy od trwałości, por. równanie (4.17) i rys. 4.17:

 

f f f

ar f ar

f

f N k

N S

k   N  

) (

)

 (

(4.17)

Rys. 4.17 Wpływ karbu przy zginaniu obrotowym na krzywą S-N, stopu aluminium oraz porównanie wytrzymałości zmęczeniowej zredukowanej przy użyciu k_t i k_f.

(57)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach A) Metale o dużej ciągliwości:

Wpływ odwróconego płynięcia (por. rys. 4.21) jest tym większy, im wyższe naprężenia, a więc im niższa trwałość.

Stąd k_f zmienia się od k_f= k_f (duże trwałości) do k_f 1 (małe trwałości).

Rys. 4.24 Wyniki badań metalu ciągliwego ilustrujące zależność wpływu karbu od trwałości.

Punkty z wykresu S - N (rys. a) zostały użyte do otrzymania k_f = _a /S_a (rys. b)

(58)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Gdyby o wytrzymałości zmęczeniowej elementu konstrukcyjnego decydowała tylko amplituda naprężenia na dnie karbu _a, to:

Rys. 4.25. Wyjaśnienie trendów widocznych na rys. 4.24 przy pomocy koncepcji odwróconego płynięcia dla materiału sprężysto - idealnie plastycznego.

(59)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Rys. 4.25a):

brak uplastycznienia (k_t S_a R_e), _a,A=k_t S_a, stąd k_f = k_t (4.24) por. zakres (a) wykresu na rys. 4.25d

Rys. 4.25d):

(60)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Rys. 4.25b)

odwrócone płynięcie tylko w otoczeniu karbu (k_t S_a R_e)

_a,A=R_e, stąd k_f =R_e/ S_a (4.25) por. zakres (b) wykresu na rys. 4.25d

Rys. 4.25d):

(61)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Rys. 4.25c):

odwrócone płynięcie w całym przekroju netto (S_a  R_e) – por. rys. 4.16d.

Jednorodny stan naprężenia w przekroju karbu, podobnie jak w próbce gładkiej

_a=S_a, stąd k_f  1 (4.26) por. zakres (c) wykresu na rys. 4.25d)

Rys. 4.25d):

(62)

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW

KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

Rys. 4.25 d)

Wniosek:

Linia k_f(S_a) z rys. 4.25d) dobrze przybliża w sensie jakościowym trend w wartościach k_f [N_f(S_a)] z rys. 4.24b). Różnica między poziomem k_f =k_f i wartością k_t (przy długich trwałościach) wskazuje jednak na dodatkowy wpływ innych niż odwrócone płynięcie czynników na k_f (por. p. 4.6.3).

Rys. 4.24 b)