Seria: B U D O W N IC T W O z. 93 1514
N r kol.
Andrzej M A R Y N O W IC Z * Politechnika O p o lsk a
NAPRĘŻENIA DYFUZYJNE W OŚRODKU WIELOSKŁADNIKOWYM
Streszczenie. Analizowane będą naprężenia dyfuzyjne w ośrodku wieloskładnikowym, w którym dokonuje się identyfikacji poszczególnych składników o różnych w łaściwościach fizykochemicznych. Składnikami tymi mogą być np. szkielet, woda związana chemicznie lub fizycznie, dyfundująca ciecz lub para, media agresywne itp.
DIFFUSION STRESS IN THE MULTI-CONSTITUENT BODIES
Summary. There is presented a description o f diffusion stress caused by flow ing medium. This media usually have various structures and appear in various phases. As the migrating constituent we can assume such substances as moisture, various vapours, including aggressive one, etc.
1. W prowadzenie
Typow e m a te ria ły b u d o w lan e, ta k ie j a k b eto n , c e ra m ik a czy te ż zap raw y n a le ż ą do k ateg o rii m ateriałów w ie lo s k ła d n ik o w y c h o stru k tu rz e n ie je d n o ro d n e j, zaś w ich w n ę trz u s ą s ia d u ją ze sobą i w z a je m n ie n a sieb ie o d d z ia łu ją fazy stałe, ciek łe i g azo w e. Jeśli w sz y stk ie ro d zaje tych n ie je d n o ro d n o śc i m a ją b y ć w z ię te p o d u w ag ę p rz y o p isie p ro c e só w fiz y czn y ch z a c h o dzących w ta k im o śro d k u , to m o że o k azać się, że o p is tak i je s t z a g a d n ie n ie m tru d n y m . M o żn a jednak an a liz o w a ć p ew n e p rzy p ad k i sz c zeg ó ln e zja w isk zak ła d ając, że m a ją o n e d o m in u jące znaczenie. P o n iżej p rz e d sta w io n y zo sta n ie ta k i w ła śn ie p rzy p ad ek szc z e g ó ln y zw ią z a n y ze zmianą n ap rężeń w o śro d k u p o w s ta łą n a sk u tek p rzep ły w u d y fu zy jn eg o . W p rzed staw io n y m modelu p o m in ię to w p ły w e fek tó w c ie p ln y ch to w a rz y sz ą c y c h pro ceso w i.
‘ Opiekun n au k o w y : Prof, d r hab. inż. Jan K ubik.
336 A . Marynowicz
2. M odel ośrodka w ieloskładnikow ego
O ś ro d e k w ie lo sk ła d n ik o w y m o d e lo w a ć m o ż n a n a w ie le sp o so b ó w [3]. W niniejszej pracy p rz y ję to do d alszy ch ro zw ażań m odel fen o m en o lo g iczn y , o trzy m an y na bazie formalizmu te rm o d y n a m ik i p ro c e só w n ieró w n o w ag o w y ch . M a te ria ł b u d o w lan y b ęd zie m y tu traktować ja k o je d n o r o d n ą m ie sz a n in ę w szy stk ich zaw arty ch w nim sk ład n ik ó w , czy li fazy stałej (szk iele tu ), ciek łej o raz gazo w ej. K o rzy stając z p o d e jś c ia te rm o d y n a m ic z n e g o i teo rii miesza
n in , ro z w a ż a n o p rzep ły w y m asy , p ęd u i energii w p o szczeg ó ln y ch p u n k tach ośrodka. Przyję
to , że k a ż d a c z ą stk a (w se n sie fe n o m en o lo g iczn y m ) X i o śro d k a sk ład a się z n oddziałują
cy ch ze s o b ą e lem en tó w o ró żn y ch g ęsto ściac h p a ( a = 0 ,l,...n ), p ręd k o ściach v “ , energiach w e w n ę trz n y c h i / “ , en tro p ii 5 “ . S p e c y fik a o m aw ian y c h p rzep ły w ó w w y m ag a wyróżnienia w śró d sk ła d n ik ó w szk ieletu , w zg lęd em k tó reg o n a s tę p u ją p rzepływ y, co p ro w ad zi do opisu te rm o d y n a m ic z n e g o z w y ró żn io n y m sk ład n ik iem [2],
P rz y ję ty m o d el o śro d k a w u k ła d z ie w sp ó łrzęd n y ch k artezjań sk ich x i p rz e d sta w ia poniższy ry su n ek .
Rys. 1. Ośrodek wieloskładnikowy F ig .l. Multi-constituent body
N a ry su n k u 1 w ielk o ści v“ , a = 0,1,2,...,« o z n a c z a ją p ręd k o ści p o szczeg ó ln y ch składników e le m e n tu X i , wk je s t p rę d k o ś c ią b a ry c e n try c z n ą (śro d k a m asy), w y ra ż o n ą z a le ż n o śc ią
(2.1) P a
w k tó rej p “ i p o z n a c z a ją o d p o w ie d n io g ęsto ść sk ła d n ik a a i c a łk o w itą gęsto ść ośrodka.
W p o w y ższy m m o d elu wk je s t p rę d k o ś c ią w y p a d k o w ą w szy stk ich sk ład n ik ó w o środka. Jeżeli p rz e z « “ o zn aczy m y p ręd k o ść d y fu zy jn ą, a p rz e z j f stru m ień m asy, to ruch w każdym punk
cie w o śro d k u m o ż n a sc h em aty czn ie o p isać tak, ja k to p o k azan o n a ry su n k u 2.
Rys. 2. Opis ruchu ośrodka Fig. 2. Description o f body movent
3. Bilanse parcjalne ośrodka w ieloskładnikow ego
W p rz e d sta w io n y m u k ła d z ie w in n y być sp e łn io n e ró w n a n ia b ila n só w p a rcjaln y ch ośrodka, a następnie, n a ich p o d sta w ie , b ęd zie m o ż n a p rz e jść do ich p o staci g lo b aln y ch .
3.1. B ilan s m a sy
Z zasad y z a c h o w a n a m asy w y n ik a, ż e m a s a w y d zielo n e j o b ję to śc i c ia ła V nie u le g a zm ia nie, czyli
W e w zo rze ty m p /? “ o z n a c z a czło n y ź ró d ło w e, z aś w sk a ź n ik po p rzecin k u k w sk a z u je na różniczkow anie w z g lę d e m w sp ó łrzęd n ej X k . P o z su m o w a n iu lew y ch i p raw y ch stro n ró w n a nia (3.1) p o w sz y stk ic h sk ład n ik ach a o śro d k a i po u w zg lęd n ie n iu zw iązk u (2 .1 ) o trzy m am y
3.2. B ilan s pęd u
W o śro d k u w ie lo s k ła d n ik o w y m d la k ażd eg o sk ła d n ik a z ach o d zi k lasy c z n y b ilan s pędu, uzupełniony o p rz e k a z p ę d u od p o z o sta ły c h sk ład n ik ó w [2]
(3.1)
(3.2)
(3.3)
338 A. Marynowicz
w k tó ry m O " = ^ t p f 1 o z n a c z a g ęsto ść ź ró d e ł p ęd u w sk ład n ik u a , czy li przekaz pędu od P
p o z o sta ły c h sk ła d n ik ó w fi do sk ła d n ik a a , F “ o z n a c z a siłę m aso w ą, a P “ siłę powierzch
n io w ą d z ia ła ją c ą na sk ła d n ik a .
Po o d p o w ie d n ic h p rz e k ształcen iach i po w y k o rzy stan iu b ilan su m asy całej mieszaniny (3 .2 ) o trzy m am y ró w n an ie ru ch u całeg o o śro d k a
P^jr = PFi +<Jij.j-'L(pC 'u?uC!)j-
(3'4)dt „ ■>
O sta tn i czło n w (3 .4 ) o k reślan y je s t ja k o tzw . te n s o r ciśn ień d y fu zy jn y ch i do dalszych ro zw ażań , ze w zg lęd u n a m ały w p ły w «, (a ty m sam ym je g o ilo czy n u ) na p rzeb ieg procesu, m o ż n a p rzy jąć, że je s t on ró w n y zero, por. [1].
3 .3 . B ila n s en erg ii i n ieró w n o ść w z r o stu en tro p ii
W p rzy p ad k u g d y w b ilan sach u w zg lęd n im y je d y n ie e n e rg ią m e c h a n ic z n ą ośrodka, to za
sad ę z a c h o w a n ia en erg ii m o ż n a o trzy m ać np. z ró w n ań ru ch u E u lera. R e a liz u je m y to mnożąc te ró w n a n ia p rz e z p ręd k o ść w, i w y k o n u jąc całk o w an ie p o o b ję to śc i w c h w ili t.
P o p rze k sz ta łc e n ia c h o trzy m am y
{
Pi W,dA+ J
pFi
w, dV=
\ a ijd iJd V + ^ - f p ^ d V ,(3.5)
a v v d t v 2
g d zie d tj o z n a c z a te n s o r p ręd k o ści o d k ształceń .
P ierw sze d w ie całki lew ej stro n y ró w n a n ia (3 .5 ) o k re ś la ją m o c sił zew n ętrzn y ch , trzecia, w y stę p u ją c a po praw ej stro n ie teg o ró w n an ia, o k reśla m oc m ech a n iczn ą, zaś o sta tn ia zmianę e n erg ii k in e ty c z n e j. M o c m ech a n ic z n a d efin io w a n a je s t ja k o p o c h o d n a p o c zasie energii we
w n ętrzn ej .
j t i p U = \ o „ d iJd V . (3.6)
V V
W an alizo w an y m p rzy p ad k u , o p ró c z en erg ii m ech a n iczn ej, n ależ y u w z g lę d n ić również e n erg ię c h e m ic z n ą p ro cesu d yfuzji. Po u w zg lęd n ie n iu pierw szej zasad y termodynamiki o trzy m am y b ilan s energii w o śro d k u w ielo sk ład n ik o w y m [1]
Z ± j p*fp«+K*)tv =
n v
a V (3.7)
W w y rażeniu ty m E a je s t elem en tem d o d atk o w y m o p isu ją c y m re d y stry b u c ję en erg ii m ię
dzy składnikam i [1], U a e n e rg ią w e w n ę trz n ą w ła ś c iw ą (czyli o d n ie s io n ą do sk ła d n ik a a ) , K“ energią k in e ty c z n ą w łaściw ą, n a to m ia s t ele m e n t p “ j e s t zw ią z a n y z p ro d u k c ją energii
wewnętrznej p rz e z ź ró d ła ciep ła. W p ro w a d z a ją c po lew ej stro n ie ró w n a n ia (3 .7 ) p o c h o d n ą względem c zasu p o d całkę, w y k o rz y stu ją c n a stę p n ie w z ó r G re e n a i su m u ją c po w szy stk ich składnikach o trz y m u je m y
w którym p ° o k re ś la c iś n ie n ie h y d ro staty cz n e.
W ystępujący w p o w y ższy m ró w n an iu człon o zn a c z o n y sy m b o lem M m o ż n a zin terp reto w ać na podstaw ie lo k aln eg o sfo rm u ło w a n ia II z asad y term o d y n a m ik i, z g o d n ie z k tó rą d la zjaw isk nieodwracalnych p ro d u k c ja en tro p ii w ew n ętrzn ej j e s t zaw sze d o d atn ia:
Na tej p o d sta w ie w p ro w a d z a się p o ję c ie tzw . fu n k cji d y ssy p a ty w n e j, d efin io w an ej ja k o iloczyn w y d a jn o śc i ź ró d ła en tro p ii i te m p e ra tu ry b ezw zg lęd n ej, czyli
w której t o z n a c z a czas, a T - tem p eratu rę.
S fo rm u ło w an ie p o w y ż sz e o p is u je n am p o je d y n c z y c z y n n ik w y w o łu jący p ro d u k c ję entropii.
W ośrodku w ie lo sk ła d n ik o w y m w y stę p u je w ie le ta k ic h b o d źcó w , stąd te ż m o ż n a j e zap isać jako ich su m ę [4]
(3.8) dV
M
d S w > 0 . (3.9)
d t
(3.1 0 )
f' = £ r r > o .
(3.11)a
340 A. Marynowicz
W ielk o ści X a o k re ś la ją tu u o g ó ln io n e b o d źce term o d y n am iczn e, n a to m ia st ./“ przedsta
w ia u o g ó ln io n e p rzep ły w y b ęd ące sk u tk iem d z ia ła n ia ty ch b o d źcó w . Z g o d n ie z tym i założe
niam i M n ależ y ro zu m ieć ja k o p o te n c ja ł ch em iczn y sk ład n ik a a w y w o łu jący strum ień masy j “ . Po p rz e k sz ta łc e n ia c h o trzy m am y o stateczn ie
P ^ = Pr ~9U + V * + I
dt a dt
- I P a R“M a - Ia a
™ O sta tn ie trzy czło n y , czyli część z w iązan a z przep ły w em m asy, o d p o w ia d a ją za zmianę en erg ii w ew n ę trz n e j s p o w o d o w a n ą z m ia n ą stężeń sk ład n ik ó w o raz ź ró d e ł ciep ła, a także okreś la ją je j w p ły w n a z m ia n ę stru m ie n ia m asy j " .
N ie ró w n o ść w zro stu en tro p ii o trzy m u jem y w ro zw ażan y m p rzy p ad k u w ykorzystując nie
ró w n o ść C la u siu sa -D u h e m a k tó ra zak ład a, że szy b k o ść zm ian całk o w itej entropii S jest m n ie js z a n iż su m a stru m ie n ia en tro p ii p rz e z p o w ierzch n ię o śro d k a i o b ję to śc io w a produkcja e n tro p ii w o śro d k u . N ie ró w n o ść ta m a postać
— > f ^ - d V - \ ^ - d A , (3.13)
dt \ t [ t
g d zie: — = — i ps d V , p s - g ęsto ść entropii.
dt d t }v
D o p ły w en tro p ii do o śro d k a z je g o o to cze n ia (d ru g a całka) n astęp u je w efekcie: a) działa
n ia k o n w ek cy jn eg o p rzep ły w u en tro p ii, p rzen o szo n eg o w raz z m a k ro sk o p o w y m ruchem całej s u b s ta n c ji o raz b) w y p ad k o w eg o p rzep ły w u en tro p ii w y w o łan eg o d y fu z ją poszczególnych sk ład n ik ó w . D o p ły w te n m o że m ieć w arto ść d o d a tn ią u je m n ą lub w szczeg ó ln y m przypadku b y ć ró w n y zero.
W p rzy p ad k u c ia ła w ie lo sk ład n ik o w eg o n ieró w n o ść (3 .1 3 ) m a p o stać
¡ \ p ^ + l ( p au?sa l
V _ o
P o p rze k sz ta łc e n ia c h o trzy m am y
P ^ r T + T ' L ( p aUi ' S a ) l - { p r - qu )+ > 0 . (3.15)
dt a l
d V > dA . (3.14)
4. Nierówność rezydualna
N ierów ność re z y d u a ln ą o trz y m a m y z b ila n só w m asy, p ęd u , en erg ii i n ieró w n o ści w zro stu entropii. W y stę p u je w niej z m ia n a en erg ii w ew n ętrzn ej o raz z m ia n y n a tu ry m ech a n iczn ej i niem echanicznej, z ty m że z m ia n a en erg ii w ew n ętrzn ej w y w o ła n a je s t z m ia n ą en tro p ii i o d kształceń. Je s t to sy tu a c ja n iek o rzy stn a , g d y ż z m ia n a en tro p ii je s t tru d n a do z m ierzen ia. N ie równość tę m o ż n a z m o d y fik o w ać, w iążąc j ą z e n e rg ią sw o b o d n ą, z w a n ą te ż p o te n c ja łe m te r
modynam icznym H e lm h o ltz a , w p o staci
pA = p U - p S T (4.1)
Potencjał ten je s t o d p o w ie d n ik ie m p o te n c ja łu G ib b sa w w a ru n k ach izo term iczn y ch i izo- chorycznych, czyli d la T = c o n s t i V = c o n s t .
R óżniczkując (4 .1 ) p o czasie o trzy m am y
pA = p U - p Ś T - p s t . (4.2)
Po p o d staw ien iu (4 .2 ) do n ie ró w n o śc i w zro stu en tro p ii (3 .1 5 ) i p o m in ię c iu , z g o d n ie z z a ło żeniami, c zło n u te m p e ra tu ro w e g o , o trzy m am y
p ^ r + + l p a^ r M a - l paRaM° ~ I j°M °> * 0 • (4 -3)
Clt a a d t a a
5. Równania konstytutyw ne
Aby pełniej o k re ślić ró w n a n ia k o n sty tu ty w n e w p rzy p ad k u c ia ła w ielo sk ła d n ik o w e g o , n ie zbędne j e s t w p ro w a d z e n ie tzw . p aram etru w ew n ętrzn eg o . P a ra m e tr tak i o p is u je w ew n ętrzn e, nieodwracalne z m ian y stru k tu ry o śro d k a i n ie w y stę p u je w n ieró w n o ści re z y d u a ln e j. P rz y j
miemy p o n ad to , że e n e rg ia w e w n ę trz n a j e s t fu n k c ją o d k ształceń , stężeń i p aram etró w w e
wnętrznych (sk alarn y ch ), z w iązan y ch z o d k sz ta łc e n ia m i z a le ż n o śc ią lin io w ą [2]
r = s “ ć , . (5 .D
Energię w e w n ę trz n ą p rz y jm u je m y zate m w p o staci
pA = X p “ A(% C “ , r ) . (5 .2 )
342 A . Marynowicz P o zró ż n ic z k o w a n iu p o w y ższej n ieró w n o ści w zg lęd em czasu , a n astę p n ie podstaw ieniu te
go w y n ik u d o n ie ró w n o śc i (4 .3 ) p rzy u w zg lęd n ie n iu (5 .1 ) o trzy m am y
a „a ĆM g ÓA a
a < W “'
« V 3C ) (5.3)5 .1. N a p rężen ia w sk ła d n ik u a
W o k re ślo n y c h w a ru n k ach m o żem y z z a le żn o ści (4 .5 ) u zy sk ać ró w n an ie konstytutywne o p is u ją c e n a p rę ż e n ia w sk ład n ik u a : a) w y w o łan e p rzep ły w am i d y fu zy jn y m i, a także b) za
leżn o ść d e fin iu ją c ą p o te n c ja ł ch em iczn y . N ap rę ż e n ie w y rażo n e je s t p o n iż s z ą zależnością
8A „ dA
9 e , + P 3 ^ (5-4)
P rz y jm u ją c w (5 .4 ) o z n aczen ie
o trz y m u je m y
P “ ~ = o r a z
Pa^ B“ =
T “ ’ ( 5 ’4 a )a “ = (T ?+ t“ . (5.4b)
W za le ż n o śc ia c h p o w y ższy ch ele m e n t <7° in terp re to w ać n ależy ja k o nap rężen ie uśrednione p o w sz y stk ic h sk ład n ik ach , n a to m ia st e le m e n t t ? trak to w ać n ależ y ja k o o d ch y łk ę (zmianę) n a p rę ż e ń w y w o ła n ą zm ian am i w ew n ętrzn y m i, z a le ż n ą od cech in d y w id u aln y ch składnika a .
6. U w agi końcow e
W p rz e d sta w io n e j p racy z a p ro p o n o w an o o p is zja w isk to w arzy szący ch d y fu zji w ośrodku p o ro w aty m . Z e w zg lęd u n a zło żo n o ść pro cesu k o n iecz n e stało się w p ro w ad zen ie wielu u p ro szczeń . W p re z en to w an y m m o d elu z asto so w an o p a ra m e tr o p isu ją c y w ew n ętrzn e odzia- ły w a n ia m ied zy sk ład n ik am i o środka. P o d staw o w y m p ro b lem je s t o k re śle n ie ilo ścio w e warto
ści te g o p aram etru , co w ią ż e się z o p raco w an iem o d p o w ied n ieg o m o d elu eksperym entalnego.
N ie m niej zło ż o n e j e s t zag a d n ie n ie w y z n a c z e n ia sk ład o w y ch te n s o ra 6 “ .
LITERA TU RA
1. Bowen R . M .: T h e o ry o f m ix tu res, C o n tin u u m P h y sic s (A .C . E rin g e n ed .), 3, A cad em ic Press, N ew Y o rk 1976.
2. K ubik J.: T h e rm o d iffu sio n flo w s in a so lid w ith a d o m in a n t c o n stitu e n t, I.F .M . 4 4 , R uhr- Uni, B o c h u m 1985.
3. Św irska J.: A n a liz a p ro c e só w c ie p ln o -w ilg o tn o śc io w y c h to w a rz y sz ą c y c h k o n d en sacji pary w o d n ej w p rze g ro d a c h b u d o w lan y ch . R o z p ra w a d o k to rsk a, W S I, O p o le 1998.
4. Tokarski M ., T k a c z y k St.: W p ro w a d z e n ie w te rm o d y n a m ik ę sto p ó w , S k ry p t n r 44 W S I w Opolu, O p o le 1977.
R ecen zen t: P ro f, d r hab. inż. S zc z e p a n B o rk o w sk i
A bstract
There is p re se n te d a d e sc rip tio n o f d iffu sio n stress c au sed by flo w in g m ed iu m . T h is m ed ia usually h av e v a rio u s stru ctu res a n d ap p e a r in v a rio u s p h ases. A s th e m ig ra tin g c o n stitu e n t w e can assum e such su b sta n c e s as m o istu re, v ario u s v ap o u rs, in c lu d in g a g g ressiv e one, etc.
