O pewnej teorio-modelowej wersji twierdzenia Gabriełowa o dopełnieniu

Teoria Osobliwości Kraków, 10-17 września 2000

str. 67-71

O

PEWNEJ

TEORIO-MODELOWEJ

WERSJI

TWIERDZENIA

GABRIEŁOWA O

DOPEŁNIENIU

KRZYSZTOF JAN NOWAK

Najogólniej mówiąc,

geometria bada pewne

klasy zbiorów i funkcji,

oraz

nadbudo

­

wane

na

nich

struktury.

W

niniejszym referacie przedstawiamy

klasę zbiorów i funkcji

subanalitycznych

z

perspektywy teorii modeli.

Naszym

głównym

celem

jest prezen­

tacja

pewnej teorio-modelowej

wersji twierdzenia o dopełnieniu, która

uogólnia kla

­

syczny rezultat

Gabrielowa (1968)

i umożliwia wyprowadzenie wielu

ważnych konse­

kwencji.

Przypomnijmy, że

geometria semialgebraiczna bada

zbiory

definiowane

przez rze

­

czywiste równania

i nierówności wielomianowe oraz

przez operacje boolowskie

(ope­

racje sumy,

przecięcia

i dopełnienia

zbiorów).

Tym.

co

sprawia,

iż

ta klasa

zbiorów jest

tak ważna,

jest

słynne twierdzenie Tarskiego-Seidenberga, które mówi,

że jest

ona

zamknięta ze względu na projekcje.

W języku logiki

można

to wyrazić

w sposób równoważny mówiąc, że

struktura

(R, <,

0,1,

+,•)

liczb rzeczywistych dopuszcza

eliminację kwantyfikatorów. Wspomnimy, że

pewne teorio-inodelowe

kryterium

elimi

­ nacji

kwantyfikatorów sprowadza się, w

przypadku teorii

ciał algebraiczniedomknię

­

tych oraz ciał

rzeczywiście

domkniętych, do weryfikacji

następujących

elementarnych

faktów:

Stwierdzenie. Rozważmy

dwa

ciała

K

C L, skończoną liczbę

wielomianów p1(T),...,p

r

(T) e K[T]

jednej

zmiennejT, i dowolny

element

b€

L. Wtedy

1) Jeśli ciała

K

i L są

algebraicznie

domknięte,

to

istnieje element a. € K, taki że

dla każdego i zachodzi

równoważność

P

t(a) — 0

<=>

Pt(b) =

0:

2)

Jeśli

ciała

K

i

L

są rzeczywiście

domknięte,

to

istnieje

element

a

e I\

, taki

że dla każdego

i

zachodzi

równoważność

Pi(a)

=0

<=>

Pt

(b)

= 0 and Pt(a) > 0

<=> F,(6) > 0.

Geometria semianalityczna

bada

zbiory, które są

definiowane — lokalnie —

przez

rzeczywiste

równaniai

nierówności analityczne, oraz przez operacje

boolowskie. Nie

­

mniej

jednak, zbiory

takie nie

są

zamknięte

ze względu

na projekcje

właściwe, co

prowadzido

rozważania szerszej klasy

zbiorów

subanalitycznych; zbiory subanalitycz- ne

sąlokalnie projekcjami

ograniczonych

(względnie

zwartych)

zbiorów

semianalitycz-

nych.

Można

łatwo

sprawdzić, że

sumai

przecięcie

lokalnieskończonej

rodziny zbiorów

subanalitycznych

są

także

zbiorami subanalitycznymi.

Klasyczne twierdzenie

Gabrielowa

mówi,

że dopełnienie zbioru subanalit.ycznego

jest

też

zbiorem subanalitycznym. Można

to

wyrazić

w sposób

równoważny mówiąc.

że klasa

zbiorów subanalitycznych

jest zamknięta ze

względu na operacje boolow- skie

i

projekcje zbiorów

ograniczonych (względnie zwartych).

Twierdzenie Gabriełowa może być także traktowane

jako pewien

rodzaj eliminacji

kwantyfikatorów.

Aby

to

zobaczyć,

rozważmy klasę

globalnych

podzbiorów subanalitycznych

w K", tzn. tych

podzbiorów

w R

n, które

sąsubanalityczne w

pewnej

(a

wtedy

w każdej) sernialgebra- icznej

kompaktyfikacji

przestrzeni R

n (na

przykład

w

P„(R)).

Klasa ta składa

się

do­

kładnie

ze zbiorów definiowalnych

zapomocą

formuł

egzystencjalnych w rozszerzeniu Ran

uporządkowanego

ciała liczb

rzeczywistych, utworzonego przez dołączenie

tzw.

uciętych

funkcji analitycznych, tzn. takich funkcji rzeczywistych,

któresą

analityczne

wotoczeniu

zwartych kostek, przedłużone

przez

zero

poza

tymi kostkami (dowód po­

zostawiamy

czytelnikowi).

Dlatego twierdzenie o

dopełnieniumówi,

że każda formuła pierwszego

rzędu

jest

równoważnaw ramach

struktury

R

an pewnej

formule egzysten

­ cjalnej, co

pozwala

na

eliminację

kwantyfikatorów uniwersalnych.

W podobnysposób można oczywiście

eliminować

kwantyfikatory egzystencjalne.

Powyższe

oznacza

w

ję

­ zyku

teorii

modeli, że

struktura Rnn

jest

modelowozupełna.

Jednak teoria

modelidostarcza

wielu kryteriów

modelowej

zupełności,

jak

na przy­

kład test

Robinsona.

Wspomnimy, że

pojęcie modelowej zupełności

zostało

wprowa

­

dzone przez

A. Robinsona

(1956), i wiąże się z

pojęciem podstruktury elementarnej, zdefiniowanym

i badanym przez

A. Tarskiego.

Przypomnimy teraz

niezbędną

termi

­

nologię

teorii modeli. Rozważmy

dwie

struktury

9J? i

91

pewnegojęzyka £.

Mówimy, że

OT

jest

podstrukturąw

91,

OT

C 91,

gdy

zbiór

podstawowy

M =|

OT

| struktury OT jest

podzbiorem zbiorupodstawowego

.V =| 91

| struktury

91, a

interpretacjakażdego

symbolu relacji,

funkcji i stałej w OT

jest

restrykcją

odpowiedniej

interpretacji w

91.

Można

to wyrazićw

sposób równoważny mówiąc, że

dladowolnej

formuły atomicznej

^(j

’

i,...,T

n)

i dowolnych elementów cii,...,a

n €

Tli,

zachodzi równoważność OT

|= ...

,a„]

iff 911=

...

a

n

].

Mówimy,

że

OT

jest

podstrukturą elementarną

struktury 91,

OT -< 91, gdy powyższa

równoważność zachodzi

dla dowolnej formuły ...,xn

).

Kryterium modelowej

zupełności.

Dla teorii T następujące warunki są rów

­

noważne:

1) T

jest modelowo zupełna,

tzn. każda formula uniwersalna języka £ jest T-rów­

noważna pewnej

formule egzystencjalnej

(a

wtedy każda formuła jest

T-równoważna

pewnej formule egzystencjalnej

— ćwiczenie);

2)

dla dowolnych

dwóch modeli

OT

C

91 teorii T,

OT

jest

podstrukturą

elementarną

struktury

91:

OT

-<91;

3) dla dowolnych

dwóch

modeli OT

C 91

teorii T

,

każde zdanie egzystencjalne z parametrami z

OT prawdziwe w 91,

jest

prawdziwe

w 911.

Innymi

słowy, dla

każdej formuły

'p(x,

y) bez

kwantyfikatorów, takiej że

¥»(«1, • • •

i

Sn, ł-i

i

•

•

•. ¿m)

z

pewnymi Si,

...,sn € M

i

ii,...,tm

€

N, istnieją

elementy

t\....

,t'

m €

M,

takie że

¥>(«1,..., s

n

, t],...,

t

m

) (test

Robinsona).

W

dalszym

ciągu

przedstawimy

następującą mocniejszą wersję twierdzenia

o

do

­

pełnieniu: modelowo

zupełna jest

nie tylko

struktura

R

an,

lecz

także

pewna aksjo-

matyczna teoria T

an

, której

modelem

jest

R

o

„. Jej aksjomaty są tak dobrane,

by

zagwarantować modelową zupełność.

Nasz

dowód

jest oparty

na teście Robinsona,

i

wykorzystuje twierdzenie Tarskiego-Seidenberga

o eliminacji kwantyfikatorów

dla ciał rzeczywiściedomkniętych, twierdzenie przygotowawcze

Weierstrassa oraz

pewien

lemat redukcyjny.

Bezpośrednim wnioskiem

jest fakt, że

teoria Tan

pokrywa

sięz semantycznąteorią Th(R

an

) wszystkich zdań

prawdziwych

w strukturze

R

o„.

Innymi słowy,

aksjomaty teorii Tan stanowią

również aksjomatykę teorii

Th(Ran).

Pewne ważne konsekwencje

powyższej teorio-modelowej wersji

twierdzenia Gabriełowa zostaną

podane

na końcu

referatu. Wprowadzimy

teraz

precyzyjne

oznaczenia.

An oznacza

pierścień

rzeczywistych

funkcji /(r), analitycznych

wotoczeniu

kostki

Z"

C

R" (n e N),

gdzie

I =

[

—

1.1] C R,

x

= (.

tj

...

zn):

X

k E A„,

Xfe(xi,.

,.,xn

) = xk (A- = 1,....n);

£an

jest językiem

pierwszego rzędu

{<,0,1,+,—

, }

pierścieni

uporządkowanych, rozszerzonym

przez

dołączenie nowych symboli

funkcji

dla wszystkich f €

An (n

e N);

Ran

jest

rozszerzeniem uporządkowanego

ciała

liczb rzeczywistych (R.<,0,1,+,-.•)

w

języku £

an, utworzonymprzez dołączenie

uciętych funkcji analitycznych

(tzn.

funk­

cji

z rodzin

,4

n,

n

€

N, przedłużonych przez

zero poza

kostkami I’

1

);

fK

oznacza

interpretację

symbolu w

strukturze K języka C

an.

Aksjomatami teorii Tan języka

Can

są

postulatycharakteryzujące ciałarzeczywiście

domknięte

(aksjomatyka

teorii

ciał

uporządkowanych

wrazz własnością

Darboux

dla

wielomianów) oraz

następujące schematy aksjomatów:

n

V I

t,|>

1

=> 0&

(

t) =

r

v(i)

=

X

k{x)

=

/

fc

(2r) = 0:

2=1

A | Xi |<

1

=>

0

&

(

t

) =

0A 1ł

’(

t

) = 1 A Xfc(x)

= x

k\

i=l

(/+

9^(x) =

/

&(x)

+

g

&(x);

(f-g)*^)

= f

&(x) •

g

k

(x);

n m

A

I^|C1a

/\

|L/T)|C1

gk(x)

= /W)

2=1 J = 1

o ile L

=

(Li,

...,

Lm)

: Rn

—

> R

m jest odwzorowaniem

afinicznym, f €

A

m,g

G A

n,

oraz g

=

f

o

L

w otoczeniu

kostki

I

n

.

Oczywiście, struktura R

an jest modelem

teorii

T

an

,

zwanym modelem

standardo­

wym. W dalszym ciągu K

będzie

zawsze oznaczać pewien

model teorii T

an.

Każda liczba

rzeczywista

a

wyznacza

symbol

stałej językaCan

,

a odwzorowanie

R

—

> K, a

i—►

aK

jest

zanurzeniem

ciał zgodnym

z

porządkiem.

Będziemy

odtąd identyfikować

Rz

jego

obrazem

przez to

zanurzenie;

będziemy także identyfikować

rzeczywiste

wielomiany

P

:

R" —► R

z odpowiadającymi

wielomianami

Kn

—

>

K.

W ramach

języka £

nn, używamy do

konstrukcji

jedynie

uciętych

funkcji

analitycznych,

co zastępuje

—

dzięki finitarnemu charakterowi logiki

pierwszego

rzędu — założenia

zwartości globalnej

geometrii subanalitycznej.

Uwagi. 1)

Jeśli /(

t

) jest

funkcją analityczną w punkcie

a €

R", możemy kano

­

niczniezdefiniować wartości

f

K

(a +

A) dla

wszystkich

A €

m

n

, gdzie m

oznacza

zbiór nieskończenie małych

z ciała uporządkowanego

A'. Co

więcej

fK (a +

A)

e

f(a)

+

m.

2) Struktura Ran

jest

zanurzona w

każdym modelu

K teorii

T

an. Wystarczy mia

­

nowicie pokazać,

że

f

h

(a)

= /(a)

dlakażdej funkcji /

analitycznej

w punkcie

a 6 R".

Ale f(x) —

f(a)

= 52P=1

(T

j

—

a.t

) ■

g

t(x)

dla

pewnych funkcji g

t

analitycznych

w o,

skąd

f

K

(a)

- f(a)

=0.

Teorio-modelowa

Wersja

Twierdzenia

Gabriełowa o Dopełnieniu.

Teoria T

an

jest modelowo

zupełna.

Dowód

jest oparty na teście

Robinsona.

Rozważmy

dwa

modele K C

L teorii

Tan

i dowolną formułę

y)

(j- =

(Tl,

. .

.

,

T„), y = (yi

...

y,„))

bez

kwantyfikatorów. Sprawdzając test Robinsona,

można

założyć (dodając

nowerów

­ nania

i nowe zmienne),

że

ip(x.

y) jest skończoną koniunkcją

formuł atomicznych

po­

staci

fkfayY®

lub Pi(x,

y)?0.

gdzie fk są rzeczywistymi

funkcjami

analitycznymi

wpewnych kostkach, Pi

są rzeczy­

wistymi wielomianami,

a ?

oznacza < lub

=. Zakładając, że 1,

• • • .

STl

, 11...

t

rn)

dlapewnych

S]... sn

€ A',

i], t.m

e L, mamyznaleźćt\,...

,t'

m e A',dlaktórych t

(«

i

... s„.t\...t'm).

Potrafimy

nawet znaleźć żądane

elementy e

A

’

, takie

że

dla każdego i =

1,... ,m,

albo

i'

i ti

są jednocześnie nieograniczone,

albo t' i tt

różnią

się

o

nie

­

skończeniemałą

(modyfikacja

zmiennych onieskończenie małe).

W

tym

celu

wyko

­

rzystamy indukcjęze

względu

nam. Przypadekm = 0

jest trywialny.

Biorąc dowolne

m

> 0 i

zakładając

możliwość

modyfikacji m — 1 zmiennych

t\.... mamy

udo­

wodnić możliwość

modyfikacji m

zmiennych t,

...

tm.

Wskażemy tutaj jedynie główne

idee powyższego

dowodu

indukcyjnego.

Będziemy

przy tym potrzebować

pewnego kluczowego

lematu dotyczącego zbieżnych

szeregów potęgowych.

Lemat Redukcyjny.

Jeśli

f(x.y)jest

zbieżnym szeregiem potęgowym

zmiennych x

= (

tj,...,

x

n)

i

y = (yi,

■

■■

•

?/m

), wtedy istnieją liczba naturalna

d i

zbieżne

szeregi potęgowev

o

(x), uQ(x,y) (a &

N

m

,

| n

|<

d). takie

że

u

o(0,0)

0 oraz

f(-r-y)=

52 vQ

(x)y

aua

(x.y).

|

q|<d

Istnienie formalnych

szeregów

potęgowych

vq

(

t), uq

(

t

, y) w

powyższym

lemacie

nie

nastręcza

wielkich kłopotów.

Trudniejszym

problemem

jest kwestia

ich zbieżno

­

ści.

Można go jednak szybko rozwiązać wykorzystując

płaskość pierścienia szeregów formalnych nad

pierścieniem

szeregów

zbieżnych.

Wykorzystując ten lemat redukcyjny i

dodając nowe zmienne

v

a

(które będą

gra­

ły

tę samą rolę co

zmienne

z),

możemy

zredukować sytuację do

przypadku,

gdy

funkcje /fc(z,t',y), występujące

w formule

ę?,

są regularne względem ym (chodzi

tu o

regularność

występującą w

twierdzeniu przygotowawczym Weierstrassa). Dzięki twierdzeniu przygotowawczemu, funkcje te

mogą być zastąpione

przez

wielomiany

zmiennej ym

o współczynnikach analitycznych

zmiennych y\,...,ym

-\

. Twierdzenie Tarskiego- Seidenberga

doprowadza nas

do

pewnej

formuły egzystencjalnej

wiążącej jedynie zmienne

yi,

...

W ten

sposób

powinniśmy

teraz zmodyfikować o

nie

­ skończenie

małe jedynie

zmienne

yi,...,y

m-i.

Możliwość

takiej modyfikacji wynika więc

z

założenia indukcyjnego

dla m— 1, co kończy dowód twierdzenia.

Ponieważ

struktura

Ran

jest zanurzalna

w każdy model teorii Tan

, natychmiast

otrzymujemy

Wniosek. Teoria aksjomatyczna

T

an

pokrywa

się

z semantyczną teorią

Th(Kn

„) wszystkich zdań języka

Can

,

które są prawdziwe w

strukturze R

an. Innymi

słowy,

ak

­

sjomaty

teorii T

an

stanowią

jednocześnie

aksjomatykę

teorii Th(IRan).

Wniosekten pozwalana łatwą

w wielu przypadkach

weryfikację, czydanastruktu

­ ra

K

języka

Can

jest

elementarnie

równoważna ze

strukturąRa

„,

co

byłoby w

ogólnej sytuacji zagadnieniem trudnym.

Z

różnych

konsekwencji powyższej

teorio-modelowej

wersji

twierdzenia

o dopełnieniu, wymienimy

dwie najważniejsze. Mogą być

one

wy

­

prowadzone za

pomocą ogólnych

metod teorii

modeli.

Opis globalnych

zbiorów

subanalitycznych.

(Dcnef

van den

Dries,1988) Teo

­ ria T

an

dopuszcza

eliminację kwantyfikatorów

w języku Can U

{1/} (gdzie

1/

oznacza

jednoargumentową

funkcję

{

ti

—

►

1/

t

}

dla

:r 0, zaś

dla x = 0 kładziemy

1/0 =

0/

Opis globalnych funkcji subanalitycznych.

Każda

globalna

funkcja subanali-

tyczna

jest

definiowalna przez

jeden term w rozszerzonymjęzyku

£

an

U{l/}U{^: n =

2,3,...}.

(Silnym wzmocnieniem

powyższego

opisu

jest

słynne twierdzenie przygotowawcze Liona-Rolina,

1997)

Instytut Matematyki, Uniwersytet Jagielloński

E-mail address: novakCim.uj.edu.pl