Ocena kinematycznych i dynamicznych własności ramienia manipulatora o napędzie równoległym

ZE S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą SKIEJ 1 9 8 1

Seria: M E C H A N I K A z. 91 Nr kol. 1026

X I n M I Ę D Z Y N A R O D O W E K O L O K W I U M

"MODELE W P R O J E K T O W A N I U I K O N S T R U O W A N I U M A S ZYN"

13th I N T E R N A T I O N A L C O N F E R E N C E ON

" M O DELS IN D E S I G N I N G A N D C O N S T R U C T I O N S O F MA C H I N E S "

2 5 - 2 8 . 0 4 . 1 9 8 9 Z A K O P A N E

K r z y s z t o f MIANOWSKI, Ka z i m i e r z NAZARCZUK, Tomasz' URBANIEC I n s tytut Techniki Lo t n i c z e j i M e c haniki S t osowanej P o l i t e c h n i k a W a r s z a w s k a

O C E N A K I N E M A T Y C Z N Y C H I D Y N A M I C Z N Y C H WŁ A S N O Ś Ć I RAMIENIA M A N I P U L A T O R A O N A P Ę D Z I E R Ó W N O L E G Ł Y M

S t reszczenie. W p r a c y p r z e d s t a w i o n a p r o g r a m y komputerowe p r z e z n a c z o n e d o a n a l i z y k i n e m a t y c z n e j i kinetostatycznej r a m i e n i a m a n i p u l a t o r a o n i e t y p o w e j r ó w n o l e g ł e j strukturze. Programy te s ą w y k o r z y s t y w a n e m. in. d o w y z n a c z a n i a i r y s o w a n i a wielościanów p r z e d s t a w i a j ą c y c h z a k r e s y prę d k o ś c i i-,przyspieszeń możliwych do o s i ą g n i ę c i a przez k o ń c ó w k ę r a m i e n i a p r z y da n y m położeniu i o k r e ś l o n y c h c h a r a k t e r y s t y k a c h zespołów, napędowych.

1. Wstęp

W o s t a t n i c h lata c h p o d e j m o w a n e s ą pró b y opracowania konstrukcji tzw. m a n i p u l a t o r ó w r ó w n o l e g ł y c h wzorowanych na p l a t f o r m i e S t e w a r t a C3I, C51. T y p o w y m a n i p u l a t o r równoległy jest u t w o r z o n y przez uk ł a d s z e ś c i u s i ł o w n i k ó w liniowych, z k t ó rych k a ż d y jest p o ł ą c z o n y za p o m o c ą p r z e g u b ó w z jednej strony z podstawą, a z d r u g i e j s t r o n y z platformą, na której jest z a m o c o w a n y chwytak. Zaletami t a k i e g o r o z w i ą z a n i a są: lekk o ś ó konstrukcji, d u ż a s z t y w n o ś ć i w y s o k a d o k ł a d n o ś ć pozycjonowania.

Do j e g o wad m o ż n a z a l i c z y ć małe z a k r e s y r u c h ó w oraz skomplikowane a l g o r y t m y sterowania.

N i n i e j s z a p r a c a d o t y c z y manipulatora, w którym tylko r a m i ę z w a n e t r ó j s i ł o w n i k o w y m ma na p ę d równoległy, natomiast kiść o s a d z o n a n a k o ń c ó w c e t e g o r a m i e n i a jest n a p ę d z a n a oddzielnie.

N a rys. 1 p r z e d s t a w i o n y jest s c h emat k i n e m a t y c z n y r a m i e n i a t r ó j s i ł o w n i k o w e g o z n a p ę d e m e l e k t r y c z n y m r e a l i z o w a n y m przez, trzy s i ł owniki l i n i o w e z p r zekładniami śrubowymi. Siłowniki te o z n a c z o n a na s c h e m a c i e cyframi, a c z ł o n y b i e r n e literami. M o ż n a tu w y r ó ż n i ć d w a p ł a s k i e z a m k n i ę t e ł a ń c u c h y k i n e m a t y c z n e p o ł ą c z o n e ze s o b ą p r z e g u b e m kulistym. Jeden z tych p ł a s k i c h ł a ń c u c h ó w t w o r z ą siłowniki 2, 3 wraz z c z ł o n e m d , a drugi czło n y a, b , c z s i ł o w n i k i e m 1. Dzięki t e m u ka ż d y z s i ł o w n i k ó w ma zapewnione o d p o w i e d n i e p r o w a d z e n i e t ł o c z y s k a w z g l ę d e m korpusu, w y m a g a n e przez p r z e k ł a d n i ę śrubową.

1 1 2 K. Mianowski, K. Nażarcżuk, T. Urbaniec

Rys. 1. U p r o s z c z o n y s c h e m a t k i n e m a t y c z n y r a m i e n i a manipulatora.

Fig. 1. S i m p l i f i e d s c h e m e of t h e m a n i p u l a t o r arm.

Do cel ó w b a d a w c z y c h został w y k o n a n y model l a b o r a t o r y j n y r a m i e n i a t r ó j s i ł o w n i k o w e g o w skali 1:1. J e g o s c h e m a t k i n e m a t y c z n y różni się od s c h e m a t u p r z e d s t a w i o n e g o n a rys. 1 tym, że w y s t ę p u j ą w nim d w a p r z e g u b y wielokrotne:

- p r z e g u b płaski, ł ą c z ą c y r ó w n o c z e ś n i e c z ł o n y a i b z s i ł o w n i k i e m nr 1,

- p r z e g u b s p e c j a l n y z a s t ę p u j ą c y p r z e g u b k u l i s t y i z a p e w n i a j ą c y p r z e c i n a n i e się osi t ł o c z y s k w s z y s t k i c h trz e c h s i ł o w n i k ó w w j e d n y m p u n k c i e z w i ą z a n y m z c z ł o n e m c.

Na k o ń c u c z ł o n u c p r z e w i d z i a n e jest u m i e s z c z e n i e kiści zwanej sferyczną, k t ó r a w y k o n u j e r u c h y o b r o t o w e w z g l ę d e m t r z e c h osi p r z e c i n a j ą c y c h s i ę w j e d n y m punkcie.

2. P r o g r a m y k o m p u t e r o w e do a n a l i z y k i n e m a t y c z n e j i k i n e t o s t a t y c z n e j r a m i e n i a t r ó i s i ł o w n i k o w e a o

A b y u ł a t w i ć p r o j e k t o w a n i e m a n i p u l a t o r a z r a m i e n i e m t r ó j s i ł o w n i k o w y m i k i ś c i ą s f e r y c z n ą ( o p r a c o w a n o k i l k a p r o g r a m ó w k o m p u t e r o w y c h w j ę z y k u T u r b o Pascal:

p r o g r a m M A N r o z w i ą z u j ą c y p r o s t e z a g a d n i e n i e kinematyki m a n i p u l a t o r a w z a k r e s i e położeń,

- p r o c e d u r ę W A L C E z a p e w n i a j ą c ą i l u s t r a c j ę g r a f i c z n ą konfig u r a c j i manipulatora,

- p r o g r a m R0B0T1 p r z e z n a c z o n y do a n a l i z y s t a t y c z n e j ma n i p u l a t o r a . P r z e w i d y w a n e p o c z ą t k o w o r o z s z e r z e n i e m o ż l i w o ś c i tych p r o g r a m ó w i w y k o r z y s t a n i e ich do a n a l i z y d y n a m i c z n e j o k a z a ł o s i ę trudne, p o n i e w a ż s t o s o w a n e w n i c h m a c i e r z e t r a n s f o r m a c j i w s p ó ł r z ę d n y c h j e d n o r o d n y c h n i e s ą w y g o d n y m s p o s o b e m o p i s u z a m k n i ę t y c h ł a ń c u c h ó w k i n e m a tycznych. O p r a c o w a n o więc n o w y p r o g r a m o n a z w i e DYNARO, w k t ó r y m a n a l i z a k i n e m a t y c z n a r a m i e n i a t r ó j s i ł o w n i k o w e g o jest d o k o n y w a n a p r z y u ż y c i u r a c h u n k u w e k t o r o w e g o z w y k o r z y s t a n i e m w z o r ó w u z y s k a n y c h na d r o d z e a n a l i t y c z n e j , przez r ó ż n i c z k o w a n i e w y r a ż e ń o p i s u j ą c y c h związki m i ę d z y d ł u g o ś c i a m i siłow n i k ó w , a p o ł o ż e n i e m p r z e g u b u ł ą c z ą c e g o ich tłoczyska.

P r o g r a m D Y N A R O r o z w i ą z u j e m. in. p r o s t e i o d w r o t n e z a g a d n i e n i e kinematyki r a m i e n i a d l a położeń, prę d k o ś c i i pr zyspfeszeń. P o w p r o w a d z e n i u d a n y c h d o t y c z ą c y c h r o z k ł a d u mas p o s z c z e g ó l n y c h c z ł o n ó w p r o g r a m ten r o z w i ą z u j e r ó w n i e ż o d w r o t n e

Ocena kinematycznych i dynamicznych. 113

zagadnienie dynamiki, tzn. umożliwia wyznaczenie przebiegów momentów napędowych w silnikach realizujących założony ruch.

Wykorzystuje się w tym celu częściową analizę kinetostatyczną. Po przecięciu w przegubie specjalnym ramię zostaje podzielone na grupy statycznie wyznaczalne. 2 trzech odpowiednio dobranych równań kinetostatyki wyznacza się składowe siły przenoszonej przez ten przegub z jednej grupy na drugą. Po trzech operacjach tego typu zostają wyznaczone siły działające w przegubie na poszczególne siłowniki. Następnie każdy z siłowników jest analizowany oddzielnie. Uwzględnia się przy tym tarcie w przekładniach śrubowych oraz momenty żyroskopowe wirników.

3. Szacowanie kinematycznych i dynamicznych możliwości ramienia manipulatora

Ocena kinematycznych i dynamicznych własności manipulatora wymaga przede wszystkim określenia Zakresów prędkości i przyspieszeń możliwych do osiągnięcia przez chwytak. Jeżeli q = Cq , qz,...,q^3 oznacza wektor współrzędnych uogólnionych manipulatora, a w(q) położenie punktu związanego z ostatnim członem w nieruchomym układzie współrzędnych, to:

w = J> q <1>

i = J q + j q (2)

gdzie J> = - macierz jakobianowa.

dą

Jeżeli wszystkie prędkości uogólnione spełniają nierówności:

q.' £ q. £ q." ; j = 1,2, ...,n (3) wynikające z ograniczonych możliwości zespołów napędowych, to obszar zawierający wszystkie możliwe realizacje wektora w jest wielościanem. W pracy Cli objętość tego wielościanu nazwano mobilnością manipulatora i przyjęto za jeden ze wskaźników jego własności kinematycznych. W pracy C23 jako wskaźnik opisujący własności dynamiczne manipulatora zaproponowano objętość wielościanu zawierającego wszystkie możliwe wartości wektora w.

Istotne są jednak nie tylko objętości takich wielościanów, ale również ich kształty oraz usytuowanie w przestrzeni. W pracy C43 przedstawiono program komputerowy służący do wyznaczania i wizualizacji wielościanów ilustrujących mobilność oraz dokładność pozycjonowania dowolnych manipulatorów mających postać otwartych łańcuchów kinematycznych.

Te same wielościany, oraz wielościan określający zakresy osiąganych przyspieszeń, czyli zrywność, wyznacza dla ramienia trójsiłownikowego program DYNARO. Z uwagi na brak miejsca zostanie przedstawiony tylko zarys algorytmu szacowania zrywności, w którym wykorzystano metodę wyznaczania wektora przyspieszeń uogólnionych q opisaną w pracy C61. Przy pominięciu sił tarcia ruch manipulatora o n stopniach swobód, i sztywnych członach można opisać równaniem macierzowym!

IB(q) q + C i q, q) = M + F (4) gdzie tB(q) jest macierzą bezwładności o wymiarach n x n , a pozostałe symbole oznaczają wektory o wymiarach n x 1, przy czym C(q, q) jest wektorem sił bezwładności pochodzących od przyspieszeń dośrodkowych i Coriolisa, natomiast wektory występujące po prawej stronie równania są wyodrębnionymi składnikami sił uogólnionych, 'wywołanymi działaniem napędu - M i sił zewnętrznych - F.

114 K. Mianowski, K. Nazarczuk, T. Urbaniec

R ó w n a n i e (4) m o ż n a p r z e d s t a w i ć w postaci;

fB (q) q = M - Mo (5)

gdzie:

M o = C<q, q) - F (6)

o z n a c z a wek t o r M s p e ł n i a j ą c y r ó w n a n i e (4) p r z y założeniu, że q = O. U przy p a d k u , k i e d y w s p ó ł r z ę d n e u o g ó l n i o n e są pr z e m i e s z c z e n i a m i k ą t owymi w i r n i k ó w w silnikach, M j e s t w e k t o r e m m o m e n t ó w n a p ędowych. S k ł a d o w e w e k t o r a M mo ż n a ł a t w o w y z n a c z y ć z r ó w n a ń k i n e t o s t a t y k i , m a j ą c d a n e w e k t o r y q, q, q i F oraz t e n s o r y bezwła d n o ś c i p o s z c z e g ó l n y c h .członów. W a n a l o g i c z n y sposób m o ż n a w y z n a c z y ć w e k t o r Mq p r z yjmując, że q Q = O, a w s z ystkie p o z o s t a ł e wi e l k o ś c i s ą niezmie n i o n e . Z r ó w n a n i a (5) wyni k a z wiązek:

b = M * - M (7)

j j o

gdzie:

b - j - t a k o l u m n a m a c i e r z y b e z w ł a d n o ś c i B(q>,

M^ - w e k t o r m o m e n t ó w n a p ę d o w y c h M w y z n a c z o n y p r z y założeniu, że w e k t o r q jest r ó w n y wektorowi q* = CO, 0,... , 1, . . .,0 1 T, w którym j - t a s k ł a d o w a j e s t ró w n a 1, a w s z y s t k i e p o z o s t a ł e s k ł a d o w e są r ó w n e zeru.

W y z n a c z a j ą c k o l e j n o w e k t o r y d l a j = 1 , 2 n o t r z y m u j e s i ę w s z y s t k i e k o l u m n y m a c i e r z y b e z w ł a d n o ś c i B. N a s t ę p n i e w y z n a c z a s i ę w e k t o r q ze z w i ą z k u :

q = B _i (M — M ) . (8)

O

S k ł a d o w e w e k t o r a M s p e ł n i a j ą warunki:

M.' < M, S M." ; j = l,2,...,n. (9)

gdzie:

i y i iy* - m i n i m a l n a i m a k s y m a l n a w a r t o ś ć j - t e g o m o m e n t u n a p ę d o w e g o p r z y danej pr ę d k o ś c i kątowej rów n e j q., w y n i k a j ą c a z c h a r a k t e r y s t y k s t a t y c z n y c h silnika.

R ó w n a n i e (8) wraz z n i e r ó w n o ś c i a m i (9) w y z n a c z a j ą obszar o k r e ś l a j ą c y z a k r e s y o s i ą g a n y c h p r z y s p i e s z e ń uogólni o n y c h . R o z w i ą z u j ą c p r o s t e z a g a d n i e n i e k i n ematyki m a n i p u l a t o r a m o ż n a w y z n a c z y ć wielościan^ z a w i e r a j ą c y w s z y s t k i e m o ż l i w e do z r e a l i z o w a n i a w e k t o r y w.

W p r o g r a m i e D Y N A R O z a s t o s o w a n o z m o d y f i k o w a n ą w e r s j ę p r z e d s t a w i o n e g o t u algorytmu. M o d y f i k a c j a ta z a p e w n i a w y z n a c z a n i e z r y w n o ś c i r a m i e n i a t r ó j s i ł o w n i k o w e g o z u w z g l ę d n i e n i e m t a r c i a w s a m o h a m o w n y c h p r z e k ł a d n i a c h ś r u bowych. G d y ż a d n a z prędkości u o g ó l n i o n y c h n i e r ó w n a s i ę zeru, s p o s ó b p o s t ę p o w a n i a jest w ł a ś c i w i e taki s a m jak popr z e d n i a . W y z n a c z a n e e l e m e n t y m a c i e r z y B z a l e ż ą jed n a k n i e t y l k o od w e k t o r a q, a l e ta k ż e od w e k t o r ó w q i F. P r z ypadek, w k t ó r y m q^= 0 (j e s t t r a k t o w a n y jak d w a o d d z i e l n e p r z ypadki, w których: q^= 10~B ms"1 oraz q = - 1 0 " B ais"1.

Za p o m o c ą p r o g r a m u D Y N A R O m o ż n a r ó w n i e ż o k r e ś l i ć obs z a r w y z n a c z a j ą c y wek t o r d o p u s z c z a l n y c h o b c i ą ż e ń z e w n ę t r z n y c h P, jaki m o ż e d z i a ł a ć n a k o ń c ó w k ę r a m i e n i a p r z y z e r o w y c h p r z y s p i e s z e n i a c h u ogólni o n y c h .

Ocena kinematycznych i dynamicznych.. ₁₁₅

K o r z y s t a s i ę p r z y t y m z zależności:

M - H = J>TP (10)

o

w y n i k a j ą c e j z z a s a d y p r a c p r zygotowanych.

4. Wnioski i uwaai

N a rys. 2b p r z e d s t a w i o n o wi d o k p e r s p e k t y w i c z n y wielo ś c r a n u p r z y ś p i e s z e ń w y z n a c z o n y d l a r a m i e n i a trójsiłowni k o w e g o z n a j d u j ą c e g o s i ę w p o ł o ż e n i u p o k a z a n y m na rys. 2 a przy z e r o w y c h p r ę d k o ś c i a c h początk o w y c h . Liniami przery w a n y m i zaznaczony jest podział o b s z a r u n a e l e m e n t a r n e kostki odpowiadające r ó ż n y m t r ó j k o m w e k t o r ó w g e n e r u j ą c y c h w i e lościan, co u ł a t w i a i n t e r p r e t a c j ę wyników. M o ż n a np. ła t w o stwierdzić, że p r z y s p i e s z e n i a końcówki r a m i e n i a w k i e r u n k u d o dołu m o g ą być w i e l o k r o t n i e w i ę k s z e niż do góry.

W y z n a c z a j ą c w i e l o ś c i a n y d o p u s z c z a l n y c h prędkości, p r z y s p i e s z e ń oraz o b c i ą ż e ń w r ó ż n y c h k o n f i g u r a c j a c h stwierdzono, ż e r a m i ę t r ó j s i ł o w n i k o w e p o d w i e s z a n e u g ó r y i skierowane w dół m o ż e r o z w i j a ć d u ż e s i ł y w k i e r u n k u pionowym, natomiast w k i e r u n k a c h pozioniych

j

Rys. 2. P r z y k ł a d o w e wyniki,

a — s c h e m a t m a nipulatora, b - w i e l o ś c i a n przyspieszeń Fig. 2. E x a m p l e of results,

a - s c h e m e of m a n ipulator, b — p o l y h e d r o n of acceleration P r z e w i d u j e s i ę m o d y f i k a c j ę p r o g r a m u DYNARO, z a p e w n i a j ą c ą u w z g l ę d n i e n i e t a r c i a w n i e s a m o h a m o w n y c h p r z e k ł a d n i a c h śrubowych.

R o z p a t r y w a n i e tar c i a w innych parach k i n e m a t y c z n y c h jest t r u d n e i ni ecelowe.

116 ^K. Mianowski, K. Nazarczuk, T. Urbaniec

LITERATURA

C12 K o 6 p H H C K H ń A. A., Ko6 p H H C K n ń FI. A.: MoSHnHOCTb h to m hoctł Ma H H n y n s T o p a , ManiHHOBepeHHe Ho. 3, 1976, str. 3 + 9.

C21 K o 6 p H H C K H ń A . A . : T p y s o n o n e H H O C T L H n p a e K H C T o c T k MaHHnynsuHOHHOfl c h c t s m m, MauiHHOBeneHHe Ho. 4, 1979.

C31 M e r l e t J. P.: Parallel ma n i p u l a t o r s , P r e p r i n t s R o . m a n . s y ’83, U d i n e - Italy, S e p t e m b e r 1983, str. 317 + 324.

C4J N a z a r c z u k K. , S t r z e l c z y k D . : A n a l i z a k i n e m a t y c z n a m a n i p u l a t o r ó w z w y k o r z y s t a n i e m grafiki komputerowej, VI K o n f e r e n c j a M e t o d y i Środki P r o j e k t o w a n i a A u t o m a t y c z n e g o " , IJarszawa, g r u d z i e ń 1981, str. 3 4 9 -i- 356.

C53 S t e w a r t D . : A P l a t f o r m with' Six' D e g r e e s of Freedom, Proc.

IMechE (London), 1965 * 1966, Vol. 180, Pt. 1, No. 15.

C61 Wal k e r M. W., O r i n D. E . : E f f icient D y n a m i c C o m p u t e r S i m u l a t i o n o f R o b otic Mechanism, JACC, C h a r l o t t e s v i l l e VA, Ju n e 1981, str. 1 * 9;

O U E H A KH H E M A T M H ECKMX H H H H A M H H E C K H X CBOliCTB X O B O T A MAHW1YJ18TOPA c n A P A n n E H b h e i m n P H B o n o M

P e a » m e

B p a 6 o r e n p e n c T a B n e H o n p o r p a M M M H a 3 B M n p e f l H a 3 H a i e H M ana

K H H e M a T H H e c K o r o h K H H e T O C T a T H H © o K O P o a H a j i H s a x o 6 o T a H a H H n y n a T o p a

c H H S T H n H H H O ń n a p a n n e m . H o 8 C T p y K T y p o i i . 3t h n p o r p a n n u H c n o n b a y f t e M u e ana o n p e n e n e H H a h bh o y a n n a a u n h m h o p o p p a H H H k o b n p e n c T a B n a » m H x o 6 n a c T H b o b h o x h u x c x o p o c T e f l h y c x o p e H H f t H a K o H e M H H K a . x o 6 o T a b p a H H O H c o c t o b h h h h n p H o n p e p e n e H H b i x x a p a x T e p H C T H K a x p B H P a T e n e f t .

A S S E S S M E N T OF K I N E M A T I C A N D D Y N A M I C P R O P E R T I E S OF M A N I P U L A T O R ARM W I T H P A R A L L E L D R I V E

S u m m a r y

C o m p u t e r p r o g r a m s -for k i n e m a t i c and k i n e t o s t a t i c a n a l y s i s of manipulator a r m with unusual parallel s t r u c t u r e h a v e been presented in t h i s paper. T h e s e p r o g r a m s h a v e been a p p l i e d -for example to d e t e r m i n a t i o n and v i s u a l i s a t i o n of p o l y h e d r o n s which represent v e l o c i t y and a c c e l e r a t i o n r a n g e s p o s s i b l e to r e a c h by t he a r m end in the gi v e n position, h a v i n g d e t e r m i n e d d r i v e s y s t e m s c h a r a c t e r i s t i c s .

Recenzent: d r inż., A. Buchacz W p ł y n ę ł o d o 1’R e d akcji 2 1 . X I I ; 1 9 8 8 x *