Wiesław Wójcik
Rola i miejsce dowodu na istnienie
Boga w kartezjańskim projekcie nauk
Studia Philosophiae Christianae 28/2, 185-203
A
R
T
Y
K
U
Ł
Y
S tu d ia P h ilo so p h ia e C hristianae A TK
28(1992)2
W IESŁAW W ÓJCIK
ROLA I M IEJSC E DOW ODU N A IST N IE N IE BOG A W K A R T E Z JA Ń SK IM PRO JEK CIE N A U K
W prow adzenie. 2. K ategorie p o zn a w cze u D escartesa. 3. M iejsce dow odu n a is tn ie n ie Boga w kartezjańskdm p ro jek cie b u d ow y w ied zy. 4. P rojek t b ad aw czy D escartesa. 5. M etody n a u k o w e L eibniza a k o n cepcja B oga. 6. Z w iązek Boga filo zo fii z daną k on cep cją n au k ow ości. 7. Z asada graniczna jako fa k t ep istem ologiczn y. 8. Teoria m nogości. 9. B adania top ologiczn e i program K lein a. 10. R ola dow odu na is tn ie n ie Boga w n o w o ży tn y m p arad ygm acie nauki.
1. W PRO W AD ZEN IE
Sądzą, że raczej n iek w estio n o w a n a jest rola n a u k i w d em ask ow an iu różnych fa łsz y w y c h in terp reta cji filozoficzn ych . Z n aczenie, jak ie p rzy p isy w a n o bardzo ogóln ym ro zw ażan iom filo zo ficzn y m dla odkrycia stru k tu ry św iata, okazało się zb ytn io zaw yżon e. R o zw ija ją ce się nauki, przy p om ocy szczegółow ych m etod b ad aw czych , zm ierzy ły się z p ro b lem am i poznania św iata w sposób zn aczn ie bardziej e fek ty w n y . Z na czen ie rozw ażań filo zo ficzn y ch ty m sam ym w y ra źn ie się zm n iejszyło. N o w o ży tn e p rzyrod ozn aw stw o p rzejęło w św iad om ości o g ó ln ej ' te fu n k cje, k tóre do tam tej pory p ełn iła filozofia. A co się z ty m w ią ż e , B óg filo zo fó w stracił sw ój zw iązek z eg zy sten cją k on k retn ego czło w ieka, bo stał się zbyt ab strak cyjn y i zbyt m a ło e fek ty w n y . W p e w n ym ok resie h istoryczn ym (w dobie o św ie c e n ia i p óźniej w okresie p ozytyw izm u ) n o w o ży tn e p rzyrod ozn aw stw o za częło p ełn ić ro lę r elig ii dla ośw iecon ych . Jednak ,nie przyp ad k iem n ie p o ja w ił się B óg n au k szczeg ó ło w y ch — nauka n ie fu n k cjo n u je aż n a ta k im stopniu ab strak cji co filozofia i d la teg o w sz e lk ie fonm y scjen tyzm u , w których p rzy p isy w a n o n a u ce cech y n ie m a l b oskie, m u sia ły doprow adzić do w y k o pania ogrom nej przepaści m ięd zy B ogiem w ia ry a n au k ą — p rzy n ajm n iej w rozum ieniu tw ó rcó w scjen tyzm u . N a to, iż ta p rzepaść p o ja w iła się n ie tylk o w rozu m ien iu prop agatorów scjen tyzm u , lecz rów n ież u lu d zi bardziej scep tyczn ie n a sta w io n y ch do u zn aw an ia w szech m ocn ej roli nauk, w sk a zu je k on cep cja ró żn y ch p łaszczyzn , w k tórej u w aża się , że p o zn a n ie др . r e lig ijn e ii n a u k o w e d ok on u je s i ę , na zu p ełn ie różnych p łaszczyznach, a m ięd zy ty m i p łaszczyzn am i n ie m a żadnych m erytoryczn ych zw iązk ów .
Sądzę, że koncep cja różnych p łaszczyzn jest w za sa d zie praw d ziw a, je ś li ch o d zi o stron ę m etod ologiczną (dane d zied zin y p ozn an ia p o sia d a ją p ew n e sp e c y fic z n e m eto d y i p rzen o szen ie ty ch m etod do in n y ch d zied zin w ie d z y m u si być d ok on yw ane w sposób b ardzo ostrożny, gd yż w tych n o w y ch dzied zin ach t e m eto d y m ogą fu n k cjo n o w a ć _ co n a jw y żej w sposób an alogiczn y), jednak jest z gruntu fa łsz y w a , je śli
w eźm iem y pod u w agę stron ę epiistem ologiczną tzn. u w ażam , że p ew n e T ak ty o d k ry w a n e w danej d zied zin ie w ied zy m a ją w p ew n y m se n sie w a rto ść absolutną, a w ię c ró w n ież „ob ow iązu ją” (o c z y w iśc ie , w p e w - ,nej in terp retacji) w in n ych dzied zin ach w ied zy . D o tyczy to rów n ież zw ią zk ó w p om ięd zy filo zo fią i n aukam i. P onadto, sądzę, że o b o w ią zu jący w danym ok resie p arad ygm at n a u k o w o ści m a ścisły zw iązek z koncep cją Boga filo zo fii. T ym ch ciałb ym z a ją ć się w n in ie jsz y m a r ty k u le i tezę pow yższą b ęd ę sta ra ł się u zasadnić, p recy zu ją c przy ok azji co rozum iem pod p ojęciem „faktu o d k ryw an ego w danej d z ie d zin ie w ie d z y ” oraz w jakim se n sie te fa k ty m a ją w artość ab solu tn ą.
2. KA TEG O R IE PO ZNAW CZE U D ESC A R T ESA
M e d y t a c j e o p i e r w s z e j fi lozofii R en e D esca rtesa 1 są p ięk n y m p rzy
k ła d em teg o , jak m ożn a o siągn ąć jed n ość pozn aw czą filo z o fii i n a u k tzn. r e fle k sje D escartesa p ok azu ją, że sen s i w artość dan ych i m etod n a u k o w y ch jest u zależn ian a od w c z e śn ie jsz y c h ro zstrzygn ięć n a tu ry filo zo ficzn ej, n a to m ia st op racow an e już m eto d y n a u k o w e ok reślają p raw om ocn ość filo zo ficzn y ch rozw ażań, a co n a jw a ż n ie jsz e m eto d y te p o zw a la ją opracow ać i u sta lić zu p ełn ie n o w e a rg u m en ty filozoficzn e.
A b y u ch w y cić isto tę k a rtezja ń sk ieg o m o d elu n au k w p row ad źm y p o jęcie k a teg o rii p ozn aw czych . K a teg o rie p o zn a w cze są tym , co u m o ż li w ia w e jś c ie podm iotu p ozn ającego w re la c ję pozn aw czą. Sądzę, że w p rzyp ad k u filo zo fii D esca rtesa m ożn a w y ró żn ić trzy k a teg o rie p o znaw cze:
К 1. K a t e g o r i a n e g a c ji — u D escartesa u ja w n ia się w p o sta ci m e tod y r a d y k a ln eg o w ą tp ien ia . Z arazem w k ategorii te j m ie śc i się d e fi n icja praw dy: p raw dą jest to, co p o zo sta je po za sto so w a n iu m eto d y rad y k a ln eg o w ątp ien ia.
К 2. K a te g o r i a r o z u m ie n ia — w przypadku D escartesa w y stę p u je w p o sta c i m eto d y jasn ego i w y ra źn eg o postrzegan ia. I pojaw ia się dru ga d efin icja praw d y zw iązan a z tą k ategorią: w sz y stk o to jest p raw dą, co jasno i w y ra źn ie u jm u ję.
К 3. K a te g o r i a r e d u k c j i — u D esca rtesa tą red u k cją jest redukcja w istn ie n iu tzn. jeśli o b iek t A jest za leżn y w istn ie n iu od obiektu B, to w te d y o b iek t A p rzesta je być p o d sta w ą d alszych analiz; je ś li w ię c o d n a jd ziem y ob iek t n ie p oddający się d alszej red u k cji, to tym sam ym b ęd ziem y m ieć p u n k t arch im ed esaw sk i, na p o d sta w ie którego o d tw o rzy m y ca łą rzeczyw istość. A zatem m am y trzecią k a rtezja ń sk ą d e fin i cję praw dy: praw dą jest to, co ab y istn ieć, n ie p otrzeb u je n iczeg o oprócz siebie.
D zięk i w p row ad zen iu k a teg o rii negacji, ro zu m ien ia o ra z red u k cji (tzn. w op arciu o trzy w p ro w a d zo n e p o w y żej d e fin ic je p raw d y) o d k ry w a D escartes fa k t istn ien ia podm iotu m y ślą ceg o — dociera do sfery cogito. Jak jed n ak dotrzeć, w ram ach tych k ategorii, do rzeczy z n a j d u ją cy ch się poza sferą cogito tzn. jak zbadać, czy is tn ie ją poza- u m y słem ja k ieś rzeczy spośród tych , -których id ee zn ajd u ją s ię w um yśle. W ty m m iejscu 'pojawiają się w rozw ażan iach D escartesa dw a p o d sta w o w e założenia (są to zarazem -kolejne k a rtezja ń sk ie k a teg o rie p o zn aw cze), k tó re .um ożliw iają w y jśc ie poza sferę cogito:
К 4. K a te g o r i a porz ą d k u .
mie w id zę żeby się w ogóle m ięd zy sobą różn iły i w sz y stk ie zd ają się p och od zić w te n ;sam isiposób o d e imnie; lecz jeżeli jedna rep rezen tu je jed n ą rzecz, a inna inną, w te d y o czy w iście różn ice m ięd zy n im i będą bardzo w ie lk ie ” Jeśli id e e są w ię c id e a m i czegoś, a n ie są w y łą czn ie
od m ian am i m y ślen ia , to w te d y treści danych id ei b ęd ą s ię za sa d n i czo od sie b ie różniły, jeśli o c z y w iśc ie id ee t e są p rzed sta w ien ia m i ró ż n y ch rzeczy. Idee, które m am y w u m y śle (jak rów n ież in n e byty) m ożn a u sta w ia ć w ciągi tzn. ciąg id e i ai, аг,... p o w sta je w ten sposób, że idea 02 jest p rzyczyn ą id ei at itd.
К 5. K a te g o r i a k r e a c j i — możina ją u ją ć w stw ierd zen iu : n ic n ie m o że p o w sta ć z n iczego. „Jest za ś rzeczą o czy w istą d zięk i p rzy ro d zo n em u ś w ia tłu rozum u, że p rzyn ajm n iej ty le m u si być rzeczy w isto ści w c a łk o w ite j p rzyczyn ie sp raw czej, ile w jej skutku, bo skąd —· p ytam — m ógłb y w ziąć sw oją rzeczyw istość, jaik n ie z p rzy czy n y ? ” 3 P rzy p a d k iem szczególn ym tego założenia jest stw ierd zen ie, że to , co n ie sk o ń czo n e jest p ierw o tn iejsze od tego, co sk o ń czo n e tan. ideę, co sk oń czo n e p ojm u ję poprzez id e ę tego, co n iesk oń czon e, a n ie ma odw rót.
3. M IEJSCE DOW O D U N A IST N IE N IE BOG A W K A R T E Z JA N SK IM PROJEK CIE BU D O W Y W IEDZY
D esca rtes an alizu jąc różn e idee, k tóre posiada zauw aża, że w s z y stk ie te id e e m ożn a u tw o rzy ć przez p ołączen ie id e i cogito, rzeczy cie le sn y c h i B oga. „Co się zaś ty c z y id ei rzeczy cielesn y ch , to nic w n ich n ie p o ja w ia się tak w ielk ieg o , żeby n ie m o g ły on e pochodzić ode m n ie sa m e g o ” 4. D escartes zau w aża, że jed y n ie id ea B oga tan. „idea su b stan cji n iesk o ń czo n ej, n ieza leżn ej, o n a jw y ższy m rozum ie i m ocy, która stw o rzy ła m n ie sam ego i w szy stk o inne, co istn ieje, o ile is tn ie je ” 5, n ie m o ż e b yć w y tw o r e m cogito, gd yż cogito jest su b sta n c ją skończoną i n ie m o że b yć przyczyn ą su b sta n cji n iesk oń czon ej. W tym m iejscu k orzy stam y z k a teg o rii pozn aw czej K5,
I dochodzi D escartes do, jak sądzę, k lu czo w eg o p u nktu. G dyby idea B oga była ideą, która p o w sta ła z n iczego, ,to w ó w cza s n ie m ożna zro b ić już d alszego kroku w rozw ażan iach b u d u jących czy p ro jek tu ją cy ch ja k ą k o lw ie k w ied zę. W ynika to z faktu, że id e a Boga jest pojm ow an a ja sn o i w y ra źn ie (tu D escartes k orzysta <z k ategorii rozum ienia) i m a w sobie w ię c e j treści, niż ja k a k o lw iek inna idea, w ięc żadna idea „nie je s t sam a z sieb ie bardziej p ra w d ziw a ani w m n iejszy m stopniu p o d le g ła p o d ejrzen iu o fa łsz y w o ść ” s. Ponadto, is tn ie n ie id ei w u m y śle n ie m o że pochodzić od istn ien ia w y łą c z n ie p oten cjaln ego, lecz w k o n se k w e n c ji m u si pochodzić od istn ien ia a k tu aln ego (w ty m rozum ow aniu opiera się D escartes na k ategorii red u k cji i porządku — szukając p rzy c z y n y id ei m u sim y w k ońcu dotrzeć do b ytu, k tó ry m a istn ien ie sa m w sobie, a w ię c do bytu, który is tn ie je ak tualnie).
In n y m i sło w y , p rzed staw ian y przez D escartesa argu m en t za is tn ie n iem Boga, n ie jest m n iej p rzek on yw u jący, n iż p raw d ziw ość p ro jek to w a n e j przez D escartesa n au k i, gdyż k artezjań sk i p rojek t n a u k i (podob n ie jak dow ód n a is tn ie n ie B oga) opiera się w is to tn y sp osób na pięciu
2 T a m ż e , 54. 3 T a m ż e , 54. 4 T a m ż e , 58. 5 T a m ż e , 61. 6 T a m ż e , 62.
p rzed sta w io n y ch p ow yżej k ateg o ria ch p ozn aw czych . B udując w ię c n a u k ę zgodnie z p rzed sta w io n y m p rzez D escartesa p rojektem , w z m a c n ia m y ty m sam ym siłę k a rtezja ń sk ieg o dow odu n a is tn ie n ie Boga.
Z drugiej n atom iast strony, dow ód n a is tn ie n ie Boga jest próbką d ziałan ia w p row ad zon ych k a teg o rii p ozn aw czych i m etod. Sposób p r z e prow ad zen ia dow odu p okazuje, w jaki sposób b ęd ziem y w y k o r z y sty w ać, p rzy b u d ow aniu n au k i, w p row ad zon e kategorie. P onadto, dow ód ten pokazuje, że m o żliw e jest o sią g n ięcie w ied zy o rzeczy w isto ści z n a j dującej się poza u m y słem — m o żliw e jest o sią g n ięcie jed n ości p o zn a w czej teg o , co jest za leż n e w istn ien iu od u m y słu i teg o , co istn ieje n ieza leżn ie.
A b y le p ie j u ch w y cić tę k w e stię , p rzy jrzy jm y się p r o jek to w i b a d a w czem u D escartesa. Z obaczym y zarazem , jak p ierw sze o sią g n ięcia n a u k o w e D escartesa, w ram ach p ro jek to w a n eg o sch em atu n au k , w zm a cn ia ją w artość k artezja ń sk ieg o dow odu na istn ie n ie Boga.
4. PR O JEK T BA D A W C ZY D ESC A R T ESA
R eflek sja K artezju sza doprow adza w k o n sek w en cji do rozbicia całej rz eczy w isto ści n a dw a obszary (obszar su b iek ty w n o ści tzn. ob szar o k r e ślon y p rzez zb iór tych 'idei, które są w y tw o rem u m y słu oraz obszar ob iek ty w n o ści tzn. obszar o k reślo n y przez id e e n ie z a le ż n e od um ysłu ), m ięd zy k tórym i p ojaw ia się n a p ięcie. N ap ięcie to jest lik w id o w a n e dzięk i m etod zie, a p on iew aż m etod a słu ży do b u d o w y n au k i, w ię c k o n stru ow an a nauka pokazuje w jaki sposób m o żliw e jest z lik w id o w a n ie n ap ięcia m ięd zy obszarem su b iek ty w n o ści a o b iek tyw n ości. Jak p o k a z a łem w c z e śn ie j, w dow odzie n a istn ien ie B oga zaw iera się in tu icja jed n ości tych dw óch obszarów — w oparciu o id ee, k tóre m am y w u m y śle, m ożem y „dotrzeć” do tego, co zn ajd u je się poza um ysłem .
Sądzę, że to rozdarcie m ięd zy „ciałem a d u szą ” określa w dużym sto p n iu k artezjań sk ą id eę nau k ow ości. P ojęcia cogito oraz B oga, do k t ó rych K a rtezju sz d o szed ł sw oim rozu m ow an iem , u k a zy w a ły , że m o ż liw e jest z lik w id o w a n ie teg o n ap ięcia, jed n ak n ie n io sły b ezpośrednio ze so bą m etod y, która by to n a p ięcie pozw alała zlik w id o w a ć. U w ażam , że w dużej m ierze n a u k i ro zw ija n e w ok resie n o w o ży tn y m p o szu k u ją m e tod, m ogących zn iw elo w a ć n a p ięcie m ięd zy su b ie k ty w n o śc ią a o b ie k ty w n o ścią i tym sam ym p recyzu ją id eę n a u k o w o ści zarysow an ą p rzez K artezju sza.
O gólnym zam ierzen iem K a rtezju sza b yła k o n stru k cja m a tem a ty k i u n i w e r sa ln e j (m a t h e s i s u n iver sa lis, jak n a z y w a li m a tem a ty k ę Starożytn i), która zaw arłab y w sobie całą m o żliw ą n a u k ę 7. Ta u n iw ersa ln a nauka p o w in n a w y ja śn ia ć w szy stk o co dotyczy p orządku i m iary, b ez w n ik a n ia w szczegółow e w ła sn o śc i przedm iotów . D esca rtes opiera się przy k o n stru k cji m a t h e s i s u n iv e r s a li s n a czterech ogóln ych zasadach:
1. N igd y n ie p rzy jm o w a ć za p ra w d ziw ą żadnej rzeczy, zan im by n ie została rozpoznana przeze m n ie w sposób oczyw isty.
2. K a żd e ,z b ad an ych zagad n ień d zielić n a ty le cząstek, na ile jest to m o żliw e i na ile p otrzeb n e dla n a jlep szeg o ic h rozw iązania.
3. W szelk ie badania rozpoczynać od p rzed m iotów n ajp rostszych i n a j d o stęp n iejszy ch pozn an iu i sto p n io w o dochodzić do p rzed m io tó w b ar d ziej złożonych.
4. K ażde rozu m ow an ie i w s z e lk ie obliczenia p o w in n y b yć tak ca łk o w ite i pow szech n e, aby dać p ew n ość, że n ic n ie zostało p om inięte.
Z auw ażm y, że te za sa d y są przyk ład am i realizacji kartezjańskicih k a teg o rii p ozn aw czych . P onadto za-uważmy, że dzięk i k a teg o rii p o zn a w czej K 4 m am y istn ie n ie ciągu d ow od ow ego (np. ciągu d ed y k a cy jn eg o czy red u k cyjn ego); n a to m ia st dzięk i k ategorii K5 (sk u tek n ie m oże p o siadać w ię c e j treści, n iż przyczyna) m am y n a stęp u ją cy fakt:
G dy o p eru jem y p ew n y m ciągiem dow od ow ym i p e w n e k o lejn e e le m en ty tego ciągu p o siad ają „w ięk szą treść” n iż p oprzednie, to ozn a cza, że zb liża m y się do przyczyn y a n a lizo w a n y ch z ja w isk —· do r z e czy w isto ści. P o ja w ia się ty m sam ym n o w e k ry teriu m p raw d y (nazw ę ją czw artą k a rtezja ń sk ą d efin icją praw dy): praw dą jest to, co o trzy m a n e w w y n ik u p ew n e g o rozum ow ania, jako k o lejn y elem en t ciągu dow odow ego, ma w ię c e j treści, n iż elem en ty poprzednie w ty m ciągu.
D esca rtes uw aża, że jeśli b ęd ziem y p rzestrzegać ty c h p ra w id eł, to w te d y dotrzem y do w szelk ich rzeczy — n a w e t do ty ch n ajb ard ziej u k rytych i od ległych . Ka,rtezju,sz rozw ija czy o d k ryw a p ew n e m etod y (g łó w n ie w m a tem a ty ce), k tóre m ają słu żyć zn iw e lo w a n iu ukazanego p rzez n ieg o n ap ięcia. O trzym ana w ied za b ęd zie p rzy k ła d em w ied zy zb u d ow an ej zgodnie z p r zy jęty m i p raw id łam i rozum ow ania.
P rzyk ład em k o n k retn ej m eto d y b a d aw czej jest m etod a, n a k tó rej b u d u je K artezju sz g eom etrię an alityczn ą. G eom etria an alityczn a m iała łą czy ć w sobie z a le ty , geom etrii (ła tw iejsze o p ero w a n ie p ew n y m i a b strak cjam i m a tem a ty czn y m i, dzięki p rzed sta w ien iu geom etryczn em u ) oraz a lg eb ry (ła tw iejsze d ok on yw an ie op eracji na prostych w y o b ra że n io w o liczbach), a u n ik ać ich w ad (geom etria n u ży wyoib,raźnię i u m ysł, n a to m ia st algebra daje ogólne p raw id ła liczen ia — k tóre n ie dają j e dnak tw órczej w ied zy). M etoda ta łączyła w ię c jasne i w yraźn e w y ob rażen ia g eo m etry czn e z jasn ym i i w yraźn ym i dla u m y słu o p era cja m i n a liczb ach czy n a ogóln ych sym b olach algeb raiczn ych .
D a n e fig u ry geom etryczn e m ożna w ię c w yrażać za pom ocą u k ład ów liczb czy ró w n a ń i p ozn aw ać w ła sn o ści tych figur, w yk o rzy stu ją c op e racje na liczbach. P ozostajem y w ię c w obszarze działań u m y słu , które są dla n ie g o m o żliw ie najp rostsze, a co n a jw a ż n ie jsz e p ozw alają, o p ie rając się na ty m co jasne i w yraźn e, k rok po kroku bu d ow ać całą w ied zę o św iecie.
„I tu taj — jak sądzę — n ajb ard ziej g od n e za sta n o w ien ia jest to, że zn ajd u ję w sobie n iezliczon ą ilo ść id e i p ew n y ch rzeczy, o k tórych nie m ożna p ow ied zieć, że są n iczym , chociaż m oże n ie istn ieją n ig d zie p o za m ną. A chociaż m y ś lę w jakiś sposób o n ich za leżn ie od m ej w o li, to jednak n ie są przeze m n ie w y m y ślo n e, le cz m ają s w o je p r a w d ziw e i n iezm ien n e n atu ry. Gdy n a p rzyk ład w y o b ra ża m sobie trójkąt, to choć m oże tak a figu ra n igd zie na św ie c ie n ie is tn ie je poza m oją ś w ia dom ością ani n ig d y nie istn iała, posiad a jed n ak bez w ą tp ien ia jakąś określoną n atu rę, czyli istotę, czyli form ę n iezm ien n ą i w ieczn ą , która a n i n ie zo sta ła przeze m n ie w y m y ślo n a , ani n ie jest od m ego u m y słu zależna; w y n ik a to z tego, że m ożn a u d ow od nić różne w ła sn o śc i ow ego tró jk ą ta , jak np. że jego k ą ty są rów n e dw om prostym , że n a p rzeciw n a jw ięk szeg o jego kąta leży n a jd łu ższy bok i ty m podobne, które to w ła sn o śc i teraz jasno poznaję, czy chcę, czy n ie chcę, chociaż nigdy p rzed tem w żaden sposób n ie m y śla łe m o n ich , gdy so b ie w yob rażałem trójk ąt. W obec tego n ie zo sta ły one p rzeze m n ie w y m y ślo n e ” 8.
I dzięk i istn ien iu n ieza leżn y ch od u m ysłu p ra w d m a tem a ty czn y ch m am y w zm o cn ien ie k a rtezja ń sk ieg o dow odu na istn ien ie Boga. „Z p e w n o ścią ta k sam o zn a jd u ję w sobie id eę Jego, to jest b ytu n a jd o sk o n a l szego, jak ideę ja k iejk o lw iek fig u ry czy liczby; n iem n iej jasno i w y r a ź n ie p o jm u ję, że do Jego natuiry n ależy w ie c z n e i a k tu a ln e istn ien ie,,
jak pojm u ję, że do n a tu ry fig u ry czy liczb y n a le ż y to, czego dow odzę 0 te j fig u rze czy liczbie. A w ięc, choćby n ie w szy stk o b yło praw dziw e,, co w tych ostatn ich dniach rozw ażałem , to istn ie n ie Boga p ow in n o m ieć dla mniie co n a jm n iej ten -sam stop ień p ew n o ści, jaki dotych czas p o sia d a ły p ra w d y m a tem a ty czn e” 9.
M yślę, że m ogę tera z w p ro w a d zić p ojęcie fa k tu od k ryw an ego w d a n ej d zied zin ie w ied zy i obow iązu jącego w linnych dziedzinach w ied zy — te fa k ty n a zw ę fa k ta m i ep istem ologiczn ym i. Są ,to nip. t e tw ie r d z e n ia m a tem a ty czn e, które o trzym u jem y na p o d sta w ie p osiad an ych przez u m y sł jasn ych i w y ra źn y ch id ei p ierw o tn y ch — aby jed n ak otrzy m a ć t e fa k ty trzeba zastoisować p e w n ą procedurę d ow odow ą. O b o w ią zy w a n ie fa k tó w ep isłem o lo g iczn y ch w in n ych dziedzinach w ied zy p olega na tym , że z o sta ły one otrzym ane w oparciu o te sam e k ategorie p o z n a w cze. O czyw iście, nie w sz y stk ie tw ierd zen ia u d ow od n ion e przy pom ocy procedur m a tem a ty czn y ch są fa k ta m i epistem ologiczinym i — są n im i ty lk o tw ierd zen ia „najp rostsze” tzn. tw ierd zen ia otrzym ane d zięk i p ię ciu w sp om n ian ym k ategoriom p ozn aw czym , w oparciu o id ee jasno· 1 w yraźn ie p ostrzegan e przez um ysł.
S to su ją c n a zew n ictw o K anta, fa k ty ep istem o lo g iczn e są sąd am i sy n te ty c z n y m i a priori, jednak tak im i, k tóre są n ajp rostsze, w e w sp o m n ia n ym p o w y żej sen sie — ty m i fa k ta m i .są np. p e w n ik i g eo m etri czy a ry tm ety k i, a d okładniej ta ich treść, która n ie zm ienia się przy p rzejściu do in n e j g eo m etrii .czy arytm etyk i. C hodzi o to, że np . tw ierd zen ia s f o r m u ło w a n e w ram ach danej g eo m etrii są p rzek ład aln e na tw ierd zen ia w y ra żo n e w język u in n ej g eo m etrii (p rzynajm niej część ty c h tw ierdzeń). N a p o d sta w ie program u K l e in a 10 m ożna za u w a ży ć, że an alizu jąc d an e w ła sn o śc i z p u n k tu w id zen ia szerszej g ru p y p rzek szta łceń m u sim y w zb o gacić strukturę p rzestrzen i g eo m etry czn ej o dod atk ow e elem en ty . Na p rzyk ład geom etria eu k lid eso w a zaw iera się jako p rzypadek szczeg ó ln y w stru k tu rze g eo m etrii n ieeu k lid eso w ej. A b y m ó c b ad ać g eom etrię e u k li- d eso w ą z punktu w id zen ia g eo m etrii n ie e u k lid e so w e j trzeba w p ro w a d zić p o jęcie k rzy w izn y — w ó w cza s p rzestrzeń eu k lid eso w a jest po p ro stu p rzestrzen ią o k r zy w izn ie ró w n ej zero. P o n iew a ż w różnych g e om etriach m ożem y w yrażać te sam e treści, w ię c tr e śc i te są n ie z m ie n n ik a m i .przejść p om ięd zy ró żn y m i g eom etriam i (w ła śn ie te n ie z m ie n n i k i to fa k ty ep istem ologiczn e, a ich w artość a b solu tn a ograniczona jest p rzez k a teg o rie p ozn aw cze o b o w ią zu ją ce w d anym p arad ygm acie). T reść ta m u si się w ią za ć z p ew n y m i o b iek ty w n y m i w ła sn o ścia m i p rzestrzen i fizy czn ej. M im o .tego, że tw ierd zen ia g eo m etrii .mają różną form ę w różn ych geom etriach, to jednak p osiad ają p ew n ą o b iek ty w n ą treść — jest n ią n iezm ien n ik przy przejściu p om iędzy różnym i geom etriam i.
Oznacza to, że geom etria posiada p ew ien elem en t sy n tety czn y a p rio ri (jest to zarazem elem en t em p iryczn y) — w ią ż e się on z ty m i stru k tu ram i, k tó re n ie zm ien iają się p rzy p rzejściu od jednej g eo m etrii do d rugiej. P rzyk ład ow o, za.sada in d u k cji m a tem a ty czn ej, w sw o jej n a j o g ó ln iejszej form ie, jest to fa k t epistemologie,zmy.
9 T a m ż e , 89.
Idea Boga p o ja w ia s ię u D escartesa jako jasna ii w yraźn a id ea p ie r w o tn a u m y słu , jednak w m om en cie z a istn ien ia d o w o d u n a istn ien ie Boga, Bóg zaczyna fu n k cjo n o w a ć rów nież, jako fa k t ep istem o lo g iczn y (w e w sp o m n ia n y m p rzeze minie sensie). A b y zrozum ieć, w jak i sposób p o jęcie Boga jako fa k tu ep istem o lo g iczn eg o jest o b o w ią zu ją ce w t e oriach n au k ow ych , przyjrzyjm y się m etodom n a u k ow ym L eibniza.
5. M ETODY N AU K O W E L E IB N IZ A , A K O N C EPC JA BO G A
L eibniz, pod ob n ie jak K artezju sz, ch ciał zrealizow ać id ea ł n a u k i u n i w ersa ln ej. N aukę tę n a z y w a ł „ch arak terystyk ą kom lbinatoryezną”. Idea te j n a u k i b yła ściśle zw ią za n a z teorią p ozn an ia L eib n iza 11.
M onady, w e d łu g L eibniza, to b yty p roste zd oln e ido d ziałan ia. K ażda m onada jest zu p ełn ie od zielon a od in n ych m on ad , a jej d ziałan ie p o leg a n a sp on tan iczn ych sp ostrzeżen iach . M onada m a k on tak t w y łą czn ie z harm onią p rzed u staw n ą u stan ow ion ą przez Boga. W m onadzie, jak w m ik rok osm osie, odbija się cały św ia t. M onady są na różn ym stopniu d osk on ałości — stopień dosk on ałości zależy od stopnia m o żliw o ści p o zn a w a n ia za sa d y harm onii przeduistaw nej i d latego n a jd osk on alszą m o n ad ą jest Bóg. P rzejście od jednego sp ostrzeżen ia do d ru g ieg o doko n u je się n ieu sta n n ie i w sposób ciągły. P o n iew a ż m on ad y (oprócz B o ga) niie poznają w sposób d oskonały (ich sp ostrzeżen ia n ie są całkiem , w yraźn e), w ię c p o ja w ia się bardzo isto tn y p od ział na p ra w d y fa k ty c z n e (tzn. p rzyp ad k ow e — p o zn aw an e są p oszczególn e elem en ty m ech a n izm u św iata, a n ie sam a zasada fu n k cjon ow an ia teg o m ech an izm u ) oraz a n alityczn e, rozum ow e (tzn. kon iecan e i w ieczn e, które p rzed sta w ia ją zasadę harm on ii p rzed u staw n ej). Im d osk on alszy u m ysł, tym w ię c e j p ozn aje w sposób an a lity czn y a imniej w sposób fa k ty czn y — w ied za Boga jest czy sto an alityczn a (tożsam ościow a).
W róćm y teraz do id ei ch a ra k tery sty k i u n iw ersa ln ej. P o n iew a ż c z ło w ie k m a dostęp do p ew n y ch praw d an a lity czn y ch (w ed łu g L eibniza), n a leży w ię c w y b ra ć n ie w ie lk ą liczb ę p rostych p o jęć, k tórych treść p o zn aw an a je s t p rzez rozum w m o ż liw ie n a jw y ra źn iejszy sp osób i p r z y p isać ty m pojęciom w sposób jednoznaczny sy m b o l tzn. ic h charakter. M ając już tak ie ch araktery, m am y w sw o im ręk u praw d y an alityczn e jako k on k retn e zw iązk i p om ięd zy charakteram i, od k ry w a n e w sposób bezpośredni przez rozum . Z nając p raw d y a n a lity czn e, zn am y zasadę harm on ii p rzed u sta w n ej, a w ięc zn am y zasadę fu n k cjon ow an ia i stru k tu rę w szy stk ich is tn ie ją c y c h -bytów. P rzez o d p o w ied n ią kom b in ację sy m b o li odp ow iad ającym p rostym pojęciom , m ożem y otrzym ać każdą ideę, każdą m y śl, k a żd e zdanie.
L eib n iz p rób ow ał zrealizow ać tę id eę p racu jąc w zak resie lo g ik i m a tem a ty czn ej (próba fo rm a liza cji m y ślen ia ) — bez w ię k sz e g o zresztą pow od zen ia. P on iew aż, podobnie jak dla K artezju sza, czym ś p o z y ty w n y m b yła dla n iego prostota ra ch u n k ów arytm etyczn ych , w ię c podał id eę ra ch u n k u geom etryczn ego (nazw ał ten rachunek -analizą p o ło ż e n ia (a n a ly s is situs), w k tórym rolę liczb p ełn iły fig u ry geom etryczn e, a od p o w ied n ik iem działań n a liczb ach b y ło w za jem n e p o ło żen ie figu r g eo m etryczn ych . Idea ta (podobnie z-resztą jak id ea logik i m a tem a ty cz nej) została rozw in ięta w X IX i w X X w iek u w p o sta ci top ologii.
11 M. Gordon, Leib niz, W -w a 1974, 245— 250; G. W. L eibniz, W y z n a
Istn ieje jeszcze trzeci punkt, w k tórym L eibniz p ró b o w a ł zrealizow ać id eę ch a ra k tery sty k i u n iw ersa ln ej (ikombinatoryczmej) a dotyczy on r a chunku n iesk o ń czen ie m ałych ; tu taj jego pra:ce zak oń czyły się c zęścio w o p o w od zen iem . Jako tw ó rca rachunku n iesk o ń czen ie m ałych stał się L eibniz, obok N ew ton a, w sp ółtw órcą rachunku różn iczkow ego i ca łk o w ego. Z godnie ze sw o ją id eą ch a ra k tery sty k i u n iw e r sa ln e j L eibniz w y szed ł od dw óch p o d sta w o w y ch pojęć: p ojęcia sum y n iesk o ń czen ie m a ły ch (pojęcie to w y stę p o w a ło pr,zy ob liczan iu p ó l i o b jętości figu r) oraz p ojęcia n iesk o ń czen ie m a ły c h różnic (to p ojęcie b yło w y k o rzy sty w a n e n a to m ia st przy zn a jd y w a n iu rówtnań sty czn y ch do k rzyw ych). P o jęciom tym p rzyp isał sym bole: , J ” (sym bol całiki), :dla ozn aczen ia sum y n iesk o ń czen ie m a ły ch i ,,d x ” (sym bol różniczki), d la oznaczenia n ie s k o ń czenie m a ły ch różnic. Cała an aliza m atem atyczn a m ia ła być sp row ad zo n a do od p ow ied n iej k om b in acji ty ch pojęć, zgodnie o c z y w iśc ie z p r z y jęty m i reg u ła m i op erow an ia n im i (reguły różn iczkow an ia i całkow ania). Z auw ażm y, że D escartes, an alizu jąc (w oparciu o p rzyjęte k ategorie p ozn aw cze) id e e jak ie m am y w u m yśle, odkryw a:
1. d w ie id ee p ierw o tn e zw iązan e z su b stan cją m yślącą i ok reślające tę su b stan cję — są to idea trw an ia (w k on stru k cji n a u k i w yrażająca n a stę p stw o logiczn e danych fa k tó w ) oraz liczby;
2. jak rów n ież cztery id ee p ierw o tn e d otyczące su b stan cji rozciąg łej — są to id ee: rozciągłości, k ształtu , p ołożen ia i m c h u .
O czyw iście, w op arciu o te id ee b u d u je D esca rtes (jak ró w n ież L e i bniz) sw oją n au k ę u n iw ersa ln ą . W p rzyp ad k u L eibniza, k artezjań sk ą id eę trw a n ia m ożna odnaleźć pod postacią słyn n ej zasady ciągłości:
„W każd ym d om n iem an ym p rzejściu, kończącym się na jakim ś k r e sie, d ozw olon e jest u sta n o w ie n ie p ew n eg o ogólnego rozum ow ania, k tó ry m m ożn a ob jąć tak że k oń cow y k r e s” 12.
Z asada ta od gryw ała ogrom n ą rolę, n ie tyliko w n au ce b u d ow anej przez L eibniza, lecz rów n ież w całym p ó źn iejszy m rozw oju m atem atyk i. U w ażam , że zasad a ta to fa k t ep istem o lo g iczn y , a n a jego o b o w ią z y w a n ie w różnych dziedzinach w ied zy (p rzynajm niej m atem atyk i) w sk a zu je historia n a u k i n o w o ży tn ej. Z auw ażm y, że sch em at kar.tezjaństoie- igo dow odu na istn ien ie Boga jest zgodny z tą zasadą: idee, które m a m y w u m y śle tw orzą ciąg, a ciąg ten, na p od staw ie k a teg o rii p o zn a w czy ch K l —K4, m u si m ieć kres, a zatem n aszym rozu m ow an iem m u sim y objąć rów n ież ten k res, gdyż m a on co n a jw y żej ty le sam o treści, co e le m e n ty sk ład ow e ciągu (korzystam y z k ategorii p ozn aw czej K5).
W c elu zrozum ienia, w jaki sposób działa zasada cią g ło ści spójrzm y teraz n a to, w jaki sposób dow odzi L eibniz p ew n y ch w ła sn o ści i tw ie r dzeń w ram ach tw o rzo n eg o przez sieb ie rachunku różniczkow ego. W ty m p rzyp ad k u zasad a cią g ło ści p rzy jm u je n astęp u jącą postać:
„T ym czasem p o jm u jem y n iesk o ń czen ie m ałą n ie ja k o zero proste i ab solutne, lecz jako zero w zg lęd n e, to zn aczy jako w ie lk o ść z n ik a ją cą, która jednak .zachow uje ch arak ter te j która zn ik a ” 13,
tzin. za ch o w u je charakter liczb ow y. D la L eibniza zasada cią g ło ści b y ła pom ostem m ięd zy różn iczkam i (a w ię c w ielk o ścia m i n iesk o ń czen ie m a ły m i) a rzeczyw istością.
P rzy p isy w a ł w ię c L eibniz różniczkom p ew n e „ rzeczy w iste” w ła sn o ści, 12 G. W. L eibniz, E a rly M a t h e m a t ic a l M anu s crip ts, C hicago 1920, 147. 13 С. В. B oyer, H istoria ra c h u n k u r ó ż n ic z k o w e g o i c a łk o w e g o , PW N, W -w a 1964, 311.
jak ie p rzy słu g iw a ły in n ym w ielk o ścio m , jed n ak .zarazem ch ciał u n ik n ą ć op erow an ia ty m i w ielk o ścia m i (tzn. sąd ził, że różn iczk i ,są n a ty le r e a l n e, że p rzysłu gu ją im p ew n e w łason ści, lecz jednak n ie na tyle, aby m ożn a w y k o n y w a ć na n ich op eracje jak n a liczbach). D la teg o też u ż y w a ł sym boli d(x) i d(y) dla ozn aczen ia różn ic sk oń czon ych i n a tych (sym bolach w ykonyiw ał obliczenia. D opiero po zak oń czen iu rach u n k ów p p uszczał n a w ia sy i w y n ik o trzy m y w a ł d la różniczek d x i idy. U w ażał, że te g o ty p u sztu czk a jest dopuszczalna, g d y ż sto su n ek d y /d x zaw sze m ożn a sp ro w a d zić'd o stosu n k u d(y)/d(x). Jed n ak ,zn ow u jak p oprzednio, n ie tr a k to w a ł sto su n k u d y/d x jako p e w n e j n o w e j w ielk o ści, k tóra m ia łab y se n s sam a w sob ie. In n ym i sło w y , ta k jak różniczka b yła n ie s k o ń czen ie m ałą różnicą, k tóra m ia ła z a w iera ć w isobiie w ła sn o ś c i różnic sk o ń czonych, tak ró w n ież pochodna była w y łą czn ie stosu n k iem różniczek i m u sia ła p osiad ać ich w ła sn o ści. P ojęcia, k tóre otrzym u je się w w y n ik u tak ich n iesk oń czon ych op eracji (np. op eracji p rzejścia do g ra n i cy) m ają se n s ty lk o o ty le, o ile są w sta n ie w ch ło n ą ć w sieb ie w ła sn o ści pojęć, k tóre je określają. R óżniczka n ie m ia ła w ię c dla L eibniza zn aczen ia sarna w sofcie — jej w ła sn o śc i i m o żliw o ści w y k o n y w a n ia na nich p e w n y c h d zia ła ń w y n ik a ły z w ła sn o ści liczb.
A b y zobaczyć, w jak i .sposób osiągn ięcia n au k ow e L eibniza w zm a cn ia ją kartezjańskii dow ód n a istn ien ie Boga zau w ażm y, że idea ch a ra k tery sty k i kom binatoirycznej, częścio w o przez n ieg o zrealizow an a; por k a zu je m o żliw o ść w ied zy a n a lity czn ej o św ie c ie zew n ętrzn ym . M yślę, że p ełn iej tę k w e stię m ożna zrozum ieć, gdy w eźm iem y pod u w a g ę to, że rachunek ró żn iczk o w y (otrzym any w oparciu o id e e ok reślające .sub sta n cję m yślącą) stał .się w m ech a n ice N ew to n a id ea ln y m n arzędziem do ppisu pojęcia ruchu. P rzypom nijm y, że p o jęcie ruchu sta n o w iło j e dną z idei ok reślających .substancję rozciągłą, a w ię c od p ow iad ało t e m u, co .zew nętrzne i n ieza leżn e od u m y słu (oczyw iście, w u jęciu D e scartesa). M ożliw e (jest .więc w y d o sta n ie się z obszaru cogito, w o p a r ciu o id ee zaw arte w co gito i d ojście do tego, co is tn ie je n ieza leżn ie od cogito ·— m o żliw e jest ty m sam ym o d k ry w a n ie zasad h arm on ii iprzed- u sta w n ej i w k o n se k w e n c ji m o ż liw y jest d o w ó d na is tn ie n ie Boga.
6. ZW IĄZEK BO G A FILO ZO FII Z D A N Ą K O N C EPC JĄ N AU K O W O ŚC I
A b y dostrzec z w ią z e k p o m ięd zy w p ro w a d zen iem do stru k tu ry w ied zy k a teg o rii pozn aw czych , a k on ieczn ością w y stęp o w a n ia w tèj stru k tu rze, zw iązan ego z ty m i k ategoriam i, dow odu n a is tn ie n ie Boga, p rzy j rzy jm y się czy stru k tu ry t e w y stęp u ją w n iek tórych in n ych k o n cep cja ch .projektujących nauki.
W k o n cep cji P la to n a u m y sł p otrafi p oznać w p ro st stru k tu rę on to ló - giczn ą św iata id e i (oczyw iście ty lk o w p ew n y m zakresie). Ta poznana struktura on tologiczn a istaje s ię p o d sta w ą d a lszeg o p rocesu b u d o w y w ie dzy. P o n iew a ż jednak .rów nież p e w n e z w ią zk i m ięd zy id eam i u m y sł p o zn a je bezp ośred n io (idee zostają w y ra żo n e w p o sta c i p o ję ć -o g ó ln y c h , a z w ią zk i m ięd zy n im i w postaci ogóln ych praw , p ew n ik ó w i a k sjo m atów ), w ię c n ie istn ieją stru k tu ry poznaw cze, k tó re b y ły b y o d p o w ie dzialn e za k on tak t u m y słu z zew n ętrzn ą w sto su n k u do u m y słu r z e czy w isto ścią . M etoda akejom aiyczno-idedukcyjn.a u m o żliw ia w y łą c z n ie od tw a rza n ie św ia ta id ei w sposób c z y sto ap rioryczny, n a p o d sta w ie po zn a w a n y ch w p ro st idei. A -w ięc ró w n ież i D em iu rg p latoń sk i m a za zad an ie w y łą czn ie b u d ow ę św iata z istn ieją cy ch w ie c z n ie id ei — n ie
m a p otrzeb y (gdyż św ia t id e i jest sam ow ystarczaln y, sam oistn y) a n i m o żliw o ści (gd yż n ie m a istn ieją cy ch ap riorycznie m etod d ow od ow ych — przypom nę, m etod zw ią za n y ch ze stru k tu ram i p ozn aw czym i) dow odu n a is tn ie n ie Boga.
W przypadku filo zo fii A ry sto telesa ró w n ież p ozn ajem y w p ro st stru k tu rę on tologiczn ą św ia ta zm ysłow ego. Jednak w y stę p u ją już „ głęb sze” stru k tu ry p oznaw cze. S tru k tu ry te działają w ram ach m eto d y ab strak c ji od p ow ied zialn ej za p o w sta w a n ie p ojęć ogólnych, k tó re u jm u ją is to t ę k o n k retn y ch jed n o stk o w y ch rzeczy p ozn aw an ych przez zm y sły . R oz w ija n ie w ied zy jest n atom iast m o żliw e dzięk i strukturze sylogizm u —- p rzy jego p om ocy m o żem y ro zw ija ć o sią g n iętą ijuiż w ied zę. Sądzę, ż e ipo- n ię w a ż u A ry sto telesa m am y już d o czyn ien ia ze stru k tu ram i p o zn a w czym i, w ię c d latego p ojaw ia się k o n ieczn o ść dow odu n a is tn ie n ie B o ga. Bóg. w k o n cep cji A ry sto telesa to P ierw szy P oru szycie! tzn. T en, k tó r y daje św iatu p ierw szy im puls. In n y m i sło w y , P ierw szy P o ru szy - c ie l n a d a je św ia tu w aru n k i p oczątk ow e, a w ię c Jego fu n k cja jest a n a logiczn a do fu n k cji k a teg o rii p ozn aw czych w p ro cesie p o zn aw an ia, g d y ż d zięk i k a teg o rio m p ozn aw czym u m y sł n a sz otrzym u je p ojęcia o k r e śla ją ce isto tę w y a b stra h o w a n ą z rzeczy jed n ostk ow ej. T ak, jak dzięk i k a tegoriom p ozn aw czym m am y p o jęcia p rzy pom ocy k tórych rozpoczyna się p roces p o zn aw an ia, ta k ró w n ież d zięk i P ierw szem u P o ru szy cie lo w i św ia t zaczyn a „żyć’ i fu n k cjon ow ać.
M ożna w ię c p ow ied zieć, że obie k on cep cje (P latona i A ry sto telesa ) w ty m u jęciu są k o n cep cjam i em p iryczn ym i. T en em p iryzm w yraża się w tym , że p ozn ajem y bezp ośred n io stru k tu rę on tologiczn ą św ia ta istn ieją ceg o o b iek ty w n ie i n ieza leżn ie od n aszego u m ysłu . Poza ty m , ta p ozn aw an a b ezpośrednio struktura on tologiczn ą św ia ta jest c en tra l n y m sk ła d n ik iem w ied zy .
W za k resie struktur p ozn an ia n a stęp u je zasad n iczy zw rot u K a r te - zjiusza. M ięd zy strukturą św iata a n a szy m u m y słem p o ja w ia się p rze p a ść — n ie m o żem y poznać w ię c struktury św iata bezpośrednio. P o ja w ia ją się k a teg o rie p oznaw cze, .które u m o żliw ia ją p ozn an ie św ia ta poza -u m ysłow ego.
U L eib n iza n atom iast k a teg o rie p ozn aw cze w ią ż ą s ię z w p ro w a d zo n y m przez teg o filo zo fa p o jęciem h arm on ii pnzediustawnej. Ta w ła śn ie h arm on ia .przedustawna u m o żliw ia w sz e lk ie p oznanie, g d y ż su b stan cja w u jęciu L eibniza, to m onada „bez o k ie n ”, która n ie m a m o żliw o ści dotarcia w p ro st do in n ej m onady. H arm onia p rzed u sta w n a w yraża się m ięd zy in n y m i w p raw ach logik i, w zasad zie n a jm n iejszeg o działania czy w zasad zie m ak sim u m (to, co istn ie je jest n a jlep sze z tego, co m oże istn ieć).
Z auw ażm y, że .projekt L eib n iza b u d ow y kom ibinatoryki u n iw e r sa ln e j opiera się n a p rzyjęciu istn ien ia k a teg o rii pozn aw czych . Poprzez k a te gorie p ozn aw cze o trzym u jem y n arzęd zie p o zw a la ją ce od tw orzyć w s p o sób c z y sto a n a lity czn y ca ły św ia t (w ed łu g L eibniza każdy problem w ram ach kom b in atoryk i u n iw ersa ln ej b ęd zie m ożna rozw iązać w s p o só b c z y sto logiczn y i form alny).
Jeśli chodzi o k ategorie p ozn aw cze w przypadku filo zo fii K anta, to sk ła d a ją s ię na nie: form a d ośw iad czen ia (czas i przestrzeń) oraz k a te gorie in telek tu , dzięk i k tórym b u d u jem y w szelk ą w ied zę. C hciałbym p rzyp om n ieć, że, w e d łu g m nie, k a rtezja ń sk i dow ód na istn ie n ie Boga ob o w ią zu je rów n ież w k o n cep cji L eibniza i K anta — o czy w iście, przy u w zg lęd n ien iu in n y ch stru k tu r pozn aw czych zak ład an ych przez te k o n cepcje.
7. Z A S A D A GR A N IC ZNA JA K O F A K T EPISTEM O LO G ICZNY
S ądzę, że nauka now ożytn a w dużej m ierze jest realizow ana zgod n ie z k artezjań sk im m od elem n a u k o w o ści. P rzyjrzyjm y się tem u na p r z y k ład zie m a tem a ty k i X IX w iek u , w k tórej m ożna dostrzec p o w sta n ie w ie lu noiwych m etod badaw czych. W tym ok resie zaczęły rozw ijać się n o w e d ziały m atem atyk i. D ostrzeżono p roblem y, k tó ry ch w c z e śn ie j n ie u zn a w a n o za p rob lem y sen su s t ric te m a tem a ty czn e.
C h ciałb ym zw ró cić u w a g ę na k ilk a n u r tó w rw m a tem a ty ce X I X w ie ku, które, jak są d zę, są ch a rak terystyczn e d la m a te m a ty k i teg o okresu i w z to g a o a ją k a rtezja ń sk i m o d el nau k ow ości. T ym i n u rta m i są: b a d a n ia top ologiczn e, teoria m n ogości oraz pro,gram z E rlan gen F. K lein a. U podłoża ty c h n o w y ch m etod w m a tem a ty ce leża ła , jak sądzę, p e w n a p o d staw ow a ten d en cja, która w y stą p iła z p ełn ą s iłą rw p ie r w sz e j p o ło w ie X IX w iek u .
S p row ad zała się ona do ch ęci u ściślen ia podistaw an alizy m a tem a tyczn ej. W iek X V II i X V III to okres in ten sy w n eg o rozw oju a n a lizy (po p racach N ew ton a i L eibniza), bez zw racania zb y tn iej u w a g i n a jej p od staw ę. K ied y jednak rozra sta ją cy się gm ach a n a lizy m a tem a ty czn ej z a czą ł n a tra fia ć n a tru d n e do ro zw ią za n ia p ro b lem y i w e w n ę tr z n e sp rzeczn ości uznano, że n a leży o k reślić p o d sta w o w e p ojęcia analizy, podać ich śc isłe d e fin ic je i n a te j p o d sta w ie p rzep row ad zać dopiero d a lsze rozw ażan ia oraz fo rm u ło w a ć i d ow od zić tw ierd zen ia . Ten okres r y g o ry za cji p rzeb ieg a ł pod h asłem „a ry tm ety za cji a n a liz y ” u . W ielu w y b itn y c h m a te m a ty k ó w ta k ich jak: C auchy, A b el, B olzano, R iem an n , W eierstrass itd . brało w ty m u d ział. W tedy to p odano d efin icje c ią g łości, granicy, fu n k cji, całki, p ochodnej itd . W p rogram ie ty m jest p rzy n a jm n iej jed en ch a ra k tery sty czn y elem en t, k tó ry w zasad n iczy sposób w zb o g a ca ł n o w o ży tn y id e a ł n a u k o w o ści. E lem en tem ty m jest m etod a, k tó rą n a zw ę „zasadą g ran iczn ą” (jest on a w p ew n y m sen sie od w ró cen iem sły n n e j za sa d y cią g ło ści L eibniza):
J e śli m a m y u k ła d ele m e n tó w i d ok on am y na ty c h elem en ta ch p e w n ej „ n iesk oń czon ej” o p eracji (np. p rzejście do g ra n icy lu b u tw o rzen ie z n ich ja k iejś n o w e j struktury), to elem en t, k tó ry otrzym am y jako w y n ik te j operacji m o że m ie ć zasadniczo in n e w łasn ości, n iż elem en ty w y jśc io w e . W ażne jest śc isłe o k r e śle n ie dainej operacji.
Z auw ażm y, że zasad a graniczna, podobnie jak zasada cią g ło ści L e ib niza, jest p rzyk ład em fa k tu ep istem ologiczn ego. Z asadę tę sto so w a ł np. C auchy i stała się ona isto tn y m sk ład n ik iem u m o żliw ia ją cy m p rze p ro w a d zen ie d ow od u h ip o tezy L eibniza (granica cią g u fu n k c ji ciągłych jest fu n k cją ciągłą) p o u przednim podaniu d e fin ic ji c ią g ło śc i i granicy; w k o n sek w en cji stała się ta zasada p rzy czy n ą odlkrycia b łęd u w d o w o d zie h ip otezy L eib n iza i d op row ad ziła do p o ja w ien ia s ię pojęcia jed n o sta jn ej z b ie ż n o ś c i15.
Z obaczm y jak zasad a ta w ią że się z .kantezjańskim m o d elem n a u k o w ości. P rzy za stosow an iu za sa d y granicznej m am y n astęp u ją cą s y t u ację. P rzy k ła d o w o p o jęcie szeregu liczb o w eg o ok reśla p ew n ą stru k tu rę d zięk i d e fin ic ji p ojęcia n iesk o ń czo n eg o su m o w a n ia (d efin icja zb ieżn o ści szeregu). Stru k tu ra ta n ie m u si b yć u ch w y tn a dla u m y słu , n ie m u si
14 C. B. B oyer, H istoria r a c h u n k u ró ż n ic z k o w e g o i c a łk o w e g o , PW N , W -w a 1964, 377— 418.
ró w n ież posiadać ty c h sam ych w ła sn o ś c i co elem en ty sk ła d o w e te j struktury. Stru k tu ra ta jest m a teria łem d o an alizy dla u m y słu . B a d a ją cy tę stru k tu rę u m y sł m u si d ostrzec jej w ła sn o ści oraz zależności m ięd zy elem en ta m i te j stru k tu ry . N ow o pow.stała struktura .staje się w ię c częścio w o n ieza leżn a od u m ysłu , 'który w g ru n cie rzeczy ją stw orzył.
W sch em a cie określon ym przez zasadę .graniczną, k o n stru u je się p e w n e stru k tu ry '(„całości”), które dopiero trzeba p o zn a w a ć i badać. W ja k iś d ziw n y sposób sp la ta ć s ię zaczyna ze sobą racjon alizm i e m p i- ryzm (u m ysł n ie posiad a m o żliw o ści in tu icy jn eg o u ję c ia s k o n s tr u o w a n eg o p rzez sie b ie obiektu — m u s i go badać, jakby to ibył o b ie k t e m p i- ryczny, n ieza leżn y od niego). W ty m w ła śn ie u w id a czn ia s ię idea, n a k tó rej o p ierają s ię -nowe m eto d y b a d aw cze tzn. sk on stru ow an a m a te m atyczn a stru k tu ra m o że m ieć n o w e w ła sn o śc i, k tó re w c z e śn ie j n ie w y stę p o w a ły i n ie b y ły w ogóle b ra n e pod u w a g ę; te w ła sn o ści trzeba dop iero p o zn a ć p rzy p om ocy n o w y c h m etod i badań.
8. TEO RIA M NOGOŚCI
C hciałbym t ę id e ę b liżej n a św ie tlić n a p rzy k ła d zie jednej z n a jw a ż n iejszy ch , jak sądzę, teo rii m a tem a ty czn y ch , iktóre p o w sta ły w okresie n ow ożytn ym . C hodzi o teorię m n ogości, stw o rzo n ą pod k o n iec X IX w iek u przez G eorga C anłora.
P rzyjrzyjm y .się d efin icji .zbioru p od an ej p rzez Cantora:
„Przez zbiór rozu m iem y zgru p ow an ie w jedną całość w y ra źn ie r ó ż n ych p rzed m iotów n aszej in tu icji lub n a szej m y ś li” ; lu b : „K ażdy zbiór dobrze odróżnionych .rzeczy m oże 'być tra k to w a n y jako jed n olita rzecz dla s ie b ie ” 10.
D e fin ic je t e w y d a ją s ię bardzo n iep recy zy jn e. Jed n ak .zaw ierają p e w ie n isto tn y elem en t, zw iązan y ściśle z zasadą .graniczną. D la C antora· do teg o , ab y u tw o rzy ć z p e w n y c h e le m e n tó w jak iś zbiór, w y sta rczy m ieć k ry teriu m p o z w a la ją c e rozdzielić te ele m e n ty („w yraźn ie różne, p rzed m ioty n a szej in tu ic ji”) — i to w zu p ełn o ści w y sta rczy . Te e le m en ty n ie m u szą m ieć w sp ó ln ej w ła sn o śc i zezw a la ją cej dopiero na tw o rzen ie z o ic h p e w n e j całości. T ym sam ym .nie zn an e są a prio ri w ła sn o ści zbioru, k tó ry o trzym am y w w y n ik u p e w n e j op eracji. T e w ła sn o śc i trzeba dopiero p ozn ać an alizu jąc sa m zb iór i jego k o n stru k cję. N o w o sk on stru ow an y zbiór m oże za w iera ć w sobie c a ły św ia t n o w y ch , n iezn a n y ch uprzednio w ła sn o ści.
Z obaczm y jak w ty m u jęciu 'pow staje zbiór liczb n a tu ra ln y ch . J eśli p rzy jm u jem y zasad ę, że do u tw o rzen ia jak iegoś zbioru trzeb a zn ać w ła sn o śc i jego elem en tó w , to w te d y p ojęcie zbioru (w szystk ich ) liczb n a tu ra ln y ch n ie m a sen su . W ynika to z tego, że z p ow od u n iesk o ń czo n ej ilo ś c i liczb n a tu ra ln y ch n ie m ożem y znać w ła sn o ści ich w szy stk ich . S tą d brało się odrzu cen ie n iesk o ń czo n o ści a k tu a ln ej jako ta k ieg o p o -, jęcia, k tóre p rzeczy ło te j zasadzie. Z godnie z d e fin ic ją C antora n ie m a p rzeszkód dla u tw o rzen ia zbioru liczb n a tu ra ln y ch — są rozróżn ialn e i to w y sta rczy . F a k t rozróżn ialn ości liczib n a tu ra ln y ch w y n ik a z tego, że k ażda z nich „składa się ” z różn ej liczb y jedyn ek . M im o tego, że n ie zn am y w ła sn o śc i w sz y stk ic h liczb n a tu ra ln y ch , to jed n ak zn am y
18 G. Cantor, G e s s a m m e l t e A b h a n d lu n g e n m a t h e m a t i s c h e n u n d p h i
los o p h isc h e n In halts, red. E. Z erm elo, S p rin ger—V erlag, B erlin —H e
zasad ę tw o rzen ia k o lejn y ch d o w o ln ie d u ży ch liczb. L iczb y n atu raln e tw orzą w ię c p e w n ą stru k tu rę — tę stru k tu rę m o żem y tra k to w a ć jako ob iek t m a tem a ty czn y b ędący n o w ą jakością w stosu n k u do tw orzących g o elem en tów .
S p ójrzm y jak dalej działa „zasada C antora” k o n stru k cji zbiorów . O trzym aw szy zgod n ie z p ow yższą zasadą całą rodzinę zbiorów , szu k a m y n ajp ro stszeg o k ry teriu m , k tóre u m o żliw ia ło b y rozróżn ien ie zb io rów n a leżą cy ch do p ew n ej k lasy, n ie k on ieczn ie w sk a zu ją c na w ła s n o ści ty c h zbiorów . T ym k ryteriu m okazuje s ię od w zorow an ie w z a je m n ie jed n ozn aczn e p om ięd zy zbioram i tzn. dw a zbiory A i В zaliczam y do te j sa m ej k lasy, je śli istn ie je fu n k cja f w za jem n ie jednoznaczna odw zorow u jąca zbiór A na zb iór B. Z auw ażm y, że fu n k cja o ta k iej w ła sn o śc i n ie dom aga się żad n ych k o n k retn y ch w ła sn o ści zb iorów A i B, jednak jest w stan ie je rozróżnić — jeśli zbiory A i В są różne, to fu n k cja f n ie jest tożsam ościow a.
T ak otrzym an e k la sy n a zy w a C antor liczb a m i kard yn aln ym i. O czy w iśc ie , k ry teriu m rozróżn iające zb iory A i В m oże w sk a z y w a ć (lecz n ie m u si) n a ipewne w ła sn o ś c i ty c h żbiorów . T ak jest w przyp ad k u liczb p orządkow ych, k tóre p o w sta ją an alogiczn ie jak liczb y k a r d y n a l n e, jed n ak że fu n k cja w z a je m n ie jednoznaczna b ędąca p od staw ą otrzy m an ia ty c h liczb m u si za ch o w y w a ć porządek istn ie ją c y na zbiorach A i B.
J e śli w ię c is tn ie je k ryteriu m rozróżnienia p om ięd zy p ew n y m i e l e m en tam i, to jest t o w aru n ek w y sta rcza ją cy do tego, aby te elem en ty tra k to w a ć jako jed n olitą całość. Brak tak iego k ry teriu m u n iem o żliw ia n a to m ia st tw o rzen ie ta k ie j całości. I tak np. n ie istn ie je zbiór w s z y s t k ic h iztaiorów, ho n ie jest m o ż liw e w sk a za n ie kryteriu m , k tóre by ro z różn iało w sz y stk ie m o żliw e zbiory. C antor uw aża, że ró w n ież w p r z y p adku tw orzen ia zbiorów sk ończonych n ie m ożna w sk a za ć in n ego k r y teriu m , oprócz k ry teriu m w yraźn ego rozróżn iania ele m e n tó w tw o r z ą cych dany zb iór tzn. zbiory n iesk oń czon e m a ją co n a jm n iej ta k ie sa m e p raw o do istn ie n ia jak zbiory .skończone. Zobaczm y, co p isze sam C an to r n a tem a t „ w ielo ści n iesk o ń czo n y ch ” (Łzn. liczb k a rd yn aln ych n ie skończonych).
„Czy n ie b y ło b y d o p o m y ślen ia , że już te w ie lo ś c i są „sprzeczne” i że sp rzeczn ość przyjęcia teg o , iż w sz y stk ie te e le m e n ty tw orzą p ew n ą ca ło ść jeszcze ty lk o n ie zw róciła na sieb ie u w agi? M oja od p ow ied ź na to brzm i, że p y ta n ie to n a le ż y ró w n ież rozszerzyć na w ie lo śc i sk oń czone i że dokładne rozw ażan ie p row ad zi do n a stęp u ją ceg o w y n ik u : naiwet dla w ie lo ś c i skoń czon ych n ie da się p rzeprow adzić „dow odu” ich „ n iesp rzeczn ości”. In n ym i słow y: fa k t „n iesp rzeczn ości” w ie lo śc i sk oń czon ych jest prostą, n ied o w o d liw ą praw dą, jest „aksjom atem a r y t m e ty k i” (w sta ry m sen sie tego słow a). Tak sam o „n iesp rzeczn ość” w ie lo śc i, którym przyp isu ję a le fy jako liczb y k a rd y n a ln e jest a k sjo m a tem rozszerzon ej a ry tm ety k i p o za sk o ń czo n ej” 17.
Co w ięcej, istn ieją ce a k tu a ln ie zbiory n iesk o ń czo n e stan ow ią p od sta w ę teorii m nogości, w rozu m ien iu Cantora. Zbiory skończone są to tw o r y u m y słu k o n stru o w a n e w oparciu o istn ie ją c e id e a ln ie .zbiory n iesk oń czon e. W ty m m iejscu ch cia łb y m p rzypom nieć zasadę, na której
17 T am że, 249; tek st p olsk i w tł. R. M u raw sk iego na p od staw ie: Filo
zo f ia m a t e m a t y k i (antologia t e k s t ó w k la s y c zn y c h ), red. R. M u raw sk i,
opiera się rozu m ien ie zb iorów n iesk o ń czo n y ch (tę zasadę m ożna .trak to w a ć jako d efin icję zbioru n iesk oń czon ego):
Z b ió r j e s t n ie s k o ń c zo n y , j e ś li p e w i e n je g o p o d z b i ó r w ł a ś c i w y j e s t z n i m r ó w n o liczn y.
Ta zasada w y d a je się być zap rzeczeniem d ziew ią teg o ak sjom atu E u k lid esa , k tó ry brzm i: całość j e s t w i ę k s z a od części. Jed n ak sądzę, że zasada 'leżąca .u p o d sta w rozu m ien ia zbioru niesk oń czon ego, n ie p rze czy a k sjo m a to w i E uklidesa, lecz p o zw a la go le p ie j zrozum ieć — dzieje się _ ta k w ó w cza s, gd y ^ staram y się dostrzec w sp ó ln ą treść w tych stw ierd zen iach . Ta w sp óln a treść to k olejn y fa k t ep istem o lo g iczn y o d k ry ty przez n aukę n ow ożytn ą. Ten fa k t ep istem o lo g iczn y m ożna ująć w n a stęp u ją cy sposób: całość j e s t w i ę k s z a od części p o d w a r u n k ie m ,
g d y p o ję c i e ,,c z ę ś ć ” t r a k t u j e m y w t y m s a m y m sensie, co p o jęcie „ w i ę k s z y ” ; w przypadku d efin icji zbioru n iesk oń czon ego „ część” jest
rozum iana jako „podzbiór w ła ś c iw y ”, n atom iast „ w ięk szy ” jako „m a jący w ię k sz ą m o c” — n ie m a w ię c sp rzeczn ości z ak sjom atem E u k li desa.
P rzy ok azji ch cia łb y m w sp om n ieć, że p o w sta n ie geom etrii n ie e u k li d eso w y ch zw róciło u w a g ę na isto tn e treści za w a r te w sły n n y m p iątym p o stu la cie E u k lid esa (przez p u n k t n ie leżą cy na p ro stej m ożna p o p row ad zić dok ład n ie jedną p rostą rów n oległą); n ie sąd zę w ięc, że w ty ch geo m etria ch p ią ty p ostu lat jest od rzu con y (jeśli już, to w y łą czn ie z form aln ego p u n k tu w id zen ia). Po prostu o k a zu je się , że od p ojęć „prosta” i „rów n oległość” bardziej p o d sta w o w e są ipojęcia „geod etyk i” i „ k rzy w izn y ”. P rosta w „ eu k lid eso w y m ” ro zu m ien iu to geod etyk a l e żąca n à p ow ierzch n i o k rzy w iźn ie ró w n ej zero.
9. B A D A N IA TOPOLO GICZNE I PRO G R AM K L E IN A
Teraz ch ciałb ym pokazać, że id ee, k tó re w p ły n ę ły na p o w sta n ie m e tod top ologiczn ych b y ły zasad n iczo zgodne z zasadą graniczną.
J ed n y m ze źródeł to p o lo g ii są badania d oty czą ce fu n k cji zesp olon ych j .(a: + iy) = u + iv. B adania t e rozpoczął R iem a n n w sw ojej rozp raw ie doktorskiej, która uk azała się w 1851 r o k u ls. W b ad an iach ty c h m ię d zy in n y m i chodziło o p o d a n ie tak ich w a r u n k ó w na fu n k cję zespoloną, aby dana fu n k cja zesp olon a p rzek ształcała obszar p łaszczyzn y (tzn. zbiór sp ójn y i otw arty) na obszar. Te w a ru n k i (m iędzy in n y m i tzw . w a ru n k i C auchy’ego — R iem an n a) d oprow adziły do p o w sta n ia p ojęcia fu n k c ji an a lity czn ej. N atom iast ro zp a try w a n ie fu n k cji a n a lity czn y ch w ielo zn a czn y ch doprow adziło do p o w sta n ia p ojęcia p ow ierzch n i riem an - nowsfkiej. W przyp ad k u fu n k cji w ielo zn a czn ej otrzym u jem y całą w ią zk ę ta k ich p ow ierzch n i. D ana fu n k cja w ielozn aczn a „rozpada się ” w ię c n a k la sę fu n k cji jed n ozn aczn ych (każdą z .takich fu n k c ji o trzym u jem y, gdy ograniczym y jej zbiór w a rto ści do jednej z p ow ierzch n i riem an - now sk ich ). F u n k cje n a leżą ce do tej k la sy m ają w sp ó ln ą stru k tu rę — jest n ią stru k tu ra topologiczna. O znacza to, że p o w ierzch n ie riem an - n o w sk ie danej fu n k cji w ielo zn a czn ej są m ięd zy sobą h om eom orficzne. R iem an n dostrzegł potrzebę badań top ologiczn ych p o w ierzch n i o d k ry tych p odczas an alizy fu n k cji zesp olon ych i rozpoczął t e badania w p r o w a d za ją c p o jęcie „liczb B e ttie g o ” p o w ierzch n i —- liczb y te są n ie ls B. R iem ann, G e s a m m e l t e m a t h e m a t i s c h e W e r k e , L eip zig 1876, 3— — 43; N. Bourfoaki, E l e m e n t y h is to rii m a t e m a t y k i , PW N , W -w a ,1980, 117— 182.
zm ien n ik a m i .topologicznym i i ty m sam ym dają ch arak terystyk ę top o lo g iczn ą pow ierzchni.
Z au w ażm y zresztą, ż e p o ję c ie stru k tu ry to p o lo g iczn ej p o ja w ia się już przy geom etryczn ej in terp reta cji liczb zespolonych. M ając d w ie d o w o ln e liczby zesp olon e (na p łaszczyźn ie) m ożn a p rzejść od jednej z n ich do d ru g iej w sposób c ią g ły n a n iesk o ń czen ie w ie le sp o so b ó w (in aczej, n iż w p rzyp ad k u dw óch p u n k tów n a p rostej, gd zie przejście c ią g łe od jed n ego p u n k tu do d ru g ieg o jest jednoznaczne). O m o żliw o ści in terp reta cji geom etryczn ej liczb zesp olon ych na p ła szczy źn ie i o k w e s t ii n iesk o ń czen ie w ie lu o d w zorow ań cią g ły ch p rzek szta łca ją cy ch jed en p u n k t w drugi p isa ł G auss w 1812 roku 19.
W ty m sp o strzeżen iu tk w i już zalążek m etod top ologiczn ych . Z p u n k tu w id zen ia m o żliw o ści p ew n y ch c ią g ły ch p rzek ształceń płaszczyzn a m a zn aczn ie bogatszą stru k tu rę n iż prosta. W skazuje to na zasadniczą różn icę m ięd zy p rostą a p łaszczyzn ą w „p ew n ym sen sie” —- ty m se n se m jest struktura top ologiczn a (nie m ożna p rzejść w .sposób to p o lo g iczn y z p rostej na p łaszczyznę).
Bardzo isto tn e dla p ow stan ia top ologii b y ły a n a lizy z w ią za n e z tw ie r d zen iem E ulera. T w ierd zen ie to m ów i, że sum a ścian i w ierzch o łk ó w d o w o ln eg o w .ielościanu w y p u k łeg o , p om n iejszon a o liczb ę jego k r a w ęd zi, rów na się 2. P rób ow an o u ogóln ić to tw ierd zen ie. F ran cu sk i m e ch a n ik .i m a tem a ty k L ouis P oin sot w pracy O w i e l o k ą ta c h i w i e l o ·
ś c i a n a c h 20 pokazał, że dla p ew n y ch g w ia źd zisty ch w ie lo śc ia n ó w m a
m ie jsc e in n y zw iązek różn iący ,się od zależn ości iw ym aganej przez tw ierd zen ie E ulera. R ów n ież C auchy w B a d a n ia ch na t e m a t w i e l o
ś c i a n ó w 21 w sk a za ł p rzyk ład y w ie lo śc ia n ó w n ie od p ow iad ających za leż
n o ści E ulera. Okazało się , że dana za leżn o ść ty p u E ulera ok reśla p e w n ą k la sę w ie lo śc ia n ó w hom eom orficznych. I tak np. w y jśc io w e tw ie r d z e n ie E ulera jest p ra w d ziw e dla w szy stk ich w ie lo śc ia n ó w , k tórych p o w ierzch n ie są hom eom orficzn e ze sferą.
S p ójrzm y na zależność E ulera w n ieco in n y sposób. Z ależność ta u k azu je, że różne w ielo ścia n y m ające zu p ełn ie różną stru k tu rę g eo m e tryczn ą, algeb raiczn ą itd., m ają jednak p ew n ą wispólną p o d staw ow ą cech ę — jest n ią ten ,sam w zór w ią żą cy liczb ę w ierzch ołk ów , k ra w ęd zi i ścian tych w ielo ścia n ó w . W m om en cie p o ja w ie n ia się w zoru Eulera, w m a tem a ty ce n ie znano tak iej struktury, która b y ła b y o d p o w ied zia l n a za is tn ie n ie teg o p od ob ień stw a. B adania, k tó re z jednej istrony .szły w k ieru n k u p o szu k iw a n ia dow odu tw ierd zen ia E ulera (to tw ierd zen ie b y ło na początk u tra k to w a n e jako hipoteza), a z drugiej strony na szu k an iu kontirprzykładów do tej hip otezy, d op row ad ziły w k oń cu do (podania k la sy fik a c ji top ologiczn ej w ielo ścia n ó w . T ym sam ym z n a le ziono p od staw ę, która o d p ow iad ała za p ra w d ziw o ść w zoru E ulera dla fig u r geom etryczn ych m a ją cy ch zu p ełn ie in n ą strukturę m atem atyczn ą (do ta m tej pory) — tą pod staw ą b yła topologia.
O czyw iście, w sz y stk ie 'te rozw ażan ia g eo m etry czn e n ie m o g ły dopro w a d zić d o p o w sta n ia top ologii jako gałęzi m a tem a ty k i, gdyby n ie u ś c i ś le n ie p ojęć granicy, cią g ło ści i fu n k cji (ścisła d efin icja tych p ojęć b y ła w y n ik iem w sp o m n ia n eg o w cześn iej n u rtu w m a tem a ty ce X IX
19 C. F. G auss, W e r k e , Bd. 8, G ottin gen 1870—1927, 90—91; N. B ourba- k i, E l e m e n t y his to rii m a t e m a t y k i , PW N, W -w a 1980, 203—204.
20 A. P. J u szk iew icz (red.), M a t e m a t i k a X I X w i e k a (G eo m etria . T e o
r i a a n a li ty c z n y c h funkcji), Izd a tielstw o „N auka”, M oskw a 1981, 97— 98.
