Analiza drgań belki ze szczeliną

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1 0 8 9

Seria: MECHANIKA z.99 Nr kol. 1057

SYMPOZJON "MODELOWANIE W MECHANICE"

POLSKIE TOWARZYSTWO MECHANIKI TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ Beskid Śląski» 1990

Wiesław Ostachowicz, Marek Krawczuk Instytut Maszyn Przepływowych - PAN Gdańsk

ANALIZA DRGAŃ BELKI ZE SZCZELINĄ

Streszczenie. W pracy przedstawiono analizę wpływu wielkości i położenią szczeliny na amplitudę drgań wymuszonych siłą okresową i częstości drgań własnych belki utwierdzonej. Układ modelowano belkowymi elementami skończonymi o dwóch węzłach iczterech stopniach swobody w węźle. W miejscu szczeliny wprowadzono specjalny element belkowy ze szczeliną. Do obliczania częstości drgań własnych zastosowano metodę Jacobiego, równanie ruchu drgań wymuszonych całkowano metodą Newmarka.

1. Wstęp

Szczeliny w elementach maszyn powstają na skutek różnorodnych przyczyn;

mogą być to uszkodzenia mechaniczne, erozja, korozja lub w przypadku elemen

tów eksploatowanych w zakresie ograniczonej wytrzyuałości zmęczeniowej *- zmęczenie materiału *

Szczeliny w istotny sposób wpływają na charakterystyki dynamiczne pracu

jących elementów, W miejscu istnienia szczeliny następuje lokalna zmiana sztywności konstrukcji* Ponieważ sztywność ta zmienia się w obszarze rozpa

trywanego elementu konstrukcyjnegO| charakterystyki dynamiczne zależne są od umiejscowienia szczeliny, jej rozmiarów a także rozpatrywanej postaci drgań.

(2)

2 74 W. Ost a c h o w i c z , M. Krawczuk

Do chwili obecnej powstało kilka modeli służących do analizy drgań układów ze szczelinami £l «■ 4] . ¥ prostych przypadkach szczelinę modelowano liniową sztywnością zastępczą [ 1,2 ] , w bardziej skomplikowanych wykorzystane metodę elementów skończonych £3.^3

¥ niniejszej pracy przedstawiono analizę drgań belki utwierdzonej ze szczeliną' Określono wpływ wielkości i położenia szczeliny na amplitudę drgań wymuszonych i częstości drgań własnych.

2. Równani a r uchu

2.1. Drgania wymuszone

Równania ruchu w przypadku drgań wymuszonych przyjmą powszechnie postać [5]

M ą t C ą + K ą = F ° sin c o t , C O

gdzie : - macierze globalne bezwładności tłumienia i sztyw- 1 } ności układu

- wektor przemieszczeń uogólnionych

o /

- amplituda siły wymuszającej} - częstość wymuszeń -

Do rozwiązania równania ('1) zastosowano metodę bezpośredniego całkowania (Newmarka)«

2.2* Drgania własno

Częstości drgań własnych i postacie tych drgań obliczamy rozwiązując zagadnienie własne

( K -

c j

2 M ) ą ° = V . ( 2)

Równanie ( 2 ) przedstawiamy w postaci :

( A ~ I co2 ) X ° = € , ( O

gdzie : A l = M d 1 -

K

^{‘ M c 1}

J - macierz jednostkowa

= / l fi * ^ w ,

K A r górna i dolna macierz trójkątna otrzymana z macierzy P i .

Z równania (3) wyznaczamy częstości drgań własnych i postacie tych drgań (np. metodą Jacobieg© £5} ).

(3)

Analiza drgań. 273

3. Element belkowy ze szczeliny

Elenent belkowy ze szczeliną w węźle przedstawiono na rys. 1

a )

o dwóch węzłach i czterech stopniach swobody rej

U 5

b)

Rys. 1a) Element belkowy ze szczeliną)

1b) Sztywności zastępcze w miejscu szczelin; k.-współczynnik sztywności zginania względem osi x,, kg-współczynnik sztywności zginania względem osi Xg

Stosując prawa mechaniki pękania, można obliczyć współczynniki zastępczej sztywności zginania elementu : [1J

w płaszczyźnie x^ - Xg :

i , = B ł M r ( °-5033" 9022r + 3 A i 2 f 2~3 i8if i+5-793T^>(li)

k w płaszczyźnie

T = ^ r f - ( 0 - 25 9 - 0 .3 M ¡T + 0.5052f 2- 0 . 2 9 U r } +D .2008r‘i) , (5 )

2- Ot-*

gdzie : ^ _ =±L - wysokość względna szczeliny.

d H

Elementy macierzy sztywności można obliczyć na podstawie twierdzenia Castigliano, zmieniając kolejno unieruchomione stopnie swobody elementu skończonego. Poniżej przedstawiono przykład obliczania wyrazu y Obciąże

nie elementu przedstawiono na rys. 2.

(4)

2 7 6 W. Os tac h o wi c z , M. Krawczuk

Przemieszczenie u. obliczamy ze związku *,

u - U L ...

u * d ą Zakładając

pomiędzy siłami uogólnionymi i Fa -

i s z c z e n i e U i O D i i c z a i u y ••

ijąc V = F^, M = F^x - F^ z równania ( 6 ; otr d F j

= 0. (6) X = £B

otrzymujemy związek

Fe

i- 2 E S

Ib

5

)

. ( ¿ i + T f )

( ? )

x =

I

b

( 8 ) Przemieszczenie u* obliczamy ze,związku;

- §F{ J l & ) ( § F i ) d +j l n j i § ... ...*

Sztywność ^ jest definiowana jako stosunek siły F^ do przemieszczenia u^. Podstawiając (7) do (8) otrzymujemy y , ,

n ft~z

edzie p

)

G A f 3 £ J 3 + % - )i Ą + 4 ) ^ ^ K<,i =

W

- moduł Younga , - moduł Kirchoffa,

- geometryczny moment bezwładności przekroju względem osi

4. Przykład obliczeń

Obliczenia numeryczne przeprowadzono dla układu przedstawionego na rys.3.

Do obliczeń przyjęto następujące dane :

ę> = ?860 kg/m^ L = 1-.0 m

E = 2.1 ' lO1"1 K/m L /L = 0.6; 0.75; 0.9 G = 8.15 • 1 'in0 K/m BXH = 0.05 * 0.05 m

V = 0.3 F° = 2000 N

Cj = 50 rad/s

(5)

Analiza drgań belki ze szczeliną 277

F°smat

4 -A

© © © a

m H

Li B

\ 1 l

Rys« 3« Model obliczeniowy

Belkę modelowano pięcioma elementami skończonymi, przy czym jeden z elementów zawierał szczelinę. Wyniki obliczeń przedstawiono na rys. 4.

5. Wnioski

Analiza wyników obliczeń prowadzi do następujących wniosków : 1. Częstości i amplitudy drgań zależą od dwóch parametrów, położenia

szczeliny ( ^1/L ) oraz jej wielkości ( 2a/H )»

2» Ka podstawie analizy zmian częstości drgań własnych możliwa jest identyfikacja położenia szczeliny i jej wymiarów.

W celu weryfikacji opiśanego w pracy modelu konieczny jest przeprowadzenie badań doświadczalnych.

(6)

278 W. Ost»chowi c z . M. Krawczuk

LITERATURA (

Ql] Ju.F.D.,Akguji M., Paez T.L., Wong E.T.: Diagnosis of fracture damage in simple structures. Burean of Engineering Research Report No.CE-62(82) AFOSR-993-1 > University of Hew Mexico, Albuquerque, NM. (1952),

[2] Anifantis H., Dimarogonas A.: Stability of colums with a single crack subjected to follower and vertipal loads. An International Journal Solids Structures (1983) Vol. 19, No.4, pp. 281 - 291*

£3] Gounaris G., Dimarogonas A*: A finite element of a cracked prismatic beam for structural analysis* An International Journal Computers and Structures, (1988), Vol. 28* No*3, PP. 309 - 313.

[4] Dirr B.O, Scnmalhorst B.K.i Crack depth analysis of a rotating shaft by vibration measurement. ASME Design Technology Conferences ( 198?) » pp. 607 - 614.

[5] Zienkiewicz O.C.: Metoda Elementów Skończonych. Warszawa 1972,9Arkady [6] Haisty B*S, Springer W.T*: A general beam for use in damage assessment

of complex structures* ASME Journal of Vibration Aconstics, Stress, and Reliability in Design ( 1988) Vol. 110, pp, 389 - 39^,

AHAJIH3 KOJEEEAHHM EAJIKH C TPEUJHHOił

Pesiowe

B paSoTe noKa3aHO aHaJiH3 b u h h h h h nonoxeHHa h seJiHUHHH TpeąHHH h b qacioiy h aMnjmTyny KOJie6aHnft CaJiKH. Bbjikh MOjenHpoBaHo CaxKOBUMH KOHeuHHua aneMSHiaMH c TpemHHauH. HacioTy KOJieOaHHit paccvHTaHO npn nOMomH Meio^a Hico6ero, ypaBHeHHe xBHxeHna pemeno MeTOXoft Huwa pK a.

VIBRATION analysis o f a cracked beam

Summary

The paper presents the effect of the location and magnitude of a crack on the values of amplitude of forced vibration and free vibration frequencies.

The beam is modeled by a beam finite elements with crack* Free vibration frequ

encies were calculated by Jacobi method, eguation of motion was integrated using Newmark method.