RUTMech, t. XXXIV, z. 89 (4/17), październik-grudzień 2017, s. 517-528
Stanisław NOGA1 Tadeusz MARKOWSKI2
ANALIZA DRGAŃ WŁASNYCH PRZEKŁADNI ZĘBATEJ MAŁEJ MOCY
W artykule omówiono drgania własne przekładni zębatej małej mocy, dedykowanej do współpracy z pompą hydrauliczną stoiska hamownianego. W procesie analizy wykorzystano metodę elementów skończonych i komercyjne oprogramowanie ANSYS. Analizę drgań omawianego układu prowadzono dwuetapowo. W pierw- szej kolejności wyznaczono częstości własne drgań poprzecznych kół zębatych z uwzględnieniem rotacji kół. Następnie, wykorzystując opracowane wykresy Campbella, wyznaczono prędkości wzbudzenia poszczególnych częstości drgań własnych poprzecznych omawianych kół. W dalszej kolejności analizowano drga- nia własne korpusu reduktora. Rozważono dwa przypadki obliczeniowe. W pierw- szym przypadku uwzględniono tylko masę i geometrię korpusu zasadniczego i po- krywy. W drugim przypadku uwzględniono dodatkowo masę poszczególnych kół oraz ich geometryczny rozkład. Na podstawie opracowanych modeli numerycznych wyznaczono pierwszych dziesięć częstości drgań własnych i odpowiadające im formy własne korpusu reduktora. Następnie wyniki te wykorzystano do oszacowa- nia poziomu naprężeń w ściankach korpusu dla dopuszczalnej wartości przyspie- szenia. Prezentowana w pracy metodyka może być pomocna inżynierom zajmują- cym się analizą drgań przekładni zębatych.
Słowa kluczowe: drgania poprzeczne, częstości rezonansowe, formy własne, prze- kładnie zębate
1. Wprowadzenie
Rozwój współczesnej techniki wymaga tworzenia urządzeń o przewidywal- nej trwałości i niezawodności działania. Dotyczy to w szczególności układów produkowanych na potrzeby przemysłu lotniczego, farmaceutycznego, medycz- nego oraz biomedycznego. Jednym z istotnych czynników mogących zakłócić prawidłową pracę urządzeń jest możliwość pojawienia się drgań ich poszczegól- nych elementów bądź zespołów [6]. Z tego względu korzystnie jest na etapie pro- jektowania wykonać badania modelowe, pozwalające ograniczyć skutki drgań.
Obserwowany rozwój systemów obliczeniowych opartych na metodzie elemen-
1 Autor do korespondencji/corresponding author: Stanisław Noga, Politechnika Rzeszowska, al. Powstańców Warszawy 12, 35-959 Rzeszów, tel.: 178651639, e-mail: noga@prz.edu.pl
2 Tadeusz Markowski, Politechnika Rzeszowska, e-mail: tmarkow@prz.edu.pl
tów skończonych (MES) pozwala analizować drgania układów o znacznym stop- niu złożoności konstrukcyjnej. W pracy [4] omówiono badania symulacyjno-eks- perymentalne (z uwzględnieniem MES) dotyczące drgań własnych stoiska do badań zmęczeniowych kół zębatych w układzie mocy krążącej. W publikacjach [1, 2, 6-10] analizowano drgania poprzeczne kół zębatych, modelowanych pły- tami kołowo-symetrycznymi, stosując MES oraz komercyjne systemy oblicze- niowe. W monografii [6] omówiono różne przypadki drgań układów kołowo-sy- metrycznych, z uwzględnieniem rozwiązań analitycznych, numerycznych i do- świadczalnych. W pracach [3, 11] dyskutowano zagadnienia drgań własnych przekładni planetarnych, z zastosowaniem zaproponowanych modeli dyskretno- ciągłych przekładni i wyznaczonych rozwiązań analitycznych. W niniejszej pu- blikacji są rozważane drgania własne przekładni zębatej małej mocy. Zakres omawianych zagadnień obejmuje drgania poprzeczne kół zębatych przekładni wraz z wyznaczeniem prędkości wzbudzenia częstości własnych kół oraz drgania własne korpusu przekładni wraz z analizą naprężeń dla dopuszczalnej wartości przyspieszeń. Artykuł jest kontynuacją prac autorów dotyczących analizy drgań przekładni zębatych [7-9].
2. Analizowany obiekt
Przedmiotem rozważań jest analiza drgań reduktora pompy hydraulicznej (rys. 1), stanowiącego istotne urządzenie pomocnicze stoiska hamownianego. Re- duktor składa się z trzech współpracujących ze sobą kół zębatych (rys. 1), osa- dzonych na łożyskach wałeczkowych w gniazdach korpusu. Korpus jest kon- strukcją dzieloną, składającą się z korpusu zasadniczego i pokrywy (rys. 2). Po- krywa jest przymocowana do korpusu zasadniczego śrubami (21 sztuk) skręco- nymi z zadanym momentem zaciskowym. Cały zespół jest przymocowany tuleją montażową do korpusu urządzenia współpracującego. Odbiór i przekazanie mocy odbywają się za pośrednictwem dodatkowych wałów środkowych, współpracu- jących z kołami przez połączenia wielowypustowe. Jak wspomniano wcześniej,
Rys. 1. Modele geometryczne kół zębatych: a) koło nr 1, b) koło nr 2, c) koło nr 3 Fig. 1. Geometrical models of the toothed gears: a) gear no. 1, b) gear no. 2, c) gear no. 3
a) b) c)
Rys. 2. Model geometryczny korpusu reduktora (a, b, c)
Fig. 2. A geometrical model of the body of reduction gear (a, b, c)
istotnymi elementami składowymi, z punktu widzenia rozważanych zagadnień, są koła zębate (rys. 1) oraz korpus zasadniczy i pokrywa (rys. 2). Koła zębate sta- nowią jednolite zespoły z wałami drążonymi. Dodatkowo koła nr 1 i 3 są przy- stosowane do odbioru i przekazywania ruchu obrotowego i mocy urządzeniom zewnętrznym przez połączenie wielowypustowe. Koła te charakteryzują się znacznym podobieństwem kształtowym (rys. 1a, c).
3. Modele numeryczne rozważanych układów
W pierwszym etapie rozważań opracowano modele numeryczne istotnych części składowych zespołu, czyli modele kół zębatych, korpusu zasadniczego i pokrywy. Proces modelowania i analizy prowadzono w środowisku obliczenio- wym ANSYS. W celu uzyskania modeli charakteryzujących się optymalną liczbą elementów pominięto w modelach geometrycznych powierzchnie wynikające z zaokrągleń ostrych krawędzi. W przypadku kół dotyczy to głównie zaokrągleń głów i stóp zębów, wielowypustów oraz podcięć na czopach łożyskowych.
W przypadku elementów korpusu pominięto także otwory pod śruby mocujące oraz geometrię kanałów smarujących. W procesie generowania siatki wymienio- nych części stosowano element bryłowy czworościenny (solid187), dziesięciowę- złowy, o trzech stopniach swobody w każdym węźle. Modele numeryczne kół nr 1 i 3 (rys. 3) zawierają odpowiednio 73 028 elementów i 118 848 węzłów.
Model numeryczny koła nr 2 zawiera 49 810 elementów oraz 89 013 węzłów.
W przypadku korpusu (rys. 4) model numeryczny całości (korpus zasadniczy i pokrywa) zawiera 137 579 elementów oraz 212 388 węzłów. W modelach kół zębatych warunki brzegowe przyłożono do węzłów. W każdym modelu węzłom leżącym na powierzchniach czopów łożyskowych odebrano stopnie swobody związane z przemieszczeniem promieniowym węzłów. Ponadto w modelach kół nr 1 i 3 węzłom leżącym na powierzchniach głów wielowypustów odebrano stop- nie swobody związane z przemieszczeniem wzdłużnym oraz obrotem węzłów
wokół osi obrotu wymieniowych kół. Współpracę pokrywy z korpusem zasadni- czym zrealizowano przez tzw. sklejenie obu brył na powierzchni współpracy. Po- zwoliło to wygenerować siatkę elementów skończonych obu ciał zgodną na tej powierzchni.
Rys. 3. Modele numeryczne kół zębatych: a) model koła nr 1, b) model koła nr 2, c) model koła nr 3
Fig. 3. FE models of the following gears: a) gear no. 1, b) gear no. 2, c) gear no. 3
Rys. 4. Modele numeryczne korpusu reduktora: a) model pierwszy, b) model drugi, c) model trzeci
Fig. 4. FE models of the body of reduction gear: a) first model, b) second model, c) third model
Następnie węzłom leżącym na powierzchni współpracy reduktora z ze- wnętrznym urządzeniem (rys. 2, oznaczenie: połączenie) odebrano stopień swo- body związany z przemieszczeniem wzdłuż osi obrotu koła nr 1, stopień swobody związany z obrotem wokół tej osi oraz stopień swobody związany z przemiesz- czeniem promieniowym węzłów płaszczyzny współpracy względem tej samej osi. W obliczeniach numerycznych rozważono dwa modele numeryczne zespołu reduktora. W pierwszym modelu numerycznym uwzględniono geometrię i masy korpusu zasadniczego oraz pokrywy. W drugim modelu numerycznym układu uwzględniono dodatkowo masy kół zębatych reduktora. W tym przypadku mo-
delu koła zębate zamodelowano jako tzw. sztywne obszary, zawierające punkty masowe, w których są umieszczone masy skupione kół [4].
4. Analiza numeryczna
Analizę drgań układu reduktora prowadzono dwuetapowo. W pierwszej kolejności wyznaczono częstości własne drgań poprzecznych kół zębatych z uwzględnieniem efektu wirowania. W dalszej kolejności analizowano drgania własne korpusu reduktora. W przypadku kół zębatych proces obliczeniowy wy- konano w dwóch krokach obliczeniowych. W pierwszym kroku, związanym z analizą statyczną, wyznaczono rozkład naprężeń wynikający z rotacji. Następ- nie uzyskany rozkład uwzględniono w drugim kroku obliczeniowym, związanym z analizą modalną. Zgodnie ze standardami przyjętymi w teorii płyt kołowych i pierścieniowych, poszczególne częstości własne oznaczono przez ωmn, gdzie m oznacza liczbę okręgów węzłowych, a n odnosi się do liczby średnic węzłowych.
Na podstawie prowadzonej analizy opracowano wykresy Campbella dla rozpa- trywanych kół zębatych. Ze względu na realne niebezpieczeństwo pojawienia się drgań poprzecznych kół najbardziej niebezpieczna jest częstotliwość wymusza- jąca drgania poprzeczne od zazębienia [6]. Wyróżnia się tu tzw. częstotliwość wymuszenia podstawową od zazębienia (pierwsza harmoniczna), wyznaczaną z zależności [1, 6-8]:
( )
1 0 60
k = n z (1)
oraz podwójną częstotliwość od zazębienia (druga harmoniczna), którą wyznacza się ze wzoru [1, 6-8]:
( )
2 2 0 60
k = n z (2)
W podanych zależnościach n0 [obr./min] jest prędkością obrotową koła, a z – liczbą zębów w kole. Zjawisko rezonansu może się pojawić w przypadku, gdy któraś z częstotliwości wymuszających ((1) lub (2)) zrówna się co do warto- ści z którąś z częstotliwości drgań własnych koła przy zmianie prędkości obroto- wej. Szczególnie istotna jest możliwość wzbudzenia drgań od częstotliwości (1).
W przypadku wystąpienia takiego faktu oblicza się dodatkowo częstotliwość wy- muszającą od zazębienia z zależności [1, 6-8]:
( )
1 0 60
k∗= n z±n (3)
gdzie, jak wcześniej wspomniano, n jest liczbą średnic węzłowych. Prosta (1) w takim przypadku jest rozumiana jako nominalna podstawowa częstotliwość wymuszająca od zazębienia. W tabeli 1 podano dane techniczne oraz zakres ope- racyjny prędkości obrotowych analizowanych kół.
Tabela 1. Dane techniczne i eksploatacyjne kół zębatych Table 1. Technical and operational data for toothed gears
Nr koła Masa [kg] z n1 [obr./min]
n2
[obr./min] Moduł [mm] ν E [Pa]
ρ [kg/m3]
1 1,29 41 3400 6500
2,5 0,3 2,06·1011 7,85·103
2 2,75 83 168 3211
3 1,29 41 3400 6500
W tabeli 1 ν jest współczynnikiem Poissona, E to moduł Younga, ρ – gęstość materiału, obroty n1 i n2 określają przedział wartości prędkości obrotowych, jakie mogą przyjmować koła w czasie pracy (tzw. zakres operacyjny). Dla omawianych kół obliczenia numeryczne ograniczono do wyznaczenia częstości własnych mniejszych lub równych ω16. Obliczenia wykonano przy założeniu, że koła obra- cają się z prędkościami obrotowymi z zakresu od 0 do n2 (tab. 1). W celu uwzględ- nienia efektu wirowania, w procesie obliczeniowym zwiększano prędkości ką- towe kół nr 1 i 3 o 1150 obr./min, a koła nr 2 o 860 obr./min, co dało siedem wariantów wyników dla kół nr 1 i 3 (częstości własne i odpowiadające im formy własne) oraz pięć dla koła nr 2, które należało zinterpretować. Otrzymane wyniki obliczeń wykorzystano do opracowania wykresów Campbella dla poszczegól- nych kół. Opis sposobu tworzenia wykresu Campbella można znaleźć między in- nymi w pracach [1, 6]. Koła nr 1 i 3 charakteryzują się znacznym podobieństwem konstrukcyjnym. Występuje też znaczna zbieżność wyników obliczeń dla wymie- nionych kół. Z tego względu prezentowane będą wyniki obliczeń odnoszące się do kół nr 1 i 2. W tabeli 2 podano wartości częstości drgań własnych koła nr 1 wyznaczone przy zadanych prędkościach obrotowych. W tabeli 3 podano wyniki obliczeń odnoszących się do koła nr 2. Otrzymane rozwiązania przedstawiono w kolejności występowania. Podczas analizy otrzymanych rezultatów zauważa się nieznaczny wpływ prędkości obrotowej na wzrost wartości poszczególnych częstości drgań własnych omawianych kół (nieznaczny wzrost sztywności giętej kół). Ponadto w przypadku koła nr 2 obserwuje się rozdzielenie wartości częstości ω13, ω23 i ω16. Jest to spowodowane występowaniem otworów przelotowych w tarczy koła. Szerszą dyskusję tego zagadnienia można znaleźć w pracach [1, 6, 10]. W dalszej kolejności prezentowane w tab. 2 i 3 wyniki wykorzystano do opracowania wykresów Campbella dla omawianych kół zębatych. Wykresy te posłużyły do wyznaczenia prędkości wzbudzenia poszczególnych częstości drgań własnych analizowanych kół. Na rysunku 5 pokazano wykres Campbella z za- kresu częstotliwości 4600-5600 Hz odnoszący się do koła nr 1. Z analizy wykresu zauważa się, że może wystąpić rezonans drgań od podwójnej częstotliwości wy- muszającej od zazębienia (2), w zakresie operacyjnym koła (punkty przecięcia prostej (2) z krzywymi odnoszącymi się częstości drgań własnych). Linie pio- nowe nkw1, nkw2, nkw3 na wykresie Campbella (rys. 5) odnoszą się do prędkości wzbudzenia częstości ω10, ω11 i ω12. W tabeli 4 zamieszczono wartości prędkości
wzbudzenia wymienionych częstości własnych koła. Na rysunku 6 zilustrowano wykres Campbella z zakresu częstotliwości 2000-3500 Hz odnoszący się do koła nr 2. W tym przypadku zauważa się, że może wystąpić rezonans od częstości wymuszającej od zazębienia (1) z częstością ω13 w zakresie operacyjnym koła.
Konieczne było więc dodatkowe wyznaczenie prostych (3). Linie nw2 i nw3 odnoszą się do nominalnych prędkości wzbudzenia częstości ω13, natomiast linie nw1 i nw4 – do prędkości wzbudzenia pochodzących od częstotliwości wymusza- jącej (3). W tabeli 5 podano wartości wymienionych prędkości wzbudzenia czę- stości ω13.
Tabela 2. Wpływ prędkości obrotowej na wartości częstości własnych (koło nr 1) Table 2. The impact of the rotational speed on the natural frequency values (gear no. 1)
Prędkość obrotowa [obr./min]
Częstotliwości własne [Hz]
ω11 ω12 ω10 ω13 ω14 ω20 ω21 ω15 ω22 ω16
0 4726 5347 5430 10111 16821 21037 24025 24199 28128 31731 1146 4726 5347 5430 10111 16822 21037 24025 24199 28128 31731 2292 4727 5347 5430 10111 16822 21037 24025 24199 28128 31731 3400 4727 5348 5430 10112 16822 21037 24026 24199 28129 31732 4584 4727 5348 5431 10112 16822 21037 24026 24200 28129 31733 5730 4728 5349 5431 10113 16823 21037 24026 24200 28129 31733 6500 4728 5350 5431 10113 16823 21038 24027 24200 28130 31734
Tabela 3. Wpływ prędkości obrotowej na wartości częstości własnych (koło nr 2) Table 3. The impact of the rotational speed on the natural frequency values (gear no. 2)
Pręd.
obrot.
[obr./min]
Częstotliwości własne [Hz]
ω11 ω10 ω12 ω13 ω20 ω21 ω14 ω22 ω23 ω15 ω24 ω30 ω16
0 443,2 626,2 978,9 2706
2741 4782 5045 5107 5811 6402
8811 7994 9594 10347 11134 11186 859 443,5 626,3 979,2 2706
2741 4783 5045 5107 5811 6402
8811 7994 9594 10347 11134 11186 1680 444,3 626,6 980,0 2707
2742 4783 5046 5108 5812 6403
8812 7994 9595 10348 11134 11187 2578 445,8 627,3 981,5 2708
2743 4784 5047 5109 5813 6405
8813 7995 9596 10349 11135 11187 3211 447,2 627,8 983,0 2709
2744 4786 5048 5109 5815 6406
8814 7996 9597 10350 11136 11188
Dalszy etap badań odnosił się do analizy drgań własnych korpusu reduktora.
Jak wspomniano wcześniej, rozważano przypadek, w którym uwzględniono tylko masę i geometrię korpusu oraz przypadek, w którym dodatkowo uwzględniono masy kół reduktora oraz ich położenie. Korpus jest wykonany ze stopu aluminium o następujących właściwościach mechanicznych: E = 7,25·1010 Pa, ν = 0,33,
Rys. 5. Wykres Campbella dla koła nr 1 Fig. 5. The Campbell diagram for the gear no. 1
Tabela 4. Wartości prędkości wzbudzenia częstości własnych koła nr 1 Table 4. Values of the excitation speed of natural frequencies of gear no. 1
Częstotliwość wymuszająca
Prędkość wzbudzenia [obr./min]
nkw1 nkw2 nkw3
3460 3914 3975
k2 ω11 ω12 ω10
Tabela 5. Wartości prędkości wzbudzenia częstości własnych koła nr 2 Table 5. Values of the excitation speed of natural frequencies of gear no. 2
Częstotliwość wymuszająca
Prędkość wzbudzenia [obr./min]
nw1 nw2 nw3 nw4
1889 1959 1984 2056
k1 ω13 ω13
k1* ω13 ω13
ρ = 2,79·103 kg/m3. Oszacowana masa korpusu wynosi 14,7 kg. Masy poszcze- gólnych kół przyjęto zgodnie z tab. 1. Obliczenia numeryczne prowadzono z zastosowaniem omówionych wcześniej modeli numerycznych. W obu przypad- kach modeli wyznaczono dziesięć pierwszych częstości własnych i odpowiadają- cych im postaci drgań własnych. Wyniki obliczeń zamieszczono w tab. 6.
Prędkość obrotowa [obr./min]
Częstotliwość [Hz]
Rys. 6. Wykres Campbella dla koła nr 2 Fig. 6. The Campbell diagram of the gear no. 2
Na rysunku 7 pokazano dwie pierwsze postacie wygenerowane z wykorzy- staniem opracowanych modeli. Analizując otrzymane wyniki, zauważa się podo- bieństwo kształtowe odpowiadających sobie w kolejności form własnych otrzy- manych z pierwszego i drugiego modelu numerycznego. Zauważa się (tab. 6) znacznie wyższe wartości częstości własnych uzyskanych z drugiego modelu nu- merycznego (pomimo większej masy) w porównaniu z rezultatami otrzymanymi z pierwszego modelu. Zespoły ruchome reduktora pracują w zakresie prędkości obrotowej 1679-6500 obr./min, co w przeliczeniu na liczbę cykli wynosi 28-108 Hz. W zakresie tym mieszczą się prędkości obrotowe wzbudzenia częstości wła- snej ω13 koła nr 2. Wszystkie częstości drgań własnych korpusu (tab. 6) przyjmują wartości powyżej przedziału pracy zespołów ruchomych analizowanego urzą- dzenia.
Tabela 6. Częstotliwości i postacie drgań własnych reduktora
Table 6. Natural frequencies and mode shapes of the free vibrations of the reduction gear Pierwszy model numeryczny
Nr postaci P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
Wartość częstotliwości
własnej ωp [Hz] 419 596 1153 1750 1864 2081 2265 2807 2996 3113 Drugi model numeryczny
Nr postaci D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10
Wartość częstotliwości
własnej ωp [Hz] 679 830 1601 2291 2997 3115 3701 3967 4757 4969 Prędkość obrotowa [obr./min]
Częstotliwość [Hz]
W kolejnym kroku obliczeniowym wyznaczono poziom naprężeń dla do- puszczalnej wartości przyspieszeń. Dla przypadku pracy reduktora (stoisko sta- cjonarne) przyjmuje się przyspieszenie dopuszczalne równe 2g, gdzie g = 9,81 m/s2. Dla wyznaczonych częstości własnych w pierwszej kolejności oblicza się tzw. przyspieszenie względne p0 z zależności [7, 8]:
2
p0=bω (4)
gdzie b jest maksymalnym przemieszczeniem względnym dla danej postaci, a ω – częstością własną odnoszącą się do danej postaci. Następnie jest wyzna- czany współczynnik kw ze wzoru [7, 8]:
( )
0 2
kw= p g (5)
a) b) c) d)
Rys. 7. Postacie drgań własnych korpusu: (a) P1, (b) P2, (c) D1, (d) D2 Fig. 7. The free vibration modes of the body: (a) P1, (b) P2, (c) D1, (d) D2
Dzieląc przez kw maksymalną wartość naprężeń zredukowanych względnych (wg hipotezy H-M-H) wyznaczanych dla danej częstości własnej, otrzymuje się tzw. maksymalną wartość naprężeń dla dopuszczalnej wartości przyspieszenia.
Wielkość tę porównuje się z graniczną wytrzymałością zmęczeniową materiału, z którego jest wykonany korpus. W tabeli 7 podano, wyznaczone dla poszczegól- nych częstości własnych, maksymalne wartości naprężeń dla dopuszczalnej war- tości przyspieszenia. Analizując otrzymane rezultaty, zauważa się nieco niższe wartości naprężeń dla dopuszczalnej wartości przyspieszenia w odniesieniu do drugiego modelu numerycznego układu. Dla każdej częstości własnej (tab. 7) maksymalna wartość naprężeń dla dopuszczalnej wartości przyspieszenia jest niższa od granicznej wytrzymałości zmęczeniowej materiału korpusu, której sza- cunkowa wartość przy liczbie 108 cykli wynosi co najmniej 5,5·107 Pa [5].
Tabela 7. Poziom naprężeń dla dopuszczalnego przyspieszenia Table 7. Stress level for the permissible acceleration
Pierwszy model numeryczny Drugi model numeryczny
nr formy
przemiesz- czenia względem
b [m]
naprężenia zredukowane względne (wg H-M-H)
[Pa]
maks. poziom naprężeń dla dop. wartości przyspieszeń
[Pa]
nr formy
przemiesz- czenia względem
b [m]
naprężenia zredukowane
względne (wg H-M-H)
[Pa]
maks. poziom naprężeń dla dop. wartości przyspieszeń
[Pa]
P1 0,5807 2,95·1011 1,44·106 D1 0,5308 4,20·1011 8,53·105 P2 0,4864 1,93·1011 5,56·105 D2 0,4850 4,29·1011 6,39·105 P3 0,6479 3,78·1011 2,18·105 D3 0,7389 5,02·1011 1,32·105 P4 0,5406 5,72·1011 1,72·105 D4 0,3597 8,43·1011 2,22·105 P5 0,5791 5,10·1011 1,26·105 D5 0,6402 1,32·1012 1,14·105 P6 0,5099 6,33·1011 1,42·105 D6 0,5046 1,17·1012 1,19·105 P7 1,0980 8,86·1011 7,82·105 D7 1,5620 1,28·1012 2,97·104 P8 0,9429 5,52·1011 3,69·105 D8 2,5880 1,84·1012 2,25·104 P9 0,6480 5,74·1011 4,90·105 D9 1,8410 1,31·1012 1,56·104 P10 0,6799 8,59·1011 6,48·105 D10 0,8737 1,42·1012 3,27·104
5. Uwagi i wnioski
Projektowanie współczesnych urządzeń wymaga stosowania zaawansowa- nych technik obliczeniowych, co pozwala prowadzić analizy statyczne i dy- namiczne złożonych układów technicznych na etapie projektowym. W pracy są rozważane zagadnienia drgań własnych przekładni zębatej małej mocy. W pro- cesie analizy stosowano metodę elementów skończonych oraz komercyjne oprogramowanie ANSYS. Jak pokazano w pracy, wykres Campbella stanowi użyteczne narzędzie w analizie drgań wirujących układów, ze szczególnym uwzględnieniem kół zębatych. Z otrzymanych rezultatów wynika, że istnieje nie- bezpieczeństwo wzbudzenia częstości własnej ω13 koła nr 2 w zakresie operacyj- nym przez częstotliwość wymuszającą od zazębienia. Zauważa się także nieco niższe wartości naprężeń względnych dla dopuszczalnej wartości przyspieszenia w odniesieniu do wyników z drugiego modelu numerycznego. Prezentowane ana- lizy, w szczególności dotyczące drgań korpusu, wymagają dalszych badań, z uwzględnieniem weryfikacji eksperymentalnej. Prezentowana metodyka może być pomocna inżynierom zajmującym się analizą drgań przekładni zębatych.
Literatura
[1] Bogacz R., Noga S.: Free transverse vibration analysis of a toothed gear, Arch.
Applied Mech., 82 (2012) 1159-1168.
[2] Drago R.J., Brown F.W.: The analytical and experimental evaluation of resonant re- sponse in high-speed, lightweight, highly loaded gearing, ASME J. Mech. Design, 103 (1981) 346-356.
[3] Kiracofe D.R., Parker R.G.: Structured vibration modes of general compound pla- netary gear systems, ASME J. Vibration Acoustics, 129 (2007) 1-16.
[4] Markowski T., Noga S., Rudy S.: Modelling and vibration analysis of some complex mechanical systems, [in:] Recent advances in vibrations, ed. N. Baddour, Intech Open Access Publisher, Rijeka 2011, pp. 143-168.
[5] Niezgodziński M., Niezgodziński T.: Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe, WNT, Warszawa 2013.
[6] Noga S.: Analityczne i numeryczne zagadnienia drgań układów z symetrią kołową, OW PRz, Rzeszów 2015.
[7] Noga S., Markowski T.: Modelling and vibration analysis of a low-power transmis- sion gear, Progressive technologies and materials, ed. J. Mucha, OW PRz, Rzeszow 2016, pp. 47-60.
[8] Noga S., Markowski T.: Vibration analysis of a low-power reduction gear, Strength Materials, 48 (2015) 507-514.
[9] Noga S., Markowski T.: Vibration analysis of the low-power transmission gear, [in:]
Proc. Int. Sci. Conf. PRO-TECH-MA'2016, Bezmiechowa 2016, pp. 87-88.
[10] Noga S., Markowski T., Bogacz R.: Metoda oznaczania form własnych kół zębatych o złożonym kształcie, ZN Politechniki Śląskiej, Seria Transport, 89 (2015) 119-127.
[11] Wu X., Parker R.G.: Modal properties of planetary gears with an elastic continuum ring gear, ASME J. Applied Mechanics, 75 (2008) 031014-031014-12.
FREE VIBRATION ANALYSIS OF A LOW-POWER GEAR
S u m m a r y
This paper discusses the free vibrations of the low-power gear which is dedicated to cooperate with the hydraulic pump of the test rig. The finite element (FE) method and the commercial ANSYS software are employed. The vibration analysis of the discussed system is performed in two stages.
Firstly the natural frequencies of the free transverse vibration of the gears are obtained with includ- ing the centrifugal effect. Next, on the basis of the elaborated Campbell diagrams, the excitation speeds for selected natural frequencies of the analyzed wheels are obtained. Then, the free vibrations of the reduction gear are analyzed and two computational cases are discussed. In the first computing case, only the mass and geometry of all parts of the body are taken into account. In the second case, the mass of the toothed gears is also included. Based on the elaborated FE models, the first ten natural frequencies and natural mode shapes of the reduction gear are obtained. Then, these results are used to estimate the stress level in the walls of the body for the permissible acceleration value.
Presented investigation can be attractive for design engineers dealing with the dynamics of complex systems.
Keywords: transverse vibrations, resonance frequencies, normal modes, gears
DOI: 10.7862/rm.2017.48 Przesłano do redakcji: 17.09.2017 Przyjęto do druku: 18.10.2017
