Derivation of differential equations of a tire ring model

(1)

mjmm

I I - V

I T i FACULTEIT DER WERKTUIGBOUWKUNDE EN MARITIEME TECHNIEK

T

U

D

e

l

t

Technische Universiteit Delft

TRANSPORTTECHNOLOGIE

Mekelweg 2

2628 CD DELFT

Postbus 5034

2600 GA Delft

Telefoon 015-786714

Afstudeerrichting:

RAPPORT NR.

89.3.VT.2664

Titel:

D e r i v a t i o n o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o f

a T i r e R i n g Model

Auteur(s):

Gong, Sunrong

OPDRACHTGEVER INTERN: ^ ^ ^ ^ ^ ^

P r o f . Dr. I r . H.B. P a c e j k a

OPDRACHTGEVER EXTERN:

DATUM:

O c t o b e r , 1989

SOORT OPDRACHT:

BEGELEIDER(S): ^

gavkoor

TREFWOORDEN (niet invullen):

(2)

After dispocement • After (Ssplocement Before displocement

r ••

1 U )

(3)

1

1 r

i NJ I

>

n

I

1 i

T

_•>

i

1 l l

A i

3 6^

J?

a - 7 0,1

5 '4

0)

O

(V

- O H ,•7 3 ?

i

4 ?

I

'3

<v

2

5 ^ 3 i •A

t

J. \\p

-1-o

i

+-O

>

+

li

1 i

ï

O

+

t-• >

t

s. |(aJ

1 il

2 r

-ts

1>

V V ü

1 ^

V

i

c

•1<v

3

+ II 0 ^

r

i

• T

4 ,5

-3

V

I

4 i

3 .

u

cv*

.»2

Q

1

6

- O O* • k

-(

ll

>

V

D

?

-)-i

>

ll

_li

3 >

KJ •NJ 4-o IVsJ 1—1 t

3 4-+

+

I

: n

I I

3

- i

u

4

-V

M

I I

•3

(4)

+

LA

J-Ó

y • .c-O-•3-1 +

1 +

I I

•2

•10-3

'4

e> -t C L

-- I n

-f

+

N

I

•2

.71 I 3-1 4 -^ 1 ^ 1 -1' ' N 7

-1-+

>

I—/

H

+

+-I

•3

3

1 1^2

0

-oJ

3

.a) 0 -A 1 1 |l V-U J >-<- - K

>

A)

-1

i

1 ' A) - 7 ol i

3

II 0 1 ^ /I

>

7 O

(5)

3

I I

;6

|l 00 V

5 o

u

^

b

+

e>

-V-(/•.) IP

/I

b

4-(A)

Ui

Afi

-"l^'

+

3

A) 1

3

5 ^

I

5 i

+

3 1 ^

+

3'

0^.

+

I

+

3

I -J

+

3 +

I

3

U J y i • = 4 -' 3 I A) ^ .-1.1 ^)

4 ^

+

3

3 ^ + CD

1 .

-o

to -I-4

b

t i

H

IN

^ '^^

3

O

1-i

3 b

<—7 7 jD -> Al

+

i

o r> CO '—1 I 4 ) -1

H

<2>

hi

I

+

i

H

7-" 1 II

-

3-1 +'

+

h i 1

-1

J

)

II ^ - " ^ )1 1 1 ii rl H

H

3

(6)

X

j

3

4

+ II

s

t

3

ll

?

, r

•A 5 -t¬ H •f

+

H

uT

4 -/--^ b <£> .0 - t

?

r4

ll

>

3 4¬

7

5 ^

hi

f

- t 5

H

4-I

3 H

+

0 s

N I 3 i

I

1 f

4

5

3 t/1

-6

-a

(3>

+

3

3 *

J

4

V al S 0» ll i -o II S cn

C

3

LU _V

3

6

X I \ rl •f- -f-^1

h

+•

o

ll

- D - J C>0 o ÜJ O 11 - J CD

•3

o _o II 1 ^ 1 ^ _{' 0} l o O 1 1 II _ ) | -K (1)1

4<

(Tl

1

0

I

X

fl

1 r

C7^

d T o

5 ol

'a'

«-1

!-a)

C

b

£

s. ft» (V V «1—

r

al

(7)

b i hl

4 :0

H Al

3

H U i l Ci^ a> I Jl

H

Al -i I O A,

-1

3

P

H

+

+ • Nl

11 H

1 1 \ J

+

>

/O -f-H

5

1 ' ' a i ^ A) A)

I

H

+

II

.9

-+ t ' 7

1 +

/-O

I-I

+•

UJ 1^ H I

b

ri'

H

•f

• 3

- O 1

C2>

s

I

3 Ni

-.^ ^) 11 II

3 b

5 4< l i

1,

C

0/

i

c >

^^

•

ï

O . f -;-! .—^ •t _hl 4-O U

J

i

(8)

if) s:

-K

r

(2 ,f

N

-h

i

-t->~

ll

f

4 ?

r

0 -K

O

i

-K

6 r

r

c

4

J ! o (V

-a

N

6

3

5

i

\

"=«4

CD

H

3

I 1 C O - . c >

H

-t-H

il

l-l I

•,N

3

1

I 1_—I I

I

4-H

-t

A5 A>

^9

rl

e> A ,

1

1 A) £> A) P

H

O

rt

£^

+

hi i Z . + 0

s

+

I

4

1 3'

x^-o

H

3 s'

(^

H

I

1

OCL.

H

4-I

O

ll

I 0 f I

r»i

I—J

4 )l

O - O a> s 3 1

s

3 i 1

rN

r.

(9)

It-)

1

3

Ai

I

- od

ll

a-4 ^

e

(V

Ï

0

v) 41

.S<

V

I

|7 ° -¬ CM . -h

+

H

1 I

U l

+-<T> Al +

3

. X " a ) (o r J

rO

c

>

•^1

-^1

!7 I -1¬ 3

H

+

-h

I

/il

fM

4-4»

Sl

r

O / r •A

S

0 V 1 3 I

=1

'3

+

••7

>

I - 3 , I / ^ I 4

-•1 ?

I 4-' • • 7

H

t -5^ c r

cS

0 i o

V

X

0 J

•f ^1 - J O C ' l 0-1 Ó LÜ - J Al

\4<-«Tl U.

rJ. X

4 1^^

r

0 7

'A

0» ; Ifl

'P CD

'">/^

4-/

M

I / ^

+

/Q 4¬ 3

H

ft

AJ

z>

I

H £CL

+

I

Ab AJ

4¬

3

C5 (0°

0/

4-? J A)

-r

.5

/C H jcyl

4-. 7 1'»?'

4-^l hi m 3 I

/4

•I

3

t

(10)

ll I

H

- r H I

2 S>

1

a s

1

+

p

+

^ 1 ? A) 1 D H

+

S5 / • - — A

3 •P

H ^

)

I

• 3

+-rM I

•y

m

3|g i)

I ~l rJ I

•3

4 -es

J

i

3 !3 I

r^

1 \

r

J.

7

•ts

i

0

"7 3^ct>

A> A)

A»

+

3 4¬ 3 ID

\

A)

311.

U J

(0)

c

u 3 I ( N I

+

1 3

2 s

AM '"A)|a3 A) LU A)l ÜJ

ch

I J _

(1

O - O / ^ O

>

w

3

1 J _Ó

<A

>

rJ 1

Jl

1 ( V l 1 f 00 A ^ / - \

(D

t

-t-M 1 J i t t7

'

I ? » ^

J^

-1-

+-r

'4

5

r

i

!(

Q)

-t5

<> J

-A

6 o r

- cv:

4-r

4-(•1

1

> 6

r

C\) U

-V

ii _h

r

Lp

r

3 L U

y

^, LÜ

4^

J

Ol

1^

u QI

O

Ü

(11)

CO

3 )l 6.

i

4 4^

1 •

J

7

4

-0

ci

r

i

I i

1 - S I S

_Si. 4-7 ' 4 -H U J 4-I ; p CO ''/O A) I

U

S

/—> jJ..

LL

•X)

AA

VA A>1 I ' n I w

+¬

3

+¬ 5 :

4 1

4 s

1

i 4v

1

o

A-'IS

4rf

r

1 r

1

0^ <<. V d

I

"A \ i

1 i

T

%

LiJ

i

p

A )

1 a

0»

fi

i

0» 0

1

A ^

i

O

i

r

3 •A A tl f ^

i

3

V O

r

4 <

Ot

D

i

5 /I

3. 0

-t

p

O

1 i .

0 t i •7

r

a)

1 --T5

1 f

-0

0) ' 4 ' i 0 ) 7 - 7

a

-3^

3

9

(12)

<v

O

1

1 ƒ

1 t

4 i

'1

4,

1

V 3 I

+

r 4 a i UJ ri

Ai

II

> I 4 A) I ' r t A>

+

e>

Ui-li

0 -3 S 1

Jl

7 +

z

3

0 )

0

3 ll

b

1/ <

3 Cl)

N

3 -1D O»

t

3

1

-0

s

$

'vA

5

-I

fi)

-4

>

(V

3

O V Ql

'3

, i - d l

n

L - J C i

s

5 Cl

-i-3

t

+5

(V

s

O

A

tl)

J • /

3 s

7

4

3

1

s

4 ¬

4

li 3 d —

i

—O

4-1

•4

a r

-0

5

-r

1 5

4-j

'

-

O

• <

4

.C

9 oi

7

3

21 -I

7

(13)

ö.

—O

%

i

\

4

V O-'vi

v5

O

ll

- O

O

II O

i

2

3

0

' • O

I

S

<c

I A -VU.

Y^

•7

4-t

I

JL

O

II

3 O

t

3

y / O

1 r

?

6 i

i

5 •4

i

4 I

I

**-*•**

1 Ji

d

j

t /O

3

2

3

4-O—

c;

t

~p

-7

rl

7

r l

4^

t <u rJ c n ü ) — > 11 O

ll

s

3

O

I

Jl

+

rj

3

O

ll

i

3

O

+

r l

S

I ,

v-1

1

6

"1

6

3 ü

01

5 •w

S

4 i

3

V

ó

i

J

i

, r

4 ,

4

5*

5 é

I H'

'7

1 i

3

4 + 1

+1

11

3

t

s

t-l *

O)

I

+ 1

^1

0

II

(14)

O

lA

O

O-s

<i:

II

S

5^

M

—•

i

3 's

3 +

. > ' O

1

M

s

II

& 1/1

<

4^

₁₁

i

3 t

2 )

li

y

!

3 f-s

n

3 ^ s

II

s

3

I

4^

«2?

-41

II

5 O

1

- O

cn

a

1 s

•dl

o<

li

-se

3b

5 4t-2

O

s

II

O— ,1^

4 n

+ 1

3 (

i

r

i

-4

Ó

4-3

Ö

3 d

t

3

4

7 jL

4 s

7 JJ.

7 JL

-f

jJ-%

r J

4 X

fl

c5

4

3 I

Jl

7

1^

/I

i

f

I

s

j

o)

ft

X

O-J

'Jf

s

3/

3

4 O

1 s

i

j

1 r

ca

II II

M

+

1 hi

3 t

O

(15)

(16)

1

5

af

I

p

3 r

1 .1

4

3 J

1 A)

%

A)

+

1_

_)

3

_ ^ N

3

(7

ai

3 (5"

ai

-:7

t

3

"All <>

05

3

I

•'3

I

,—^

I

3 (

I

i -A> A)

^iJ

H

3 I

3 o

II

2 )

3 >•

f

p

0/

/

N

7 Jl

+¬

3

0)

3 +

3 ö)

S

II

cn

3

1

4 '7

3

4 AJ

s

7 +

7 JL

5 N

I—I 4 -J i

3

-tt-O M l

y

jJ-+

<

7

7 Ji

3 -1

' 4

6

3

V O

II

s

AN

3

I

rJ

t

+

3 o

II

S

f)

-p

5

I

1 V.J

4-r

>

CT

I

3 c i

iV'

4

-

•4-

-4-r'

I

(17)

4-1

J

4 -o

i

r

Ï

'I

I

r

P l l

i

3 J-rl

I

f

A—

i

I

i

]

3

C

s

V

2 X

3 rs

4-s

3

_ 3

2:7-1*

I

1^

J-

4-O

ll

Ö

+

3 +

3

V

-r

i

ll

Ó

r - 1

i

I

s

X

s

0.-/ I . -tt

V

4 S

'I

J

o

rJ

3

X

s

<

i

V

•A

IV

0 <6

II

V

4 "

o

s

(1

c

3

II

1

3 **-*3**

•1

S

< o

5

3

;

-3

II

i4

r

/-A

o

Ó

c

X

r?

1

H X

7 ^

•\ s — ^

4-<

i t 5 J>A = i

(

3

_ J 1 - _ J 1 ^< 1

(>

—^

%

(18)

r-l - J 4

^ i ^ 3

ll

3 ?

rJ

^ -J t

•1

i

I —^ - I—I

I' _

I

S

^ i I

A > "

1 N

f

n

7. z

2

1 aJ

S ( _

1 ^ < i : ^ e >

^ A < I- ± -\

^ J

•t

i s -2 i 2 , ^ s n o o

^ J

cr7

O

;i

,4

J

z

r l r )

o

ri

r i rV D

11

— 0 E) 0 O !) - O

cv

3 o

4-) I O r l ) r l r l

z

- J +

r)

i

)

i

i r' 4

z

O

II

2 I r"

i

(19)

'2

r

3 i

CU

r-)

I

1

Al—

3i

2

1

ll

S

A

ca

' O

I

ri

4 Z

2 .

O /I rO

-J

2 ri

4

r4 (-1

2

rJ

2 Z

1 ri

ri

- J rl

•2.

2 r

f

r j 4 -H

4-I fl

I

3

I j rl

t

A ^

t

i

+

5

I

1

I rJ 9 >

3 t

3 i

A^

a

I

f

9 r l 7 + -rJ G —

t

rJ r i r i

4-_ 4 A^ .r>—• rs(

_{n —}

_•

- f i

4 ₁

^

— ^

i

r l

a

>

1

O

11 m

i

-+

O-—' 1 ^ 3 ) • f 3

3

rJ

2 s

c u

-4

S

- f r"

3

1

3 X

'—i

i

I

2,

r

3 Cl

r )

3

rJ

+

f

O

i i

4 .

)3

3

2-7 _\!.

l

s

3

7 H

3-• ?

t

(20)

2.

7 4¬

3 -r

Z

-f

t

3

f O /-J

I

rl

+

rJ

3 r\

1 I

7 J i

/J

s

3

7

1 J i

J^

i

7 JJ

M

1 1 rl rs) 4-r)

,x

T

>^

I—— 1 1 1^ 1 1

O

11

r

3 rl

•i

i

-2

3 :

r^

4-^ • r l

A

+

rl +

II

ft

_45

•i

I

r l rl r)

I —

el

_u

rl

Ju!¬

_{. ^}

;

1.

rJ + fl

X

-f-4¬

1

/I

X

1^ f ^ 7 J I \

X

I

r l _

I n 3 ?

X

7 >

4

-rl

-?

t

3

2¬

1 <i

fJ

J

-h

rJ

2.

fl

I

. ]

- s

r

J5

4"

' c — >

I

C

O

1

(21)

6

6 i

I

cy

Ó

N

V 0.

3

6 r

5 V

d

3

J J .

4-r4 ( ^ 1 \ • ? rl A)

h

> (••( !.)J

m As

+•

ll

4 -0

-J

3 e>

3

1 s

0/_

I

N

7 J i

X

-o

i

X

4 Ó

l/l

p

i

1 +1'

l l

II

<>

\

+-O

<

4-J^

+

3 -f-3

X

a-I/)

it

0 i

i

6

I i

-4

V

I-4^

Ö

I 1

1 'i

7

J J

-

+-j2

7 -f

X

I

D

_{2 w !}

H

O

J

i

1 i

4 w

A

4

I / )

e>

Ji

•r

0 s

3 s

6 Ji

-f

I )

8Wi

J i +

3

7 Jf

a

I

jT

1

+• ; n

X

^3

fj

+

r>

1

7 J i

y

+

|> ll

0 J ^

(22)

(I

/

-V

s

O

4 'V

S

6 I

s

+•

i

9 s

%

-2 W l

4

0 Q

1 Aj

rl

€7

o

k

V

3 V

i

-tn-V

5 II

II

Ö

J i

-t

4 IT

J

0

\

+

S

'.d>

J

£

0 O

J i CD

-0

l/l

NJ

JA

-f

3 Ó

1 d

J

'.6

1 ^

J

1¬

;

4 -1/

J i

i

t4

I

0 O

6

9 J

i

r

(23)

i

3 4f

r 5

I

r

0 O V l I

0

I I 4 j o I

CD

( X ) 0 ^ ' 4

-or-)

Lo-1

4 "

_S

1

3

J

1^

^ 1

i

0

•ti

^

, 9

1^

'X.

B

0

1 ;

1 I — V O ^ o 4 -I O

r

4

i

6 •A

O

o

1

r i 1

I

A

0 I)

3

O ll

<;

+-M

J •t-J i rJ

t

J i I rl 1

rl

0

+•

i

1

rJ

+ 1 0 J i

CP

J -f-j ^

(24)

•k

ci,

I f ^

Ü

I

<

•4-1 i

s.

U

. / I 0

i

4-I si \-J I 0 1 JJ. L J

t r

J

C 9

5 I

I , I

^1^

0 t

rl r-\ V

7

1 '4

0

)

c n

4

• k

t

1 o i

"0"

i

"0"

_/

i

"0"

,1 Q

^'^

' f

<

t

4i

rJ

<

_t

4i

^

< ^ 1 \ )

1 rl

<:

r>

t£i

t

a.

r"

' <n 1 V II

s

-C)

(25)

i

1

(1

I

0 i

r

4 3 P

c

O / )

1

0

J

p

A

i

II 5 c5 W

5

0 Ü

0

1 r

4

0

>

I

/

+-1— O 0 1 O 0 o 1 ü O

+

1 ' O O 1 I O

_i

_O

1

1— O O

1 f

1

-O

'4

J i 4¬ 3 J t I << J I

J i

O

W

Jl

0

J i

I

4-O

It

J i

•f-1<

I

J i -t-J i 7

O

I

y.

"?

J i

3

J t .

ft

<<

ü

t

IV li

•f

7 J i

J

i

1 ^

t

r

(j

Ji

+

ri %

t

4-i

Ji Y'

I

J i

l

4--j a

4-J ^ J t 4'

1

Jl rs y Jd. 1 'i-O \\ O

u

• f Si

'i

4-t4

J i

rs

J

•r •J J i J i

%

I I

fl

O

n>

" ? i 1

Jt

I

J i

•y r ;

0 _{1 ^}

t t

(26)

0

O u

@

<<

II

-J

4 -1 \-J T " )

4

c r~\ 1

I

3n

I

rl

\2 w rO

13 +

^

1 5 H rA i 2 J + •Jl 1 tJ —^

(M

II

ll

4—

1^ II

I

l l 3

i

0 V/) / > V /

0/

II

S

<< II

5 'I

9

4-S O (

!

I

S

-I¬

i _

j

3

0 r

o

i\

r -•7

-r

1

4

d 4^ •H

s

O

ll

U ¬ I

11

r--~ • p

J i

4-I

1-<

4-i

D i

6

(27)

I II N J 1

3 i

t r i • 4 : /—I 4 -rl

e

r) I 0

n

1 u t 7 J i •t¬

i

]

1 r^ •3 J-I

?

Jl I Jl r^

J

I

J i

VI-\ ^ ₀ M - O r 1 K 11 l l 11

^ _

o i 0

•3

Jt

f

jL -t-r l rs t i 1 0 0 j i i 7

Ji

I

-si

C5

I l i Id

Ji

rl jL

+

r ^ J i

4-i

J i

2

11

_II

+

•4-

,

rl

CO

N

•p Jl •Y 1 j^ -y

U

O I

i

I j L

3

•r

I

•r i

t

I I—I I—I jL 4 -rl l l

s

' f

5

4 • P I 0

-r

0

+

a)

)i J 3 Q • t • / ^ M

+-ll

5

IV

A¬

/ i

on

/ i

i

k

• i

5

5 s d>

u

(I 7 r\ NJ

11 r

6

1

m S s

+

I

4 ^

? 3

(28)

CS"?

è

I

O

s

2 )

$

s

I

M

t

11 —' I J Z ll

1 -

J

(J

I O

4-/4 •7 -r -3

+

I

Gi.

d-

-tl-O

I

ll

O 1 fJ O

I

-p

Ql

+-f4

c|

2:

1 I

+•

i

Ji

JJ

1

d l

_1^

j i

5^

j i + 7

I

v_J

ll

1 I J i

i

ei

J

I

1 r — \ JU

j i

4

-i

I O I

N

•Si

' 3

i

i O

l

i

r

f

"O

O'

1

f i 1

J i

U l

1=1-+ rl 41 O .5

I¬

r

3 r

£>

i

3

Jl 0

s

>