ModelowanieMatematyczne TercjaI„Dynamiczna“

(1)

Modelowanie Matematyczne

Tercja I „Dynamiczna“

Wykład 1. O obrotach.

Grzegorz Siudem

Wydział Fizyki PW

(2)

Kim jestem?

• Fizyko-matematyk (matematyko-ﬁzyk?),

• zainteresowania naukowe:

• metody kombinatoryczne w ﬁzyce statystycznej,

• układy dynamiczne,

• interdyscyplinarne zastosowaniapowyższych (sieci złożone, bibliometria, modele agentowe, etc. )

Dane kontaktowe:

• mail: grzegorz.siudem w domenie pw.edu...

• www: if.pw.edu.pl/~siudem/MM.html

• pokój: 101 GF

• konsultacje: wtorki 9-10, czwartki 12-13.

(3)

Wykłady

Teoria układów dynamicznych + dyskusja zastosowań.

Laboratoria

Rozwiązywanie problemów dynamiki w środowisku Mathematica.

Prace domowe

Samodzielne sprawdzenie zdobytej wiedzy.

(4)

Plan dzisiejszego wykładu

1

Strona formalna przedmiotu Podstawowe informacje Regulaminy

2

Strona merytoryczna tercji Tematy zajęć

Literatura

3

Aparat pojęciowy teorii układów dynamicznych

4

Zliczanie świąt

5

Obroty na okręgu

6

Przykład zastosowania

(5)

Regulaminy

Regulamin przedmiotu

https://e.mini.pw.edu.pl/pl/node/7860

Regulamin tercji

https://if.pw.edu.pl/~siudem/MM/reg-wyk.pdf

Regulamin laboratoriów

https://if.pw.edu.pl/~siudem/MM/reg-lab.pdf

Proszę się wpisać na listę!

(6)

Tematy zajęć

•

Wprowadzenie do układów dynamicznych – obroty na okręgu.

•

Dynamika rodzina kwadratowa f

µ

(x) = µ x(1 − x).

•

Fraktale: zbiory Mandelbrota, Julii oraz fraktale rzeczywiste.

•

Ergodyczność i podejście stochastyczne.

•

Teoria chaosu.

A na ostatnim kwadransie każdego wykładu...

... wprowadzenie do środowiska Wolfram Mathematica.

Laboratoria:

poza ostatnimi zgodne tematycznie z wykładem.

(7)

Sugerowana literatura

Podstawowe źródła

• materiały na stronie przedmiotu.

• G. Świątek: Dynamika modeli matematycznych, link na stronie przedmiotu.

Dodatkowe źródła

• R.L. Devaney: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.

• G. Schuster: Chaos Deterministyczny. Wprowadzenie..

• C. Getz, J. Helmstedt: Graphics with Mathematica: Fractals, Julia Sets, Patterns and Natural Forms

• A. Lasota, M.C. Mackey: Chaos, Fractals, and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics.

Bardziej popularnie

• I. Stewart: Czy Bóg gra w kości

(8)

Podstawowe deﬁnicje

•

Układ dynamiczny,

•

składanie funkcji,

•

przestrzeń fazowa,

•

orbita,

•

orbita okresowa,

•

punkt stały,

•

punkt preokresowy.

(9)

Zliczanie dni świątecznych

Problem

Jak często dni świąteczne wypadają w weekendy?

Czy powinniśmy tęsknić za kalendarzem juliańskim?

Jak to rozstrzygnąć?

Zamodelujmy to zjawisko!

(10)

Obroty na okręgu

•

Przestrzeń fazowa,

•

Obrót na okręgu,

•

Twierdzenie 1 (dla wymiernych obrotów),

•

Twierdzenie Weyla (dla obrotów niewymiernych).

(11)

Przekroje Poincarégo [Schuster]

(12)

Przekroje Poincarégo [Schuster]

θ

_n+1

= θ

_n

+ Ω −

g(θn

)

(13)

Zagadnienia przed kolejnym wykładem

Zagadnienie 1.

Powtórz i zapamiętaj podstawowe deﬁnicje teorii układów dynamicznych:

• Układ dynamiczny,

• składanie funkcji,

• przestrzeń fazowa,

• orbita,

• orbita okresowa,

• punkt stały,

• punkt preokresowy.

Zagadnienie 2.

Przeprowadź, na podstawie szkicu z wykładu, dowód twierdzenia Weyla.

Zagadnienie 3.

Czy i kiedy obrót na okręgu posiada punkty stałe lub orbity okresowe? Jakie to punkty?