Modelowanie Matematyczne
Tercja I „Dynamiczna“
Wykład 2. Rodzina kwadratowa.
Grzegorz Siudem
Wydział Fizyki PW
Wejściówka [15 minut]
Pytanie 1.
Niech (X, f) będzie układem dynamicznym, a x ∈ X punktem stałym. Czy f3(x)jest również punktem stałym? Dlaczego?
Pytanie 2.
Opisz (ogolnie i w punktach) jak dowieść twierdzenia Weyla.
Pytanie 3.
Podaj przykład orbity okresowej dla obrotu na okręgu.
Odpowiedzi do pytań
Pytanie 1.
Tak, f3(x) = f2(x) = f(x) = x.
Pytanie 2.
• Zapisujemy tezę jako równość średniej czasowej (szeregu) i średniej przestrzennej (całki) dla indykatora przedziału.
• Udowadniamy powyższe dla funkcji ciągłych, korzystając z bazy wielomianów ortogonalnych.
• Aby wrócić z wnioskiem o funkcjach ciągłych do indykatorów korzystamy ze zwartości S1albo z Twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.
Pytanie 3.
Dowolny punkt x ∈ S1dla wymiernego obrotu,
Zróbmy eksperyment!
•
woda + cukier + drożdże =więcej drożdzy!
•
jak zmierzyć populację drożdży?
•
rozważmy model z dyskretnym czasem: x
k+1=
f(xk).
•
poszukujemy funkcji f
•
naiwny model
xk+1
= λx
k,
•
niefizyczny (niebiologiczny?)
•
urealniony model
xk+1
= λx
k( 1 − x
k), dla λ > 0.
Pytanie:
Jaka jest dynamika tak zdefiniowanej rodziny kwadratowej? Jak zależy od parametru λ?
Definicje:
•
Punkt hiperboliczny,
•
punkt przyciągający,
•
punk odpychający,
•
zbiór stabilny,
•
zbiór niestabilny,
•
porządek Szarkowskiego,
•
stała Feigenbauma
δ = lim
n→∞
λ
n−1− λ
n−2λ
n− λ
n−1= 4.669 201 609 . . .
Diagram bifurkacyjny
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Przykłady empiryczne – doświadczenie Bénarda [Schuster]
Przykłady empiryczne – układ RLC [Schuster]
Zagadnienia przed kolejnym wykładem
Zagadnienie 1.
Dla λ = 3.839 znajdź orbitę o okresie 3. Co oznacza jej istnieine dla dynamiki tej funkcji, w świetle twierdzenia Szarkowskiego?
Zagadnienie 2.
Udowodnij Lemat 2. (o istnieniu zbioru niestabilnego dla punktu odpychającego).
Zagadnienie 3.
Co to są punkty hiperboliczne, przyciągające, odpychające?
