ALGEBRAICZNE ASPEKTY KRYPTOGRAFII LISTA 3

ALGEBRAICZNE ASPEKTY KRYPTOGRAFII LISTA 3: Cia la sko´nczone. Kody BCH.

Je´sli podzbi´or F ⊂ K cia la K tworzy cia lo wzgl¸edem dzia la´n cia la K (to implikuje 0, 1 ∈ F ), to m´owimy , ˙ze F jest podcia lem cia la K i K jest rozszerzeniem cia la F .

Twierdzenie 3.1. Ka˙zde cia lo K zawiera podcia lo najmniejsze F , kt´ore nie zawiera w la´sciwych podcia l (jest cia lem prostym). Je´sli char(K) = 0, to F jest izomorficzne z Q; je´sli char(K) = p > 0, to F jest izomorficzne z Z_p. 2

Je´sli K jest rozszerzeniem cia la F , to K tworzy przestrze´n liniow¸a nad F . Wymiar tej przestrzeni nazywamy stopniem K nad F i oznaczamy przez [K : F ].

Cia lo K jest rozszerzeniem prostym cia la F , je´sli istnieje c ∈ K \ F taki, ˙ze ka˙zde podcia lo zawieraj¸ace F i c zawiera K (piszemy K = F (c)).

Twierdzenie 3.2. Je´sli K = F (c) jest rozszerzeniem stopnia n, to c jest pier- wiastkiem wielomianu nierozk ladalnego m(x) nad cia lem F stopnia n i K jest izomor- ficzne z F [x]/(m(x)) 2

Twierdzenie 3.3. Niech g(x) b¸edzie nierozk ladalnym wielomianem nad F . W´owczas F [x]/(g(x)) jest prostym rozszerzeniem cia la F o pierwiastek wielomianu g(x). 2

1. Ile element´ow ma F = Z₂[x]/(x²+ x + 1) ? Poda´c tabel¸e mno˙zenia i dodawania w F .

Twierdzenie 3.4. Niech K b¸edzie cia lem sko´nczonym i char(K) = p.

(a) Wtedy |K| = pⁿ, gdzie n jest stopniem K nad Z_p. (b) Niech q := |K|. Wtedy x^q− x = Π_a∈K(x − a).

(c) Grupa multyplikatywna wszystkich niezerowych element´ow jest cykliczna (gen- erowana przez jeden element) i jej generator okre´sla K jako rozszerzenie proste cia la Z_p. Odpowiedni wielomian m(x) (patrz 3.2) jest pierwotny. 2

Cia lo o q elementach oznaczamy przez F_q.

Fakt: F₁₆ := Z₂[x]/(x⁴+ x³+ 1) jest cia lem 16-elementowym. Wielomian x¹⁵− 1 rozk lada si¸e na wielomiany minimalne nad F₂ w nast¸epuj¸acy spos´ob:

(x + 1)(x⁴+ x + 1)(x⁴+ x³+ x²+ x + 1)(x²+ x + 1)(x⁴ + x³+ 1).

2. Pokaza´c, ˙ze w powy˙zszym przedstawieniu F16element odpowiadaj¸acy warstwie x + (x⁴+ x³+ 1) generuje grup¸e multyplikatywn¸a.

Kody Bosego, Chaudhuriego, Hocquenghema. Niech d b¸edzie liczb¸a natu- raln¸a, p b¸edzie liczb¸a pierwsz¸a, q = p^s i d + 1 ≤ q^r. Niech c b¸edzie generatorem grupy multyplikatywnej cia la q^r-elementowego F_q^r. Niech m_i(x) b¸edzie wielomianem mini- malnym dla cⁱ nad cia lem F_q, gdzie i < d. Wtedy najmniejsza wsp´olna wielokrotno´s´c g(x) = N W W (m1(x), ..., md−1(x)) generuje kod, w kt´orym s lowa kodowe (nad alfa- betem F_q) maj¸a d lugo´s´c q^r− 1.

Twierdzenie 3.5. Minimalna odleg lo´s´c mi¸edzy s lowami kodowymi kodu BCH generowanego wielomianem g(x) jest co najmniej r´owna d. 2

Przyk lad: Niech q = p = 2, n = 15 i d = 5. Wielomian m(x) = x⁴+ x³+ 1 jest wielomianem pierwotnym dla cia la F₁₆. Wielomian g(x) = m₁(x)m₃(x) = x⁸+ x⁴+ x²+ x + 1 jest odpowiednim wielomianem koduj¸acym (7, 15)-kod BCH.

1

3. Pokaza´c, ˙ze dla q = p = 2, n = 15 i d = 3 odpowiednie (11, 15)-kodowanie BCH jest r´ownowa˙zne z (11, 15)-kodowaniem Hamminga.

4. Znale´z´c wielomiany generuj¸ace wszystkie kody BCH dla q = p = 2 i n = 63.

2