Zestaw powtórzeniowy przed pierwszym kolokwium A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Kornelia ma 30 zeszytów, które wkłada losowo do 6 szuflad (kolejność zeszytów w szufladzie nie ma znaczenia).Załóżmy, że wśród zeszytów Kornelii jest 5 zeszytów czerwnych, 7 niebieskich, 8 żółtych i 10 zielonych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a. wszystkie zielone zeszyty trafią do trzeciej szuflady?
b. żółte zeszyty trafią do przynajmniej dwóch różnych szuflad?
c. przynajmniej jedna szuflada będzie pusta?
Zadanie A.2. Wojtek rzuca kostką sześcienną do gry. Jeśli wypadną co najwyżej cztery oczka, to losuje jedną kartę ze zbioru składającego się z pików od 2 do króla. Natomiast jeśli wypadną więcej niż cztery oczka, to losuje jedną kartę ze zbioru składającego się ze wszystkich czarnych waletów, dam i królów.
a. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania damy pik.
b. Wojtek powtarza opisane wyżej doświadczenie niezależnie 10 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje damę pik co najwyżej dwa razy?
c. Okazało się, że karta wylosowana przez Wojtka to dama pik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kostce wypadły co najwyżej cztery oczka?
Zadanie A.3. Grupa studentów składająca się z 4 dziewczyn i 16 chłopaków przyszła na egzamin ustny z logiki. Profesor przepytuje ich w losowej kolejności.
a. Opisz przestrzeń probabilistyczną związaną z tym doświadczeniem (podaj wszystkie jej elementy.) b. Oblicz prawdopodobieństwo, że
• profesor przepyta najpierw wszystkie dziewczyny, a dopiero potem egzaminowani będą chłopacy?
• wśród pierwszych 4 przepytanych osób będą co najmniej 2 dziewczyny?
• między dowolnymi dwiema dziewczynami będzie odpytany co najmniej jeden chłopak?
Zadanie A.4. Z prostokąta [0, 2] × [0, 4] w sposób losowy wybrano punkt (x, y). Niech A będzie zdarzeniem, że suma współrzędnych wybranego punktu jest większa od 3, a B zdarzenie, że druga współrzędna wybranego punktu jest mniejsza od 3.
a. Oblicz P (A|B) oraz P (B|A).
b. Załóżmy teraz, że prostokąt [0, 2] × [0, 4] podzielony jest na połowy: białą i czarną. Jeżeli punkt (x, y) został wylosowany z części czarnej, to połowę części białej przemalowujemy na czarno; i odwrotnie, jeżeli punkt (x, y) został wylosowany z części białej, to połowę części czarnej przemalowujemy na biało. Trzy razy losujemy punkt z prostokąta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie trzy razy wylosujemy punkt czarny.
Zadanie A.5. Określ, czy poniższe zdania są prawdziwe (w każdym przypadku uzasadnij swoją odpowiedź).
a. Jeżeli P (A) P (B) P (C) = P (A ∩ B ∩ C), to zdarzenia A, B, C są niezależne.
b. Jeżeli P (B|A) = P (A), to zdarzenia A, B są niezależne.
c. Jeżeli P (B|A) = P (A), P (C|A) = P (C) i P (B|C) = P (C), to zdarzenia A, B, C są niezależne.
d. Jeżeli zbiory Ai dla i ∈ I tworzą rodzinę parami rozłącznych zdarzeń, to P S
i∈IAi = Pi∈IP (Ai)
1
