Zestaw powtórzeniowy przed drugim kolokwium A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. (10 pkt) Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład dyskretny określony za pomocą tabeli
Y \ X −2 0 1 2
−4 0 0.15 0.05 0
4 0.2 0.25 c 0.1
a) Wyznacz stałą c.
b) Wyznacz rozkłady brzegowe zmiennych losowych X i Y i sprawdź, czy te zmienne losowe są niezależne.
c) Oblicz Cov(X, Y ), E(X + Y ), Var(X + Y ).
Zadanie A.2. Zmienna losowa X ma dystrybuantę
F (x) =
0, jeżeli x < 1,
1
4(1 − x)2, jeżeli 1 ¬ x < 3,
1, dla x 3.
a. Wyznacz gęstość zmiennej losowej X.
b. Oblicz E(X2− 3X + 2).
c. Oblicz Var(1 − X).
Zadanie A.3. Dany jest trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (0, 2) i (2, 2). Wybieramy losowo jeden punkt z tego trójkąta.
Niech zmienna losowa Y oznacza drugą współrzędną tego punktu.
a. Wyznacz zbiór, na którym jest skupiona zmienna losowa Y . b. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Y .
c. Wyznacz gęstość zmiennej losowej Z =√ 2Y .
Zadanie A.4. Oblicz Cov(X, Y ), jeżeli EX = 7, EY = 8, EX2= 25, EY2= 100, Var(2X − 3Y + 1) = 6.
Zadanie A.5. Określ, czy poniższe zdania są prawdziwe (w każdym przypadku uzasadnij swoją odpowiedź).
a. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie ciągłym. Wtedy P (1 < X < 2) = F (2) − F (1), gdzie F oznacza dystrybuantę tej zmiennej losowej.
b. Adrian rzuca monetą do momentu wypadnięcia dwóch orłów z rzędu. Zmienna losowa X zliczająca liczbę rzutów ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrem r = 2.
c. Ela przychodzi na umówioną wizytę u alergologa w losowym momencie między 9:00, a 9:15, a lekarz przyjmuje ją w losowym momencie między 10:00, a 11:00. Niech X będzie zmienną losową oznaczającą czas oczekiwania Eli w przychodni. Wtedy EX =R+∞
0 P (X > t) dt.
d. Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o rozkładzie ciągłym i gęstości f . Jeżeli f (1, 2) 6= fX(1)fY(2), to zmienne losowe X i Y nie są niezależne.
1
