Matematyka 0 WCh, 2020/2021 ćwiczenia 5. – rozwiązania lub wskazówki

Matematyka 0 WCh, 2020/2021 ćwiczenia 5. – rozwiązania lub wskazówki

26 października 2020

Zadania pochodzą z list M. Chałupnika i M. Krycha.

1. Co jest większe:

a) sin 72^○, czy sin 80^○? Na tym przedziale rośnie.

b) cos 300^○, czy sin 340^○? sin 340^○< 0 < cos 300^○ c) sin 200^○, czy sin 100^○?

Wskazówka: różnią się znakiem.

d) tg 35^○, czy sin 35^○?

Wskazówka: Jedno to drugie podzielone przez coś < 1.

e) sin 40^○, czy cos 40^○? Wskazówka: 40< 45.

2. Wyrazić w radianach: 20^○, 45^○, 105^○, 150^○, 210^○, 270^○, 315^○, 330^○, 450^○, 570^○, α^○. α^○ to α⋅ 2π/360 radianów.

3. Wyrazić w stopniach kąty podane w radianach: 1, π, 1/6, 1/12, 5/18, α.

α radianów to α⋅ 180/π stopni.

4. W trójkącie ABC są dane∡C = 120^○oraz∣AC∣ = 7 cm i ∣BC∣ = 4 cm. Znajdź ∣AB∣.

Jeśli mamy trzy boki a, b, c oraz kąty naprzeciwko nich α, β, γ, to opuszczając wysokość z wierzchołka c dostaję, że c= a cos β + b cos α. I analogicznie b = c cos α + a cos γ oraz a = b cos γ + c cos α. Mnożąc kolejne równości przez c, b, a obustronnie mamy:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

c²= ac cos β + bc cos α b²= bc cos α + ab cos γ a²= ab cos γ + ac cos α

I odejmując od sumy drugiego i trzeciego pierwsze, dostajemy tzw. twierdzenie cosinusów:

a²+ b²− c²= 2ab cos γ, czyli c=√

a²+ b²− 2ab cos γ. U nas zatem ∣AB∣ =√

49+ 16 + 2 ⋅ 28(−1/2) =√ 93.

5. Zbadać znak liczb:

a) tg(23π/8),

tg(23π/8) =_{cos 23π}^{sin 23π/8}_/8> 0.

b) sin(√ π), Wskazówka:√

π> π/2, bo (3, 2)²/4 = 10, 24/4 < 3.

c) tg 1,

Wskazówka: π/4 < 1.

1

d) cos(sin 4).

Wskazówka: π< 4 < 2π, więc −1 < sin 4 < 0.

6. Wiedząc, że sin α= ¹⁵₁₇ oraz π/2 < α < π, obliczyć cos α.

cos α< 0, więc cos α = −√

1− 15²/17²= −√

65/17²= −6/17.

7. Wiedząc, że tg α= ₂₄⁷ oraz π< α < 3π/2, obliczyć sin α.

sin α< 0 i niech x = sin α. Mamy ^√_1−x^x ₂ =₂₄⁷, więc

24²x²= 49 − 49x², czyli x²= ₄₉⁴⁹₊₂₄2 =₆₂₅⁴⁹, zatem x= −7/25 = sin α.

8. Obliczyć sin π/8.

Niech x= sin π/8 > 0 oraz x <√

2/2. Wtedy √

2/2 = sin π/4 = 2x√

1− x². Zatem 1/2 = 4x²(1 − x²), niech y= x²i mamy−8y²+ 8y − 1 = 0. Więc y =^1±√₂²². Oba rozwiązania są dodatnie, ale interesuje nas mniejsze z nich, skoro x<√

2/2. W takim razie

x=

√ 1−√

22

2 .

9. Sprawdzić następujące tożsamości:

a) 1+ ctg x =^{sin x}_{sin x}^{+cos x},

1+ ctg x = 1 +cos x

sin x = cos x+ sin x sin x , zgadza się.

b) (1 + cos x)(1 − cos x) = sin²x,

(1 + cos x)(1 − cos x) = 1 − cos²x= sin²x, zgadza się.

c) cos⁴x− sin⁴x= cos²x− sin²x.

cos⁴x− sin⁴x= (cos²x− sin²x)(cos²x+ sin²x) = cos²x− sin²x, zgadza się.

Jeśli któraś tożsamość nie jest prawdziwa, to dla jakich x nie zachodzi?

10. Rozwiązać równania:

a) cos(2x) − cos x = 0,

cos²x− sin²x− cos x = 0, niech y = cos x. Wtedy y²− (1 − y²) − y = 0, więc 2y²− y − 1 = 0. Wobec tego y= −1/2 lub y = 1. Zatem x ∈ {±2π/3 + 2kπ∶ k ∈ Z} ∪ {2kπ∶ k ∈ Z}.

b) sin x+ cos x =√ 2,

(cos x, sin x) opisują współrzędne na okręgu jednostkowym (a, b). Punkty a + b = √

2 tworzą prostą styczną do tego okręgu w punkcie(√

2/2,√

2/2). Zatem x ∈ {π/4 + 2kπ∶ k ∈ Z}.

c) sin⁴(x) + cos⁴(x) =⁵₈.

sin⁴x+ cos⁴x = sin⁴x+ (1 − sin²x)² = sin⁴x+ 1 − 2 sin²x+ sin⁴x. Zatem podstawiając y = sin²x mamy 2y²− 2y + 3/8 = 0. Czyli y = 3/4 lub y = 1/4. Zatem sin x ∈ {−√

3/2, −1/2, 1/2,√

3/2}, więc x∈ {±π/6 + 2kπ∶ k ∈ Z} ∪ {±π/3 + 2kπ∶ k ∈ Z}.

2