################################################################################
Kwantowanie geometryczne
A. A. Kirillow
Tytuł oryginału : „Геометрическое квантование”
Seria - Współczesne problemy matematyki cz. 4 , 1985
********************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra
Ostatnia modyfikacja : 2014-05-05 Tłumaczenie całości artykułu.
*************************************************************************************************
Wprowadzenie
Termin „kwantowanie” jest wykorzystywany w pracach fizycznych i matematycznych w wielu różnych sensach.
W ostatnim czasie fakt ten odbija się głęboko na terminologii – pojawiło się m.in. kwantowanie asymptotyczne, deformacyjne.
Ogólną podstawę dla wszystkich tych teorii stanowi założenie o tym, że mechanika klasyczna i kwantowa – są to różne realizacje jednego i tego samego abstrakcyjnego schematu. Podstawowymi składnikami takiego schematu jest algebra obserwabli (wielkości fizycznych ) i przestrzeń stanów. W kwantowaniu asymptotycznym przyjmujemy, że obserwable i stany można rozłożyć w szereg względem małego parametru h. Człony swobodne takich szeregów odpowiadają MK, a człony pierwszego rzędu zadają tzw. przybliżenie quasiklasyczne.
Kwantowanie deformacyjne analizuje algebraiczną strukturę algebry obserwabli i rozpatruje sytuacje kwantową jako deformacje klasycznej.
Kwantowanie geometryczne stawia sobie za cel zbudowanie obiektów kwantowych, wychodząc z geometrii odpowiednich obiektów klasycznych.
Źródłami kwantowania geometrycznego są z jednej strony, próby fizyków rozciągnięcia znanej procedury kwantowania
prostych układów mechanicznych na konfiguracje bardziej ogólne i przestrzenie fazowe, a z drugiej strony - rozwijanie przez matematyków teorii reprezentacji unitarnych, prowadzących do metody teorii orbit.
Połączenie takich dwóch źródeł nastąpiło pod koniec lat 60-tych XX wieku i okazało się iż jest ono użyteczne zarówno dla fizyków jak i matematyków.
Fizycy włączyli do swojego arsenału nowy aparat matematyczny (rozwłóknienia, koneksje, kohomologie ), matematycy – wzbogacili się o nowe podejścia do starych zagadnień.
Chociaż możliwości kwantowania geometrycznego nie są jeszcze wyczerpane, ale już obecnie można podać opis podstaw tej metody i wskazać przybliżone ramy jego zastosowania.
1. Postawienie zagadnienia.
1.1 Model matematyczny MK w formalizmie hamiltonowskim [1]
W najprostszych układach mechanicznych przestrzeń fazowa jest standardową 2n-wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową o współrzędnych q1, ... qn , p1, ... , pn opisującymi położenie i prędkość cząstek, będących składowymi danego układu. W układach bardziej złożonych przestrzeń fazowa M jest rozwłóknieniem kostycznym nad rozmaitością gładką N (przestrzenią konfiguracyjną ). Współrzędne q1, ... qn w tym przypadku są określone tylko lokalnie i odwzorowują część U rozmaitości N na obszar V w Rn. Współrzędne p1, ... pn należą do przestrzeni dualnej R n* do Rn i zadają trywializacje rozwłóknienia kostycznego nad U, utożsamiając T*U z V × Rn*.
Na M = T*N poprawnie określona jest 1-forma : n
θ = ΣΣΣΣ pk dqk
k=1
a to znaczy, że określona jest również jej różniczka : n
ω = dθ = ΣΣΣΣ dpk ∧ dqk
k=1
Forma ω jest zamknięta i niezdegenerowana na M.
W celu sformułowania formalizmu hamiltonowskiego wystarczy, aby dana była rozmaitość gładka M ( nie koniecznie typu T*N ) z zadaną na niej niezdegenerowaną formą ω.
Taka rozmaitość nazywa się rozmaitością symplektyczną.
Twierdzenie Darboux [1] mówi, że lokalnie w odpowiednich współrzędnych forma ω zawsze może być zapisana w postaci :
n
ω = ΣΣΣΣ dpk ∧ dqk (1.1)
k=1
jednakże takie współrzędne kanoniczne są określone niejednoznacznie i ich podział na „lokalizacyjny” i „pędowy” typ ma charakter umowny.
Forma ω ustanawia izomorfizm pomiędzy przestrzenią styczną i kostyczną w każdym punkcie M. Izomorfizm odwrotny zadany jest przez biwektor c, który ma postać :
n
c = ΣΣΣΣ ∂/∂pk ∧ ∂/∂qk (1.2)
k=1
w tym samym układzie współrzędnych, w którym spełniona jest zależność (1.1).
W ogólnym układzie współrzędnych, forma ω i biwektor c może być zapisana następująco : n
ω = ΣΣΣΣ ω ij dx i ∧ dxj k=1
n
c = ΣΣΣΣ cij ∂j ∧ ∂i
k=1
z wzajemnie odwrotnymi macierzami skośnie symetrycznymi || ω ij || i || c ij ||.
Wielkości fizyczne lub inaczej obserwable utożsamiamy z funkcjami gładkimi na M, które tworzą przestrzeń C ∞ (M).
Względem standardowego iloczynu C ∞ (M) tworzy przemienna algebrę łączną. Oprócz tego, w C ∞ (M) określony jest NP (* nawias Poissona *) zadający strukturę algebry Liego :
{ F, G } = ΣΣΣΣ cij ∂jF ∂iG (1.3)
i,j
Tożsamość Jakobiego dla NP :
{{ F, G }, H } + {{ G, H }, F } + {{ H, F }, G } = 0 (1.4)
jest równoznaczna z warunkiem dω = 0, jak również zerowaniu się nawiasu Schoutena [11] :
[ c, c ]ijk = ↵ ijk ΣΣΣΣ cim ∂mc jk (1.5)
m
gdzie oznaczenie ↵ ijk oznacza sumowanie po permutacjach cyklicznych indeksów i, j, k.
Podrozmaitość N ⊂ M nazywa się izotropowa, jeśli forma ω zeruje się na TN. Wymiar rozmaitości izotropowej nie jest większa niż n. Jeśli jest ona równa n, to rozmaitość izotropowa nazywa się rozmaitością Lagrange’a. Lokalnie taka rozmaitość zadana jest przez układ równań :
Fk = ck , k = 1, 2, ... , n (1.6)
Gdzie { Fi } – układ funkcji znajdujących się w inwolucji, tj. generujących podalgebrę przemienną względem NP. : { Fi , Fk } = 0
Zmieniając stałe ci w równaniach (1.6) otrzymujemy rozbicie przestrzeni M na podrozmaitości Lagrange’a. Takie rozbicie nazywa się (globalną ) rzeczywistą polaryzacją, jeśli jest ono rozwłóknieniem gładkim.
Oczywiście rozmaitość M nie dopuszcza globalnych polaryzacji. Jeśli bowiem taka polaryzacja istnieje to rozmaitość M, lub pewne jej pokrycie może być utożsamione z otwartym podzbiorem w rozwłóknieniu kostycznym T*N, gdzie N – baza polaryzacji. Zauważmy że przy takim utożsamieniu forma ω nie przechodzi, ogólnie mówiąc w formę kanoniczną (1.1) na T*N, a różni się od niej składowymi o postaci :
ΣΣΣΣ aij dqi ∧ dqj (1.7)
Dla układu reprezentowanego przez punkt materialny w R3 taka składowa może być utożsamiona z zewnętrznym polem magnetycznym.
Stanem układu nazywamy funkcjonał liniowy na C ∞ (M), przyjmujący wartości nieujemne na funkcjach nieujemnych i równy 1 na funkcjach tożsamościowo równych 1. Ogólna postać takiego funkcjonału to miara probabilistyczna µ na M.
Stanem czystym nazywamy punkt brzegowy zbioru stanów. Jest to miara typu δ-funkcji, skupiona w jednym punkcie M.
( Jak zobaczymy dalej, granicami czystych stanów kwantowych zawsze są mieszane stany klasyczne, spełniające klasyczny analog zasady nieokreśloności. W związku z tym interesujące jest założenie A. Weinsteina [46] aby w charakterze elementarnych stanów klasycznych rozpatrywać δ-funkcje, skupione na podrozmaitościach Lagrange’a w M ). Dynamika układu określona jest poprzez wybór funkcji Hamiltona ( energii), rolę której może odgrywać dowolna funkcja H ⊂ C ∞ (M).
Przedstawimy teraz dwa równoważne sposoby opisu dynamiki. W pierwszym z nich – tzw. obrazie Hamiltona stany nie zależą od czasu, a wielkości fizyczne są funkcjami punktu przestrzeni fazowej i czasu, tj. funkcjami na M × R.
Równania ruchu mają postać :
F
•= {H, F } (1.8)
Gdzie F – dowolna obserwabla.
W szczególności, stosując (1.8) do zmiennych kanonicznych pk , qk otrzymamy równania Hamiltona :
q
•k = ∂H/∂pk , p
•k = – ∂H/∂q k (1.9)
Drugi sposób opisu ruchu polega na tym, że wielkości fizyczne przyjmuje się jako niezależne od czasu na M, a stany układu zmieniają się w czasie w taki sposób, że stan czysty o współrzędnych p(t) , q(t) spełnia równanie Hamiltona (1.9).
Łatwo sprawdzić, że stan mieszany o gęstości ρ(p, q, t) zmienia się przy tym według prawa :
ρ
•(p, q, t) = { ρ, H } = – { H, ρ } (1.10)
Taki opis ruchu nazywa się obrazem Liouville’a i zazwyczaj jest on wykorzystywany w mechanice statystycznej.
Oba te obrazy są równoważne, ponieważ wartość średnia wielkości F w stanie ρ zmienia się w czasie jednakowo : d/dt < F, > = ∫ { H, F } δ dpdq = ∫ F { ρ, H } dpdq
M M
Ostatnia równość jest słuszna dlatego, ze potok hamiltonowski zachowuje miarę kanoniczną dpdq = ωn , n = ½ dim M.
Funkcje F nazywamy całką pierwszą układu, jeśli znajduje się ona w inwolucji z H, tj. { F, H } = 0 W tym przypadku pole wektorowe :
c(F) = ΣΣΣΣ cij ∂jF ∂I
generuje potok hamiltonowski, przemienny z ewolucją układu. Obecność kilku całek pierwszych, generujących skośniesymetryczną algebrę Liego ℘ względem NP prowadzi do realizacji odpowiedniej grupy Liego G = exp ℘ jako grupy symetrii rozpatrywanego układu.
Zbiór F1 , ... , Fm wielkości fizycznych nazywa się zupełny, jeśli z warunku { Fi, G } = 0, i = 1, ... , n wynika, że G = const. Łatwo sprawdzić, ze warunek ten jest równoważny temu, że funkcje F1 , ... , Fm lokalnie rozdzielają punkty prawie wszędzie na M (tj. funkcje te są wystarczające dla zbudowania lokalnych układów współrzędnych na M ) Przykładem zbioru zupełnego są współrzędne i pędy w przypadku M = T*Rn
Przykład 1.1 Małe drgania – oscylator.
Każda rozmaitość w pierwszym przybliżeniu jest płaska, a każda funkcja w otoczeniu swego ekstremum – kwadratowa.
Tym wyjaśnia się szczególną rolę układu mechanicznego nazywanego oscylatorem.
Przestrzeń konfiguracyjna w takim przypadku utożsamiamy z Rn , a przestrzeń fazową z Rn × (Rn )*. Można zdefiniować globalne współrzędne kanoniczne : q1 , ... , nm , p1 , ... , pn
Hamiltonian ma postać : n
H = ½ ΣΣΣΣ ( pk 2 + q k 2 )
k=1
Układ ten można rozpatrywać jako sumę nieoddziałujących układów o jednym stopniu swobody. ( W języku formalizmu hamiltonowskiego sumie układów bez oddziaływania odpowiada pomnożenie przestrzeni fazowych i dodanie hamiltonianów )
Dlatego przyjmiemy, że n = 1. W tym przypadku ruch układu polega na równomiernym obrocie płaszczyzny fazowej z jednostkową prędkością kątową. Trajektoria punktu pokrywa się z poziomica funkcji H, tj. okręgiem p2 + q2 = const.
NP pomiędzy obserwablami mają postać : { H, p } = –q , { H, q } = p , { p, q } = 1 Przykład 1.2 Wahadło matematyczne.
Przestrzeń konfiguracyjna N – to dwuwymiarowa sfera S2 , zadana przez równanie : x1 2 + x 2 2 + x 3 2 = r2
Przestrzeń fazowa M = T*M – jest to rozwłóknienie kostyczne do S2
Rozmaitość M można utożsamić z podzbiorem w R6 o współrzędnych x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , zadanym przez równania :
x1 2 + x 2 2 + x 3 2 = r2 , x 1y1 + x2 y2 + x3y3 = 0
W charakterze współrzędnych lokalnych na N możemy wziąć q1 = x1 , q2 = x2 Względem formy kwadratowej :
T = ½ m ( y1 2 + y 2 2 + y 3 2 )
- zadającej energię kinetyczną układu, współrzędne dualne na włóknach mają postać :
p1 = m [( y1x3 – x1y3 ) / x3 ] , p2 = m [( y2x3 – x2y3 ) / x3 ] We współrzędnych p, q energia kinetyczna wyraża się wzorem : T = (1/2m) { p1 2 + p 2 2 – [ ( p 1q1 – p2q2 ) / r 2] }
m – masa wahadła
Jeśli wahadło rozpatrujemy w stałym polu grawitacyjnym, o kierunku osi x3, to energia potencjalna ma postać : V = –mgx3 = –mg sqrt( r 2 – q 1 2 – q 2 2 )
Hamiltonian H = T + V posiada całkę pierwszą – moment względem osi x3 : P = p1q1 – p2q2
Zgodne poziomice funkcji H i P zadają na M polaryzacje z osobliwościami. Dokładniej – włókna P = 0 , H = ± mgr degenerują się w punkty, a pozostałe włókna staja się dwuwymiarowymi torusami, po którym odbywa się quasi okresowy ruch [1].
Przykład 1.3 W charakterze przestrzeni fazowej M weźmiemy sferę x1 2 + x 2 2 + x 3 2 = r2 ,a w charakterze formy ω - standardowe pole powierzchni, które we współrzędnych lokalnych u = x1, v = x2 ma postać :
ω = r [ du ∧ dv / sqrt( r2 – u2 – v2 )]
( W tym przypadku nie można przedstawić M jako rozwłóknienia kostycznego T*M – przestrzeń konfiguracyjna nie istnieje. Znane twierdzenie z topologii mówi, ze na M nie ma, niezerujących się pól wektorowych. Tym samym nie ma polaryzacji rzeczywistych )
Jak przekonamy się dalej w tym przykładzie istnieje polaryzacja zespolona, pozwalająca zbudować kwantowanie tego układu przy warunku, ze objętość M jest liczbą całkowitą. Ten egzotyczny układ okazuje się być klasycznym analogiem układu kwantowego z jednym spinowym stopniem swobody.
W zastosowaniach spotyka się go nie w takiej postaci, a w postaci „nadbudowy” nad standardową przestrzenią fazową.
W charakterze hamiltonianu tego układu standardowo rozpatruje się funkcje liniową H = a1x1+ a2xx2 + a3x3
Współczynniki której interpretuje się jako rzutowanie wektora natężenia pola magnetycznego. Ruch układu polega na równomiernym obrocie sfery. Zatem, pojęcie o spinie jako o „ukrytym rotacyjnym stopniu swobody” otrzymuje tutaj
ścisłą klasyczną interpretacje.1.2 Model matematyczny MQ [17].
W MQ wielkości fizyczne lub inaczej obserwable są samosprzężonymi operatorami liniowymi w pewnej zespolonej przestrzeni Hilberta ℵ. Tworzą one przestrzeń liniową w której określone są dwie operacje biliniowe :
1) iloczyn Jordana :
A ° B = ½ ( AB + BA ) = ( A + B / 2 )2 – ( A – B / 2 )2 (1.11)
2) komutator :
[ A , B ]h = (2 πi/h ) ( AB – BA ) (1.12)
gdzie h – stała Planka
Ze względu na pierwszą operacje zbiór obserwabli tworzy przemienną, ale nie łączną algebrę; względem drugiej – algebrę Liego. Te dwie operacje są kwantowymi analogami standardowego iloczynu i NP w MK.
Przestrzeń stanów lub przestrzeń fazowa w MQ składa się z tzw. „macierzy gęstości” tj. z nieujemnie określonych operatorów S o własności Tr S = 1. Stany czyste ( punkty brzegowe zbioru stanów ) są jednowymiarowymi projektorami w ℵ. Standardowo ℵ realizuje się w postaci przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem, w tym przypadku stan czysty zadany jest przez funkcje ψ o normie jednostkowej ( tzw. funkcje falową ), przy czym funkcje różniące się tylko czynnikiem fazowym, zadają jeden i ten sam stan.
Wartość średnia wielkości A w stanie S z definicji jest równa Tr AS. Dla stanu czystego, zadanego przez funkcje ψ, wielkość ta jest równa (Aψ, ψ). W MQ obserwabla nawet w stanie czystym ψ nie musi mieć ściśle określonej wartości.
Jej rozkład prawdopodobieństwa zadany jest przez monotoniczną funkcje :
p(λ) = ( E λ ψ, ψ ) , E λ - funkcja spektralna operatora A.
W szczególności, jeśli operator A posiada spektrum dyskretne o wartościach własnych λ k i funkcjami własnymi ψ k to w stanie ψ przyjmuje ona wartość λ k z prawdopodobieństwem pk = | ( ψ , ψ k ) | 2
Dynamika układu jest określona poprzez operator energii H^. Tak jak i w przypadku MK możliwe są tutaj dwa sposoby opisu. Jeśli stany nie zmieniają się w czasie, a zmieniają się operatory, to mówimy o obrazie Heisenberga. Ruch w obrazie Heisenberga opisywany jest przez równanie Heisenberga :
A
•= [ H^, A^ ]h (1.13)
Które jest ścisłym analogiem równania Hamiltona (1.6). Całkami układu są wszystkie operatory, komutujące z H^. W szczególności, sam operator energii nie zmienia się w czasie ( prawo zachowania energii w MQ ).
Drugi opis przy którym operatory, odpowiadające wielkością fizycznym, nie zmieniają się, nazywa się obrazem Schrödingera. Łatwo sprawdzić, że dla równoważności takich dwóch sposobów opisu ruchu, wymagane jest, aby stan czysty ψ zmieniał się zgodnie z równaniem :
ψ
•= (2πi/h) H^ψ (1.14)
Równanie to nazywamy równaniem Schrödingera. Funkcje własne operatora Schrödingera zadają stany stacjonarne układu ( przypominam, że funkcje różniące się tylko o czynniki skalane zadają jeden i ten sam stan )
Zbiór kwantowych wielkości fizycznych A^1 , ... , A^m nazywamy zupełnym, jeśli każdy operator B^ niekomutujący z komutatorem A^i , i = 1, ... , m jest krotnością operatora jednostkowego. Można pokazać, że warunek ten jest
równoważny ciągłości zbioru A^1 , ... , A^m To oznacza, że każda zamknięta podprzestrzeń w ℵ inwariantna względem wszystkich A^i , 1 ≤ i ≤ m, jest równa albo { 0 } albo całej przestrzeni ℵ.
Przykład 1.4 Cząstka materialna w polu potencjalnym na prostej.
Przestrzeń Hilberta ℵ składa się z funkcji zespolonych ψ(x) na prostej rzeczywistej , sumowalnych z modułem kwadratu. Podstawowe wielkości fizyczne mogą być przedstawione następującymi operatorami :
- operator współrzędnej x^ polega na przemnożeniu funkcji ψ(x) przez x : - operator pędu p^ = ih d/dx
- operator energii H^ = –(h/2π) d2/dx2 + V(x) , V(x) – zadany potencjał
W szczególności w stanie ψ współrzędna cząstki posiada gęstość rozkładu prawdopodobieństwa | ψ(x) |2 , a jej pęd ma gęstość rozkładu | ψ~(k/h) |2 , gdzie ψ~(k) = ∫ ψ(x) e–ikx dx – przekształcenie Fouriera funkcji ψ.
1.3 Postawienie zagadnienia kwantowania. Związek z metoda orbit w teorii reprezentacji.
Zagadnienie kwantowania geometrycznego polega na tym, aby wychodząc z geometrii rozmaitości symplektycznej (M, ω), zadającej model klasycznego układu mechanicznego, zbudować przestrzeń Hilberta ℵ i zbiór operatorów na niej, zadających kwantowy analog tego układu. Jeśli wejściowy układ klasyczny posiadała grupę symetrii G, to naturalnym będzie, aby otrzymany z niego model kwantowy również posiadał tą symetrię. To oznacza, że w przestrzeni ℵ powinna działać reprezentacja unitarna ( być może projektywna – zobacz dalej ) grupy G.
Maksymalną grupą symetrii rozmaitości symplektycznej (M, ω) jest nieskończenie wymiarowa grupa Symp(M, ω) wszystkich symplektomorfizmów lub przekształceń kanonicznych M, zachowujących formę ω.
Dla układu kwantowego maksymalną grupą symetrii jest nieskończenie wymiarowa grupa PU(ℵ) – wszystkich projektywnych przekształceń unitarnych.
Te dwie grupy nie są izomorficzne. Dlatego apriori nie ma nadziej na to, że każdej symetrii klasycznej odpowiada kwantowa. W konkretnych sytuacjach takie lub inne skończone grupy symetrii mogą być zachowane, jednocześnie inne mogą być naruszane. W literaturze fizycznej mówimy wtedy o tzw. kwantowych anomaliach występujących w
zależnościach komutacyjnych.
Szczególne zainteresowanie budzą jednorodne rozmaitości symplektyczne (M, ω), na których tranzytywnie działa pewna grupa Liego G. Takie układy nie posiadają G-inwariantnych podukładów. Dlatego w odpowiednich układach
kwantowych powinny pojawiać się nieprzywiedlne reprezentacje grupy G. Jeśli słuszna jest teza mówiąca o tym, że każdy układ kwantowy z grupą symetrii G otrzymujemy poprzez kwantowanie układu klasycznego z tą samą grupą symetrii, to nieprzywiedlne reprezentacje grupy G powinny być związane z jednorodnymi symplektycznymi G-rozmaitościami. Metoda orbit w teorii reprezentacji unitarnych grup Liego wiąże reprezentacje unitarne grupy G z orbitami tej grupy w reprezentacji kodołączonej, działającej w przestrzeni ℘*, dualnej do algebrze Liego grupy G.
Związek między kwantowaniem i metoda orbit oparty jest na następującym twierdzeniu :
Twierdzenie 1.1 [8, 29, 42] Każda G-orbita w ℘* jest jednorodną symplektyczną G-rozmaitością i odwrotnie – każda symplektyczna G-rozmaitość jest lokalnie izomorficzna orbicie w reprezentacji kodołączonej grupy G lub jej
rozszerzenia centralnego.
Procedura kwantowania geometrycznego stanowi naturalne uogólnienie na przypadek niejednorodny procedury
zbudowania nieprzywiedlnej, unitarnej reprezentacji grupy G, wychodząc z G-orbity w reprezentacji kodołączonej.
Dokładniej – kwantowanie z pomocą wyboru rzeczywistej polaryzacji ( zobacz paragraf 3 ) uogólnia konstrukcje reprezentacji indukowanej. Pojęcie zespolonej polaryzacji pojawia się z konstrukcji holomorficznej reprezentacji indukowanej. Na koniec, reprezentacji w kohomologiach w ostatnim czasie również znalazły analog w metodzie kwantowania geometrycznego ( paragraf 4 )
2. Predkwantowanie.
2.1 Reprezentacja Koopmana – van Hove’a – Segala.
Niech ( M, ω) – będzie rozmaitością symplektyczną. Poprzez ℜ(M, ω) oznaczymy algebrę Poissona zadaną na M, tj.
przestrzeń C ∞ (M) wyposażona w NP (1.3)
Zgodnie z P.A. M. Dirac kwantowaniem nazywa się odwzorowanie liniowe F → F^ algebry Poissona ( lub pewnej jej podalgebry ) w zbiór operatorów w pewnej (pre) hilbertowskiej przestrzeni, posiadające następujące własności : 1) 1 = 1^ ( jedynka po lewej oznacza funkcje na M, tożsamościowo równą 1, a jedynka po prawej – operator jednostkowy )
2) { F, G }^ = [ F, G ]h ( = (i/h) ( F^G^ – G^F^ ))
3) F* = (F^ )* ( gwiazdka po lewej oznacza sprzężenie zespolone, a gwiazdka po prawej – przejście do operatora sprzężonego )
4) dla pewnego zbioru zupełnego funkcji F1 , ... , Fm operatory F^1 , ... , F^m również tworzą bazę zupełną.
Odwzorowanie liniowe F → F^ posiadające pierwsze trzy własności nazywa się predkwantowaniem.
Dla przypadku M = T*N, ω = dθ , prekwantowanie zostało skonstruowane przez Segala [37], który uogólnił wynik Koopmana [28] i van Hove’a [45]. Ma ono postać :
F^ = F + (h/2πi) c(F) – θ( c(F)) (2.1)
Gdzie c(F) – hamiltonowskie pole wektorowe na M z funkcją tworzącą F, rozpatrywane jako operator w C ∞ (M).
Przestrzeń predkwantowania składa się z funkcji gładkich na M z iloczynem skalarnym : ( ϕ 1 , ϕ 2 ) = ∫ ϕ 1 ϕ –
2 dv M
Gdzie v = ωn = dnp dnq – miara Liouville’a na M.
Liniowość odwzorowania oraz spełnienie warunku 1) są oczywiste.
Spełnienie warunku 2) wynika z dobrze znanych tożsamości [2] : [ c(F), c(G)] = c( { F, G })
oraz
{ F, G } = ω(c(F), c(F) ) = c(F) θ(c(G)) – c(G)θ(c(F)) – θ( [ c(F), c(G)] )
Warunek 3) jest równoważny samosprzężoności operatorów F^ dla funkcji rzeczywistych F ∈ C ∞ (M). Symetryczność tych operatorów wynika z tego, ze pole c(F) jest hamiltonowskie. Jeśli pole c(F) jest zupełne ( tj. generuje
jednoparametrową grupę przekształceń M ), to operator F^ jest istotnie samosprzężony.
W szczególności, jeśli funkcja F jest skończona, to warunek 3) jest spełniony.
Prekwantowanie (2.1) nie jest kwantowaniem, jak to widać z prostego przykładu M = T*R. W tym przypadku operatory współrzędnej i pędu mają postać :
q^ = q + (h/2πi) ∂/∂p , p^ = – (h/2πi) ∂/∂q
w przestrzeni funkcji gładkich na płaszczyźnie o współrzędnych p, q i miarą dp ∧ dq.
Łatwo sprawdzić, ze operatory ∂/∂p i ∂/∂q + (2πi/h)p są przemienne z q^ i p^, dlatego też q^ i p^ nie tworzą zbioru zupełnego.
Porównanie z przykładem 1.2 pokazuje, ze w danym przypadku można zbudować kwantowanie, jeśli ograniczyć działanie q^ i p^ na przestrzeni funkcji, niezależnych od p. Uogólnienie tego problemu rozpatrzymy w paragrafie 3.
2.2 Rozwłóknienia hermitowskie z koneksją. Prekwantowanie Souriau-Konstatnta.
Próba przeniesienia konstrukcji Koopmana – van Hove’a – Segala na ogólna rozmaitość symplektyczną prowadzi do liniowych ( = jednowymiarowych wektorowych ) rozwłoknień zespolonych nad M, wyposażonych w koneksje i
strukturę hermitowską na włóknach. Problem polega na tym, że możliwość przedstawienia operatorów predkwantowania wzorem (2.1) oparta jest na równości ω = dθ. Dlatego, jeśli forma ω nie jest ścisła ( np. tak będzie dla dowolnej
rozmaitości zwartej M ), to reprezentacja (2.1) nie jest możliwa. Jednakże forma zamknięta ω zawsze jest ścisła lokalnie.
To znaczy, ze można pokryć rozmaitość M zbiorami otwartymi U α tak, aby w każdym U α była spełnione równość ω = d θα dla odpowiedniej 1-formy θα zadanej w U α Tym samym otrzymujemy możliwość zdefiniowania operatorów : F^ α = F + (h/2πi) c(F) – θα (c(F)) w C ∞ (U α )
Okazuje się, że przy nałożeniu dodatkowego warunku na klasę kohomologii – całkowitoliczbowości – zadanej przez
formę ω, takie lokalne operatory F^ α można „skleić” w jeden globalny operator F^. Jednakże taki operator działa nie na
funkcje, a na przekroje pewnego rozwłóknienia liniowego L nad M. Forma θα jest przy tym interpretowana jako lokalne wyrażenie dla koneksji w trywializacji L nad obszarem U α . Teraz przejdziemy do ścisłych wyrażeń.
Niech L – będzie zespolonym rozwłóknieniem wektorowym nad M o jednowymiarowym włóknie. Założymy, że na L określona jest struktura hermitowska < . , . > i koneksja ∇, uzgodnione w naturalny sposób :
ξ < s1, s2 > = <∇ξ s1, s2 > + < s1, ∇ξ s2 > (2.2)
gdzie < s1, s2 > - oznacza funkcje na M, która w punkcie x ∈ M jest równa iloczynowi skalarnemu s1(x) i s2(x) w sensie struktury hermitowskiej , ∇ξ - operator różniczkowania kowariantnego przekroju wzdłuż pola ξ na M.
Jeśli rozwłóknienie L nad obszarem U α ⊂ M dopuszcza niezerowy przekrój s α , to przestrzeń Γ( L, U α ) można utożsamić z C ∞ (U α ) zgodnie z następującym wzorem :
C ∞ (U α ) ∋ ϕ ↔ ϕ • s α ∈ Γ( L, U α ) Przy tym operator ∇ξ przyjmuje postać :
∇ξϕ = ξϕ – (2 π i/h ) θα ( ξ ) ϕ (2.3)
gdzie forma θα jest określona z równości :
∇ξ s α = – (2πi/h ) θα (ξ) s α (2.4)
Porównanie (2.3) z (2.1) podpowiada następujący wzór predkwantowania Souriau-Konstatnta :
F^ = F + (h/2pi) ∇ c(F) (2.5)
Spełnienie warunku 1) jest oczywiste. Warunek 3) jest spełniony dla skończonych F na mocy (2.5), jeśli tylko określimy iloczyn skalarny w przestrzeni przekrojów L wzorem :
( s1 , s2 ) = ∫ < s1 , s2 > dv (2.6)
M
i zauważymy, że objętość dv = ωn = dpn = dqn jest inwariantna względem potoku hamiltonowskiego, generowanego przez pole c(F).
Sprawdzenie warunku 2) wymaga pewnych obliczeń. Przypomnijmy, że forma krzywizny koneksji ∇ określona jest jako 2-forma Ω na M, zadana przez wzór :
Ω( ξ, η ) = (1/2πi) ( [ ∇ξ , ∇η ] – ∇ [ξ, η] ) (2.7) Z (2.3) wynika następujące lokalne wyrażenie dla formy krzywizny :
Ω = h–1d θα na Uα (2.8)
Z drugiej strony, warunek 2) możemy w naszym przypadku przepisać w postaci : { F, G } = hΩ( c(F), c(G))
W ten sposób słuszne jest następujące twierdzenie :
Twierdzenie 2.1 Wzór Souriau-Konstatnta (2.5) zadaje prekwantowanie P(M, ω) wtedy i tylko wtedy, kiedy forma krzywizny Ω koneksji ∇ pokrywa się z h–1ω.
Pojawia się pytanie – jakie 2-formy na M mogą służyć jako formy krzywizny dla koneksji w pewnym rozwłóknieniu liniowym L nad M i kiedy na L można określić strukturę hermitowską, zgodną z koneksją ?
Odpowiedź na takie pytanie daje następujące twierdzenie :
Twierdzenie 2.2 Forma Ω jest formą krzywizny pewnego rozwłóknienia L nad M z koneksją ∇ wtedy i tylko wtedy, kiedy klasa kohomologii określona przez formę Ω jest całkowitoliczbowa tj. całka formy Ω po dowolnym 2-cyklu w M jest liczbą całkowitą.
Struktura hermitowska na L zgodna z ∇ istnieje wtedy i tylko wtedy, kiedy forma Ω jest rzeczywista.
Dowód pierwszej części twierdzenia 2.2 wynika z zależności wiążących funkcje przejścia rozwłóknienia L z formami θα - jeśli na przecięciu Uα ∩ U β = Uαβ spełniona jest równość :
s α = c αβ • s β
gdzie c αβ ∈C ∞ (U αβ ), to z (2.4) wynika :
θβ – θα = (h/2 πi) d ln c αβ (2.9)
Funkcje przejścia c αβ spełniają zależności o postaci : c αβ c βγ cγα ≡ 1 w U αβ = U α ∩ U β ∩ U γ
Dlatego, jeśli zapiszemy c αβ w postaci :
c αβ = exp( 2πib αβ )
to w obszarze U αβγ będzie spełniona nierówność :
b αβ + b βγ + bγα ≡ const. ∈ Z (2.10)
Zatem, zbudowaliśmy całkowitoliczbowy 2-kocykl Cecha rozmaitości M z pokryciem U α . Zgodnie z twierdzeniem de Rhama klasa kohomologii takiego kocyklu pokrywa się z klasą zadawaną przez formę Ω.
I odwrotnie, niech Ω zadaje całkowitoliczbową klasę kohomologii. Wtedy formy θα określone z dokładnością do składowej postaci df α , df α ∈C ∞ (U α ), można wybrać tak, aby funkcje bαβ ∈C ∞ (U αβ ) zadane ( z dokładnością do stałej ) przez równości :
db αβ = h–1( θβ – θα ) spełniały warunek (2.10).
Przyjmując c αβ = exp( 2πib αβ ), otrzymujemy funkcje przejścia szukanego rozwłóknienia L.
Niech Γ - będzie kawałkami gładka krzywa na M, ograniczająca dwuwymiarową powierzchnię D ⊂ U α
Z (2.4) wynika, że przy przeniesieniu równoległym wzdłuż Γ przekrój s α jest mnożony przez współczynnik liczbowy : Q(Γ) = exp[ (2πi/h ) ∫ θα ] = exp( 2πi ∫ ∫ Ω ) (2.11) Γ D
Jeśli ∇-inwariantna struktura hermitowska istnieje, to ten współczynnik powinien co do modułu równać się jedności, skąd wynika rzeczywistość Ω.
( zauważmy, ze wzór (2.11) może być łatwo uogólniony na dowolne krzywe Γ = ∂D nie koniecznie leżące w U α . Stosując ten wzór do zamkniętego 2-cyklu D, otrzymujemy jeszcze jeden dowód całkowitoliczbowej klasy Ω ) I odwrotnie – niech forma Ω będzie rzeczywista. Wtedy formy Im θα będą zamknięte i można znaleźć takie funkcje rzeczywiste ρα w C ∞ (U α ), że :
d ρα = (2π/h) Im θα , ρα – ρβ = ln | c αβ | w U αβ (2.12)
Zdefiniujmy strukturę hermitowską na L, przyjmując :
|| s α || = < s α , s α > ½ exp( ρα ) (2.13)
Łatwo można sprawdzić, że taka struktura jest zgodna z koneksją ∇ : (2.2) wynika z (2.13) i (2.4)
Czytelnikowi rekomenduje prześledzenie w jaki sposób prekwantowanie (2.1) pojawia się w charakterze przypadku szczególnego opisanej konstrukcji ( w charakterze naturalnego zbioru otwartego U α należy wziąć całą rozmaitość M = T*N, przyjmując θα = θ , L = M × C, s α = 1 )
Pojawia się również naturalne pytanie, czy prekwantowanie Souriau-Konstatnta jest określone jednoznacznie przez rozmaitość symplektyczną (M, ω) ?
Dla rozmaitości jednospójnych odpowiedź jest pozytywna. W przypadku ogólnym słuszne jest następujące twierdzenie : Twierdzenie 2.3 Zbiór prekwantowań rozmaitości symplektycznej (M, ω), dla którego forma Ω = h–1ω zadaje
całkowiotoliczbową klasę kohomologii, jest główną jednorodną przestrzenią dla grup charakterów Π* grupy fundamentalnej Π rozmaitości M.
Dwa predkwantowania przyjmuje się jako jednakowe, jeśli są one określone z pomocą równoważnych rozwłoknień liniowych Li z koneksją ∇ i oraz strukturą hermitowską < . , . >i , i = 1, 2, przechodzących wzajemnie w siebie przy odpowiednim dyfeomorfizmie L1 na L2. Względem dwóch predkwantowań odpowiadającym (L1, ∇ 1 ) i (L2, ∇ 2 ) budujemy charakter χ 12 ∈ Π* zadawany wzorem :
χ 12( [ Γ ] ) = Q1( Γ ) Q2( Γ )–1 (2.14)
gdzie Γ - droga zamknięta – kontur – na M , [ Γ ] – jej klasa w grupie Π , Qi( Γ ) – współczynnik przez który mnożymy przekrój rozwłóknienia Li przy przeniesieniu równoległym wzdłuż Γ.
Wzór (2.11) i pokrywanie się form krzywizny dla ∇ 1 i ∇ 2 gwarantują, ze prawa cześć w (2.14) zależy tylko od klasy [ Γ]
drogi Γ.
2.3 Przykłady. Predkwantowanie dwuwymiarowej sfery i dwuwymiarowego torusa.
Dla dwuwymiarowej rozmaitości struktura symplektyczna – jest to po prostu element powierzchni. Warunek istnienia predkwantowania sprowadza się do całkowitoliczbowości pola powierzchni, mierzonego w jednostkach h.
Zgodnie ze znanym wynikiem J. Mosera [34] pole powierzchni jest jedynym inwariantem zwartej dwuwymiarowej rozmaitości symplektycznej ( jeśli zadany jest jej genus topologiczny )
Przeanalizujemy obecnie dwa przykłady : sferę S2 i torus T = S1 × S1.
Wprowadzimy na standardowej sferze x2 + y2 + z2 = 1 w R3 element powierzchni : ω N = (Nh/4 π) ( xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy )
Pole sfery będzie wtedy równe Nh. Zbudujemy jawnie rozwłóknienie LN nad S 2 z koneksją ∇ , dla której forma Ω N = h –1 ω będzie formą krzywizny. W tym celu pokryjemy sferę dwoma otoczeniami współrzędnościowymi : U ± = S 2 / { P ± } , P ± = ( 0, 0 , ± 1 )
W otoczeniu U ± wprowadzimy współrzędną zespoloną : w ± = x ± iy / 1 –/+ z
Na przecięciu U+ ∩ U– spełniona jest zależność w+ w– = 1. Forma Ω N w takich współrzędnych przyjmuje postać :
W charakterze 1-formy θ± w obszarach U ± weźmiemy :
Wtedy dla funkcji przejścia c na U+ ∩ U– otrzymujemy równanie :
skąd :
c = (w– ) N = ( w + ) –N
Zatem, rozwłóknienie LN jest N-tym tensorowym rzędem rozwłóknienia Hopfa.
Teraz rozpatrzymy dwuwymiarowy torus T2 = R2/ Z2. Przestrzeń funkcji na torusie utożsamimy z przestrzenią podwójnie periodycznych funkcji na płaszczyźnie :
F(x + m, y + n ) = F(x, y) , m, n ∈ Z
W charakterze formy powierzchni na T2 weźmiemy : ω N = Nh dx ∧ dy
Dla każdej pary liczb rzeczywistych (a, b) można określić odwzorowanie ϕ a,b otwartego jednostkowego kwadratu K ⊂ R2 w torus :
ϕ a,b (x, y ) = ( x + a, y + b ) mod Z 2 Wtedy
ϕ *a,b( ω N ) = Nh dx ∧ dy
1-formę θ a,b wybierzemy tak, aby ϕ *a,b( θ a,b ) = Nh xdy
Łatwo sprawdzić, że :
ϕ *a,b( θ c,d – θ c1,d2 ) = Nh ( c – c1 ) dy
Dlatego przekroje rozwłóknienia LN możemy utożsamić z funkcjami na płaszczyźnie, posiadającymi własność :
f( x + m, y + n ) = exp( 2πiNmy ) f(x, y) , m, n ∈ Z (2.15)
Rozwłóknienia LN posiadają wiele interesujących własności.
Przy N = 1 przestrzeń wszystkich przekrojów gładkich LN dopuszcza izomorfizm na przestrzeń Schwartza ℜ(R) A mianowicie, każdej funkcji f(x, y) posiadającej własność (2.15) można przyporządkować funkcje ϕ(x) na prostej :
I odwrotnie, funkcje f(x, y) możemy odtworzyć znając ϕ (x)
Operator predkwantowania, odpowiadający podwójnie periodycznej funkcji H(x, y) ma postać :
Zauważmy, ze operatory ∂/∂y i ∂/∂y – 2πix przeprowadzają w siebie przestrzeń funkcji, spełniających warunek (2.15) Przy opisanym powyżej izomorfizmie z ℜ(R) przechodzą one odpowiednio w d/dx i –2πix.
2.4 Predkwantowanie superrozmaitości symplektycznych.
Opisany powyżej schemat predkwantowania Souriau-Konstatnta można przenieść mutatis mutandis na superrozmaitości symplektyczne M [4, 5] z parzystą forma ω. Szczegółowe omówienie takiej konstrukcji podano w [31]. Dalej omówimy tylko podstawowe zmiany jakie należy wprowadzić.
W charakterze współrzędnych lokalnych zadanych na superrozmaitości M figurują zarówno standardowe współrzędne x1, ... , xn nazywane parzystymi, jak i współrzędne nazywane nieparzystymi ξ 1, ... , ξ n przyjmujące wartości w pewnej algebrze Grassmanna i spełniające zależności antykomutacyjne :
ξ i ξ j + ξ j ξ i = 0 ; 1 ≤ i, j ≤ m (2.19)
Forma symplektyczna ω w odpowiednich współrzędnych lokalnych może być sprowadzona do postaci kanonicznej :
gdzie pk, qk – parzyste, a ξ j – nieparzyste współrzędne , ε j = ± 1 Hamiltonowskie pole wektorowe, odpowiadające funkcji F, ma postać :
gdzie α (F) – parzystość funkcji F.
Nawias Poissona ma postać :
Operacja nawiasu Poissona w C ∞ (M) określa strukturę superalgebry Liego, która posiada następujące własności :
Definicja kwantowania i predkwantowania z punktu 2.1 jest zachowane, jeśli tylko komutator w prawej części zamienimy na superkomutator :
[A, B ] = AB – (–1) α(A)α (B)BA (2.24)
Zachowany jest również związek pomiędzy 1-formami i koneksjami w jednowymiarowych rozwłóknieniach. Słuszne są
również analogi twierdzeń 2.1. i 2.2.
3. Polaryzacje.
3.1 Definicja polaryzacji.
Niech (M, ω ) – będzie rozmaitością symplektyczną, TcM- kompleksyfikacja rozwłóknienia stycznego nad M.
Podrozwłóknienie P ⊂ TcM nazywa się polaryzacją, jeśli spełnione są następujące warunki :
1) Przestrzeń P(x) – jest podprzestrzenią Lagrange’a ( = maksymalnie izotropową ) w Tx c(M) dla wszystkich x∈M.
2) Rozkład x → P(x) jest całkowalny.
Ostatni warunek, zgodnie z kryterium Forbeniusa może być sformułowane w dwóch równoważnych formach : a) pole wektorowe ξ zadane na M nazwiemy P-dopuszczalnym, jeśli ξ(x) ∈ P(x) dla wszystkich x∈M. Rozkład P jest całkowalny wtedy i tylko wtedy, kiedy komutator dowolnych P-dopuszczalnych pól jest P-dopuszczalny.
b) Formę różniczkową θ na M nazwiemy P-dopuszczalną, jeśli forma θ(x) zeruje się kiedy jeden z jej argumentów należy do P(x). Oczywiście P-dopuszczalne formy tworzą ideał. Rozkład P jest całkowalny wtedy i tylko wtedy, kiedy różniczka dowolnej P-dopuszczalnej formy jest P-dopuszczalny.
Jest jasne, że jeśli podrozwłóknienie P jest polaryzacją, to sprzężone zespolenie podrozwłóknienie P– również jest polaryzacją. Jeśli P = P– to polaryzacje nazywamy rzeczywistą. W tym przypadku P jest kompleksyfikacją pewnego rzeczywistego całkowalnego podrozwłóknienia PR ⊂ TM. Rozmaitość M dopuszcza takie rozwłóknienie o połówkowym wymiarze, że przestrzeń PR(x) pokrywa się przestrzenią styczną włókna, przechodzącego przez punkt x. Każde włókno jest podrozmaitością Lagrange’a w M wyposażoną w kanoniczną strukturę afiniczną [1]. Zazwyczaj dodatkowo wymagamy, aby takie rozwłóknienie było rozwłóknieniem gładkim.
Jeśli P(x) ∩ P–(x) = {0} dla wszystkich x ∈M, to polaryzacje P nazywa się pseudokahlerowską. W takim przypadku :
b(X, Y ) = iω (X, Y– ) (3.1)
jest niezdegenerowana forma hermitowską na P(x). Polaryzacja nazywa się kahlerowską, jeśli taka forma jest dodatnio określona.
Twierdzenie Nirenberga- Newlandera [35, 25] mówi, że dla dowolnej pseudokaehlerowskiej polaryzacji P można w otoczeniu dowolnego punktu M wprowadzić lokalne współrzędne zespolone z1 , ... , zn tak, że P będzie generowana przez pola ∂/∂–z1 , ... , ∂/∂ –z n
W przypadku ogólnym poprzez E(x) i D(x) oznaczymy podprzestrzenie w Tx(M) dla których :
Ec(x) = P(x) + P–(x) , Dc(x) = P(x) ∩ P–(x) (3.2)
Wymiary E(x) i D(x) mogą się zmieniać od punktu do punktu, ale tak że ich suma jest zawsze równa 2n.
Jeśli dim E(x) = n + k, dim D(x) = n – k i jeśli E – jest rozwłóknieniem całkowalnym ( zauważmy, że D – jest automatycznie całkowalna ), to polaryzacja P nazywa się dopuszczalną. W tym przypadku w otoczeniu dowolnego punktu M można wprowadzić takie współrzędne lokalne x1 , ... , xn–k , y1 , ... , yn–k ; u1 , ... , uk ; v1 , ... , vk, że D(x) będzie generowana przez pola ∂∂xj , a P(x) – przez pola ∂/∂xj i ∂/∂ –z m , gdzie zm = um + ivm.
W przypadku, kiedy E – jest rozkładem niecałkowalnym, to opis lokalny polaryzacji póki co nieznany.
Zagadnienie to jest ściśle związane z zagadnieniem klasyfikacji rzeczywistych podrozmaitości zanurzonych w rozmaitości zespolonej z dokładnością do holomorficznych zamian zmiennych.
Polaryzacje P1 i P2 nazywają się transwersalnymi, jeśli P1(x) ∩ P2(x) = {0} dla wszystkich x ∈ M, jeśli P1 i P2 – są dowolnymi polaryzacjami kahlerowskimi, to P1 i P –
2 są transwersalne.
Dla dowolnej polaryzacji P przez Ŧ(P) oznaczymy przestrzeń funkcji na M, anulowanych przez wszystkie P-dopuszczalne pola wektorowe. Jest jasne, że Ŧ(P) – jest algebrą względem standardowego mnożenia funkcji i
maksymalną abelowa podalgebrą Liego względem nawiasu Poissona. Dla polaryzacji rzeczywistej P algebra Ŧ(P) składa się z funkcji stałych na włóknach pewnego rozwłóknienia Lagrange’a.
Hamiltonowskie pola wektorowe z dowolnymi funkcjami z Ŧ(P) komutują parami, są styczne do włókien i są stałe względem kanonicznej struktury afinicznej na włóknach. Dla polaryzacji pseudokaehlerowskiej P algebra Ŧ(P) składa się z funkcji holomorficznych względem pewnej struktury zespolonej. W przypadku ogólnym jawny opis Ŧ(P) póki co nie jest znany.
Przez G(P) oznaczymy grupę automorfizmów (M, ω), zachowujących polaryzacje P. Algebra Liego ℘(P) tej
nieskończenie wymiarowej grupy dopuszcza prosty opis. Przeciw obraz ℘(P) w P(M, ω) pokrywa się z normalizatorem
komutatywnej podalgebry Ŧ(P). Dla polaryzacji rzeczywistej P algebra ℘(P) składa się z pól wektorowych, których
funkcje tworzące są afiniczne na włóknach polaryzacji P.
3.2 Polaryzacje na rozmaitościach jednorodnych.
Załóżmy, że rozmaitość symplektyczna (M, ω) jest jednorodna, tj. dopuszcza tranzytywne działanie grupy Liego G, zachowujące formę ω. Przypomnimy teraz krótko klasyfikacje takich rozmaitości sformułowaną wcześnie w twierdzeniu 1.1
W pierwszej kolejności zauważmy, że grupę G można bez ograniczenia ogólności przyjąć jako grupę jednospójną.
Niech ℘ - będzie algebrą Liego grupy G, ℘* - przestrzeń dualna do ℘. Każdemu elementowi X∈℘ odpowiada hamiltonowskie pole wektorowe ξ X na M. Przechodząc – jeśli jest to wymagane – do nakrycia M ~ rozmaitości M, możemy przyjąć, że pole ξ X posiada funkcje tworzącą fX.
Można również przyjąć, że odwzorowanie X → fX z ℘ w C ∞ (M~) jest liniowe.
Nawias Poissona { fX , fY } może różnić się od funkcji f[X, Y] tylko stałą, którą oznaczymy jako c(X, Y).
Łatwo sprawdzić, że c(X, Y) jest 2-kocyklem na algebrze Liego ℘, tj. posiada własności :
c(X, Y) = –c(Y, X) , c( [X, Y] , Z ) + c( [Y, Z], X ) + c( [Z, X], Y ) = 0 (3.3) Taki kocykl określa jednowymiarowe rozszerzenie centralne ℘~ algebry Liego ℘. ℘~ = ℘⊕ R, a prawo mnożenia w
℘~ ma postać :
[ X ⊕ α, Y⊕β ] = [X, Y] ⊕ c(X, Y) (3.4)
Odwzorowanie :
X⊕ α → fX⊕α = fX + α (3.5)
jest homomorfizmem algebry Liego ℘~ w algebrę Poissona P(M~, ω~ ).
Niech G~ – będzie jednospójną grupą Liego z algebrą Liego ℘~.
Działa ona tranzytywnie na M~ i działanie to jest poissonowskie [2, 46].
Jeśli kocykl c jest trywialny, tj. :
c(X, Y ) = b( [ X, Y] ) (3.6)
dla pewnego b ∈℘* , to algebra ℘~ jest sumą prostą ℘ i R. Grupa G~ w tym przypadku będzie iloczynem prostym G i R, przy czym drugi czynnik działa na M~ trywialnie.
Zatem, przejście od M, G ku M~ , G~ pozwala przyjąć działanie grupy jako poissonowskie. W tym przypadku określone jest odwzorowanie momentów, przeprowadzające punkt x ∈ M w funkcjonał Fx ∈℘*, określone wzorem :
FX(X) ≡ fX(x) (3.7)
Odwzorowanie momentów jest ekwiwariantne ( przestawne z działaniem grupy G ) i jest lokalnym homeomorfizmem.
Jego obrazem jest jedna z G-orbit w ℘* względem reprezentacji kodołączonej.
Przykład 3.1 Niech M = R2n ze standardową strukturą symplektyczną ω, G = R2n – grupa przesunięć równoległych na M. W tym przypadku G~ - jest nietrywialnym rozszerzeniem centralnym grupy G, które nazywamy grupą
Heisenberga.
Algebra ℘~ realizowana jest w postaci przestrzeni funkcji afinicznych na R2n ( tj. wielomianów stopnia ≤ 1 ) z operacja nawiasu Poissona. Przestrzeń ℘*~ można utożsamić z ℘~ z pomocą niezdegenerowanej formy biliniowej zadanej na ℘~ :
(P, q) = P(∂/∂x) Q(x) |x=0
Odwzorowanie momentów ma postać : x → ω (x, . ) + 1
i przeprowadza M w orbitę, składającą się ze wszystkich funkcji afinicznych równych 1 w punkcie 0.
Przykład 3.2 Niech M = R2n / {0} ze standardową strukturą symplektyczną ω, G = Sp( 2n, R) – grupa liniowych przekształceń symplektycznych. Algebra Liego ℘ realizuje się w postaci przestrzeni Sym(2n, R) macierzy symetrycznych z nawiasem :
[A, B] = AωB – BωA
jak również jako przestrzeń form kwadratowych na R2n z operacją nawiasu Poissona. Przestrzeń ℘ * utożsamiamy z ℘ tak jak powyżej. Odwzorowanie momentów ma postać :
x → xx’
i przeprowadza R2n w stożek nieujemnych macierzy rzędu 1 zadanych w Sym(2n, R).
Dla G-jednorodnej rozmaitości symplektycznej M naturalnym będzie postawienie pytania o istnieniu G-inwariantnych polaryzacji na M. Ponieważ G działa tranzytywnie, to G-inwariantna polaryzacja P określona jest przez przestrzeń P(x0 ) ⊂ Tcx 0 (M) dla dowolnego punktu x0 ∈M.
Niech H – będzie stabilizatorem punktu x0 , ℑ - jego algebrą Liego. Przestrzeń Tcx 0 (M) możemy utożsamić z ℘/ℑ, a Tcx 0 (M) z ℘c/ℑc. Przez ℜ oznaczmy podprzestrzeń w℘c, zawierającą ℑc i taką, że ℜ/ℑc = P(x 0)
Przypomnijmy, że podalgebra џ ⊂℘ nazywa się podlegającą funkcjonałowi F ∈℘*, jeśli F zeruje się na komutancie [ џ , џ ] [11]
Twierdzenie 3.1 Aby G-inwariantny rozkład P na M był polaryzacją, koniecznym i wystarczającym jest to, aby
przestrzeń ℑ była podalgebrą w ℘c, podlegającą funkcjonałowi F ∈℘ *, który jest obrazem x0 ∈M przy odwzorowaniu momentów.
Wiadomo [1], że dla rozwiązywalnych grup Liego polaryzacje inwariantne istnieją dla wszystkich orbit i reprezentacji kodołączonej. Jest to słuszne również dla orbit ogólnego położenia w dowolnej zespolonej algebrze Liego.
Wygodną konstrukcje polaryzacji zaproponował M. Vergne [11]. Konstrukcja ta oparta jest na następującym twierdzeniu.
Twierdzenie 3.2 Niech s : 0 = V0 ⊂ ... ⊂ Vn = V – łańcuch przestrzeni liniowych, dim Vn = k Załóżmy, że w V zadani biliniową skośniesymetryczną formę B, a Bk jest ograniczeniem B na Vk.
Przyjmijmy : n W(s, B) = ΣΣΣΣ ker Bk
k=1 Wtedy :
a) W(s, B) – maksymalna izotropowa podprzestrzeń w V względem B.
b) Jeśli V – jest algebrą Liego , Vk – ideały w V, a forma B ma postać : B(X, Y) = < F, [ X, Y] >
dla pewnego F ∈*, to W(s, B) – jest podalgebrą w V.
Znane są również przykłady orbit, nie dopuszczających inwariantnych polaryzacji, takimi w szczególności są orbity o maksymalnym wymiarze dla grup symplektycznych rzędu ≥ 2 ( zobacz przykład 3.2 )
W ostatnim czasie wzrosło zainteresowanie inwariantnymi polaryzacjami na rozmaitościach jednorodnych w związku z tzw. teorio grupowym podejściem w teorii w pełni całkowalnych układów hamiltonowskich [12, 13, 14, 15, 16, 18].
4. Kwantowanie.
4.1 Przestrzeń kwantowania.
Jak już mówiliśmy wcześniej przestrzeń predkwantowania jest zbyt wielka, aby spełniony był warunek zupełności ( warunek 4 z punktu 2.1 ). W standardowej MQ funkcje falowe zależne są tylko od połowy współrzędnych klasycznej przestrzeni fazowej : w reprezentacji współrzędnościowej nie zależą one od pędów, a w reprezentacji pędowej nie zależą od współrzędnych przestrzennych. W języku geometrii symplektycznej można powiedzieć, że przestrzeń kwantowania w obu tych przypadkach składa się z funkcji stałych wzdłuż włókien pewnej rzeczywistej polaryzacji.
Dlatego też naturalnym jest spróbować zbudować w przypadku ogólnym przestrzeń kwantowania z tych elementów przestrzeni predkwantowania ( tj. przekrojów rozwłóknienia L nad M ), które są kowariantnie stałe wzdłuż pewnej polaryzacji P, tj. posiadają własność :
∇ξ s = 0 dla dowolnego P-dopuszczalnego pola ξ (4.1)
Przestrzeń takich przekrojów oznaczymy jako Γ(L, M, P)
W skrajnym przypadku istnieją dwie przeszkody dla zbudowania przestrzeni kwantowania z elementów Γ(L, M, P) Pierwsza z nich pojawia się w przypadku, kiedy polaryzacja jest rzeczywista, a jej włókno jest niejednospójne.
Przeniesienie równoległe przekroju wzdłuż drogi zamkniętej Γ, leżącej na włóknie, prowadzi do pomnożenia przekroju przez liczbę Q(Γ). Jeśli Γ nie jest ściągalna do punktu, to liczba Q(Γ), mówiąc ogólnie jest różna od 1.
Jest jasne, ze w tym przypadku dowolne rozwiązanie równania (4.1) zeruje się na rozpatrywanym włóknie.
Odwzorowanie Γ → Q(Γ ) zadaje charakter fundamentalnej grupy włókna. Przez M0 oznaczymy sumę tych włókien, dla których ten charakter jest trywialny. Podzbiór M0 nazywa się podrozmaitością Bohra-Sommerfelda w M.
W miejsce Γ(L, M, P) można rozpatrywać zbiór uogólnionych rozwiązań równania (4.1). Wszystkie one są skupione na M0 i tworzą one przestrzeń, którą oznaczymy Γ uogólnione(L, M, P).
Przykład 4.1 Niech M = R2 \ {(0, 0)} , ω = dx ∧ dy , a polaryzacja P posiada jako włókna jako okręgi x2 + y2 = const.
W charakterze formy θwybierzemy ½ ( xdy – ydx )
We współrzędnych biegunowych r, ϕ forma θ ma postać ½ r2 dϕ i dla drogi Γ, jednokrotnie obchodzącej okrąg r = const. Otrzymujemy Q(Γ) = exp( 2π2r2 /ih )
Zatem, podrozmaitość Bohra-Sommerfelda w tym przypadku składa się z okręgów, ograniczających powierzchnie πr2 = nh , n∈Z
W ten sposób obejście pojawiającej się przeszkody polega na przejściu od standardowych przekrojów ku uogólnionym przekrojom.
Inny sposób polega na rozpatrzeniu pęku CP kiełków przekrojów z Γ(L, M, P) i jego wyższych kohomologii Hk(M, CP ). W pracy [39] pokazano, że w przypadku przykładu 4.1 przejście od H 0(M, Є P ) = Γ(L, M, P) do H1(M, ЄP ) prowadzi do tej samej przestrzeni kwantowania, która otrzymywana jest z użyciem metody uogólnionych przekrojów.
To potwierdza znaną tezę L. D. Faadeeva : kohomologie – to też są funkcje, tylko że z osobliwościami.
Druga przeszkoda polega na tym, że skalarny kwadrat przekroju s ∈ Γ(L, M, P) jest funkcją , stałą na włóknach
polaryzacji P. Jeśli włókno jest niezwarte, to całka od tej funkcji na rozmaitości M jest rozbieżna i należy zamienić ją na całkę po zbiorze włókien, na którym apriori nie ma żadnej miary.
Wyjście z tego problemu daje wprowadzone przez Blattnera i Konstanta pojęcie L-wartościowych półform na M, normalnych do danej polaryzacji P.
( Źródła tego pojęcia można doszukiwać się w zaproponowanej przez G. W. Mackey’a w latach 50-tych konstrukcji
„naturalnej przestrzeni Hilberta” L2(M), stosowalnej do dowolnej rozmaitości gładkiej M. We współczesnym języku elementy tej przestrzeni można opisać jako półgęstości lub gęstości o wadze ½ na M, tj. przekroje rozwłóknienia z jednowymiarowym włóknem nad M, funkcjami przejścia którego są pierwiastki kwadratowe z modułów jakobianu ) Zanim podamy ścisłą definicję L-wartościowych półform i iloczynu skalarnego określonego dla nich, użytecznie będzie rozpatrzyć w pierwszej kolejności modelową sytuację płaskiej przestrzeni M o stałej polaryzacji P. Zrobimy to w punkcie 4.2.
Na koniec trzecia przeszkoda polega na tym, ze operatory predkwantowania F^, mówiąc ogólnie nie zachowują przestrzeni Γ(L, M, P), a oprócz tego słuszne jest następujące twierdzenie :
Twierdzenie 4.1 Jeśli pole c(F) jest zupełne, to operator exp(tF^ ) przeprowadza Γ(L, M, P) w Γ (L, M, Pt ), gdzie Pt – polaryzacja w którą przechodzi P przy dyfeomorfizmie ϕ t = exp( tc(F))
Dowód tego twierdzenia wynika bezpośrednio z zależności komutacyjnej pomiędzy F^ i ∇ξ :
[ F^ , ∇ξ ] = (h/2π) ∇ [c(F), ξ] (4.2)
która wynika z (2.5), (2.7) i z twierdzenia 2.1.
Wyjście z tego problemu polega na tym, aby zbudować kanoniczny izomorfizm pomiędzy przestrzeniami Γ(L, M, P) dla różnych P. Okazuje się iż można to wykonać ( w skrajnym przypadku dla przestrzeni płaskiej ) z pomocą
L-wartościowych półform.
Powracając do pierwszej trudności, zauważmy, że przejście od przekrojów L ku L-wartościowych półform prowadzi do modyfikacji warunku Bohra-Sommerfelda. A dokładnie – w miejsce warunku Q(Γ) = 1 powinien być spełniony warunek Q(Γ) χ(Γ) = 1
gdzie χ - charakter fundamentalnej grupy włókna, odpowiadający naturalnej płaskiej koneksji w rozwłóknieniu półform nad tym włóknem.
W przypadku przykładu .4.1χ(Γ) = –1 dla cyklu tworzącego Γ. Dlatego zmodyfikowany warunek Bohra-Sommerfelda przyjmuje postać :
πr2 = ( n + ½ )h , n ∈Z
Wynik taki ( w odróżnieniu od wyniku otrzymanego wcześniej ) jest zgodny z dobrze znaną strukturą spektrum operatora
energii dla oscylatora harmonicznego.
4.2 Kwantowanie przestrzeni płaskiej.
Niech M = R2n ze standardową strukturą symplektyczną : n
ω = ΣΣΣΣ dpk ∧ dqk k=1
Będziemy rozpatrywali w M tylko stałe polaryzacje, dla których P(x) ≡ P ⊂ C2n Zbiór takich polaryzacji tworzy zespolony grasmanian Lagrange’a Λ(C2n ).
Jest to zwarta zespolona rozmaitość o zespolonym wymiarze n( n + 1 )/2. Wprowadzimy na niej podzbiór Λ +(C 2n ) polaryzacji dodatnich P, dla których ograniczenie formy (3.1) na P jest nieujemne. Grupa Sp(2n, R) liniowych
przekształceń symplektycznych M działa na Λ(C2n ) i zachowuje Λ +(C 2n ). Pod działaniem Sp(2n, R) zbiór Λ +(C 2n ) rozczepia się na n + 1 orbit, numerowanych rzędem formy (3.1) na P :
n Λ +(C 2n ) = ∪ Λ + k
(C 2n ) k=0
Podzbiór Λ + n(C2n ) jest otwarty i składa się z polaryzacji Kählera, podzbiór Λ + 0(C2n ) jest zamknięty i składa się z polaryzacji rzeczywistych. Można pokazać, że Λ + 0(C2n ) jest szkieletem granicy Λ +(C 2n ).
Przy n = 1 Λ(C2 ) jest sferą Riemanna , Λ + (C 2 ) – zamkniętą półsferą, Λ + 1(C2 ) – wnętrzem półsfery, Λ + 0(C2 ) – równikiem.
W zbiorze Λ +(C 2n ) można wprowadzić dogodne współrzędne odwzorowujące go na ograniczony obszar w Cn(n+1)/2 Dokładnie – niech zj = pj + iqj , 1 ≤ j ≤ n – będą współrzędnymi zespolonymi w M, τ = || τ jk || - zespolona macierz rzędu n × n. Rozpatrzmy podprzestrzeń P τ w C2n generowaną przez pola wektorowe :
n ξ j = ∂/∂z –
j + ΣΣΣΣ τ jk ∂/∂zk , 1 ≤ j ≤ n (4.3)
k=1 Twierdzenie 4.2
a) Podprzestrzeń P τ jest polaryzacją, jeśli i tylko jeśli macierz τ jest symetryczna.
b) Polaryzacja P τ jest dodatnia, jeśli i tylko jeśli macierz 1 – τ*τ jest nieujemnie określona ( warunek równoważny :
|| τ || ≤ 1 względem standardowej struktury hilbertowskiej w Cn )
c) Polaryzacja P τ jest rzeczywista, jeśli i tylko jeśli macierz τ jest unitarna ( warunek równoważny : τ posiada n liniowo niezależnych rzeczywistych wektorów własnych )
Grupa G = Sp(2n, R) liniowych przekształceń symplektycznych we współrzędnych zj , z –
j może być zapisana w postaci macierzy klatkowej :
Działanie takiej grupy na Λ +(C 2n ) we współrzędnych τ ma postać :
τ → ( Aτ + B) ( B–τ + A– )–1 (4.5)
Przy n = 1 takie działanie przekształca się w dobrze znane ułamkowo-liniowe działanie grupy Sp(2, R) ≅ SU(1, 1), na okręgu jednostkowym.
Zbudujmy przestrzeń kwantowania ℵ P, odpowiadającą polaryzacji P ∈Λ +(C 2n ). Rozwłóknienie predkwantowania nad M = R2n jest trywialne. Jego przekroje można utożsamić z funkcjami na M, jeśli ustalimy nieznikający przekrój s0.
Na mocy (2.4) wybór s0 jest równoważny wyborowi 1-formy θ, zadającej koneksje w L. Dogodnie jest przyjąć :
( Jest to jednoznaczna 1-forma na M, posiadająca własność dθ = ω i inwariantna względem liniowej grupy
symplektycznej Sp(2n, R) )
Ponieważ θ - jest formą rzeczywistą, to przekrój s0 zgodnie z (2.13) posiada jednostkową normę we wszystkich punktach M.
Funkcje działania SP na M zdefiniujemy następująco :
dSP = θ na P (4.7)
Definicja ta ma sens, ponieważ d θ = ω zeruje się na P. Dlatego θ - jest formą zamkniętą, a to znaczy, że jest ścisła na P.
Warunek (4.7) definiuje funkcje SP z dokładnością do składowej z Ŧ(P) Z pomocą funkcji działania łatwo jest opisać interesującą na przestrzeń Γ(L, M, P), a dokładnie :
Γ(L, M, P) = Ŧ(P) exp[ (2π i/h) SP ) s0 (4.8) W przypadku płaskim w charakterze SP można wziąć odpowiednią formę kwadratową na M. Wybór tej formy jest
jednoznaczny określony przez dodatkowy warunek liniowości wzdłuż P.
Jeśli F1, ... , Fn – zespolone funkcje liniowe na M, dla których pola c(F1), ... , c(Fn ) zadają bazę w P i jeśli funkcje liniowe G1, ... , Gn są określone z warunków :
{ Fj , Gk } = δ jk , {Gj , Gk } = 0 to
Niech P ∈Λ + k(C2n ). W oznaczeniach z podpunktu 3.1 przestrzeń Ŧ(P) składa się z funkcji
f( x1, ... , xn–k , z1, ... , zk ) holomorficznych po z1, ... , zk. Przy ustalonej funkcji działania SP przestrzeń Γ(L, M, P) może być utożsamiona z Ŧ(P). W celu zbudowania przestrzeni kwantowania ℵ P pozostaje wprowadzić w Ŧ(P) odpowiedni iloczyn skalarny. Wybór takiego iloczynu dyktowany jest ( z dokładnością do czynnika) następującym faktem.
Oznaczmy przez P1(M) zbiór wszystkich rzeczywistych wielomianów stopnia ≤ 1 na M. Jest jasne, że P1(M) – jest podalgebrą Liego w algebrze Poissona P(M, ω ). Nazywa się ona algebrą Heisenberga i jest ona algebrą nilpotentną z jednowymiarowym centrum P0(M), składającym się ze stałych. Operatory predkwantowania F^ dla F ∈ P1(M) zachowują każdą z przestrzeni Γ(L, M, P) i zadają reprezentacje algebry Heisenberga w każdym Ŧ(P).
Naturalnie jest wymagać, aby odpowiednie reprezentacje w ℵ P były unitarne, nieprzywiedlne i wzajemnie równoważne.
Okazuje się, że można to osiągnąć definiując iloczyn skalarny w Ŧ(P) dla P ∈Λ + k(C2n ) za pomocą wzoru :
Zauważmy, że funkcja podcałkowa może być zapisana w postaci < s1, s2 >, gdzie si ∈Γ(L, M, P) ; < , > - struktura hermitowska na włóknach L.
I dalej – warunek równoważności reprezentacji określa ( z dokładnością do czynnika ) parowanie pomiędzy ℵ P1 i ℵ P2 dla dowolnej pary polaryzacji P1 , P2 ∈Λ + k(C2n ).
Aby opisać to sparowanie, potrzebujemy następującego twierdzenia :
Twierdzenie 4.1 Niech P1 , P2 – będą dwiema dodatnimi polaryzacjami. Wtedy : a) P1 + P –
2 = E12 C dla pewnej podprzestrzeni E 12 ⊂ R2n.
b) P1 ∩ P–2 = D12 C dla pewnej podprzestrzeni D 12 ⊂ R2n.
c) ma miejsce samodualny ( względem przejścia do dopełnienia ortogonalnego w ( R2n , ω )) diagram włożenia :
tj. Di ⊥ = Ei , i = 1, 2, 12
Tak jak i punkcie 3.1 możemy wybrać na R2n specjalne współrzędne : x1, ... , xn–m , y1 , … , yn–m , u1, ... , um , v1, ... , vm
zatem, aby D12 było generowane przez pola ∂/∂yj , 1 ≤ j ≤ n – m, a E12 – przez pola ∂/∂yj , 1 ≤ j ≤ n – m i ∂/∂uk i
∂/∂vk , 1
