UNE G ´ EN ´ ERALISATION DES NOMBRES DE MILNOR POUR LES INTERSECTIONS COMPL ` ETES

INSTITUTE OF MATHEMATICS POLISH ACADEMY OF SCIENCES

WARSZAWA 1998

UNE G ´ EN ´ ERALISATION DES NOMBRES DE MILNOR POUR LES INTERSECTIONS COMPL ` ETES

A SINGULARIT ´ ` ES NON ISOL ´ EES

D A N I E L L E H M A N N *

GETODIM, CNRS, UPRESA 5030, Universit´ e de Montpellier II 34095 Montpellier Cedex, France

E-mail: lehmann@math.univ-montp2.fr

Le nombre de Milnor a d’abord ´ et´ e d´ efini en 1967 par J. Milnor ([M2]) pour les sin- gularit´ es isol´ ees des hypersurfaces d’une vari´ et´ e analytique complexe W sans singularit´ e.

Il a ensuite ´ et´ e g´ en´ eralis´ e par H. Hamm en 1971 ([H]) (cf. aussi Lˆ e Dung Tran [Le]) pour les intersections compl` etes, mais toujours avec singularit´ es isol´ ees (ce qui ne correspond pas ` a une situation g´ en´ erique en codimension ≥ 2). Il a aussi ´ et´ e g´ en´ eralis´ e en 1988 par A. Parusi´ nski ([P]) pour les hypersurfaces avec singularit´ es non n´ ecessairement isol´ ees.

Nous allons ici definir et ´ etudier ce nombre de Milnor, en codimension arbitraire et pour des singularit´ es non n´ ecessairement isol´ ees, essentiellement sur les vari´ et´ es sin- guli` eres V qu’on peut d´ efinir comme ensemble des z´ eros d’une section holomorphe s d’un fibr´ e vectoriel holomorphe E → W , g´ en´ eriquement transverse ` a la section zero. Entrent par exemple dans cette cat´ egorie toutes les hypersurfaces de W , ainsi que tous les ensem- bles alg´ ebriques dans un espace projectif complexe qui sont des intersections compl` etes du point de vue ensembliste. La methode originale utilis´ ee dans [M2] et [H] consistait

`

a ´ etudier la fibration de Milnor; or il se peut qu’une telle fibration n’existe pas pour des singularit´ es non isol´ ees. Quant ` a la m´ ethode de [P] pour les hypersurfaces, elle ne s’applique pas en codimension >1.

Le principe de notre m´ ethode est bas´ e sur la g´ en´ eralisation d’une formule donn´ ee dans [PP] dans le cas des hypersurfaces ` a singularit´ es isol´ ees. Pour un ensemble analytique V satisfaisant l’hypoth` ese ci-dessus, nous d´ efinissons un invariant topologique global qui repr´ esente une sorte d’obstruction ` a ce que le th´ eor` eme de Gauss-Bonnet soit vrai sur V . Cette obstruction est en fait “localis´ ee” pr` es de l’ensemble singulier Sing(V ) de V ,

1991 Mathematics Subject Classification: 32C25, 32S20, 57R.

∗

R´ esum´ e d’un travail en coop´ eration avec Jos´ e Seade et Tatsuo Suwa ([LS’S]). Ce travail a

´

et´ e repris dans un contexte plus g´ en´ eral dans un article avec la collaboration suppl´ ementaire de Jean Paul Brasselet ([BLS’S]).

[177]

le nombre de Milnor µ

(V ) attach´ e ` a une composante connexe S

de Sing(V ) ´ etant alors la contribution de S

` a l’obstruction en question. Cette m´ ethode peut aussi ˆ etre efficace pour faire des calculs sur de nouveaux exemples, y compris dans des situations th´ eoriquement d´ ej` a connues.

Plus pr´ ecis´ ement, on se donne un fibr´ e vectoriel holomorphe E → W de rang k sur une vari´ et´ e complexe W de dimension n + k, et une section holomorphe s de E suppos´ ee generiquement transverse ` a la section z´ ero: l’ensemble V des z´ eros de s est alors un ensemble analytique complexe de dimension n, qui est localement une intersection compl` ete ensembliste dans W . En outre, la restriction de E ` a la partie reguli` ere V

de V peut ˆ etre canoniquement identifi´ ee au fibr´ e normal de V

dans W : en particulier, notant N la restriction de E ` a V , nous obtenons un “fibr´ e virtuel” tangent τ (V ) = T W |

− N dans la K-th´ eorie KU (V ), dont on peut prendre la classe (totale) de Chern c(V ) = c(T W |

) · c(N )

, ainsi que la classe c

(V ) qui en est la composante homog` ene de dimension 2n. [On remarquera que ces classes de Chern d´ ependent du choix de E|

, et en fait toutes nos constructions ult´ erieures d´ ependront a priori de E

. Cependant, si l’on peut choisir les donn´ ees holomorphes (E, s) de telle fa¸ con que la section s soit r´ eguli` ere (c.` a.d. telle que l’id´ eal de V soit localement engendr´ e par les composantes de s relativement ` a une trivialisation locale de E, ce qui par exemple est toujours possible pour les hypersurfaces), V est alors localement une intersection compl` ete, et la classe d’isomorphie de N = E|

est bien d´ efinie, de mˆ eme que l’identification de E|

avec le fibr´ e normal ` a V

(cf. [LS], section 2): on appelle alors N “l’extension r´ eduite” du fibr´ e normal

.

Donnons-nous un champ de vecteurs X, C

, tangent ` a V

. Notons Sing(X) la r´ eunion de Sing(V ) et de l’ensemble singulier Sing

(X) de X dans V

. Soient (S

)

les com- posantes connexes de Sing(X). Supposons de plus chaque S

compact et inclus, de deux choses l’une, ou bien dans V

, ou bien dans Sing(V ). Pour tout α tel que S

soit inclus dans V

, notons P H

(X) l’indice (g´ en´ eralis´ e) de Poincar´ e-Hopf de X au voisinage de S

(c’est l’indice usuel quand S

est un point).

Lorsque V est compacte et sans singularit´ e, les formules suivantes sont bien connues : (i) χ(V ) = c

(τ ) _ [V ] : c’est une version du th´ eor` eme de Gauss-Bonnet,

(ii) χ(V ) = P

α

P H

(X) : c’est le th´ eor` eme de Poincar´ e-Hopf, qui signifie que la donn´ ee de X fournit une “localisation” de l’invariant topologique χ(V ) pr` es de Sing(X).

Si V , toujours suppos´ ee compacte, a maintenant des singularit´ es, l’expression χ(V ) − c

(τ ) _ [V ] n’est plus nulle en g´ en´ eral: c’est elle qui sera—au signe pr` es—l’invariant topologique de V dont nous parlions ci-dessus.

(1)

En fait, toutes nos constructions et nos r´ esultats restent valables sous l’hypoth` ese plus faible que le fibr´ e normal ` a V

dans W s’´ etend en un fibr´ e vectoriel ˜ N qu’on peut supposer seule- ment C

sur un voisinage de V dans W , et sans supposer—mˆ eme si ˜ N = E est holomorphe—que V est n´ ecessairement l’ensemble des z´ eros d’une section de E.

(2)

Cela ne veut pas dire, mˆ eme pour les hypersurfaces ` a singularit´ es isol´ ees, que cette

extension r´ eduite N soit l’unique extension possible ` a V du fibr´ e normal ` a V

: voir ci-dessous

l’exemple 2.

Cet invariant se localise pr` es de Sing(V ) de la fa¸ con suivante: si S

d´ esigne une composante connexe compacte de Sing(X), (V elle-mˆ eme n’´ etant pas n´ ecessairement compacte), la donn´ ee de X fournit s´ epar´ ement une localisation de χ(V ) pr` es de S

et une autre de c

(τ ) _ [V ]: ` a partir de l` a, on distingue 2 indices de X en S

, tous deux g´ en´ eralisant l’indice de Poincar´ e-Hopf et co¨ıncidant avec lui si S

est dans V

, tous deux d´ efinis d` es que X est d´ efini au voisinage de S

sauf peut-ˆ etre en S

, et tous deux ne d´ ependant que du comportement local de X au voisinage de S

. Ces 2 indices sont appel´ es ci-dessous “l’indice virtuel” Vir

(X), et “l’indice de Schwartz” Sch

(X). Avant d’esquisser leur d´ efinition, remarquons d’abord que toute vari´ et´ e singuli` ere admet des champs de vecteurs X comme ci-dessus, tel par exemple un champ “radial” R au sens de [Sc]: dire que R est radial signifie qu’il co¨ıncide pour tout α avec un champ de vecteurs R

tangent ` a V

, sans singularit´ e sur ∂T

= V

∩ ∂ ˜ T

, et transverse ` a ∂T

( ˜ T

d´ esignant une vari´ et´ e ` a bord dont l’int´ erieur est un voisinage r´ egulier de S

dans W et dont le bord est transverse ` a V

).

L’indice “virtuel”, introduit dans [LSS], y est d´ efini par des m´ ethodes de g´ eom´ etrie diff´ erentielle. Si une singularit´ e de V est un germe d’intersection compl` ete en un point isol´ e, l’indice virtuel co¨ıncide avec le GSV-indice, qui est li´ e ` a la fibre de Milnor et au nombre de Milnor. Dans le cas de singularit´ es non isol´ ees, le GSV-indice n’est pas bien d´ efini a priori, d’o` u l’int´ erˆ et d’utiliser l’indice virtuel. Nous allons d´ efinir ici ce dernier de fa¸ con purement topologique, en supposant pour simplifier W compacte : il existe alors un fibr´ e E

→ W tel que E ⊕ E

soit un fibr´ e trivial θ

(W ) de rang fini h, dont on notera (v

, · · · , v

) la trivialisation naturelle. Sur V

, T W ⊕ E

est isomorphe ` a T V

⊕ θ

(V

) et admet par cons´ equent, au-dessus de ∂T

, le h + 1 rep` ere (X, v

, · · · , v

), ( ˜ T

ayant ´ et´ e choisi de fa¸ con que X ne s’annule pas sur ∂T

, ce qui est toujours possible). L’indice Vir

(X) est alors l’obstruction ` a prolonger le h + 1 rep` ere (X, v

, · · · , v

) ` a T

= V ∩ ˜ T

tout entier; puisque cette obstruction appartient ` a H

(T

, ∂T

; Z) ∼ = Z, c’est un entier;

on peut montrer qu’il ne d´ epend pas des diff´ erents choix effectu´ es.

Si X

est un autre champ de vecteurs tangent ` a V

, et sans singularit´ e sur chaque

∂ ˜ T

, on pose:

d

(X, X

) = Vir

(X

) − Vir

(X);

cet entier repr´ esente une obstruction ` a l’existence d’une homotopie entre X et X

sur

∂T

.

L’indice de Schwartz Sch est introduit dans [SS2] quand S

est un point singulier isol´ e. Nous le g´ en´ eralisons ici au cas de singularit´ es non isol´ ees en posant

Sch

(X) = χ(S

) + d

(R, X).

En particulier, Sch

(R) = χ(S

). (Il existe une autre g´ en´ eralisation dans [KT] de l’indice de Schwartz pour les champs de vecteurs stratifi´ es ´ eventuellement non radiaux, ´ eventuelle- ment discontinus).

L’indice de Schwartz d´ epend seulement de X et de V , tandis que l’indice virtuel tient compte aussi de la fa¸ con dont V est plong´ ee dans W et du choix de E.

Nous allons r´ esumer nos r´ esultats dans le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme. Soit V un sous-ensemble analytique complexe de dimension n d’une vari´ et´ e complexe lisse W , d´ efini comme ci-dessus, et soit X un champ de vecteurs comme ci-dessus. D´ efinissons le nombre complexe

µ

(V ) = (−1)

Vir

(X) − Sch

(X).

Alors :

(i) µ

(V ) ne d´ epend pas du choix du champ de vecteurs X au voisinage de S

, bien qu’il d´ epende, en g´ en´ eral , du choix de l’extension ˜ N du fibr´ e normal ` a V

.

(ii) Vir

(X) = Sch

(X) = P H

(X) si S

est dans V

.

(iii) Si V est compacte, on obtient les 2 g´ en´ eralisations suivantes du th´ eor` eme de Poincar´ e-Hopf :

X

α

Vir

(X) = c

(V ) _ [V ], X

α

Sch

(X) = χ(V ).

(iv) Si V est compacte, on a alors χ(V ) = c

(τ ) _ [V ] + (−1)

P

α

µ

(V ).

(v) Si S

est un point isol´ e p, si V est localement une intersection compl` ete pr` es de p, et si N est l’extension r´ eduite du fibr´ e normal ` a V

, Vir

co¨ıncide alors avec le GSV-index of [Se, GSV, SS1], et µ

(V ) co¨ıncide avec le nombre de Milnor usuel ([M2, H, Le, L]).

(vi) Si V d´ esigne une hypersurface, le fibr´ e normal ` a V

poss` ede alors une extension naturelle ` a un voisinage de V dans l’espace ambiant , et dans ce cas µ

(V ) co¨ıncide avec le nombre de Milnor g´ en´ eralis´ e de Parusi´ nski ([P]) (le nombre de Milnor usuel si S

est un point ).

La formule (iv) est un corollaire imm´ ediat de (iii). Elle g´ en´ eralise celle pour les hy- persurfaces donn´ e dans [Pa], et celle pour les “intersections compl` etes locales fortes avec singularit´ es isol´ ees” de [SS2] (cf. aussi [D, PP]). Comme indiqu´ e dans [SS2], cette formule se r´ eduit ` a la classique formule d’adjonction quand V est une courbe complexe et W une surface compacte complexe.

Exemple 1. Prenons pour W l’espace projectif CP

avec coordonn´ ees homog` enes [X, Y, Z, T, U ], et soit V la surface complexe d´ efinie comme l’intersection, dans CP

, des 2 cˆ ones X

− Y T = 0 et Z

− XY = 0. Il est ais´ e de v´ erifier que l’ensemble singulier S de V est la droite complexe X = Y = Z = 0. Pour tout nombre complexe a, le champ de vecteurs

R

= (2 + a)x ∂

∂x + (4 + a)y ∂

∂y + (3 + a)z ∂

∂z + at ∂

∂t

(relativement aux coordonn´ ees (x, y, z, t) = (

,

,

,

) dans l’espace affine U 6= 0) est tangent ` a V , et s’´ etend naturellement ` a l’hyperplan de l’infini U = 0.

Pour a = −4, R

s’annule le long de la droite X = Z = T = 0, qui est incluse dans V et pas dans S bien que coupant S. Il ne satisfait donc pas aux conditions voulues.

Pour toutes les autres valeurs de a, le seul point singulier de R

sur V − S est le point

isol´ e p = [0, 1, 0, 0, 0] (r´ egulier dans V ). Ainsi, Sing(R

) poss` ede 2 composantes qui sont

S et {p}.

Tous les R

(a 6= −4) sont radiaux sortant de p, tandis que les R

tels que a 6=

−2, −3, −4 sont radiaux sortant de S. On en d´ eduit χ(V ) = χ(S) + χ(p) = 2 + 1 = 3, Sch(R

, S) = 2 et Sch(R

, p) = 1.

D’autre part le fibr´ e tangent virtuel ` a V est ´ egal ` a la restriction ` a V de 5L − L

− L

, (L d´ esignant le fibr´ e “en hyperplans”, c’est ` a dire le fibr´ e dual du fibr´ e tautologique en droites sur CP

). Il en r´ esulte: c

(V ) _ [V ] = 4 h

(1+2t)²

i

2

= 8. Puisque le point p est r´ egulier, Vir(R

, p) = Sch(R

, p) = 1 pour a 6= −4. On en d´ eduit: Vir(R

, S) = 8−1 = 7, and µ

(V ) = 7 − 2 = 5

Exemple 2. Prenons pour V la courbe d’´ equation X

− Y

Z = 0 dans l’espace W = CP

(coordonn´ ees homog` enes [X, Y, Z]). Puisque le degr´ e de V est 3, le fibr´ e E = L

est une extension ` a W du fibr´ e normal ` a la partie r´ eguli` ere V

de V (extension

“r´ eduite”). Mais la courbe V est aussi une composante irr´ eductible de la courbe V

d´ efinie par Y (X

−Y

Z) = 0, et E

= L

prolonge de mˆ eme le fibr´ e normal ` a la partie r´ eguli` ere V

de V

. L’origine [0, 0, 1] ´ etant le seul point singulier et de V et de V

, E

est aussi une extension du fibr´ e normal ` a V

. On a donc 2 extensions (non isomorphes, mˆ eme apr` es restriction ` a V ) du fibr´ e normal ` a V

, et donc 2 indices virtuels distincts et 2 nombres de Milnor. On trouve χ(V ) comme nombre de Milnor r´ eduit correspondant ` a l’extension r´ eduite E, et χ(V ) + 3 pour l’extension E

. En fait χ(V ) = 2, puisque l’application [u, v] → [u

v, u

, v

] de CP

dans CP

est un hom´ eomorphisme de CP

sur V . Ainsi, le nombre de Milnor r´ eduit est 2; il co¨ıncide avec le nombre de Milnor usuel, qui est ´ egal ` a la dimension de O{x, y}/J

o` u J

d´ esigne l’id´ eal jacobien de la fonction f (x, y) = x

− y

dans l’anneau O{x, y} des s´ eries enti` eres convergentes en (x, y).

On remarquera que les 2 extensions L

et L

du fibr´ e normal ` a V

, ´ etant localement triviales, sont isomorphes au voisinage du point singulier isol´ e. Or l’indice virtuel comme le nombre de Milnor ne d´ epend que du comportement local de ces fibr´ es pr` es de l’ensemble singulier. Il n’y a cependant aucune contradiction ` a trouver des indices virtuels et des nombres de Milnor distincts; en effet, si nous identifions localement chacun des 2 fibr´ es avec le fibr´ e trivial, les projections π : T W |

→ N ne sont pas les mˆ emes dans les 2 cas.

Remarquer aussi qu’il faut choisir E = L

si l’on veut que V soit l’ensemble des z´ eros d’une section holomorphe de E.

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