Sur une généralisation des équations différentielles de Clairaut et de d’Alembert et sur ses solutions paramétriques

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATIOAE POLONAE Series I : COMMENTATIONES MATHEMATIOAE X V II (1971) KOCZNIKI POLSKIEGO T O WARZYST W A MATEMATYCZNEGO

Séria I: PEACE MATEMATYCZNE X Y II (1974)

A. ^{Kapc ia} (Czçstochowa)

Sur une généralisation des équations différentielles de Clairaut et de d’Alembert et sur ses solutions paramétriques

I n t r o d u c t i o n . Oe travail est consacré à l ’équation différentielle implicite par rapport à la dérivée en forme

( I ) У = œy'+(p(æ)f(y') + g{y').

L’équation (I) est une généralisation des équations différentielles de Clairaut et de d’Alembert, intéressantes à cause de propriétés de ses solutions. Dans le premier chapitre on formule un problème dont les solutions conduisent aux équations différentielles implicites par rapport à la dérivée. Le point de départ constitue la famille u(p, G) des solutions de l’équation linéaire perturbée en forme

(II) u' = а(р)у{и) + Ъ(р)и + с(р),

contenant beaucoup de classes d’équations différentielles des types cennus.

Dans ce problème on introduit les familles de fonctions æ(p, G), y (p , G) définies paramétriquement dont la première est en forme x(p, G)

= y[u{p, G)) et la deuxième satisfait à la condition yp (p, G) — œp {p, G)p.

On démontre (Théorème 1.1) qu’on peut trouver la famille: x{p, G), y{p, G) dont l’équation différentielle est en forme (I). Chapitre II est consacré aux définitions fondamentales et aux conditions pour que l ’équation (I) soit du type donné (Théorèmes II.1-II.3). Dans le chapitre III on formule des théorèmes sur l’existence et sur la construction des solutions paramé­

triques de l ’équation (I) et des ses sous-types (Théorèmes III.1-III.3).

J ’exprime mes sincères remerciements au Professeur J. Szarski qui a bien voulu m’aider dans la rédaction de ce travail.

I . C e r t a i n p r o b l è m e c o n d u i s a n t a u x é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s i m p l i c i t e s p a r r a p p o r t à l a d é r i v é e . Introduisons les notations suivantes: on désigne l ’intervalle ouvert (x1} x 2) par X ; domaine rectangulaire ouvert (xly x2;

P uP z) par I x P ; fonction inverse par rapport à la fonction f{x) par

400 A. K a p c ia

/-i(2/); f(®) ^ 0 signifiera que la fonction f(x ) n’est pas identiquement égale à zéro dans aucun intervalle de son domaine de définition.

Considérons à présent une équation différentielle linéaire avec une perturbation en forme (II) dans laquelle les fonctions a(p ), b(p), c(p) et y (u ) sont données et continues dans des intervalles convenables. L’équa­

tion (II) comprend comme cas particuliers beaucoup d’équations diffé­

rentielles qu’on trouve dans la monographie de Kamke [2] p. e.: les équations linéaires, les équations à variables séparées, les équations de Biccati, l’équation généralisée de Bernoulli, une certaine sous-classe d’équations non-linéaires.

Considérons maintenant le problème suivant:

P^roblème 1.1. Soit donnée une fam ille de fonctions u (p , C) satisfaisant à Véquation différentielle (II) et à la condition

(1.1) ир ( р , С ) ф О

pour chaque p e P et C fixé. Soient les fonctions a(p ), b(p), c(p) de la classe C dans Vintervalle P et la fonction y>{u) de la classe C1 et telle que y)'u{u) Ф 0 le long de chaque solution u (p, C) de Véquation (II). Considérons la fam ille de fonctions

(1.2) x{p, C) — y(u{p, C)),

de variable p avec paramètre C. Soient les fonctions de la fam ille y (p , C) définies à Vaide de Videntité

(1.3) y'p (p, C) = xp (p, C)p,

remplie pour chaque p e P et C fixé. Nous avons donc définie une fam ille en forme paramétrique

(1.1) x = x { p , C ) , y = y(p , C).

Le problème consiste à trouver la forme de la fam ille (1.4) et son équation différentielle.

JSTous formulons le théorème qui donne une solution partielle du problème 1.1. Une certaine restriction résulte du fait que nous imposons à la fonction a (p) une certaine condition qui rétrécit la classe d’équations (II) à certaines sous-classes y compris celle des équations linéaires.

Théorème 1.1. S i les hypothèses suivantes sont remplies :

1° les fonctions b(p) et c(p) sont de la classe C pour p * P , la fonction a(p) est de la forme

(1.6) a{p) = — exp J b(p)dp,

2° u{p, C) est la fam ille de solutions de Véquation différentielle (II),

Équations différentielles de Clairaut 401

3° la fonction y{u) est de la classe G1 et telle que гри{и) Ф 0 le long de chaque solution définie pour p e P ,

4° les fonctions de la fam ille u{p, G) satisfont à la condition (1.1) pour pe P et G fix é,

5° les fonctions de la fam ille y (p , G) sont définies à Vaide de Videntité (1.3) remplie pour p e P et G fixé,

alors la fam ille de fonctions (1.4) est définie paramétriquement p a r les formules

(1.6) ж = y>(u(p, G)), y = w{u(p, G)) + u{p, G)f(p) + g(p ), oil p e P et les fonctions f (p) et g(p) sont de la forme

(1-7) f{p) = exp J { -b [p ))d p , g{p) =

J

où K — const arbitraire. L4quation différentielle de la fam ille (1.6) a la forme (I) oii la fonction <p{x) = y>_1(x).

D é m o n stra tio n . Nous posons

(1.8) x = x(p, G) = y>(u(p, G)).

Différenciant (1.8) et profitant de l’identité (1.3) nous obtenons (1.9) y'p (p, G) = %t(u{p, G))up (p, G)p.

Ajoutant et sous-trayant dans l’identité (1.9) l ’expression у>(и(р, G)) et puis profitant du fait que la famille u(p, G) satisfait à l ’équation (II), nous obtenons l’identité

,1 Ш ,, ^ , , , , , , x % , b{p) , c (p )

(1-10) »,(!., О) = Л («

+ » ( * ) - — y + ^ “ + ^ y -

Selon la condition (1.5) nous ayons donc

(1Л 1) Ур(р, C) = y (u (p , Cj) + ipu(u{p, G))up (p, G)p +

-\-up {p, (7) (exp/ ( - b ( p ) ) d p j - u ( p , G) b (p) (exp f ( - b { p ) ) d p ) -

~ G(P) (exp J (~b{p))dpY En intégrant nous en obtenons

(1.12) y(p,G ) =y>(it(p, G))p + u (p , G )(exp f( — b(p))dpj +

+ / ( -c (p )(e x p j ( - b ( p ) ) d p ^ d p P K , où K est une constante arbitraire. Remarquons que les deux dernières fonctions dans l ’expression (1.12) sont en forme (1.7). Nous avons donc

402 A. K a p e i a

obtenu la deuxième équation (1.6). Pour déterminer l ’équation différentielle de la famille (1.6) remarquons que d’après la première équation (1.6) et 3° nous avons

(1.13) u(p, G) = Y>_i(a>(2>, G)) ss <p(x(p, G)).

D’après 3° et 4° nous avons xp {p, G) Ф 0, et selon 5° il résulte que (1.14) yp (p, C)lxp{p, G) = p — y x{x) = y .

D’après (1.13) et (1.14) on déduit de la deuxième équation (1.6) l ’équation différentielle (I).

I I . C o n d i t i o n s n é c e s s a i r e s e t s u f f i s a n t e s p o u r q u e l ’é q u a t i o n ( I ) s o i t d u t y p e d o n n é e t c e r t a i n e s d é f i n i t i o n s . Considérons l ’équation différen­

tielle implicite par rapport à la dérivée (I) où (p{x), f(p ), g{p) sont des fonctions données de la classe C1. L’équation (I) est une généralisation des équations différentielles suivantes : de l ’équation généralisée de Olairaut en forme

(1.1) y = x y '+ (p(x) + g{y’),

de l ’équation différentielle de d’Alembert

(1.2) y = xh{y') + g{y')

et de l ’équation différentielle de Olairaut

(1.3) y = x yf + g (y ’).

Pour obtenir des équations ( 1 .1), (I. 2) et (I. 3) il suffit de mettre dans l ’équation

(I): i)

En connexion avec l’équation (I) nous donnons les conditions nécessaires et suffisantes pour que l ’équation (I) soit du type déterminé.

Théorème II.l. L a condition nécessaire et suffisante pour que Véquation (I) soit celle de Glairaut (1.3) est que la fonction cp(x) h= const ou quef(y') = 0.

T^héorème II.2. L a condition nécessaire et suffisante pour que Véquation (I) soit celle de d'Alembert (I. 2), qui ne se réduit pas à l'équation (1.3), est que les fonctions cp(x) et f (y') satisfassent aux conditions: <p(x) = mx + n, m et n — constantes, <p(x) Ф const et f (y') Ф 0.

Théorème II.3. Supposons que la fonction <p{x) est de la classe G1 pour xe X . L a condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (I) soit une généralisation de l'équation de Glairaut (I. 1), qui ne se réduit pas à l'équation de d'Alembert (I. 2), est que les fonctions q>(x) e tf(y ') satisfassent aux conditions: (p'{x) Ф 0 et f (y ') = const ^ 0.

Nous omettons les démonstrations des théorèmes I I .l-I I .3, car elles sont faciles. Nous donnons maintenant les définitions introduites

Équations différentielles de Clairaut 403

par W. Nikliborc en sa monographie [6], p. 147-150. Soit donnée l’équation différentielle implicite

(2.1) F { x , y , y ') = 0 ,

définie dans le domaine V des variables x, y, p, de la classe G1, où p = y~

Défin ition I I .1. Nous appelons le point (x, y ,p ) du domaine V des arguments de la fonction F Vélément linéaire et le point correspondant {x, y) du plan X Y le support de cet élément.

D^éfinition II.2. Si pour l ’élément (x 0, y 0, p 0) du domaine V est remplie l’égalité

(2.2) F (x 0, y 0,Po) = 0,

nous appelons alors cet élément, Vélément intégral de l’équation (2.1).

Définition I I .3. Si pour l ’élément intégral (x0, y 0, p 0) de l ’équation (2.1) est remplie l’inégalité

(2.3) F p (x0, y 0, p 0) Ф 0,

nous appelons alors cet élément, Vélément intégral régulier.

Définition I I .4. Si les fonctions

(2.4) x = x ( t ) , y = y ( t ) ,

définies et de la classe G1 dans l’intervalle T satisfont à l’inégalité x't2 + y 't2 > 0, et si de plus dans l ’intervalle T est définie une fonction continue p{t) telle que

(2.5) y'tit) = xt (t)p (t),

alors les système de trois fonctions

(2.6) æ = x ( t ) , y<=y{t), p = p { t ) f

sera dit la bande des éléments linéaires et le système (2.4) le support de la bande.

De la condition de régularité х 2ф- y 2 > 0 et de la condition (2.5) il résulte que x\(t) Ф 0 pour te T.

D^éfinition II.5. Si la bande (2.6) se compose des éléments intégraux de l ’équation (2.1) c’est-à-dire, si dans l ’intervalle T est remplie l ’égalité

(2.7) F(x{t), y(t),p{t)) = 0,

alors cette bande sera appelée la solution paramétrique de l’équation

(2^.1^{) .}

On formule la définition de la solution de l ’équation aussi de façon suivante :

Définition I I .6. Si la fonction

(2.8) y — гр(х)

7 Roczniki PTM — Prace M atem atyczne XVII.

404 A. K a p c i a

est de la classe O1 dans nn intervalle X et satisfait à l’équation (2.1) c’est- - à-dire

(2.9) F{x, гр{х), y>'(x)) = 0 ,

alors nous appelons cette fonction la solution de l’éqnation (2.1 ) (voir [6],p. 19).

Définition II.7 (Identité des solutions). Nous appelons la solution de la forme (2.8) y — y>(x) identique avec solution paramétrique (2.6), si l’équation y = y>(x) est équivalante au système d’équations x = x(t), У = y{t)-

De la définition II.7. il résulte que si les solutions (2.6) et (2.8) sont identiques alors y)'(x(t)) — p{t).

Théorème II.4. A chaque solution (2.8) correspond (d'une manière triviale il suffit de mettre x = t, y = ip{t),p{t) = ip'{t)) une solution p a ra ­ métrique (2.6) identique avec elle. Inversement à chaque solution paramétrique en forme (2.6) correspond une solution en forme (2.8), à savoir ip = y{x_x).

Dans la suite par la solution de l’équation (2.1) nous comprendrons souvent le système de deux premières fonctions (2.6) ou bien la fonction (2.8) en négligeant la fonction p (t) respectivement les fonctions x(t) et p(t) qui se laissent exprimer à l’aide des fonctions nommées ci-dessus.

Définition II.8. Une solution à laquelle appartiennent seulement les éléments réguliers sera appelée solution régulière.

Définition II.9 (Ensemble complet des solutions). L’ensemble Z des solutions d’une forme quelconque de l’équation (2.1 ), sera dit ensemble complet des solutions, si chaque solution de l’équation (2.1) est identique avec un élément de l’ensemble Z.

I I I . E x i s t e n c e e t r é g u l a r i t é d e s s o l u t i o n s d e l ’ é q u a t i o n ( I ) e n f o r m e

p a r a m é t r i q u e . Nous nous occupons actuellement du problème de l’existence

des solutions paramétriques de l’équation différentielle (I), qui ne se réduit pas à l’équation de Olairaut (1.3). Il suffit pour cela que les fonc­

tions ç? et / satisfassent aux conditions : 9/ (x) Ф 0 dans l’intervalle X et f(p ) Ф 0 dans l ’intervalle P . Nous introduisons le système de conditions

suivantes :

Hypo th è ses Z.

1° Les fonctions f(p ) et g(p) sont de la classe C1 pour p e P .

2° L a fonction 9o(x) est de la classe C1 pour xe X.

3° L a fonction 9o'(x) Ф 0 pour xe X.

4° L a fonction f(p ) Ф 0 pour p e P .

5° L ’expression x-\-cp(x)f (р )ф д '(p) Ф 0 pour chaque couple (x ,p )e

Équations différentielles de CJlairaut 405

Lemme III. 1. S i les fonctions f(p ), g(p) et q>(x) de Véquation (I) satisfont aux hypothèses Z, alors chaque solution de Véquation

(i) y = xy'+<pW(y')+g(y'),

de la forme y = y (x) est identique au sens de la définition II.7 avec la fonction définie paramétriquement p ar le système d"1 équations

(a) ж = <p-i(u(p)), y = <p-i(u(p))p + u (p )f(p ) + g(p ), où u(p) est une solution convenable de Véquation

(3.1) <P-1(«) _ f'(P ) 9 '(V)

f(P ) f(P ) f(P ) '

D é m o n stra tio n . Soit y = ip(x) nne solution de l’équation (I) au sens de la définition II.6, définie dans l’intervalle X. Substituant cette solution en équation (I) nous avons l’identité

(3.2) y{x) = xy)'(x) + qo(x)f(y)'(x)) + g(yj'(x))

pour xe X. Pour deux valeurs quelconques x x et x 2 appartenant à l’inter­

valle X et telles que x x Ф x 2 nous formons la différence (3.3) Y>(®a)-Y»(®i) = (®2 — X i)v\x2)+ X x{y)fx2) - y ) '( x x)} +

+ {<p(&2) -<рФх)Щ у'фг))

+Ç»A){/(y»,( ® a ) ) i ) ) )

+ {g(v'(® z))-g(¥ (® x))}.

Appliquant aux trois dernières expressions dans les parenthèses le théorème sur les accroissements finis dans l’intervalle ( x x, x 2y, et divisant par x2 — x x, nous obtenons

(3.4) v V .) = v,> ,) + y '(fi)/(y, fe)) +

+ lx x+<p(ix) f '(w'( è 2))+ g '(w' ( i 3))}

Selon Z 5° nous en obtenons

y>'(œ2) - i p '( x x)

/Y» ___ /V»

tAJ n ' 1Л/1

у (х 2) - у ) ( х х) (3.5)

W (^2) <P (£ 1 )f{w (^2))

у ' { х 2) - г р ' ( х х)

я>1 + Ф 1)Г(у>'(Ы )+д'(ч’’ (Ы)

Soit x 2-^ æ x, alors ijx, £2, £3 tendent vers x x, et d’après Z 1°, Z 2°, Z 5°

et la définition II.6 — la limite du membre gauche de l’identité (3.5) existe et par conséquent celle du membre droit existe aussi. De (3.5) et selon Z 3°, Z 4° nous obtenons donc

(3.6) lim ^ (^2) W (^1)

Л A

л A /V» ___ rp

X2-+Xx

-<p' Фх))

®i+<p (®i )/' (¥ (®i)) + g' W (®i))

406 A. K a p c i a

On en conclut que la solution ip(x) de l’équation (I) possède en chaque point de l’intervalle X la seconde dérivée y " (x) Ф 0. Différenciant (3.2) nous obtenons

(3.7) - f ( y ’ {æ))<p'(x) = {x + <p{x)f’ (ip '(x ))+ g '(y )'{ x ))\ -^ .

Comme ip"(x) Ф 0 dans l’intervalle X , la dérivée de la solution — y ' (x) possède une fonction inverse. En posant

(3.8) ÿ { x ) = p ,

nous obtenons la fonction inverse par rapport à la dérivée y ' (x) en forme

(3.9) x = w'-xiV) = я (p),

définie dans l ’ensemble P des valeurs de la fonction -ip'(x). De (3.9) il résulte que

(ЗД0)

Divisant l ’identité (3.7) par y " (x) et profitant de (3.8), (3.9) et (3.10) nous avons

(3.11) -f{p)<p’ (x{p))x'{p) = x{p) + (p(x{p))f(p) + g '(p ).

Les fonctions <p'(x(p)), <p(x(p)) sont définies parce que la fonction x(p) prend les valeurs appartenantes à l ’intervalle X dans lequel les fonctions

ç/ (x) et <p{x) sont définies. Posons э

(3.12) <p(x(p)j = u (p ).

D’après Z 3°, la fonction <p{x) possède la fonction inverse

(3.13) x(p ) = (p^(u(p)).

Différenciant l ’égalité (3.12) par rapport à p nous obtenons (3.14) < p '(x(p))x'(p)= 'u'{p).

La fonction u '(p ) est différente de zéro, parce que p '(x (p )) Ф 0 et x '(p ) Ф 0. Substituant (3.12), (3.13) et (3.14) dans l’identité (3.11) et divisant cette identité par —f(p ) nous obtenons l ’équation (3.1).

Eemarquons encore qu’on a l’identité suivante (3.15) v(x{p)) = Ч>-№{Р)]Р + и{р)${р) + д{р).

En effet, posant dans l’identité (3.2) x ~ x(p) nous avons y(x (p )) = x(p)f'(oc(p)) + <p(x(p))f(y>'(x(p)))-\-g(f'(æ(p))), d’où, selon (3.9), (3.12) et (3.13), résulte l ’identité (3.15).

Équations différentielles de Olairaut 407

Démontrons maintenant que la solution y = y) (x) est identique au sens de la définition II. 7 avec la fonction définie paramétriquement par le système d’équations (a), où u(p) est la fonction définie par les relations (3.9) et (3.12). Soit donné un point arbitraire (æ0, y 0) qui remplit l’équation y = ip(x). En posant alors p Q = y)'(x0) nous obtenons, en vertu de (3.9), (3.13) et de l’identité (3.15)

^0 = œ(Po) = 9 - i ( u (Po)),

Уо =У'0»о) =<P-i(u(Po))Po + u(Po)f(Po) + 9(Po)-

Nous avons donc démontré qu’une solution arbitraire (æ0, y 0) de l ’équation y — y)(x) satisfait au système (a). Inversement, si pour u n ^ 0£-P le point (æ0, y 0) remplit le système

(3.16) = <P-i(u(Po)), Уо = <P-i{w(Po))Po + u(Po)f(Po)+g(Po),

alors de (3.13) et de la première relation (3.16) nous avons x 0 = x (p 0), d’où en vertu de l ’identité (3.15) et de la deuxième relation (3.16) nous obtenons y 0 = ip{x0). Nous avons démontré qu’une solution arbitraire (a?0, y0) du système (a) satisfait à l’équation y = y>(x).

Lemme III.2. S i les fonctions f(p ), g(p) et ep(x) satisfont aux hypothèses Z, alors le système d'équations (a), où u(p) est une solution arbitraire de Véquation (3.1), définit une solution de Vèquation différentielle (I). Les solutions en forme (a) sont régulières.

D ém o n stra tio n . Supposons que u(p) soit une solution de l ’équation (3.1) et considérons le système de fonctions (a). Démontrons d’abord que la formule

(3.17) y'p(p) = xp {p)p

a lieu. Nous avons

Ур(Р) = 9-i(u (P ))up (P )P + 9- i ( u (P)) + up(P)f(P) + u (P )f'(P ) + g'(P ), æ'p(P) =<p'-i(u(p))u2{p).

Profitant du fait que u(p) est une solution de l ’équation (3.1), nous en obtenons la relation (3.17). De (3.1) il résulte que

K (p) = - ^{9-1 Ы р))} f(p )

g '(p ) f(p ) ’

d’où en vertu de Z 4°, Z 5° (après la substitution de x = (p_x (w(p))rnous obtenons que u'p {p) Ф 0. Comme selon Z 3° — 9-i[u{p)) Ф 0, on en déduit

(3-18) œ'p(p) Ф O.

Il résulte de (3.17) et (3.18) que le système (a) constitue une^bande (définition II.4). Nous démontrerons que cette bande est une solution

408 A. K a p ci a

de l’équation (I). En effet, de la deuxième équation du système (a) nous avons

y(P) = <P-i(u{P))p + u { p ) f { p ) + g { p ) ,

d’où, en vertu de la première équation du système (a) ainsi que de l ’identité

<p(x{p)) — u(p) nous obtenons

У{Р) = æ{P)P + <p(æ{p))f{p) + g(p)>

Nous avons démontré alors que la bande x(p), y(p ), p est une solution de l ’équation (I). Pour la démonstration de la régularité des solutions de la forme (a) montrons que chaque élément de cette solution, c’est-à-dire x(p), y(P )i P est un élément régulier. La dérivée F'y> pour l’équation (I) a la forme

К Л х ,У ,У ’) = -{® + ç>(æ)/, (ÿ') + 0'(ÿ')}-

En substituant x = œ (p ),y' — p nous obtenons l ’expression qui selon Z 5° est différente de zéro. Cela signifie d’après les définitions II.3 et II.8 que la solution (a) est régulière. Profitant maintenant de la définition II.9, appliquée aux solutions de l ’équation (I), ainsi que des lemmes III.l et III.2 on peut formuler le théorème suivant :

Théorème III.l. S i les fonctions f{p), g(p) et <p{x) satisfont aux hypo­

thèses Z, alors Vensemble complet des solutions de Véquation différentielle

(I)

est donné p a r les formules

(a) У = <P-i(u(P))P + u(P )f(P ) + g(P), ой u(p) est une solution arbitraire de Véquation

(3.1) < p-M / Ч у ) g 'ip )

f(p ) f ( p ) f(p ) *

Toutes les solutions de Véquation différentielle (I) sont régulières.

Il n’est pas difficile à conclure que pour la solution donnée y = гр(х) l ’identité de cette solution avec une solution correspondante en forme (a), est déjà garantie si l ’on remplace l ’hypothèse Z 5° par une hypothèse plus faible, à savoir

dans l ’intervalle dans lequel la fonction y = %p[x) est définie. Des corollaires du théorème III.l sont les deux théorèmes suivants:

Théorème III.2. S i les fonctions g(p) et ⁹o(x) satisfont atix hypothèses Z 1°-Z 3° et si Von a en plus :

Équations différentielles de Clairaut 409

4° Vexpression х-\-д'(р) Ф 0 pour chaque couple (x, p)e X x P , alors l'ensemble complet des solutions d'une généralisation de l'équation différen­

tielle de Clairaut

(1.1) y = æ y'+ <p{æ) + g{y’) est donné p ar des formules

(ai) x = q >_1 (u(p% y = <P-l (u(p))p-{-u(p) + g (p ), où u(p) est une solution arbitraire de l'équation

(3.1.1) W = -< p-x(u{p))-g'{p).

Toutes les solutions de l'équation différentielle (1.1) sont régulières.

Démonstration du théorème III.2 est évidente.

Théorème III.3. Supposons que les conditions suivantes sont satis­

faites :

1° g(p) et h(p) sont de la classe C1 dans l'intervalle P , 2° l'expression h (p )—p ^Ф 0 pour p e P ,

3° l'expression c c h '( p ) g f (p) Ф 0 pour chaque couple (x, p)e X x P , alors l'ensemble complet des solutions de l'équation différentielle de d'Alembert

(1.2) y = xh{y') + g{y’)

est donné p ar les formules

(a2) x = x{p), y = oc(p)h{p) + g{p), ой x(p) est une solution arbitraire de Véquation différentielle

(3.1.2) , V{p) g’ {p)

x = ---x H--- . p — h(p) p — h(p)

Toutes les solutions de Véquation différentielle (1.2) sont régulières.

D é m o n stra tio n . Ce théorème est un cas particulier du théorème HI* 1, lorsque les fonctions f et <p sont de la forme: f(p ) = h (p )—p , pour P e P ; (p[x) == x pour x e X . La fonction u(p) est alors identique avec la fonction x(p). Comme on le sait la solution (a2) peut être toujours effective­

ment déterminée, parce que l ’équation (3.1.2) est linéaire. Nous avons ob­

tenu le théorème III.3 comme la conclusion du théorème III.1. On peut le trouver dans les monographies de Kamke [3] et de Nikliborc [6].

L’équation différentielle (I) a été aussi l ’objet des considérations dans les travaux [1], [4] et [5] dans lesquels on peut trouver beaucoup de systèmes de fonctions f(p ), g(p) et y{x) pour lesquels la généralisation (I) se réduit aux équations différentielles bien connues en forme normale.

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Travaux cités

[1] C. G-inalski et A. K a p c ia , O p ew n ej k la sie rôw nan rozw iqzanych wzglçdem fu n k c ji, Zesz. Nauk. Polit. Czçst. 7, Nauki podst. 1 (1960), p. 3-6.

[2] E. K am ke, D ifferen tialgleich un gen, Lôsungsm ethoden u n d L ôsungen I , Oewônliche D ifferen tialgleich un gen, Leipzig 1959.

[3] — D ifferen tialgleich u n gen I , Leipzig 1962.

[4] A. K a p cia , O p ew n ym uo go ln ien iu w ynikôw D . 8 . M itrin o v ié ia , Zesz. Nauk.

Polit. Czçst. 21, Nauki podst. 4 (1962), p. 79-104.

[5] — Compléments a u x traités de K am ke et de M u rp h y. I . Une g é n é ra lisa tio n des équations de C la ir a u t et de d 'Alem bert transform ée a u x équations des types connus, Publ. Inst. Math. Beograd, Nouvelle série 12 (26) (1971), p. 51-61.

[6] W. N ik lib orc, llô w n a n ia rôzniczkowe, Czçsc I, Warszawa-Wroclaw 1951.

INSTYTUT MATEMATYKI

POLITECHNIKA CZISSTOCHOWSKA