MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2016 nr 58, ISSN 1896-771X
MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ
I ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO O STRUKTURZE REDUNDANTNEJ
Z WYKORZYSTANIEM ŚRODOWISKA MATLAB Paweł Herbin
1a,, Mirosław Pajor
1b1Instytut Technologii Mechanicznej, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
apawel.herbin@zut.edu.pl, bmiroslaw.pajor@zut.edu.pl
Streszczenie
Sterowanie żurawiem samochodowym polega na zadawaniu ruchu w poszczególnych parach kinematycznych konstrukcji nośnej (w tzw. współrzędnych konfiguracyjnych lub napędowych), co wymaga dużej wprawy i do- świadczenia operatora, ponieważ zadane przemieszczenie w wybranej parze kinematycznej powoduje zwykle złożo- ny przestrzenny ruch końcówki roboczej dźwigu. Budowa modelu kinematyki prostej oraz odwrotnej umożliwia opracowanie algorytmów sterowania żurawiem samochodowym w sposób znacznie bardziej intuicyjny. Opracowa- ne modele można zastosować do sterowania żurawiem we współrzędnych kartezjańskich bądź cylindrycznych. Ma- nipulacja ładunkiem w przestrzeni kartezjańskiej lub cylindrycznej dla operatora jest znacznie łatwiejsza, jednakże wymaga jednoczesnego zadawania ruchu w kilku parach kinematycznych. Z uwagi na występowanie redundant- nych stopni swobody konieczne jest zastosowanie algorytmów tymczasowego ograniczenia ruchu określonych par kinematycznych. Blokowanie określonych stopni swobody zapewnia jednoznaczność rozwiązania zagadnienia od- wrotnego kinematyki, a tym samym efektywne sterowanie dźwigiem. Omawiane modele matematyczne oraz bada- nia symulacyjne opracowanych algorytmów sterowania żurawiem zaimplementowano i zrealizowano w środowisku Matlab Simulink.
Słowa kluczowe: robot, żuraw przeładunkowy, kinematyka
MODELING DIRECT AND INVERSE KINEMATICS OF LOADING CRANE WITH REDUNDANT DEGREES OF FREEDOM STRUCTURE USING MATLAB
Summary
Control of hydraulic car crane consist on inflicting motion of each kinematic pair supporting structure (configura- tion coordinates or driving coordinates), which requires a lot of the operator’s practice and experience, because the movement of the selected kinematics pair usually results in a complex movement of hydraulic crane’s working tip. Development of simple kinematic and inverse kinematics allows to elaborate the loading crane’s operating al- gorithms in a much more intuitive way. Developed models can be used to perform the movement in Cartesian or cylindrical coordinates. Handling of cargo in Cartesian or cylindrical coordinates is much easier for the operator, however it requires moving in a number of kinematic pairs. Due to the presence of redundant degrees of freedom it is necessary to use algorithms temporarily limiting the movement of specified of kinematic pairs.
S
electiveblocking degrees of freedom provides to unique solution of the inverse kinematics problem, and hence the effective control of crane.These mathematical models and simulation studies of designed crane control algorithms were im- plemented and realized in Matlab Simulink.
Keywords: robot, loading crane, kinematics
1. WSTĘP
Żurawie przeładunkowe, popularnie nazywane HDS (hydrauliczny dźwig samochodowy), stanowią dużą gałąź przemysłu dźwigowego. Bardzo często spotykana jest integracja pojazdu transportowego z żurawiem przeładunkowym. Kierowca ciężarówki winien posiadać stosowne uprawnienia oraz umiejętności obsługi urzą- dzenia dźwigowego. Sprawne sterowanie samochodowym żurawiem samochodowym wymaga posiadania dużej wprawy i doświadczenia operatora. Klasyczny układ sterowania, który znajduje zastosowanie przy żurawiach przeładunkowych, to sterowanie za pomocą ruchu po- szczególnych przegubów ramienia przy użyciu oddziel- nych manetek (sterowanie we współrzędnych złączo- wych) [1]. Żurawie przeładunkowe w większości są strukturami szeregowymi o redundantnej liczbie stopni swobody [2]. Na rys. 1 przedstawiono przykładowy żuraw przeładunkowy. Analizowany HDS posiada dzie- więć stopni swobody, trzy rotacyjne oraz sześć transla- cyjnych wynikających z zastosowania w konstrukcji żurawia ramienia teleskopowego. Sterowanie wysuwem teleskopowego ramienia realizowane jest za pomocą sprzężonych siłowników. Ruch teleskopowego ramienia realizowany jest według jednej z trzech strategii:
a. ruch synchroniczny, b. ruch sekwencyjny, c. ruch dowolny (losowy).
Rys. 1. Żuraw przeładunkowy Hiab HS 111
Praca według strategii a. polega na wysuwie wszystkich członów teleskopowych jednocześnie, b. podczas pracy w danej chwili czasowej wysuwany jest tylko jeden człon w sekwencyjnej kolejności, c. zależnie od konfiguracji, sił tarcia wysuwa się losowo wybrany człon. Dla potrzeb prowadzonych prac rozpatrywano żuraw o układzie wysuwu sekwencyjnego.
Sterowanie żurawiem przeładunkowym musi uwzględ- niać konieczność przeniesienia ładunku ponad przeszko- dą[2][3], m.in. ścianami budynków. Jednym z wielu problemów spotykanych podczas manipulacji ładunkiem z wykorzystaniem HDS-ów jest możliwość przekroczenia strefy bezpiecznej dla manipulacji ładunkiem o danym ciężarze. Zaprojektowanie systemu zabezpieczeń wymaga opracowania systemu sterowania umożliwiającego obli-
czenie położenia zawiesia haka względem ciężarówki [3][4][5]. W niniejszym artykule przedstawiono opis matematyczny kinematyki prostej oraz sposób rozwiąza- nia zadania odwrotnego kinematyki. Dla rozpatrywanej konstrukcji żurawia przeładunkowego zaprezentowano także wyniki badań symulacyjnych wraz z wizualizacją opracowaną w programie Matlab.
2. MODEL MATEMATYCZNY ŻURAWIA PRZEŁADUNKOWEGO
2.1 MODEL KINEMATYKI PROSTEJ ŻURAWIA
Model matematyczny kinematyki prostej opracowano w oparciu o notacje Denavita – Harteneberga [6]. Zbu- dowano model o dziewięciu stopniach swobody. Na rys.
2 zaprezentowano lokalizację układów współrzędnych żurawia przeładunkowego w pozycji zerowej.
Rys. 2. Lokalizacja układów współrzędnych według notacji Denavita-Hartenberga dla żurawia w pozycji zerowej
Dla przedstawionego żurawia zapisano jego parametry geometryczne zgodnie z notacją D-H ( −długość członu,
− kąt skręcenia członu, −odsuniecie członu, −kąt obrotu członu) przedstawione zostały w tabeli 1.
Tabela 1. Parametry Denavita-Hartenberga dla żurawia Hiab XS 111
(mm)
(deg)
(mm)
(deg)
1 0 0 2089 180
2 263 270 0 180
3 2140 0 -290 270
4 225 0 0 0
5 0 0 0 0
6 0 0 0 0
7 0 0 0 0
8 0 0 0 0
9 0 0 0 0
Na podstawie tabeli 1 opracowano zależność (1) opisują- cą położenie końcówki żurawia względem jego podstawy:
= ∏ (1)
MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO (…)
gdzie:
−macierz przekształceń jednorodnych pomiędzy poszczególnymi członami.
2.2 MODEL KINEMATYKI ODWROTNEJ ŻURAWIA
Żuraw przeładunkowy jest układem redundantnym o dziewięciu stopniach swobody, który można uprościć do urządzenia o czterech stopniach swobody (zastąpienie sześciu stopni wysuwnych jednym stopniem swobody na podstawie zależności 25). Mimo przeprowadzonego zabiegu redukcji stopni swobody dla manipulatora o zadanej strukturze kinematycznej nie otrzymuje się jednoznacznego rozwiązania. Aby otrzymać jednoznacz- ne rozwiązanie, należy blokować jeden z trzech stopni swobody (θ, θ, ). Dla żurawia otrzymano trzy modele kinematyki odwrotnej.
a. model 1 – zablokowany wysuw osi 4 (= ), b. model 2 – zablokowany obrót osi 3 (θ= ) c. model 3 – zablokowany obrót osi 2 (θ= const).
Wobec każdego z trzech modeli kąt obrotu kolumny obliczany jest wg następującego wzoru (2):
θ= arctg %&'( −arctg ) *+
,&-. '- *+-/, (2) gdzie:
1, 2 −współrzędne końcówki żurawia, θ−kąt konfiguracyjny 1 członu.
Położenie końcówki dźwigu względem punktu A (rys. 2) opisano równaniami (3÷5):
13= 1 cos(θ) + 2 sin(θ) + , (3) 23= −1 sin(7) + 2 cos(7) − , (4) 93= 9 − , (5) gdzie:
9 −współrzędna końcówki roboczej żurawia.
Obliczenie kolejnych wartości współrzędnych konfigura- cyjnych dotyczące każdego modelu wykonywane jest za pomocą odrębnego algorytmu. Współrzędne konfigura- cyjne dla modelu 1 kinematyki (= ) odwrotnej zostały opisane następującymi wzorami (6÷11):
; = <13+ 23, (6)
> = <+ , (7) θ= > %@A-.BC- C+D+- D-(, (8)
θ= arctg %C*FF(, (9) θ= θ− θ, (10)
θ= arctg %C+D JKL(M.D NOJ(M+A)+A)( + > P %@BQ(, (11) Wyniki symulacji ruchu członów dźwigu podczas prze- mieszczania końcówki z punktu R(X=3000 mm, 2=2000 mm, 9=500 mm) do punktu R(X=6000 mm, Y=-2000 mm Z=4000 mm) po linii prostej przedstawio- no na rysunkach 3÷4.
Rys. 3. Wizualizacja ruchu żurawia przy stałej wartości wysuwu .
Rys. 4. Wartości zmiennych konfiguracyjnych podczas porusza- nia się z punktu R do R dla modelu z zablokowanym wysu- wem osi 4 (= )
Współrzędne konfiguracyjne dla modelu 2 (θ= ) kinematyki odwrotnej zostały opisane następującymi wzorami (12÷19):
; = <13+ 23+ 93, (12)
> = <+ , (13) S= 2(θ), (14) S= + + 2(θ) − ;, (15)
∆= S− 4S, (16)
= UA.√∆ , (17) θ= θ+ > P %−C*FF(, (18) θ= arctg %C+D JKL(M.D NOJ(M+A)+A)( + > P %@BQ(, (19)
Wyniki symulacji ruchu członów dźwigu podczas prze- mieszczania końcówki z punktu R do punktu R po linii prostej przedstawiono na rysunkach 5÷7.
Rys. 5. Wizualizacja ruchu żurawia przy stałej wartości kąta θ
Rys. 6. Wartości zmiennych konfiguracyjnych podczas porusza- nia się z punktu R do R dla modelu z zablokowanym obrotem osi 3 (θ= )
Rys. 7. Wartości wysuwu ramienia podczas poruszania się z punktu Rdo R dla modelu z zablokowanym obrotem osi 3 (θ= )
Dla modelu 3 kinematyki (θ= ) odwrotnej wy- znaczono położenie punktu B (rys. 2) (20÷22):
1W= 13− cos(θ), (20) 2W= 23, (21) 9W= 93− sin (θ), (22) Następnie przystąpiono do wyznaczenia współrzędnych konfiguracyjnych (23÷24):
= <1W+ 2W+ 9W− , (23) θ= > P %C*FF( − θ− arctg %XZYY(, (24) Wyniki symulacji ruchu członów dźwigu podczas prze- mieszczania końcówki z punktu R do punktu R po linii prostej przedstawiono na rysunkach 8÷10.
Rys. 8. Wizualizacja ruchu żurawia przy stałej wartości kąta θ
Rys. 9. Wartości zmiennych konfiguracyjnych podczas porusza- nia się z punktu R do R dla modelu z zablokowanym obrotem osi 3 (θ= )
Rys. 10. Wartości wysuwu ramienia podczas poruszania się z punktu R do R dla modelu z zablokowanym obrotem osi 3 (θ= )
Implementacja opisanych modeli kinematyki odwrotnej umożliwia przyjmowanie różnych wartości współrzędnej konfiguracyjnej blokowanej. Prowadzi to do możliwości realizacji określonej trajektorii ruchu na wiele sposobów.
Rys. 11 ilustruje zmiany konfiguracji żurawia dla róż-
MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO (…)
nych wartości zmiennej konfiguracyjnej, która jest blokowana w modelu 2. kinematyki odwrotnej.
Rys. 11. Zmiana konfiguracji żurawia podczas zmiany kąta konfiguracyjnego θ przy stałej pozycji końcówki
2.3 MODEL WYSUWU RAMIENIA
Model wysuwu ramienia został opisany według konwen- cji ruchu sekwencyjnego. Wysuw kolejnych elementów opisano w sposób iteracyjny równaniem (25):
[= \ 0 ] ≤ _
− _ ] _ < < _
_− _ ] ≥ _
b , = 1…6, (25)
gdzie:
[− wysuw i-tego członu,
_− parametry wykorzystane w modelu zaprezentowane w tabeli 2.
Rys. 12. Ilustracja parametrów teleskopowego ramienia
Tabela 1. Parametry ramienia teleskopowego
i deóg
(hh) _
(hh)
0 0 2706
1 1650 4356
2 1900 6256
3 2000 8256
4 1200 9456
5 2100 11556
6 2100 13656
3. ALGORYTM STEROWANIA
Sterowanie żurawiem przeładunkowym za pomocą współrzędnych kartezjańskich jest zagadnieniem niejed- noznacznym z uwagi na redundantne stopnie swobody, aczkolwiek zastosowanie tymczasowego blokowania jednej ze współrzędnych konfiguracyjnych umożliwia efektywne sterowanie żurawiem. W zaproponowanym podejściu, polegającym na wykorzystaniu naprzemiennie trzech modeli kinematyki odwrotnej żurawia, wybór modelu kinematyki odwrotnej urządzenia następuje na podstawie ograniczeń przestrzeni roboczej oraz zakresów ruchu poszczególnych przegubów. Przełączenie między trybami pracy może być realizowane automatycznie lub wymuszane ręcznie. Równocześnie podczas sterowania położeniem końcówki roboczej XYZ możliwa jest zmiana położenia zablokowanego przegubu. Uzyskuje się zatem możliwość sterowania za pomocą czterech współrzęd- nych, tj. XYZ, oraz pozycją ograniczonego przegubu.
Podejście takie jest wymagane, aby osiągnąć konfigura- cję umożliwiającą ominiecie przeszkody. Na rys. 13 zaprezentowano algorytm programu kinematyki odwrot- nej. W zaprezentowanym algorytmie część A odpowiada za pracę w trybie ręcznego przełączania modeli kinema- tyki odwrotnej, a część B za pracę w trybie automatycz- nym. Wybór modelu w trybie automatycznym jest dokonywany również wtedy, gdy w wyniku wybranego przez użytkownika algorytmu kinematyki odwrotnej urządzenie znalazłoby się poza zakresem ruchu przegu- bów. Opracowany algorytm wykorzystuje funkcje
i>(Θ) odpowiedzialną za sprawdzenie poprawności danego rozwiązania pod kątem zasięgów żurawia przeła- dunkowego.
Rys. 13. Algorytm przełączania modeli kinematyki odwrotnej
Z (mm)
4. SYMULACJA
Z uwagi na specyfikę pracy żurawia symulator jego pracy powinien zawierać:
a) model kinematyki prostej, b) model kinematyki odwrotnej,
c) jakobian prędkości żurawia samochodowego, d) model dynamiki,
e) układ sterowania żurawiem, f) interfejs zadawania przemieszczenia, g) wizualizację
W ramach niniejszego artykułu przedstawiono opraco- wane elementy a, b, e, f, g. Symulator opracowano w programie Matlab Simulink. Na podstawie modelu CAD wykonano wizualizację z wykorzystaniem VRML. Opra- cowanie wizualizacji w języku VRML uproszczono dzięki możliwości eksportu modelu CAD do VRML. W ramach eksportu nie zostają jednak przeniesione więzy pomiędzy kolejnymi członami. Ustawiono zatem kolejne człony w modelu CAD zgodnie z przyporządkowanymi im ukła- dami współrzędnych. Do animacji modelu geometrycz- nego wykorzystano macierze przekształceń jednorodnych [6] stosowane również w modelu kinematyki prostej. W opracowanym symulatorze zaimplementowano modele kinematyki prostej, odwrotnej, wizualizację oraz stero- wanie ruchem żurawia na podstawie sygnałów pocho- dzących z manipulatora 3D SpacePilot Pro. Proces budowy symulatora zaprezentowano formie schematu blokowego na rys. 14.
Rys. 14. Proces tworzenia symulatora żurawia przeładunkowego W wyniku przeprowadzonych prac otrzymano algorytm przełączania trybów kinematyki odwrotnej oraz ograni- czeń ruchu poszczególnych przegubów żurawia (zakresy ruchu). Na rys. 15 przedstawiono żurawia przeładunko-
wego w 3 pozycjach osiągniętych podczas ruchu zadane- go przez manipulator 3d.
Rys. 15. Przebieg symulacji ruchu wg zadanej trajektorii Dla zaprezentowanego ruchu przebiegi zmiennych kątowych oraz wysuw osi czwartej zostały przedstawio- ne na rysunkach 16 oraz 17.
Rys. 16. Zmienna konfiguracyjna podczas ruchu zaprezen- towanego na rys. 14
Rys. 17. Zmienne konfiguracyjne θ, θ, θ podczas ruchu zaprezentowanego na rys. 14
5. PODSUMOWANIE
W artykule opisano metodykę modelowania kinematyki prostej i odwrotnej żurawia przeładunkowego o redun- dantnej strukturze. Otrzymane zależności umożliwiają sterowanie w układzie kartezjańskim końcówką roboczą żurawia niezależnie od konfiguracji. Zastosowanie kine- matyki odwrotnej do sterowania żurawiem przeładun-
0 5 10 15 20 25 30 35
2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500
d4 (mm)
czas (s)
MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I
kowym dopuszcza ograniczenie ruchu żurawia w ok ślonym kierunku względem ciężarówki.
niezwykle istotne, ponieważ żurawie przeład muszą spełniać odpowiednie normy bezpieczeństwa W pracy pokazano, jak można zamodelować kinematykę prostą i odwrotną wraz z wizualizacją wykorzystując zaawansowane metody wizualizacji w programie Matlab Dzięki zaprezentowanemu podejściu możliwe jest łatwe modyfikowanie układu oraz rozbudowa modelu o kolejne moduły takie jak model dynamiki i modele hydrauliczne siłowników żurawia. Opracowane modele mogą posłużyć konstruktorom do opracowania odpowiedniego
Literatura
1. Skrzymowski W.: Żurawie przeładunkowe 2. Mettin U., La Hera P. M., Morales
and time-independent motion control for a kinematically redundant hydraulic manipulator.
ics 2009, p. 1-6..
3. Westerberg S., Manchester I. R., Mettin U
of a hydraulic forestry crane. In: Robotics and Automation 2008 4. La Hera P. M., Morales D. O.: Modeling dynamics of an electro
study of a forestry forwarder crane.
5. Morales D. O., Westerberg S., La Hera of automation in the forestry logging botics” 2014, No. 31, p. 343-363.
6. Craig J. J.: Introduction to robotics:
Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów.
Treść licencji jest dostępna na stronie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/
MODELOWANIE KINEMATYKI PROSTEJ I ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO
ograniczenie ruchu żurawia w okre- ślonym kierunku względem ciężarówki. Staje się to
ponieważ żurawie przeładunkowe muszą spełniać odpowiednie normy bezpieczeństwa [1].
jak można zamodelować kinematykę prostą i odwrotną wraz z wizualizacją wykorzystując zaawansowane metody wizualizacji w programie Matlab.
Dzięki zaprezentowanemu podejściu możliwe jest łatwe modyfikowanie układu oraz rozbudowa modelu o kolejne moduły takie jak model dynamiki i modele hydrauliczne Opracowane modele mogą posłużyć konstruktorom do opracowania odpowiedniego układu
sterowania uwzględniającego możliwość ruchu we wspó rzędnych kartezjańskich lub cylindrycznych
Prace realizowane były w ramach projektu PBS3/A6/28/2015 finansowanego przez NCBiR.
Skrzymowski W.: Żurawie przeładunkowe: budowa i eksploatacja. Krosno: Kabe, 2006. ISBN 83 8938 72 63 , Morales D. O., Shiriaev A. S., Freidovich L. B., Westerberg S.
independent motion control for a kinematically redundant hydraulic manipulator.
R., Mettin U., La Hera P. M., Shiriaev A.: Virtual environment Robotics and Automation 2008, p. 4049-4054.
Modeling dynamics of an electro-hydraulic servo actuated manipulator:
In: World Automation Congress (WAC) 2012, p. 1-6.
La Hera P. X., Mettin U., Freidovich L., Shiriaev A ogging process with crane trajectory planning and control.
obotics: mechanics and control. Pearson: Prentice Hall, 2005. ISBN
Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów.
Treść licencji jest dostępna na stronie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/
ODWROTNEJ ŻURAWIA SAMOCHODOWEGO (…)
sterowania uwzględniającego możliwość ruchu we współ- rzędnych kartezjańskich lub cylindrycznych.
Prace realizowane były w ramach projektu PBS3/A6/28/2015 finansowanego przez NCBiR.
ISBN 83 8938 72 63 S..: Trajectory planning independent motion control for a kinematically redundant hydraulic manipulator. In: Advanced Robot-
nvironment teleoperation
actuated manipulator: a case
A.: Increasing the level ontrol. “Journal of Field Ro-
. ISBN 02-015-4361-3.
Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
Treść licencji jest dostępna na stronie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/
