MODELOWANIE I SYMULACJA ZADANIA PROSTEGO KINEMATYKI I DYNAMIKI ROBOTA INSPEKCYJNEGO

(1)

MODELOWANIE I SYMULACJA ZADANIA PROSTEGO KINEMATYKI I DYNAMIKI ROBOTA INSPEKCYJNEGO

Józef Giergiel

^1a

, Krzysztof Kurc

^2b

, Dariusz Szybicki

^3c

1Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska

abartek@prz.edu.pl, ^bkkurc@prz.edu.pl, ^cdszybicki@prz.edu.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono zagadnienia związane z modelowaniem kinematyki i dynamiki robota mobilnego z napędem gąsienicowym. Do opisu dynamiki robota wykorzystano równania Lagrange’a. W celu wyeliminowania mnożników Lagrange’a z równań ruchu, posłużono się formalizmem Maggiego. Przeprowadzając analizę dynamiki oraz symulacje ruchu, uwzględniono takie czynniki jak: poślizg gąsienic zależny od podłoża i odkształceń szponów, siłę wyporu robota znajdującego się w cieczy, siłę oporu hydrodynamicznego zależną od środowiska, w którym pracuje robot oraz siłę oporu toczenia gąsienicy. Otrzymane wyniki zaprezentowane zostały w postaci równań ma- tematycznych oraz wyników symulacji obrazujących parametry dynamiczne ruchu robota.

Słowa kluczowe: kinematyka, dynamika, modelowanie, symulacja, robot, mechatronika

MODELING AND SIMULATION

OF FORWARD KINEMATICS AND DYNAMICS OF THE INSPECTION ROBOT

Summary

In this article authors present the problems connected with modeling the kinematics and dynamics of a mobile robot with a crawler drive. The description of the robot’s dynamic is based on the energetic method based on La- grange equations. In order to avoid modeling problems connected with decoupling Lagrange multipliers Maggi equations are used. During the analysis and motion simulation there are taken into account such parameters as:

slipping track-dependent deformation of the substrate and claws, buoyant force of the robot located in the liquid, the hydrodynamic resistance force depending on the environment in which the robot works and the strength of the rolling resistance of track. Simulations of the dynamics parameters have been made and the results are shown.

Keywords: kinematics, dynamics, modelling, robot, mechatronics

1. WSTĘP

Kontrola rurociągów i zbiorników jest coraz częściej wymagana. Coraz bardziej popularnym, a może i jedy- nym, sposobem kontroli tak trudno dostępnych miejsc, jest zastosowanie różnej konstrukcji robotów [10-13].

W artykule przedstawiono projekt robota gąsienicowego, który w zależności od konfiguracji umożliwia kontrolę zbiorników wodnych oraz przewodów rurowych.

2. OPIS ZADANIA PROSTEGO

KINEMATYKI I DYNAMIKI

Opis ruchu robota gąsienicowego, który pracuje przy zróżnicowanym podłożu [1-9], w zmieniających się warunkach rzeczywistych, gdy bierze się pod uwagę dodatkowo medium (wodę) (rys.1.a,b,c), jest bardzo skomplikowany. Podczas opisu zadania prostego kinema-

(2)

tyki [3] wybrano charakterystyczny punkt C robota, dla którego wyprowadzono składowe prędkości x , y , z&_C &_C &_C (1), (2), (3) w zależności od prędkości kątowych kół napędzających gąsienice α , α&₁ &₂ oraz kąta obrotu ramy robota β, kąta wzniesienia

γ

(rys.3.a) i poślizgów gąsienic

s

_i (5). Podczas opisu dynamiki równaniami Lagrange’a II rodzaju i formalizmem Maggiego uwzględ- niono siłę oporu toczenia gąsienic (10), powstającą w wyniku zgniatania i spychania podłoża (rys.1.c), siłę oporu hydrodynamicznego (11) (rys.1.b,c), siłę wyporu (12) (rys.1.b,c) oraz moment oporu poprzecznego (13) występujący podczas skręcania platformy robota.

Rys. 1. a) Robot inspekcyjny, b), c) uproszczony model mate- matyczny robota

Równania będące rozwiązaniem [3] zadania prostego kinematyki:

1 1 2 2

C

rα (1 s )+rα (1 s )

x = sinβ

2

− −

& &

& ⁽¹⁾

1 1 2 2

C

rα (1 s )+rα (1 s )

y = cosβcosγ

2

− −

& &

& ⁽²⁾

1 1 2 2

C

rα (1 s )+rα (1 s )

z = sinγ

2

− −

& &

& ⁽³⁾

H

) s 1 ( r ) s 1 (

rα₂ − ₂ − α₁ − ₁

=

β& & & ⁽⁴⁾

gdzie:

( )

^'_i

i

n-1 ∆l s =

L

– poślizg gąsienicy (5) H - odległość pomiędzy osiami gąsienic, r - promień kół napędzających gąsienice, L - długość odcinka nośnego gąsienicy, n - ilość szponów w kontakcie z podłożem,

'

∆li - jednorazowe poziome odkształcenie podłoża [1,2]

lub szponu (rys.2).

Rys. 2. Odkształcenie podłoża

Do opisu dynamiki [3] robota gąsienicowego użyto równań Lagrange’a II rodzaju:

( )

^λ

+

 =









∂

− ∂









∂

∂ Q J q

q E q

E dt

d ^T ^T _T

&

(6)

gdzie:

(

q,q

)

E

E= & - energia kinetyczna układu,

q - wektor (x ,y ,z ,β,α ,α_C _C _C ₁ ₂) współrzędnych uogólnio- nych,

q& - wektor prędkości uogólnionych, Q- wektor sił uogólnionych,

( )

q

J - jakobian,

λ - wektor mnożników Lagrange’a.

Przyjęto, że energia kinetyczna robota E jest sumą energii kinetycznych poszczególnych jego elementów:

R M1 M2

E=E +E +E ⁽⁷⁾

ER – energia kinetyczna ramy robota;

EM1– energia kinetyczna lewego modułu napędowego robota,

EM2 – energia kinetyczna prawego modułu napędowego robota.

Energię kinetyczną ramy robota wyznaczono jako:

(

² ² ²

)

²

R R C C C R

1 1

E = m x +y +z + I β

2 & & & 2 &

Zależności na energię kinetyczną modułów napędowych to:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

M1 C C C x 1 z

2 2

2 2 2

M2 C C C x 2 z

1 1 1

E = m x -βHsinβ + y -βHcosβ +z + I α + I β

2 2 2

1 1 1

E = m x +βHsinβ + y +βHcosβ +z + I α + I β

2 2 2

& & & &

& & &

& & & &

& & &

Po obliczeniach wyznaczono lewe strony równań La- grange’a. Do wyznaczenia prawych stron skorzystano z równań więzów kinematycznych narzuconych na układ:

( ) ( )

C 1 1 2 2

1 1

x rα 1 s sinβ rα 1 s sinβ=0

2 2

− & − − & −

&

( ) ( )

C 1 1 2 2

1 1

y rα 1 s cosβcosγ rα 1 s cosβcosγ=0

2 2

− & − − & −

& ⁽⁸⁾

( ) ( )

C 1 1 2 2

1 1

z rα 1 s sinγ rα 1 s sinγ=0

2 2

− & − − & −

&

Są to równania klasycznych więzów nieholonomicznych, które można zapisać w postaci macierzowej

c) b) a)

(3)

( )

J q q=0& ⁽⁹⁾

gdzie jakobian J

( )

q określony jako:

( )

( ) ( )

1 2

1 1

1 0 0 0 r 1 s sinβ r 1 s sinβ

2 2

1 1

J q = 0 1 0 0 r 1 s cosβcosγ r 1 s cosβcosγ

2 2

1 1

0 0 1 0 r 1 s sinγ r 1 s sinγ

2 2

 − − − − 

 

 − − − − 

 

 − − − − 

 

 

a wektor:

T

C C C 1 2

q= x ,y ,z ,β,α ,α& & & & & & &  – jest wektorem prędkości konfiguracyjnych.

Wektor Q jest wektorem sił uogólnionych, którego elementy wynikają z oddziaływania momentów oraz sił.

Po uwzględnieniu w układzie siły wyporu

Fw, siły oporu hydrodynamicznego F_D, oporu toczenia gąsienicy W_t, siły uciągu P_u, momentu oporu poprzecznego

Mp^,

wektor Q przyjmuje postać:

( ) ( )

p

n1 u D w t1 1

n2 u D w t2 2

0 0 Q= 0

M

M + 0,5P 0,5F 0,5Gsinγ+0,5F sinγ 0,5W r 1 s M + 0,5P 0,5F 0,5Gsinγ+0,5F sinγ 0,5W r 1 s

 

 

 − 

 

 − − − − − 

 

− − − − −

 

 

Ostatecznie otrzymano układ równań opisujących ruch badanego robota

( ) ( )

R C C 1

R C C 2

R C C 3

2

R z p

x 1 s1 u D w t1 1

x 2 s2 u D w t2 2

m x +2mx =λ m y +2my =λ m z +2mz =λ I β+2I β+2mβH = M

I α =M ηi+ 0,5P 0,5F 0,5Gsinγ+0,5F sinγ 0,5W r 1 s I α =M ηi+ 0,5P 0,5F 0,5Gsinγ+0,5F sinγ 0,5W r 1 s

−

− − − − −

&& &&

&& && &&

&&

(10)

Gdy do układu równań (10) dodano równania wię- zów nieholonomicznych (8), otrzymano układ równań, na podstawie których można wyznaczyć sześć współ- rzędnych uogólnionych: x ,y ,z ,β,α ,α_C _C _C ₁ ₂ oraz trzy mnożniki Lagrange’a λ ,λ ,λ₁ ₂ ₃. Uzyskanie rozwiązania tych równań wymaga jednoczesnego wyznaczenia mnoż- ników oraz współrzędnych uogólnionych qr. W celu wyeliminowania mnożników Lagrange’a z równań ruchu posłużono się formalizmem Maggiego. Wprowadzono dwa niezależne parametry

e&1^oraz e&2, a następnie wszystkie prędkości uogólnione q& przedstawiono za pomocą tych parametrów.

Będzie to:

( ) ( )

q=C& T q e+D q& ⁽¹¹⁾ przy czym:

[

₁ ₂

]

^T

e= α α

& & & (12) Natomiast D(q) to sześcioelementowy wektor o warto- ściach zerowych:

( ) [ ]

^T

D q = 0 0 0 0 0 0 (13)

Dzięki takiemu podejściu wyrażono sześć prędkości uogólnionych dwoma parametrami kinematycznymi:

( ) ( )

1 2

C

1 2

C

C 1

1 2

2

1 2

1

2

1 1

r 1-s sinβ r 1-s sinβ

2 2

x 1 1

r 1-s cosβcosγ r 1-s cosβcosγ

y 2 2

1 1

z α

r 1-s sinγ r 1-s sinγ

= 2 2 α

β

r 1-s r 1-s

α -

H H

α

1 0

0 1

 

 

   

   

    

      

   

 

   

 

 

&

& &

&

Macierz C ma postać

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1 1

2

2 2 2

r(1-s )

1 1 1

r 1-s sinβ r 1-s cosβcosγ r 1-s sinγ - 1 0

2 2 2 H

C q =

r(1-s )

1 1 1

r 1-s sinβ r 1-s cosβcosγ r 1-s sinγ 0 1

2 2 2 H

 

 

 

Formalizm Maggiego:

( )

C

( )

q Q

q E q E dt q d

C =



 





∂

−∂









∂

&

(14)

Dysponując macierzą ^{C q}

( )

oraz lewymi stronami rów- nań Lagrange’a, wyznaczono lewe strony równań Mag- giego:

[ ]

( ) ( )

[ ]

1 1 2 2

R 1

2 2 1 1

1 1 2 2

2 2 1 1

1 1 2 2

r α (1-s )+α (1-s ) sinβ+

2 m +2m 1r 1-s sinβ+

rα (1-s )-rα (1-s )

r 2

+ α (1-s )+α (1-s ) cosβ

2 H

r α (1-s )+α (1-s ) cosβcosγ- + 2

rα (1-s )-rα (1-s )

+r α (1-s )+α (1-s ) sinβcosγ

2 H

 

 

 

 

 



 

&& &&

& &

&& &&

& &

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( )

R 1

1 1 2 2 R 1

2

2 2 1 1 1

R z x1

m +2m 1r 1-s cosβcosγ+

2

r 1

+ α (1-s )+α (1-s ) sinγ m +2m r 1-s sinγ-

2 2

rα (1-s )-rα (1-s ) r(1-s )

+ I +2I +2mH +I α

H H



 

 

 

 

 

 

&& &&

&&

oraz

[ ]

( ) ( )

[ ]

1 1 2 2

R 2

2 2 1 1

1 1 2 2

2 2 1 1

1 1 2 2

r α (1-s )+α (1-s ) sinβ+

2 m +2m 1r 1-s sinβ+

rα (1-s )-rα (1-s )

r 2

+ α (1-s )+α (1-s ) cosβ

2 H

r α (1-s )+α (1-s ) cosβcosγ- + 2

rα (1-s )-rα (1-s )

+r α (1-s )+α (1-s ) sinβcosγ

2 H

 

 

 

 

 



 

&& &&

& &

&& &&

& &

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( )

R 2

1 1 2 2 R 2

2

2 2 1 1 2

R z x 2

m +2m1r 1-s cosβcosγ+

2

r 1

+ α (1-s )+α (1-s ) sinγ m +2m r 1-s sinγ+

2 2

rα (1-s )-rα (1-s ) r(1-s )

+ I +2I +2mH +I α

H H



 

 

 

 

 

 

&& &&

&&

Dysponując lewą stroną równań Maggiego, można zająć się ich prawą stroną, czyli wyrażeniem C

( )

q Q^:

( )

( ) ( )

1

n1 u D w t1 1 p

2

n2 u D w t2 2 p

r(1-s ) M + -0,5P -0,5F -0,5Gsinγ+0,5F sinγ-0,5W r 1-s +M C q Q= H

r(1-s ) M + -0,5P -0,5F -0,5Gsinγ+0,5F sinγ-0,5W r 1-s -M

H

 

 

 

Mając lewe i prawe strony równań Maggiego, po prze- kształceniach wyznaczono równania zadania prostego dynamiki:

2 2 2 2

2 3 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2

3 5 5 3 3 n2 3 n1

1

3 4 4 3

a b α -a b α -a b α +a b α +a b -a b +a M -b M α =

a b -a b

& & & & +

&& ⁽¹⁵⁾

2 2 2 2

4 2 1 2 4 1 1 4 2 4 1 2

4 5 5 4 4 n2 4 n1

2

3 4 4 3

a b α -a b α -a b α +a b α + -a b +a b -a M +b M α =

a b -a b

& & & &

&& ⁽¹⁶⁾

(4)

gdzie:

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2

2 R 1

1

2 2

3

2 R 1

r 1-s cos β m +2m 1-s sin β

a = +

4H

r 1-s sin β cos γ m +2m 1-s cos β

- 4H

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

1 R

2

3 2

3

2 R

r 1-s cos β m +2m sin β

a = +

4H

r 1-s sin β cos γ m +2m cos β

+ 4H

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

3 2 R 1

2 2

2

2 R 1

2 2

2 R 1

2 2

2 R z 1

2

a =1r 1-s sin β m +2m 1-s + 4

+1r 1-s cos β cos γ m +2m 1-s + 4

+1r 1-s sin γ m +2m 1-s + 4

r 1-s I +2I +2mH 1-s

- H

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

4 1 R

2 2 2

2

1 R

2 2 2

2 2 1 R z

2

1 R 2 x

a =1r 1-s sin β m +2m + 4

+1r 1-s cos β cos γ m +2m + 4

r 1-s I +2I +2mH

+1r 1-s sin γ m +2m + +I

4 H

( ) ( )

( )

w t1 u p 1

5 1

D

0,5F sin γ -W -0,5P + M r 1-s

a =r 1-s +

-0,5F -0,5Gsin γ H

 

 

 

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

2 R

1

3 2

3

2 R

r 1-s cos β m +2m sin β

b = +

4H

r 1-s sin β cos γ m +2m cos β

- 4H

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2

1 R 2

2

2 2

3

1 R 2

r 1-s cos β m +2m 1-s sin β

b = +

4H

r 1-s sin β cos γ m +2m 1-s cos β

+ 4H

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

3 2 R

2 2 2

2

2 R

2 2 2

2 2 2 R z

2

2 R 2 x

b =1r 1-s sin β m +2m + 4

+1r 1-s cos β cos γ m +2m + 4

r 1-s I +2I +2mH

+1r 1-s sin γ m +2m + +I

4 H

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

4 2 R 1

2 2

2

2 R 1

2 2

2 R 1

2 2

2 R z 1

2

b =1r 1-s sin β m +2m 1-s + 4

+1r 1-s cos β cos γ m +2m 1-s + 4

+1r 1-s sin γ m +2m 1-s + 4

r 1-s I +2I +2mH 1-s

- H

( ) ( )

( )

w t2 u p 2

5 2

D

0,5F sin γ -W -0,5P + M r 1-s

b =r 1-s -

-0,5F -0,5Gsin γ H

 

 

 

Pu - siła uciągu (masa przewodu) (rys.1.c), m - masa modułu gąsienicowego,

mR - masa ramy,

IR, Iz, Ix - masowe momenty bezwładności.

Wt - siła oporu toczenia gąsienicy równoległa do podło- ża, powstająca w wyniku zgniatania i spychania podłoża (rys.1.c), wyrażona równaniem [2]:

( )

t u g

W = Gcosγ+P tgθ f ⁽¹⁷⁾

FD - siła oporu hydrodynamicznego (skupiona) podana zależnością:

C

2

D D

F =C ρV A

2

(18)

Fw - siła wyporu:

F =ρgUw ⁽¹⁹⁾

Mp - moment oporu poprzecznego:

( )

p w

C

µ L(G-F ) 0,7..0.75 µ

M = = L G-F

4 3,5+V

βb&

(20)

θ - kąt działania siły uciągu (rys.1.c),

fg - współczynnik oporu toczenia robota gąsienicowego, C =1.5D - współczynnik oporu hydrodynamicznego robota w wodzie wyznaczony w oprogramowaniu Flow Simula- tion,

ρ - gęstość wody,

VC - prędkość punktu C robota (rys.1.c), A - powierzchnia przekroju frontalnego robota, g - przyśpieszenie ziemskie,

U - objętość robota, b - szerokość gąsienicy.

3. SYMULACJE

Na podstawie powyższych wyprowadzeń przeprowadzono badania symulacyjne według schematu (rys.4).

Rys.3. a) Trajektoria zadana, b) prędkość zadana punktu C robota

W wielu przypadkach podczas pracy inspekcyjnej strefa działań robota nie jest ograniczona do płaszczyzn poziomych, co uwzględniono podczas analizy kinematyki i dynamiki, zakładając tor ruchu jak na rys. 3.a. Założo- no również prędkość punktu C robota według przebiegu jak na rys. 3.b.

C

V[m/s]

t[s]

40 0

b) 0,15 a)

(5)

Rys.4. Trajektoria zadana a), parametry kątowe z zadania odwrotnego kinematyki α&_1k, α&_2k i zadania prostego dynamiki

1d 2d

α& , α& b), momenty napędowe gąsienice z zadania odwrotnego dynamiki c), trajektoria otrzymana z zadania prostego kinematyki d)

Dane symulacyjne:

L=0,127[m]; n=8; r=0,02794[m]; H=0,145[m]; i=500/7;

=0,45; b=0,025[m]; Pu=20[N]; IR=0,008854[kgm²];

Iz=0,000651[kgm²]; Ix=0,000059[kgm²]; m=2,8[kg];

mR=3[kg]; A=0,021[m²]; U=0,0035[m³].

W trakcie symulacji można wyszczególnić charakte- rystyczne manewry robota: 1 - rozpędzanie z pozycji zatrzymanej do wartości 0,15[m/s] w trakcie 1.5[s], 2 - przejazd ze stała prędkością 0,15[m/s] z omijaniem przeszkody, co zostało uwidocznione na rys. 3a w płasz- czyźnie xy i obrocie ramy robota o kąt β, 3 - dojazd do wzniesienia ze stała prędkością 0,15[m/s], 4 - wjazd na wzniesienie o nachyleniu

γ

ze stała prędkością 0,15[m/s], 5 - wyhamowanie robota w czasie 1.5[s].

Opisane manewry zrealizowano w trakcie 40[s].

Widoczne na rysunku 4b parametry kątowe z zadania odwrotnego kinematyki α&_1k, α&_2k i zadania prostego dynamiki α&_1d, α&_2d nakładają się na siebie, a ich różnicę

1k 1d

α& - α& ^,α&2k- α&2d przedstawiono na rys.5.

Rys.5. Różnica prędkości kątowych z zadania odwrotnego kinematyki i zadania prostego dynamiki

Odejmując od siebie składowe (x,y,z) trajektorii zadanej (rys.4a) i otrzymanej z zadania prostego kinematyki (rys.4d), otrzymano błędy składowych trajektorii (rys.6).

Rys.6. Różnica składowych trajektorii zadanej i otrzymanej z zadania prostego kinematyki

Małe różnice (rys.5 i rys.6) największe podczas rozpę- dzania i hamowania (rzędu 2%) świadczą o poprawności obliczeń zadania odwrotnego kinematyki i zadania prostego dynamiki. Wystąpienie tych różnic wynika z konieczności numerycznego całkowania i różniczkowania skomplikowanych równań opisujących zadania kinematyki i dynamiki robota.

4. PODSUMOWANIE

Modelowanie i symulację zadania prostego dynamiki i kinematyki przeprowadzono w pakiecie Ma- tlab/Simulink, po etapie modelowania i symulacji zadania odwrotnego kinematyki i dynamiki. Podczas prze- prowadzonej analizy i symulacji ruchu robota uwzględ- niono takie czynniki jak: poślizgi gąsienic zależne od podłoża i odkształceń szponów, siłę wyporu robota znajdującego się w cieczy, siłę oporu hydrodynamicznego

-0.2

0 0.2 0.4 0.6

0.8

0 2 4 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4

-0.2

0 0.2 0.4 0.6

0.8

0 2 4 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

Trajektoria zadana

Zadanie odwrotne kinematyki

Zadanie odwrotne dynamiki

Zadanie proste dynamiki

Zadanie proste kinematyki

t[s]

b) a)

c)

d)

1k 2k 1d 2d [rad/s]

α& ,α& ,α& ,α&

t[s]

n1 n2 [N m]

M ,M

z[m]

y[m] x[m]

z[m]

y[m] x[m]

(6)

zależną od środowiska, w którym pracuje robot, siłę oporu toczenia gąsienic oraz moment oporu poprzecznego występujący w przypadku ruchu krzywoliniowego.

Badania będą kontynuowane w dalszych pracach zwią- zanych z weryfikacją i porównaniem uzyskanych prze- biegów obliczeń i symulacji na obiekcie rzeczywistym.

Praca realizowana w projekcie badawczym nr N N501 054440

Literatura

1. Burdziński Z.: Teoria ruchu pojazdu gąsienicowego. Warszawa: WKŁ, 1972.

2. Dajniak H.: Ciągniki teoria ruchu i konstruowanie. Warszawa: WKŁ, 1985.

3. Żylski W.: Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 1996.

4. Chodkowski A. W.: Badania modelowe pojazdów gąsienicowych i kołowych. Warszawa: WKŁ, 1982.

5. Chodkowski A. W.: Konstrukcja i obliczanie szybkobieżnych pojazdów gąsienicowych. Warszawa: WKŁ, 1990.

6. Giergiel J., Kurc K., Giergiel M.: Mechatroniczne projektowanie robotów inspekcyjnych. Monografia 263 ss.

Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 2010.

7. Kurc K.: Mechatronika w projektowaniu robota. Monografia 185 ss. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 2010.

8. Mężyk A., Bachorz P.: Mechatronika w projektowaniu układów napędowych maszyn: projektowanie mechatroniczne, zagadnienia wybrane. Praca zbiorowa pod redakcją T. Uhla. Radom: Wyd. Instytutu Technologii Eks- ploatacji, 2005, s.145-158.

9. Trojnacki M.: Modeling and motion simulation of a three-wheeled mobile robot with front wheel driven and steered taking into account wheels’ slip. “Archive of Applied Mechanics” 2013, Vol. 83, Iss. 1, p. 109 - 124.

10. Choi H.R., Roh S.: In-pipe robot with active steering capability for moving inside of pipelines. Ed.by Maki K.

Habib, Bioinspiration and Robotics Walking and Climbing Robots, InTech 2007.

11. Horodnica M.H., Doroftei I., Mignon E., Preumont A.: A simple architecture for in-pipe inspection robots. Int.

Colloquium on Mobile and Autonomous Systems. 10 Years of the Fraunhofer IFF 2012.

12. Tadakuma K., Tadakuma R., Nagatani K., Yoshida K., Ming A., Shimojo M., Iagnemma K.: Basic running test of the cylindrical tracked vehicle with sideways mobility. In: IROS 2009 IEEE/RSJ International Confer- ence on Intelligent Robots and Systems 2009, p.1679 – 1684.

13. Wang Y., Zhang J.: Autonomous air duct cleaning robot system. In: MWSCAS '06. 49th IEEE International Midwest Symposium on Circuits and Systems 2006, Vol.1, p. 510 – 513.