Matematyka z przykładami zastosowań w naukach ekonomicznych

UNIWERSYTET OPOLSKI

Andrzej Ostrowski

MATEMATYKA

PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ NAUKACH EKONOMICZNYCH

OPOLE 2004

R E C E N Z E N C I

Andrzej Malawski, Jerzy Mika

R E D A K C JA T E C H N IC Z N A

Halina Szczegół

S K Ł A D K O M P U T E R O W Y

Piotr Urbaniec

P R O JE K T O K Ł A D K I

Jolanta Brodziak-Rajfur

ISBN 83-7395-071-0

W y d a w n ic tw o U n iw e rsy te tu O p o lsk ieg o , 4 5 - 0 3 7 O p o le , ul. H . S ie n k ie w ic z a 33.

S k ła d a n ie zam ó w ień : tel. (0 7 7 ) 441 08 78; e -m a il: w y d aw n ictw o @ u n i.o p o le.p l D ruk: D ru k a rn ia W y d a w n ic tw a Ś w ię te g o K rz y ż a, 4 5 -0 0 7 O p o le , ul. K a te d ra ln a 4.

Matematyka

z przykładami zastosowań w naukach ekonomicznych

SPIS TREŚCI

PRZEDM OW A...9

WYKAZ SYM BOLI...11

ROZDZIAŁ I. ZAGADNIENIA W STĘPN E 1.1. Zbiory i działania na n ic h ... 13

1.2. Iloczyn kartezjański... 15

1.3. W artość bezwzględna jako przykład funkcji... 17

1.4. Relacje i funkcje...19

1.5. Przykłady funkcji... 21

1.6. W łasności funkcji... 24

1.7. Ciągi liczbow e...34

1.8. Granica fun k cji...44

1.9. Asym ptoty wykresów funkcji...50

1.10. Ciągłość funkcji...53

1.11. Przykłady zastosowań funkcji jednej zmiennej, ciągów oraz relacji w naukach ekonomicznych... 59

ROZDZIAŁ II. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JE D N E J ZMIENNEJ 2.1. Definicja pochodnej i jej in te rp re ta c ja ... 65

2.2. Twierdzenia o pochodnych... 69

2.3. Wzory rachunku pochodnych...72

2.4. Różniczka funkcji...74

2.5. Twierdzenia rachunku różniczkowego...75

2.6. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie T aylora...78

2.7. Ekstremum funkcji... 81

2.8. Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia krzyw ej...87

2.9. Symbole nieoznaczone. Reguła de L ’H ospitala... 90

2.10. Badanie przebiegu funkcji... 93

2.11. Zastosowanie pochodnej w ekonomii...100

ROZDZIAŁ III. CAŁKI, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I RÓŻNICOWE

3.1. Definicja całki nieoznaczonej... 105

3.2. Podstawowe wzory rachunku całkow ego...106

3.3. W łasności całek nieoznaczonych...107

3.4. M etody całkow ania...107

3.5. Równania różniczkowe zw yczajne... 115

3.6. Równania różnicow e...125

3.7. Całka oznaczona... 126

3.8. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej...128

3.9. W łasności całki oznaczonej... 129

3.10. C ałka jako funkcja górnej granicy całkow ania...131

3.11. Związek między całką oznaczoną i całką nieoznaczoną... 132

3.12. Zastosowania całek oznaczonych do obliczania p ó l... 133

3.13. Przekształcanie całek oznaczonych...138

3.14. Całki niewłaściwe... 139

3.15. Zastosowanie całek i rów nań różniczkowych w naukach ekonomicznych...144

ROZDZIAŁ IV. ELEM ENTY ALGEBRY LINIOW EJ 4.1. Przestrzeń liniow a...151

4.2. Liniowa zależność i niezależność wektorów... 153

4.3. B aza przestrzeni w ektorow ej... 154

4.4. Macierze i działania na nich... 156

4.5. Macierze kw adratow e...160

4.6. W yznaczniki...161

4.7. W łasności wyznaczników... 164

4.8. Macierz, o d w ro tn a... 166

4.9. Zastosowanie wyznaczników do wyznaczania macierzy odw rotnej...168

4.10. R ząd m acierzy...170

4.11. U kłady równań liniow ych... 172

4.12. Układy nierówności liniowych... 178

4.13. Przykłady zastosowań macierzy w naukach ekonomicznych...180

ROZDZIAŁ V. FU N K CJE WIELU ZMIENNYCH 5.1. Definicja funkcji wielu zm iennych...185

5.2. Pochodne cząstkowe pierwszego rzęd u ...189

5.3. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów...192

5.4. Różniczka zu p e łn a ...194

5.5. Różniczka zupełna wyższego rz ę d u ... 195

5.6. Elastyczność cząstkowa funkcji... 197

5.7. Pochodna kierunkow a... 198

5.8. G radient funkcji... 199

5.9. Ekstrem um funkcji dwóch zm iennych...201

5.10. Ekstrem um funkcji wielu zm iennych... 203

5.11. Ekstrem um warunkowe funkcji dwóch zmiennych. M etoda mnożników Lagrange’a ...206

5.12. Ekstrem um warunkowe funkcji wielu zm iennych...209

5.13. Zastosowanie funkcji wielu zmiennych w ekonom ii... 212

LITERATU RA...217

SKOROW IDZ... 219

PRZEDMOWA

Niniejsza książka jest przeznaczona dla studentów pierwszego roku studiów zaocznych n a kierunkach:„Ekonomi” oraz „Zarządzanie i M arketing” . Pow stała ona w oparciu o wykłady i ćwiczenia prowadzone na Uniwersytecie Opolskim.

Podręcznik jest podzielony na 5 rozdziałów, w których przedstawiono m ateriał teoretyczny oraz przykładowe rozwiązania zadań. N atom iast na końcu każdego roz­

działu zamieszczone są problemy do samodzielnego rozwiązania, z których część zadań m a celowo treść ekonomiczną. Rozdziały książki składają się z podrozdzia­

łów, w których obowiązuje wewnętrzna num eracja definicji, twierdzeń, przykładów, wzorów i rysunków.

Poszczególne części podręcznika dotyczą: zbiorów, funkcji jednej zmiennej, cią­

gów, pochodnych, całek nieoznaczonych i oznaczonych, równań różniczkowych i różnicowych, macierzy i wyznaczników, układów równań i nierówności oraz funk­

cji wielu zmiennych.

W pewnych przypadkach zrezygnowano z dowodów twierdzeń, aby skupić się na zastosowaniu tych twierdzeń. Czytelnikom pragnącym pogłębić swoją wiedzę poleca się pozycje wymienione w bibliografii.

W yrażam podziękowanie za cenne rady recenzentom: prof. dr hab. Andrzejowi Malawskiemu, prof. dr hab. Jerzemu Mice. Dzięki Nim było możliwe napisanie tej pracy.

WYKAZ SYMBOLI

W pracy stosuje się, między innymi, następujące oznaczenia:

q p wtedy i tylko wtedy, gdy q p = > q jeżeli p, to q

V lub

A i

A

V

(a; b) przedział otwarty

(a; b) przedział domknięty

(a, b) para uporządkowana

R zbiór liczb rzeczywistych

ROZDZIAŁ I

ZAGADNIENIA WSTĘPNE

1.1. Zbiory i działania na nich

Pojęcie zbioru jest jednym z najbardziej podstawowych i najczęściej stoso­

wanych pojęć matematycznych. Stanowi ono term in pierwotny teorii mnogości, którego treść jest określona aksjomatycznie. Nie będziemy tu jednak prezentować aksjomatycznej teorii zbiorów i założymy intuicyjne rozumienie tego pojęcia. Zbio­

ry oznaczamy wielkimi literami: A, B , C , . . . Ich elementy — m ałymi literami:

a, b, c , . . . Jeżeli element a należy do zbioru A, to piszemy a £ A. W przeciwnym wypadku a £ A.

Zbiór można określić przez wymienienie jego elementów, np. A — {a, b, c} lub przez podanie pewnej wspólnej własności wszystkich elementów zaliczanych do niego, np. fi = { i6l : j ;2 + 2 = 0}. Przy tym zapis A = {a, b, c} czytam y „Zbiór A zawiera elementy a, b, c” , a zapis B — {x £ R : x 2 + 2 = 0} — „Zbiór B jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych spełniających równanie x 2 + 2 = 0” .

P r z y k ła d 1. Do zbiorów należą między innymi: N (zbiór liczb naturalnych), C (zbiór liczb całkowitych), W (zbiór liczb wymiernych), IW (zbiór liczb niewy­

miernych), K (zbiór liczb rzeczywistych).

D e fin ic ja 1. Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy za­

wierają one te same elementy. Piszemy wtedy A = B.

P r z y k ła d 2. { — 1,1} = {x 6 K : x 2 — 1 = 0}.

D e fin ic ja 2. Zbiór A zawiera się w zbiorze B (jest podzbiorem zbioru B ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B . Piszemy wtedy A C B.

P r z y k ła d 3. { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } C N, W D C.

D e fin ic ja 3. Zbiorem pustym nazywamy zbiór, który nie zawiera jakichkolwiek elementów. Oznaczamy go przez 0.

P r z y k ła d 4. {x £ 1 : x 2 + 2 = 0} = 0, gdyż nie istnieją liczby rzeczywiste spełniające równanie x 2 + 2 = 0.

D e fin ic ja 4. Sumą zbiorów A i B (A \ J B ) nazywamy zbiór wszystkich elemen­

tów, które należą do zbioru A lub do zbioru B .

P r z y k ła d 5. {x £ R : x2 - 1 = 0} U { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } = { -1 ,1 } U { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } =

= { -1,1,2,3 ,4 ,5 } .

D e fin ic ja 5. Iloczynem ( częścią wspólną) zbiorów A i B (AC\ B ) nazywamy zbiór tych elementów, które należą zarówno do zbioru A jak i do zbioru B.

P r z y k ła d 6. {x £ R : x 2- l = 0 } n { l, 2 ,3 ,4 ,5 } = {—1, l } n { l , 2 ,3 ,4 ,5 } = {1}.

D e fin ic ja 6. Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi wtedy i tylko wtedy, gdy nie m ają one wspólnych elementów.

P r z y k ł a d 7. Niech A = { 1 ,3 ,5 ,7 ,...} i B = { 0 ,2 ,4 ,6, . . . } . W tedy A n B =

= 0, czyli zbiory A (liczb naturalnych nieparzystych) i B (zbiór liczb naturalnych parzystych) są rozłączne.

D e fin ic ja 7. Różnicą zbioru A i zbioru B (A \ B ) nazywamy zbiór wszystkich elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.

P r z y k ł a d 8. { i 6 R : i2- 1 = 0 } \ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } = { -1,1} \ {1 ,2 ,3 ,4 ,5 } =

= { - 1 } , { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } \ {as e R : z2 - 1 - 0} = {1,2,3 ,4 ,5 } \ { -1,1} = {2,3,4,5}.

Jeżeli wszystkie rozpatrywane zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru, to ten zbiór nazywamy przestrzenią.

D e fin ic ja 8. Dopełnieniem zbioru A (A ') do przestrzeni X nazywamy zbiór wszystkich elementów przestrzeni X , które nie należą do zbioru A. Zatem A ' =

= X \ A.

P r z y k ł a d 9. Niech X = R i A = (0;2), wtedy A! = R \ (0;2) = (—oo;0) U U (2; +oo).

Zadania

1. Wskazać zbiór pusty, zbiory równe i rozłączne wśród zbiorów A, B i C':

A — { x £ R : x 2 — 3x + 2 = 0}, B = {x £ R : x 2 + x + 1 = 0}, C = { i € l : a ; - 1 , 5 = 0,5 lub 1,5 —z = 0,5}.

2. W yznaczyć sumę, iloczyn i różnicę zbiorów A i B , gdzie A = {z £ R : x 2 — 9 = 0}, B = {x 6 R : x 2 — 3x = 0}.

3. W yznaczyć dopełnienie zbioru A (przyjmując X = R), gdy:

a) A = (0; 1) U (2; +oo); b) A = {x £ R : x 2 + 2x + 1 = 0};

c) A = {z e R : - 0 , 5 < x - 1,5 < 0,5}; d) A = 0.

O dpow iedzi

1. A = C, B = 0, B i C - rozłączne.

2. A u B — { - 3 ,0 ,3 } , A H B = {3}, A \ B = { - 3}, B \ / ł = {0}.

3. a) A! — (-o o ; 0) U (1; 2); b) A! = K \ { -1 } ; c) A! = (-o o ; 1) U (2; +oo);

d) A' = IR.

1.2. Iloczyn kartezjański

D e fin ic ja 1. Parą uporządkowaną nazywamy parę elementów (a, 6), w której a jest pierwszym elementem, a b - drugim.

D e fin ic ja 2. Iloczynem (produktem) kartezjańskim niepustych zbiorów A i B (oznaczenie: A x B ) nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych par (a, b), w któ­

rych element a należy do zbioru A i element b należy do zbioru B , tj. A x B = {(a, b) : a £ A i b £ B }.

P r z y k ła d 1. Dla A = {1,2}, B = { - 3 , - 4 , - 5 } , otrzymujemy:

A x B = {(1, - 3 ) , ( 1 ,- 4 ) , ( 1 ,- 5 ) , ( 2 ,- 3 ) , ( 2 ,- 4 ) , ( 2 ,- 5 ) } , B x A = { ( - 3 , l ) , ( - 3 ,2 ) , ( - 4 ,1 ) , ( - 4 ,2 ) , ( - 5 ,1 ) , (- 5 ,2 )} , A x A = { ( 1,1), (1,2), (2,1), (2,2)},

B x B = { ( - 3 , - 3 ) , ( - 3 , - 4 ) , ( - 3 , - 5 ) , ( - 4 , - 3 ) , ( - 4 , - 4 ) , ( - 4 , - 5 ) , ( - 5 , - 3 ) , ( - 5 , - 4 ) , ( - 5 , - 5 ) } .

Zatem tu taj A x B ^ B x A.

P r z y k ła d 2. Iloczyn kartezjański ffi x M = {(a, b) : a £ E, b £ 1} = R2 możemy utożsamić ze zbiorem wszystkich punktów na płaszczyźnie w układzie współrzędnych O zy.

D e fin ic ja 3. Iloczynem (produktem) kartezjańskim niepustych zbiorów A \, A2, . . . , A n (n £ N, n > 1) nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych cią­

gów n-elementowych postaci (a i, 02, . . . , an ) takich, że a\ £ A \, £ A ^ , . . . , an £ A n .

P r z y k ła d 3. Dla A = {1,2}, B = {a, b, c}, C = {0 1,02} otrzym ujemy A x B x C = { ( l , a , c i ) , (1 ,6 ,ci), (1 ,c ,c i), ( l , a , c 2), (1 ,b ,c 2), (1 ,c ,c 2),

(2, a, ci), (2,6, ci), (2, c, ci), (2, a ,c 2), (2,6,c 2), (2,c ,c 2)}.

P r z y k ła d 4. Iloczyn kartezjański 1 x 1 x 1 = {(a ,b ,c ) : a G R, b £ R, c G R} = R3 możemy utożsamić ze zbiorem wszystkich punktów przestrzeni w układzie współrzędnych O xyz.

P r z y k ł a d 5. Iloczyn kartezjański l kopii zbioru R, tj.:

{(a i> a2> ■ - • i ai) : ai G R, S2 G R ,. . . , G R) = R1 (Z = 1 ,2 ,3 ,...) możemy utożsamić ze zbiorem wszystkich punktów przestrzeni /-wymiarowej.

Z ad a n ia

1. W yznaczyć A x B i B x A, gdy A = {1}, B = {0,1,2}.

2. Określić X x Y x Z dla X = {1,2}, Y = {1,2,3}, Z = {1,2,3,4}.

3. Zilustrować na płaszczyźnie układu współrzędnych O xy zbiór A x B , gdy A = (2; 4), B — (1; 2).

O dpow iedzi

1. A x B = {(1,0), (1,1), (1,2)}, B x A 2 . X x Y x Z =

{(0,1), (1,1), (2,1)}.

= {(1,1,1), (1,1 ,2 ), (1,1,3), (1,1,4), (1,2,1), (1,2,2), (1.2.3), (1,2,4), (1,3,1), (1,3,2), (1,3 ,3 ), (1,3,4), (2,1,1), (2,1 ,2 ), (2,1,3), (2,1,4), (2,2 ,1 ), (2,2,2),

(2.2.3), (2,2,4), (2,3 ,1 ), (2,3,2), (2,3 ,3 ), (2,3,4)}.

0 2 4 x

R ys. 1. Ilustracja iloczynu kartezjańskiego (2; 4) x (1; 2)

1.3. Wartość bezwzględna jako przykład funkcji

D e fin ic ja 1. Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej x nazywa­

my liczbę

dla x > 0 dla x < 0

= V x* = { X_ x

W artość bezwzględna oznacza odległość punktu o współrzędnej x od punktu początkowego osi liczbowej. Jeżeli punkty A i B należą do osi liczbowej i m ają na tej osi odpowiednio współrzędne a i b, to odległość między nimi równa się \a — b\.

W ła s n o ś c i w a rto ś c i b e z w z g lę d n e j:

Dla dowolnych x, y £ E mamy 1. H V o

2. | — a;) = |x|j 3. \xy\ = |a:||j/|, 4. If 1 = 111! y ź o, 5. )? + y\ < \A + bl, 6. \ x ~ y \ > ||x| - \y\\,

7. |x| < a <3- —a < x < a, a > 0, 8. |a| < a O- —a < x < a, a > 0, 9. \x\ > a <=>■ (x > a lub x < —a) 10. |x| > a ^ (x > a lub x < —a) Określenie wartości bezwzględnej pc prostej.

D e fin ic ja 2. Otoczeniem o promieniu r (r > 0) punktu xq na prostej O x nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniający warunek \x — xq\ < r. Otoczenie to oznaczamy przez Q (xo,r).

Zatem Q (xq, r) — (xq — r; xq + r).

0 x0- r x0 x„+r x

R ys. 2. Ilustracja otoczenia punktu xo na prostej Ox

P r z y k ła d 1. Q (4,7) = (4 - 7; 4 + 7) = ( - 3 ; 11).

Wyróżniamy również otoczenie lewostronne Q - i otoczenie prawostronne Q + (oba o promieniu r > 0) punktu xq na prostej Ox, które definiujemy w następujący sposób:

Q - ( x 0,r) = (x0 - r ; z 0),

17

Q +(x0,r ) = (x0-,x0 + r).

P r z y k ła d 2. Q _ (4,7) = (4 - 7; 4) = ( - 3 ; 4). Q+{4,7) = (4;4 + 7) = (4; 11).

D e fin ic ja 3. Sąsiedztwem o promieniu r (r > 0) punktu xq na prostej Ox nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniający warunek 0 < |x — x0| < r.

Sąsiedztwo to oznaczamy przez S (x o ,r).

Zatem S ( x 0,r ) = Q(a;o,r)\{a;o} = {x0- r ; Zo+r-)\{:ro} = (x0-7-;a:o)U(2;o;a:o+r).

0 x0- r x0 x0+r x

R ys. 2. Ilustracja sąsiedztwa punktu xo na prostej Ox

P r z y k ł a d 3. 5 (4 ,7 ) = (4 - 7; 4 + 7) \ {4} = ( - 3 ; 11) \ {4} = ( - 3 ; 4) U (4; 11).

W yróżniam y również sąsiedztwo lewostronne S_ i sąsiedztwo prawostronne S + (oba o promieniu r > 0) punktu xq na prostej Ox, które definiujemy następująco:

S - { x 0,r) = (x0 ~ r ; x 0),

S+(xo, r) = (x0;x 0 + r ) .

P r z y k ł a d 4. S _ (4 ,7 ) = ( 4 - 7 ; 4) = ( - 3 ; 4). 5+ (4 ,7 ) = (4; 4 + 7) = (4; 11).

Z ad a n ia 1. Rozwiązać równania:

a) \x + 1| = x 2 + 1; b) \x2 - x\ + |a:| = 0; c) \x - 1| + x 2 + x - 2 = 0. 2. Rozwiązać nierówności:

a) |1 - x\ + | - x| < 3; b) \x + 2| + \x2 + 2x\ < 0; c) \x + 5| - |3 - x\ < 2.

3. Określić otoczenie i sąsiedztwo oraz otoczenia i sąsiedztwa lewostronne i pra­

wostronne punktu xo = o promieniu 2.

O dpow iedzi

1. a) x \ = 0 lub X2 = 1; b) x = 0; c) x \ = —1 lub x% = 1. 2. a) x e {—1;2); b) x e { -2}; c) x £ ( - o o ;0).

3. Q(>/2,2) = ( v ^ - 2 ; ^ + 2 ) , 5 ( ^ , 2) = ( ^ 2 - 2; ^ 2 + 2) \ {^2}, Q - ( v /2 ,2) = (\/2 - 2; >/2), Q+( V 2 ,2) = (y/2; V 2 + 2),

S . ( y / 2 , 2) = (%/2 — 2; y/2), S +( V 2,2) = (^ 2 ; V 2 + 2).

1.4. Relacje i funkcje

D e fin ic ja 1. Relacją p między elementami zbiorów X i Y nazywamy każdy niepusty podzbiór iloczynu kartezjańskiego X x Y . Jeżeli x £ X , y £ Y i (x ,y ) £ p, to piszemy xp y i czytamy: „x jest w relacji p z y ”.

D e fin ic ja 2. Relacją p między elementami zbioru X nazywamy każdy niepusty podzbiór iloczynu kartezjańskiego 1 x 1 .

Poniższa lista zawiera podstawowe własności relacji dwuargumentowych.

Relacja p C X x X jest:

1. zwrotna, jeżeli / \ xpx\

x e x

2. spójna, jeżeli f \ (a: ^ y => xpy V ypx)\

i,j/€X

3. symetryczna, jeżeli f \ (xp y => ypx)\

x , y € X

4. antysym etryczna, jeżeli / \ (xpy A ypx =>• x = y)\

x , y £ X

5. przechodnia, jeżeli / \ (xpy A ypz => x p z );

x,y£X

6. domknięta, jeżeli f \ zbiory {y £ X : y p x ) i {y € X : xpy} są domknięte x e x

w X tzn., że dowolny przedział otw arty zawierający każdy punkt zbioru X ma punkty wspólne z tymi zbiorami.

P r z y k ła d 1. Relacja równości w zbiorze liczb rzeczywistych jest zwrotna, sy­

metryczna, antysym etryczna, przechodnia i domknięta.

P r z y k ła d 2. Relacja w zbiorze liczb całkowitych jest relacją zwrotną, spójną, antysymetryczną, przechodnią i domkniętą.

D e fin ic ja 3. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy dowol­

ną relację między elementami tych zbiorów taką, że dla każdego x £ X istnieje dokładnie jeden y € Y taki, że x f y . Piszemy / : X —> Y , co czytamy: „funkcja / przekształca lub odwzorowuje zbiór X w zbiór V ” . Liczbę x nazywamy zm ien­

ną niezależną lub argumentem funkcji, liczbę y —- zm ienną zależną lub wartością funkcji f dla x i piszemy y = f ( x ) lub x h-> y = f ( x ) . Zbiór X argumentów funkcji nazywamy dziedziną tej funkcji albo polem jej określoności. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną. Gdy X C K i Y C K, to funkcję nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

P r z y k ła d 3. Funkcja dana wzorem: f ( x ) = • W takim przypadku przyj­

mujemy, że dziedziną funkcji jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których wzór ma sens. Zatem x musi spełniać warunki \ / l — x 2 0 i l — x 2 > 0, czyli 1 — x 2 > 0. Stąd x £ (—1; 1), więc X = (—1; 1).

P r z y k ła d 4. Funkcja zadana tabelą 1.

T ab ela 1. Wielkość inflacji w Polsce

Rok 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Inflacja (%) 42,4 34,6 30,7 26,8 19,4 14,8 11,6

W tym przypadku X = {1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998}.

P r z y k ła d 5. Funkcja dana przepisem słownym: „każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej kw adrat” .

D e fin ic ja 4. Wykresem funkcji / (lub jej obrazem geometrycznym) nazywa­

my zbiór tych punktów na płaszczyźnie, których współrzędne (x ,y ) są ze sobą związane zależnością

y = f ( x ) , gdzie x € X .

Zauważmy, że każda prosta równoległa do osi rzędnych (O y) m a co najwyżej 1 punkt wspólny z wykresem funkcji.

Z ad an ia Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a ) f (x ) = —V I — x 2\ b) g(x) = \J x 2( l — a;)2; c) h (x) — \Jx — 1 + cos a;;

d) *0*0 = e) j( x ) = log((ar + l ) 2).

O d p o w ie d z i

a) (—1; 1); b) R; c ) ( l ;+ o o ) ; d ) M \ {0;l} ; e ) K \ { - l } .

1.5. Przykłady funkcji

Czytelnikom znane są następujące funkcje elementarne:

1. Wielomian stopnia n (n = 0 , 1 , 2 , . . . )

y = anx n + an- \ x n~ x + . . . + a2x 2 + a \x + a0,

gdzie an , a „ _ l t . . . , a2, a i, ao to liczby rzeczywiste, a ponadto an ^ 0.

Dla n — 2 otrzymujemy funkcję kwadratową y = a x2 + bx + c. Można ją zapisać w postaci kanonicznej

„ = , = - A

lub w postaci iloczynowej

y = a (x - x i ) ( x - x 2), gdzie z i = ~ b2^ , 2:2 = ~ b2a ^ ^la A = fc2 — 4ac > 0 lub

y = a ( x - x 0)2,

gdzie £o = — ^ » d la A — 0. W ykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierz­

chołku W (p, q).

Funkcją liniową nazywamy wielomian stopnia 1, 0 lub wielomian zerowy po­

staci y = ax + b, x S R, o param etrach rzeczywistych a i b. Jej wykresem jest prosta, która przecina osie O x i O y odpowiednio w punktach ( — 0) i (0, b) jeśli a ^ 0, lub tylko oś Oy w punkcie (0, b) jeśli a = 0 i b ^ 0, lub też jest tożsam a z osią Ox, jeśli a = b = 0.

2. Funkcja wymierna

G ( x ) ’

gdzie F (x ) i G (x) są wielomianami zmiennej x i G (x) nie jest równy zero dla żadnego x 6 R. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór wszystkich wartości x, dla których mianownik tej funkcji jest różny od zera.

Funkcja homograficzna y = ) gdzie ad — bc ^ 0 i c ^ 0 jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej. Jej dziedziną jest zbiór X = R \ { — ^}, a wykres jest hiperbolą, której asym ptotam i są proste x = — ^ i y =

3. Funkcja potęgowa

y = x a , gdzie a £ R.

Dziedzina i kształt wykresu tej funkcji zależą od wartości param etru a. W naukach ekonomicznych wykorzystywana jest funkcja popytu y jako funkcja ceny x, postaci

y = k x a , gdzie k > 0 i a < 0.

4. Funkcja wykładnicza

y = ax , gdzie x £ K i a > 0. Jej wykresem jest krzywa wykładnicza.

5. Funkcja logarytmiczna

y = loga x , gdzie x > 0 i a > 0. Jej wykresem jest krzywa logarytmiczna.

Dla a = e « 2 ,7 1 8 2 8 1 ... otrzymujemy funkcję daną wzorem y = loge x = \n x , zwaną logarytmem naturalnym.

6. Funkcje trygonometryczne y = sina;, gdzie x € K.

R ys. 5. Wykres funkcji y = sina:

y = cos x, gdzie x £ R.

R ys. 6. Wykres funkcji y = cos a:

y = tga: = gdzie x f -I- kn, k £ C.

R ys. 7. Wykres funkcji y = tg x

y = ctg x = , gdzie x £ kn, k 6 C.

R ys. 8. Wykres funkcji y — ctg a:

Wykresy tych funkcji to odpowiednio sinusoida, kosinusoida, tangensoida i ko- tangensoida.

1.6. W łasności funkcji

D e fin ic ja 1. Zbiorem wartości funkcji f nazywamy zbiór wszystkich f( x ) , gdzie x € X . Oznaczamy go przez f ( X ) i nazywamy również obrazem zbioru X poprzez funkcję / . Oczywiście f ( X ) C Y.

P r z y k ła d 1. / : R -> R, x ^ y - sin2 x, X = R, Y = R, f ( X ) = (0; 1).

D e fin ic ja 2. O funkcji / mówimy, że jest surjekcją, lub że przekształca X na Y , jeśli f ( X ) = Y . W takim przypadku każdy element y G Y jest obrazem pewnego elementu x £ X , tj.

A V y = /(* )•

yeY x e x Piszemy wtedy

f : X ^ Y . P r z y k ł a d 2. / : R ( -1; 1), x y = sina;.

D e fin ic ja 3. Funkcja / jest iniekcją (jest różnowartościowa) w zbiorze X , jeśli różnym argumentom ze zbioru X przyporządkowuje różne wartości, tj.

A A Ć X2 => f { x l) t^ f { x 2) X!&x x2€ X

lub równoważnie

A A f ( x l) = f ( x 2) => XI = x 2.

xi£X x26X

Zauważmy, że wykres funkcji różnowartościowej ma co najwyżej jeden punkt wspólny z dowolną prostą równoległą do osi Ox.

P r z y k ł a d 3. f ( x ) = ^ , x 6 X = R \ { -1}. Niech f ( x { ) = / ( x 2), wtedy j f t l = =$T - Stąd

%\{x2 + 1) = 2:2(0;! + 1), czyli

X\X2 + Xi = X2Xi + x 2.

Zatem x \ = x 2, czyli funkcja f ( x ) = x £ R \ { — 1} jest różnowartościowa.

D e fin ic ja 4. Odwzorowanie / : X Y jest wzajemnie jednoznaczne (jest bijekcją), jeżeli każdy element y e Y jest obrazem dokładnie jednego elementu x £ X .

P r z y k ła d 4. Niech y = f ( x ) = x € R \ { -1}. W tedy x = y (x + 1).

A stąd x - x y = y, czyli x ( l - y) = y. Zatem x = y € R \ { -1 } . Funkcja f ( x ) = jest wzajemnie jednoznaczna w zbiorze R \ {—1}.

Ą x x < x 2 =» f { x i) < f ( x 2).

*1, X2€A

D efin icja 5. Funkcję / nazywamy rosnącą w zbiorze A C X wtedy i tylko wtedy, gdy

D e fin ic ja 6. Funkcję / nazywamy niemalejącą w zbiorze ył C X wtedy i tylko wtedy, gdy

Ą Xi < x 2 => / ( ^ i ) < f { x 2).

P r z y k ła d 5. Niech f ( x ) = x 2 + x, A — M+. Załóżmy, że x \ > 0, x 2 > 0 i x \ < x 2. W tedy

f ( x i) = x \ + x i i f ( x 2) = x 2 + x 2.

Stąd

f ( x i) - / ( x 2) - x f - x \ + x i - x 2 - (x i - x 2)(x \ + x 2) + X \ - X 2 =

= (xi - x 2)(x i + x 2 + 1) < 0,

gdyż x \ — x 2 < O i x i + x 2 + 1 > 0. Zatem funkcja f ( x ) = x 2 + x jest rosnąca w M+.

D e fin ic ja 7. Funkcję / nazywamy malejącą w zbiorze A C X wtedy i tylko wtedy, gdy

/ \ x i < x 2 => f ( x x ) > f ( x 2).

X\, X 2 (żA

D e fin ic ja 8. Funkcję / nazywamy nierosnącą w zbiorze A C X wtedy i tylko wtedy, gdy

/ \ x i < x 2 f ( x i ) > f ( x 2).

xi, X2

P r z y k ł a d 6. Niech / ( x) = i + 2 i A = ( - 5 ;0 ) . Przyjmijmy, że - 5 < x x <

< x 2 < 0. W tedy f{ x { ) = i + 2 i / ( s 2) = i + 2 , / ( z 1) - /(ara) = i - i =

= > 0, gdyż X2 — a;! > 0 i x \ x 2 > 0. Zatem funkcja f ( x ) = i + 2 jest m alejąca w przedziale (—5; 0).

/ \ ( - * e X ) a ( / ( - * ) = /(* )) . x e x

D e fin ic ja 10. Funkcję / nazywamy nieparzystą w dziedzinie X wtedy i tylko wtedy, gdy

/ \ ( ~ x E X ) A ( / ( - * ) = —(/(* )).

P r z y k ła d 7. Funkcja / ( i ) = sin2 x, x € K jest parzysta, gdyż jeżeli i e K, to - x € l i / ( - z ) = sin2( - x ) = ( - sina:)2 = sin2 x = f{ x ).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.

D e fin ic ja 9. Funkcję / nazywamy parzystą w dziedzinie X wtedy i tylko wtedy, gdy

Początek układu współrzędnych jest środkiem sym etrii wykresu funkcji niepa­

rzystej.

R ys. 14. Przykład wykresu funkcji nieparzystej

D e fin ic ja 11. Funkcję / nazywamy okresową (w dziedzinie X ) wtedy i tylko

wtedy, gdy

V / \ ( x + T e X ) A ( f ( x + T) = f (x) ).

r# o x g x

K ażdą liczbę T spełniającą powyższy warunek nazywamy okresem funkcji / . Jeżeli istnieje najm niejszy dodatni okres T , to nazywamy go okresem podstawowym funkcji / .

R ys. 15. Przykład wykresu funkcji okresowej

P r z y k ł a d 8. Funkcja y = sin3a:, jest okresowa, bo dla x € M,

2 2

sin 3a; = sin(3x + 27t) = sin3(a; + - t t) i x + - n G R,

3 3

a stąd T = ^ 0 jest okresem funkcji y = sin 3ir.

Jeżeli funkcja / przekształca wzajemnie jednoznacznie zbiór X na zbiór Y , to dla każdej wartości y € Y istnieje dokładnie jedna wartość x e X , taka że y = f ( x) . Zatem istnieje odwzorowanie g, które przekształca wzajemnie jednoznacznie zbiór Y na X , tak że dla wszystkich x e X i y e Y mamy g(y) = x, wtedy i tylko w tedy, gdy f ( x ) = y. Odwzorowanie to nazywamy funkcją odwrotną do funkcji / i oznaczamy przez / - 1 . Piszemy g = f ~ l lub x = f ~ 1{y). Odwzorowania / i g stanow ią parę funkcji wzajemnie odwrotnych. W ykres funkcji g zapisanej w postaci

x < - * y ^ / -1(x), x g y, y G X

jest sym etryczny względem prostej y = x do wykresu funkcji / .

R ys. 16. Przykład wykresu funkcji wzajemnie odwrotnych

P r z y k ła d 9. Znaleźć funkcję odw rotną do funkcji określonej wzorem f ( x ) =

= i2 + l w zbiorze A = (0; oo).

Funkcja / jest różnowartościowa w tym zbiorze, gdyż jeżeli x i , x 2 e (0;oo) i f ( x i ) = f ( x 2), czyli x \ + 1 = x \ + 1, to x \ = x \ , stąd x \ - x \ = 0, czyli (x\ — x 2)(x \ + x 2) — 0, skąd x \ = x 2 lub x \ = - x 2. Druga równość jest sprzeczna, gdyż x \, x 2 € (0; oo). Ze wzoru y = x 2 + 1, x > 0 , y > 1, wyznaczamy x = sjy - 1.

Po zamianie x na y i y na x otrzymujemy wzór y = \ / x — 1, x > 1, y > 0. Zatem f ~ x[x) = sj x - 1.

P r z y k ła d 10. Funkcje cybiometryczne (odwrotne do funkcji trygonom etrycz­

nych).

Dla x £ (—1; 1) definiujemy arcsinz = y, gdzie x = siny i y € { - f ; | ) .

R ys. 18. Wykres funkcji y = arcsin x

Dla x 6 ( - 1 ; 1) definiujemy arccosa: = y, gdzie x = cosy i y e (0;7r).

R ys. 19. Wykres funkcji y = arccos x

Dla i £ l definiujemy arctga: = y, gdzie x — t g y i y G

Dla x € E definiujemy a rc c tg x = y, gdzie x = c t g y i y £ (0;7r).

D e fin ic ja 12. Niech funkcja / będzie określona w zbiorze X , funkcja g — w zbiorze V, a przy tym f ( X ) C Y . Złożeniem odwzorowań f i g nazywamy odwzorowanie

x i-» z = g( f {x) ) , x £ X i oznaczamy je symbolem g( f ) lub g o f . Zatem

g o f : X - * Z , czyli (g o f ) ( x ) = g(f {x) ).

Funkcję / nazywamy funkcją wewnętrzną, g — zewnętrzną, a g o / — złożoną.

P r z y k ła d 11. Niech f ( x ) - x2, X = R, g(y) = y + 5 , a Y = (0; oo). Wówczas g o /( x ) = x2 + 5, a Z = (5; oo).

Zmienną y, występującą w powyższym przykładzie, nazywamy zm ienną po­

średnią (pomiędzy zmienną niezależną x i zależną z).

Zadania

1. Sporządzić wykres funkcji:

a) /( * ) = b ) ff(*) = 4a;'’ c) M*) = Icos f I-

2. Koszt przewozu towaru w złotych na odległość x km (x > 0) statkiem jest wyrażony wzorem / = 200 + 5x, a koszt tran sp o rtu koleją - wzorem g = 100 + 7x.

K tóry rodzaj tran sp o rtu jest bardziej ekonomiczny?

3. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji:

a) /( x ) = 2sin x + 1; b) g(x) = 2tg x - 1; c) h(x) = - cosx - 1; d) i(x) = sin2 x + 2.

4. Czy funkcja określona poniższym wzorem może być „na” ? Jeśli tak, to podać odpowiednie zbiory X i Y :

a) y = x 2 + 2x + 1; b) y = - x 2 + 2; c) y = - tg2 x.

5. Sprawdzić, czy funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie:

a) f ( x ) = i = r ; b) g(x) = y/ x + 1; c) /i(x) - x 2 + 2x + l.

6. Bezpośrednio z definicji udowodnić, że funkcja:

a) /( x ) = x 2 - 2x + 4 jest rosnąca w przedziale (1; oo);

b) g(x) = — x — ^ jest rosnąca w przedziale (0; 1);

c) /i(x) = - ln(x + 1)

jest m alejąca w całej swojej dziedzinie.

7. Zbadać parzystość (nieparzystość) funkcji:

a) f ( x ) = (a > 0 i a ^ 1); b) g{x) = log(x + V l + x 2);

c) h(x) = x 3 - 2x2 + x; d) i(x) = x A + 3x2; e) j(a;) = x 4 - 2x2 + 1;

f) k( x) = x 3 + 2x + 1; g) l(x) = x 5 - 2x3 + x ; UA )(r ) _ $ + x + 1, x < 0,

h) W - \ x2_ x + 1, 3- ^ 0. 8. Zbadać okresowość funkcji:

a ) y = cos5x; b ) j/ = t g | ; c) y = sina; + cos a;; d )2/ = tg x + a:.

9. Znaleźć funkcję odw rotną do funkcji danej wzorem:

a) f { x ) = i / z + 1) x E (—l;o o ); b) g(x) = ex~ 1, x € E;

c) h{x) = x2 — 1, x 6 (0; oo).

10. Dokonać złożenia funkcji danych wzorami:

a) y = \j2 x — x2 i z = 3V; b) y = sin2 x i 2 = 6y;

c) y = cosx i z = - y ; d) y = tg x i z = - 2 y.

Określić zbiory X , Y i Z .

Odpowiedzi

1. a) Zob. rys. 22; b) Zob. rys. 23; c) Zob. rys. 24;

2. Dla 0 < x < 50 bardziej ekonomiczny jest przewóz koleją, a dla x > 50 — statkiem .

3* a) f ( X ) = <—1; 3); b) g ( X) = R; c) h ( X ) = <-2;0>; d) i ( X) = (2; 3).

4. W szystkie podane funkcje mogą być „na” . Odpowiednie zbiory to: a) X =

= M, Y = (0; +oo); b) X — E, Y — (—oo; 2); c ) J 5sT = E \ { x € E : x = :| + kn, k € C}, Y — (—oo; 0).

5. a) X = E \ {1}, różnowartościowa; b) X = (—l;+ o o ), różnowartościowa;

c) X = E, nie jest różnowartościowa.

6. a) Niech /( x ) = x2 — 2x + 4, A = (1; oo). Załóżmy, że 1 < x \ < x2. W tedy f ( x 1) = x \ - 2xi + 4 i / ( x 2) = x \ - 2x2 + 4. Stąd f ( x 1) - / ( x 2) = x \ - 2 x x +

+2x2 - Ą - (z i - x 2){xi + x2 - 2) < 0, gdyż x x - x2 < 0 i x x + x 2 - 2 > 0. Zatem funkcja f ( x ) = x 2 - 2x + 4 jest rosnąca w (1; oo);

b) Niech g{x) = - x - A = (0;1). Załóżmy, że 0 < x i < x2. W tedy g (x i) = - x i - ^ i g( x2) = x2 - i . Stąd 5(xi) - fii(x2) = -X i - ^ + x 2+

+ k = x 2 + l k ~ X l - Ź = * 2 - x i + ± - ± = x 2- x 1 + ^ 2- = s^ - ( x i - x 2) =

= (xi - x 2) ( ^ - - l ) = (xi - x2) i ^ f L < 0, gdyż x2x1 > 0 i 1 - x2x x > 0. Zatem funkcja g(x) = - x - j jest rosnąca w (0; 1);

c) Niech h(x) = - l n ( x + 1), X = A = ( - l ; o o ) . Załóżmy, że - 1 < x \ <

< x 2. W tedy h (x i) = - ln(xi + 1) i h (x 2) = - ln(x2 + 1). Stąd h ( x i) - h (x 2) =

= - ln(x! + 1) + ln(x2 + 1) = ln = ln ( l + i ^ 1) > 0, gdyż x2 - x i > 0 i x i + 1 > 0. Zatem funkcja h(x) = - l n ( x + 1) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

R ys. 22. Wykres funkcji f ( x) =

7. a) parzysta; b) nieparzysta; c) ani parzysta, ani nieparzysta; d) parzysta;

e) parzysta; f) ani parzysta, ani nieparzysta; g) nieparzysta; h) parzysta.

8. a) okresowa — T - §7r; b) okresowa — T - 3tt; c) okresowa — T = 2tx\

d) nieokresowa.

9. a) y - x2 —1, X = (0;+oo); b) y = ln x + l, X = (0;+oo); c) y = y/x + 1, x € ( - l; o o ) .

33

10.

x

b) z = 6sin2*, X = R, Y = (0; 1), Z = <1; 6);

c) z = - c o s x , X = R, Y = ( -1; 1), Z = ( - 1 ; 1);

d) z = - 2 1**, X = Y = R, Z = (-o o ; 0).

R ys. 24. Wykres funkcji /i(x) = | cos § 1

1.7. C iągi liczbowe

D e fin ic ja 1. Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy funkcję / określo­

n ą na zbiorze liczb naturalnych i o wartościach rzeczywistych, tj. / : N —> R.

Oznaczamy /(1 ) = a u /(2 ) = a2, . . . , f { n ) = a „ , . . . W artości tej funkcji nazy­

wamy wyrazami ciągu. Ciąg o wyrazach 01, a2, . . . , an , . . . zapisujemy jako (an ).

Ciągami liczbowymi skończonymi (fc-elementowymi) nazywamy funkcje liczbowe określone na skończonym zbiorze liczb naturalnych postaci { 1 ,2 ,3 ,.. , , k}.

Zgodnie z ogólnymi definicjami 6.5-6.8 monotoniczności funkcji otrzymujemy następujące warunki monotoniczności ciągów liczbowych.

Ciąg liczbowy (an) jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy [\ an+1 > an .

ra€N

Ciąg liczbowy (an) jest niemalejący wtedy i tylko wtedy, gdy f \ an+1 > an .

nG N

P r z y k ła d 1. Niech an = 2n+1, n £ N. W tedy an+1 = 2n+2 i an+i — an = _ 2«+2 _ 2n+l = 2n+1(2 - 1) = 2n+1 > 0, czyli a n+i > an . Stąd ciąg an = 2n+1 jest rosnący.

Ciąg liczbowy (a„) jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy f \ an + 1 < an .

n e N

Ciąg liczbowy (an) jest nierosnący wtedy i tylko wtedy, gdy / \ an+1 < an .

n e N

P r z y k ła d 2. Niech an — n £ N. W tedy

1 — 2(n + 1) 1 — 2n — 2 - 2 n - 1 fln+1 _ (n + 1) + 1 “ n + 2 ~ n + 2 dla każdego n £ N. Stąd

—2n - 1 1 - 2n - ( 2 n + l) ( n + 1) - (1 - 2n )(n + 2) _

a n+1- a n - n + 2 (n + 2) ( n + l )

—2n2 - 2 r e - n — l - n - 2 - f 2n2 + 4 n _ - 3 Q _ (n + 2 ) ( n + l ) (n + l) ( n + 2)

dla każdego n e N . Zatem an+\ < an dla n £ N, czyli ciąg an = jest malejący.

D e fin ic ja 2. Ciągiem monotonicznym nazywamy ciąg rosnący lub malejący.

D e fin ic ja 3. Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym różnica mię­

dzy dowolnym (począwszy od drugiego) wyrazem ciągu a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała. Różnicę tę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego i oznaczamy ją symbolem r.

Dla dowolnego ciągu arytmetycznego (a„) o różnicy r mamy f \ an = ai + (n - l ) r

n € N

oraz . a i + an 2ai + (n - l ) r

f \ S n = a\ + a2 + . . . + an — ^ n — ^ n >

n e N

V A \*n-9\ < e-

k £N n > k

Stąd wszystkie wyrazy ciągu (an) spełniają warunek \an — g\ < r, gdzie r = max{e, |ai - g\, \a2 - g \ , . . . , \ak - 5 |}.

Zatem g — r < a n < g + r dla każdego n = 1 , 2 , 3 , . . . , czyli ten ciąg jest ograniczony, c. n .d .

D e fin ic ja 13. Niech (n,) będzie dowolnym rosnącym ciągiem liczb natural­

nych. Ciąg (an i) nazywamy podciągiem ciągu (an ).

P r z y k ła d 8. Podciągam i ciągu ( - 1 ,1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , . . . ) są np. ciągi ( 1 , 1 ,1 , .. .) i ( - 1 , - 1 , - 1 , . . . ) .

T w ie r d z e n ie 2. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do liczby g jest również zbieżny do g.

D o w ó d . Załóżmy, że ciąg (a„) jest zbieżny do g. W tedy

A V A K -Slce.

e > 0 fceN n > k

Skoro (rii) jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to

A V A Ui >k’

/cG N i > j

czyli

A V A la«i “ 5 l < e-

£ > 0 j € Ni > j

Zatem ciąg ani jest zbieżny do g.

c . n .d .

O statnie twierdzenie pozwala nam wywnioskować zbieżność podciągu ze zbież­

ności ciągu. Teraz warto zwrócić uwagę na ogólny warunek istnienia skończonej granicy ciągu. Szczególnie ważne jest następujące twierdzenie, które podamy tu bez dowodu.

T w ie r d z e n ie 3. Dowolny ciąg liczbowy rosnący (odpowiednio malejący) i ogra­

niczony z góry (odpowiednio z dołu) jest zbieżny.

T w ie r d z e n ie 4. Ciąg (a„), gdzie an = ( l + £ ) " , jest zbieżny.

D o w ó d . Dla każdego n £ N, x > —1 i x ^ 0 jest spełniona nierówność Bernoullie- go:

(1 + x )n+1 > l + (n + l)x .

D o w ó d . Załóżmy, że ciąg (an) jest zbieżny do liczby g. W tedy dla jakiegoś e > 0

Stąd dla x = — (n+x')a PrzY dowolnym n e N, otrzymujemy

1 - 7 — > 1 -

(n + 1)2/ n + 1 ’ czyli

_ i ___\ n+1 _ ( _ i _ \ n+Y i ____ L _ V + 1 ____—

( n + 1 ) 2 / V + n + l ) \ n + 1 / > n + l ’ stąd

czyli

n -

1 V + 1 > f n + i v > ( - 1

skąd

a"+1=( 1 + ^ tlJ = ^ + n

dla n € N. Zatem ciąg (an) jest rosnący.

Przypomnijmy teraz wzór Newtona

n \ n!

k J k\(n — fc)!

dla n, k = 0 , 1 ,2 ,... i n ^ fc, gdzie 0! = 1, 1! = 1, n! = 1 • 2 ■ 3- . . . • n dla n ^ 2.

Na podstawie wzoru Newtona mamy

1 + £) = 1 + (l)n + (2 )^ + ---+ ( n) ^

1 n^~ 1- 2 n 2 1 • 2 • . . . • (n — l ) n n u

_ i i i i_______n_ i i _V_____n]_________\______ n / V______n / ^

2! n!

„ 1 1 „ 1 1 „ 1 i - f l )

< 2 + - + . . . + — < 2+ - + . . . + —- r = 2+ V2;

n —1

2! n! 2 2 " - 1 2 1 - |

dla każdego n € N, gdyż ( | ) ” 1 > 0 dla n e N, czyli ciąg (an ) jest ograniczony z góry. Skoro ciąg (an ) jest rosnący i ograniczony z góry, to jest on zbieżny.

c .n .d .

Oznaczamy

lim ( 1 + - ) = e = 2,718281828459...

n —► oo \ Tl

Liczba e jest podstaw ą logarytmów naturalnych, tj. Ina: = loge x. Wyróżnia się także funkcję wykładniczą o podstawie e postaci y = ex . Można ponadto udowod­

nić, że

e — lim ( l + — ^ , gdy x n -> oo n-+oo \ X n )

oraz

e = lim (1 + x n )*Z, gdy x n —> 0.

n — * oo

Poniższe twierdzenie o granicach ciągów zbieżnych bardzo ułatw ia obliczanie granic bardziej skomplikowanych ciągów.

T w ie r d z e n ie 5. Jeżeli ciąg (a„) ma granicę a i ciąg (bn) ma granicę b, to 1. lim (a„ + b n) = a + b,

n —>oo

2. lim (o„ - bn) = a - b,

n —► oo

3. lim (an • 6n) = ab.

n —>oo

Jeżeli ponadto / \ bn ^ 0 i b ^ 0, to

n 6 N

4. lim £«*• = «

n —► oo n ®

D o w ó d (tylko dla 1). Niech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Z założenia, że ciąg (an ) m a granicę a, a ciąg (bn) ma granicę 6, otrzymujemy, że istnieją takie wskaźniki ki i fc2, że

a — - < a„ < a + ^ dla n > k\,

z z

b — ~ < b n < b + ^ - dla n > fc2.

z z

Dla k równego większej z liczb ki i A;2, obie powyższe nierówności zachodzą jedno­

cześnie. Po dodaniu ich stronam i, otrzymujemy

(a + b) — e < an + bn < (a + b) + e dla n > k, e > 0, a z tego wynika, że lim (an + bn) = a + b.

71—♦ OO

c . n .d .

Dla granic nieskończonych w powyższym twierdzeniu zapisujemy symbolicznie:

oo + oo = oo, o o-oo = oo, oo • 5 = oo dla g > O, oo- g - - o o dla g < O, o o + g = oo, — = 0, — +oo i -Jj- = - o o dla g > 0.

oo 0+ O-

Natom iast symbole postaci: §, oo-O, o o -o o , 1°°, oo° i 0° nazywamy nieozna­

czonymi. W ich przypadku musimy badać bezpośrednio interesujące nas wyrażenia.

P r z y k ła d 9. Obliczyć granicę ciągu an = ■ Mamy

n2 — 5n — 6 1 - ® - A 1 oo 1 + 4n — 3n2 n->oo i + i- — 3 3

n 2 ' n

P r z y k ła d 10. Obliczyć granicę ciągu bn — \/9 n2 + n - 7 - 3n.

Mamy:

(\/9 n2 + n — 7 — 3 n )(\/9 n2 + n — 7 + 3 n) lim ( \ /9 n2 + n — 7 — 3n) = lim vv T _ AV

n-> oo ' ' n -* o o \ / 9 n 2 + n — 7 + 3 n

9n2 + n — 7 — 9n2

= lim

^/9n2 + n — 7 + 3n n — 7

= lim

\/9 n2 + n — 7 + 3n

1 - ?

= lim

P r z y k ła d 11. lim ( l + ± ) n - Hm ( ( l + | ) 4) =

4

e4.

T w ie rd z e n ie 6. (o trzech ciągach) Jeżeli ciągi (an ), (bn ) i (c„) spełniają warunek \ f A a n < bn < cn i lim a„ = lim c„ = 5, to lim bn = 5.

fceNn^fc "-*00 n^ ° ° n-"°°

D o w ó d . Z założenia twierdzenia wynika, że dla dowolnego dodatniego e > 0 jest

V A l°n “ < e’ skąd V A

fci6Nn>fci feiGNn>fci

V A i«»

\J f\

+

k2^N n>k2 /e2GNn>fc2

W iększą z liczb k\ i k2 oznaczmy przez k. W tedy

n > k

Zatem

A 9 ~ e < < bn < c„ < g + e.

f \ g - e < b n < g + e.

n > k

Ostatecznie więc

A V A 9~£<K<g + e,

€ > 0 kężN n > k

czyli

lim bn = g.

Tl— *00

c.n .d .

Twierdzenie 7. lim ę/a = 1 dla a > 0.

71—► OO

D o w ó d . Rozpatrujem y trzy przypadki:

1. a > 1. W tedy ę/a > 1 i ę/a = 1 + 6n , gdzie 6n > 0. Na podstawie nierówności Bernoulliego otrzymujemy

skąd

Zatem

Uwzględniając, że

otrzym ujemy

a = (1 + M n > 1 + n&„,

n&„ < a — 1.

a - l n

= \ / a - 1,

o < ę/ ^ - 1 < a ~ 1

Tl

Skrajne wyrazy powyższej nierówności dążą do zera przy n dążącym do nieskoń­

czoności. Zatem na podstawie twierdzenia o trzech ciągach ę/a - 1 ma granicę równą zeru. Stąd

lim ( \/a - 1) = 0, czyli

lim an = lim ę/a = 1. n—► oo n—*oo

2. a = 1. W tedy ę/a = 1 dla każdego n e N, skąd lim an = lim ę/a = 1.

o n —*oo n —► oo

3. 0 < a < 1. Oznaczmy a = gdzie 6 > 1. Na podstawie przypadku 1 mamy J im , \ / b = 1. K orzystając z twierdzeń o ciągach zbieżnych, otrzymujemy

lim y i = lim -4= = --- --- = 1 n-.°° y a n->oo ę/a lim ę^a

n—>00

Zatem

lim an = lim ę/a = 1.

n —►00 n —♦ 00

c . n .d .

P r z y k ła d 12. a n = ^ 2 " + 3n 3, bo

3 <- ę/3" < \J2U + 3” < ę/3” + 3n = ^ 2 - 3 n = ę/2ę/3" 3

dla każdego n € N.

T w ie r d z e n ie 8. lim y/n — 1.

n —+ oo

D o w ó d . Przyjmujemy, że \ / l = 1. Dla n > 1 istnieje dn > 0 takie, że y/n =

= 1 + dn . Stąd dn — y / n — 1. Ze wzoru Newtona mamy

n = (1 + dn )n — 1 + ndn + ( ^ j ^ n + ■ • • + <^n-

Stąd n > 1 + (2)^ ■ Zatem n - 1 > d2 , skąd d2 < Zatem dn < więc

/ - 2

0< i/ n — 1< -7 = .

y/n

A stąd na podstawie twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy ^/n — 1 —* 0, czyli v 1.

c .n .d .

D e fin ic ja 14. Jeżeli ciąg sum częściowych S n ciągu geometrycznego (an ) jest zbieżny, to jego granicę nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego i oznaczamy symbolem S , czyli

S = lim S n.

n—*00

T w ie rd z e n ie 9. Jeżeli |ę| < 1, to ciąg (S n) jest zbieżny oraz S =

Zadania

1. Zbadać monotoniczność ciągów:

a) an = (2n + 3 )/(3 n + 4); b) bn = 50n/n!; c) cn = 2n_1, d) dn - ( i ) n+2; e) en = 3"+2.

2. Zbadać ograniczoność ciągu (a„): a„ = l / l2 4- 1 /22 + . . . + l / n 2.

3. Wykazać n a podstawie definicji granicy ciągu, że:

a) lim = b', b) lim y/n + 2 = +00; c) lim (1 — n 2) = - 00;

n—+00 ' n—»00 n—+00

d) lim = 0; e) lim lo g n = +oo.

n —►00 n—>00

4. Obliczyć granice:

a) iim ^ lim l± 2 ± 3 ^ ± n , ^ n m 1+ ł + i + - + ^ -

5. Obliczyć granice ciągów (wykorzystując liczbę e):

a) an = (1 + 1/2n )n; b) bn = ((3n + l ) /3n )” ; c) cn =

6. Stosując twierdzenie o trzech ciągach, znaleźć granicę ciągu:

a) an = V 2 n + 4” + 6"; b) bn = \ J { \ ) n + (§ )"; c) c„ = y/4n + 9n.

7. Znaleźć sumy:

a ) 1 + 3 + 9 + • • • ; + T5Uo + • • • ! c ) 2 + 1 + 5 + ! + . . .

Odpowiedzi

1. a) ciąg malejący; b) ciąg niemonotoniczny, bn+1 > bn dla n < 49, b50 =

= b49, bn+1 < bn dla n > 49; c) ciąg rosnący; d) ciąg malejący; e) ciąg rosnący.

2. l < a n < 2 ± , n = 1, 2, 3, . . .

3. a) Niech ^{n 1} 2 n - 2 ( n + l ) - 1 1

2 n + l 2 2 ( 2 n + l ) 2 ( 2 n + l ) ' 2 ( 2 n + l )

n = 1 , 2, 3, . . . W tedy 4n > j , czyli n > Stąd k = j ;

b) Niech y / n + 2 > M > 0. W tedy n + 2 > M2 > 0. Stąd n > M 2 - 2. Zatem f c = J [M 2 - 2 ] M > V 2

0 0 < M < s/2;

c) Niech - n 2 + 1 < M < 0. W tedy - n 2 < M - 1 < 0. Stąd n 2 > 1 - M > 0;

czyli n > y/ l - M . Zatem A; = [>/! - M J;

d) Niech n > Stąd A:

71.2 — ^ > 0, n — 1 ,2 ,3 , .. . W tedy n2 > i , czyli

e) Niech log2(log2 n) > M > 0. W tedy log2 n > 2M, n > 22M, k = 4. a) - 1 ; b) i ; c) l | ; d) - 1 ; e) 0; f) 0; g) +oo, h) 0.

5. a) y/e; b) ^/e; c) i ; d) e) e5.

6 - a ) 6; b) | ; c) 9.

7. a) l i ; b) i f ; c) 4.

<-) A

2 2

1.8. Granica funkcji

Załóżmy, że funkcja / jest określona w pewnym sąsiedztwie S o promieniu r > 0 punktu a:0, tj. S ( x 0, r) = (x0 - r; x0 + r) \ {2:0} = (x0 - r; *0) U (x0; x 0 + r).

Zatem w punkcie Xq funkcja ta nie musi być określona. Ciąg ( xn ) jest ciągiem argumentów funkcji / o wyrazach z pewnego sąsiedztwa punktu xq.

D e fin ic ja 1. (granicy w sensie Heinego) Liczba g (lub odpowiednio +00, —00) jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji / w punkcie xq, jeżeli dla każdego ciągu (x n) zbieżnego do xo o wszystkich wyrazach x n < x q (lub o wszystkich wyrazach x n > xo), mamy lim f ( x n) = g (odpowiednio +00, - 00), gdzie g e IR.

n—>00

P unkt xq może, ale nie musi należeć do dziedziny funkcji / . Piszemy wtedy

lim f ( x ) — g (odpowiednio + 00, —00) X-*Xo

lub

lim f ( x ) = g (odpowiednio + 00, —00).

nr—

P r z y k ła d 1. lim - = —00. x—»0- x

P r z y k ła d 2. lim \ — +00.

X — 0 + x

Zamiast definicji w sensie Heinego można stosować (równoważne) definicje

w sensie Cauchy’ego:

lim_ f ( x ) = g / \ \ / f \ x 0 - 5 < x < x 0 => \ f (x) - g\ <

x ~ > x ° e > 0 < 5 > 0 X

lim_ f { x ) = +00 <s=» / \ \ J f \ x 0 - S < x < x 0 => f ( x ) > M,

E-+X° M>0S>0 x

lim_ f ( x ) = - o o <£=> / \ \ J / \ x 0 - 6 < x < x 0 => f { x ) < - M ,

x ~ ' x o M < 0 ó > 0 X

lim f { x ) = g <=> f \ \ J f \ x 0 < x < x 0 + ć =*> \ f (x) - g\ < e,

- ^ x o e > 0 (5>0 x

lim+ f ( x ) = +oo \ J / \ x q < x < x 0 + 5 => f ( x ) > M,

X~*X° M>0S>0 ^X

lim f ( x ) = - o o <£=> \ J f \ x 0 < x < x 0 + 5 =$■ f ( x ) < - M .

x ~ * x o M < 0 6 > 0 X

D e fin ic ja 2. Liczba g (lub odpowiednio +oo, —oo) jest granicą funkcji f w punkcie xo, jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w tym punkcie i są one równe g (odpowiednio +oo, — oo), gdzie g 6 E.

Piszemy wtedy

lim f ( x ) = g (odpowiednio + oo, —oo)

X — > Xq

P r z y k ł a d 3.

lim — nie istnieje, bo lim — = —oo i lim — = +oo.

X .0 X X-yX~ X X-X

P r z y k ł a d 4.

X — (x — 2) (ar + 2x + 4)

lim - ---- ^ - lim —— — LJr i - l — iim (x 2 + 2x + 4) = 12, x ^ 2.

x-*2 x - 2 x—*2 x - 2 x—2V ' ’ ~

D e fin ic ja 3. (granicy w sensie Heinego) Liczba g (g 6 R) jest granicą funkcji f w +oo (odpowiednio w —oo), jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) dążącego do +oo (odpowiednio — oo), mamy

lim f ( x n ) = g.

n—►oo

Piszemy wtedy lim f ( x ) = g łub lim f ( x ) = g.

x —> + o o X —*— o o

P r z y k ł a d 5. lim ax — O, O < a < 1.

X—►-j-oo

R ys. 26. Ilustracja dla granicy równej O

Zamiast definicji w sensie Heinego można stosować definicje w sensie Cau- chy’ego:

A V A l/(*)- 5 l<e,

€ > 0 M > 0 x > M

f { x ) = J < = > / \ V f \ \f(x) ~ g \ < e - e> 0 M < 0 x < M

D e fin ic ja 4. Funkcja / dąży do +oo (odpowiednio —oo) przy x dążącym do +co, jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn ) dążącego do +oo, mamy

lim / ( x n ) = +oo (odpowiednio — oo).

n —>oo

Piszemy wtedy

lim f { x ) — +oo (odpowiednio — oo).

x—►-j-oo

P r z y k ła d 6. lim x 2 — +oo.

X — + + 0 0

Również i w tym przypadku zamiast definicji w sensie Heinego można stosować definicje w sensie Cauchy’ego:

.Ji& o = +oo ^ a v a /( * ) > M - M>0 N>0 x> N

aUmo/(*) = -oo«=> A V A m<M.

M < o iV <0 x < N

D e fin ic ja 5. Funkcja / cięi?/ do +oo (odpowiednio —oo) przy x dążącym do -o o , jeżeli dla każdego ciągu argumentów (x„) dążącego do - o o , mamy

lim f ( x n ) = +oo (odpowiednio — oo).

x—►4-oo

Piszemy wtedy

^lim ^ f ( x ) = +oo (odpowiednio — oo).

P r z y k ł a d 7. lim (—x) = +00. X—> + 00

Zam iast definicji w sensie Heinego można stosować definicje w sensie Cau- chy’ego:

lim f ( x ) = +00 <=>

A V A

>

M > 0 P < O x < N

f ( x ) = -00 Ą \ / f \ f ( x ) < M.

M > 0 -PcO x<7V

Zachodzi następujące twierdzenie o granicach.

T w ie r d z e n ie 1. Jeżeli istnieją granice lim /( x ) i lim g(x), to

X—►Xo x —►Xo

lim (c / ( x )) = c lim /( x ) , c € M;

X — * X o X — * X o

lim (/( x ) ± g ( x ) ) = lim /( x ) ± lim (g(x);

X— >X() X— * Xq X— >Xo

lim ( f ( x ) -g(x)) = lim f ( x ) • lim g(x)\

X— * X ( ) X— »Xo X — ^Xo

lim / ( x )

= T i 9(x) + 0, Xlim 5(x) ± 0.

X-*XQ

Analogiczne twierdzenia zachodzą dla granic lewostronnych i prawostronnych z gdy lim /

x—*4-00 P r z y k ła d 8.

oraz gdy lim /( x ) , lim g(x), lim /( x ) i lim g(x) są skończone.

X — + + O O X — > + 0 0 “ • — - • —

x 3 + 125 (x + 5)(x2 — 5x + 25) lim --- = lim --- —--- - = x—*—5 2x2 — 50 x—*—5 2(x + 5)(x — 5)

lim x2 ~ 5x + 25 - _ — - H

*-5 2(x — 5) 20 4

P r z y k ł a d 9.

lim (2x3 - 10x2 + 15x — 10) = lim x3 (2 - — + ^ — = - 00.

x—*—oo x—► —00 V x X X /

T w ie r d z e n ie 2. lim siŁE = 1.

x —+0 x

D o w ó d . Funkcja f ( x ) = nie jest określona w punkcie 0. Weźmy dowolny ciąg (xn ) o wyrazach z sąsiedztwa 5(0, f ) zbieżny do 0. Zatem lim x n = 0, skąd

x —+0

lim \xn \ — 0 i oczywiście

x —>0

1 1 TT

0 < \xn | < —.

N a rys. 27 sin |x „ | = \AD\ i tg x „ = \BC\ i pole tró jk ąta O A C jest mniejsze niż pole wycinka koła O A C (o promieniu 1), które z kolei jest mniejsze od pola tró jk ą ta O B C .

R ys. 27. Ilustracja zależności dla dowodu twierdzenia 2: |s n| to długość luku AC

Zatem

Stąd

czyli

gdyż

Stąd

czyli

1 • , , 1 . i i

- s m |x n | < - \ x n \ < - t g |x „ |,

x n co s|x n | < s m |x n | < |xn |, sin x n

cos \xn \ < --- < 1, Xn

sin \xn \ sins,,

cos |x„| = 1 - 2 sin2 > 1 - 2 sin ^ > 1 - 2^

sm x n 1 — xn < --- < 1. Stąd na podstawie twierdzenia o trzech ciągach

sin x l i m ---= 1 x-*0 x c .n .d .

P r z y k ła d 10.

x—lim>o x = lim ( S - ? —"-') = 5 li

x —>0 V 5 x / x-lim lim

*0 5x «-*o u = 5,

49