ROZDZIAŁ I. ZAGADNIENIA W STĘPN E
1.8. Granica fun k cji
Załóżmy, że funkcja / jest określona w pewnym sąsiedztwie S o promieniu r > 0 punktu a:0, tj. S ( x 0, r) = (x0 - r; x0 + r) \ {2:0} = (x0 - r; *0) U (x0; x 0 + r).
Zatem w punkcie Xq funkcja ta nie musi być określona. Ciąg ( xn ) jest ciągiem argumentów funkcji / o wyrazach z pewnego sąsiedztwa punktu xq.
D e fin ic ja 1. (granicy w sensie Heinego) Liczba g (lub odpowiednio +00, —00) jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji / w punkcie xq, jeżeli dla każdego ciągu (x n) zbieżnego do xo o wszystkich wyrazach x n < x q (lub o wszystkich wyrazach x n > xo), mamy lim f ( x n) = g (odpowiednio +00, - 00), gdzie g e IR.
n—>00
P unkt xq może, ale nie musi należeć do dziedziny funkcji / . Piszemy wtedy
lim f ( x ) — g (odpowiednio + 00, —00) X-*Xo
lub
lim f ( x ) = g (odpowiednio + 00, —00).
nr—
P r z y k ła d 1. lim - = —00. x—»0- x
P r z y k ła d 2. lim \ — +00.
X — 0 + x
Zamiast definicji w sensie Heinego można stosować (równoważne) definicje
w sensie Cauchy’ego:
R ys. 26. Ilustracja dla granicy równej O
Zamiast definicji w sensie Heinego można stosować definicje w sensie Cau- chy’ego:
A V A l/(*)- 5 l<e,
€ > 0 M > 0 x > M
f { x ) = J < = > / \ V f \ \f(x) ~ g \ < e -e> 0 M < 0 x < M
D e fin ic ja 4. Funkcja / dąży do +oo (odpowiednio —oo) przy x dążącym do +co, jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn ) dążącego do +oo, mamy
lim / ( x n ) = +oo (odpowiednio — oo).
n —>oo
Piszemy wtedy
lim f { x ) — +oo (odpowiednio — oo).
x—►-j-oo
P r z y k ła d 6. lim x 2 — +oo.
X — + + 0 0
Również i w tym przypadku zamiast definicji w sensie Heinego można stosować definicje w sensie Cauchy’ego:
.Ji& o = +oo ^ a v a /( * ) > M -M>0 N>0 x> N
aUmo/(*) = -oo«=> A V A m<M.
M < o iV <0 x < N
D e fin ic ja 5. Funkcja / cięi?/ do +oo (odpowiednio —oo) przy x dążącym do -o o , jeżeli dla każdego ciągu argumentów (x„) dążącego do - o o , mamy
lim f ( x n ) = +oo (odpowiednio — oo).
x—►4-oo
Piszemy wtedy
^lim ^ f ( x ) = +oo (odpowiednio — oo).
P r z y k ł a d 7. lim (—x) = +00.
Zachodzi następujące twierdzenie o granicach.
T w ie r d z e n ie 1. Jeżeli istnieją granice lim /( x ) i lim g(x), to
Analogiczne twierdzenia zachodzą dla granic lewostronnych i prawostronnych z gdy lim /
R ys. 27. Ilustracja zależności dla dowodu twierdzenia 2: |s n| to długość luku AC
Zatem
Stąd
czyli
gdyż
Stąd
czyli
1 • , , 1 . i i
- s m |x n | < - \ x n \ < - t g |x „ |,
x n co s|x n | < s m |x n | < |xn |, sin x n
cos \xn \ < --- < 1, Xn
sin \xn \ sins,,
cos |x„| = 1 - 2 sin2 > 1 - 2 sin ^ > 1 - 2^
sm x n 1 — xn < --- < 1. Stąd na podstawie twierdzenia o trzech ciągach
sin x l i m ---= 1 x-*0 x c .n .d .
P r z y k ła d 10.
x—lim>o x = lim ( S - ? —"-') = 5 li
x —>0 V 5 x / x-lim lim
*0 5x «-*o u = 5,
49
gdzie u = 5x, więc jeżeli x —* O, to u —> 0.
Zadania
Wyznaczyć poniższe granice:
a) lim (—3x4 + 5x3 — 2x2 — x +15); b) lim (71- 6* - 5 * ) ; c) lim
X — * — O O X — + 0 0 X — ► — 0 0 A “1 ®
d ) il™ e ) £ m x ( V ^ T T - x ) ; f) Hm 3 ^ 1 = 2 ; g) lim ^ L ; x—* 2
h ) x l ™ 5 i} 1 ^ 3 j ) i 5 i k ) i™ 4 r a p i ; “ 2 1 t r i
ł ) # i f ; m ) ^ S ^ 2 ! n ) Um o) lim f ^ f f ± § ; p) lim r ) l i m ^ ; s) l i m - ^ ; t) lim f ja ff; u ) H m & f ; w) Um z s in I ;
y ) £ Ł ( W +1;
Odpowiedzi
a) - 00; b) +00; c) - 00; d) 0, e) ±; f) g) - 2 ; h) -2 5 ; i) -2 7 ; j) t=& = + 0 0 >x1™+ i i 7 = - ° ° ; k) ~ 6; 0 5; ł) tb; m ) ^ n ) 4;
o) i ; p) 3±; r) f ; s) 2; t) §; u) 1; w) 1; y) y/ł\ z) - 4 .
1.9. A sym p toty w ykresu funkcji
Załóżmy, że funkcja / jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu xo na prostej Ox.
D e fin ic ja 1. P ro stą o równaniu x — xo nazywamy asymptotą pionową lewo
stronną (prawostronną) wykresu funkcji / , jeżeli
lim_ f ( x ) = +00 (lub —00) (odpowiednio lim f ( x ) = +00 (lub “ <»))•
X — X „ X — x +
D e fin ic ja 2. P ro stą o równaniu x = x q,nazywamy asymptotą pionową obu
stronną wykresu funkcji / , jeżeli jest ona jednocześnie asym ptotą pionową lewo
stro n n ą i praw ostronną tego wykresu.
P r z y k ła d 1. P ro sta o równaniu x = - 1 jest asym ptotą praw ostronną wykresu funkcji f ( x ) = ln(x + 1), gdyż
lim ln(x + 1) = —oo.
1+
R ys. 28. Ilustracja asymptoty prawostronnej wykresu funkcji
P r z y k ła d 2. P rosta o równaniu x = O jest asym ptotą obustronną wykresu funkcji g(x) = gdyż
lim = lim -=■ = +oo.
x - * o - x z x -» 0 + x Ł
Rys. 29. Ilustracja asymptoty obustronnnej wykresu funkcji
D e fin ic ja 3. P ro stą o równaniu y — ax + b nazywamy asymptotą ukośną le
wostronną (odpowiednio prawostronną) wykresu funkcji f określonej w przedziale
nieograniczonym, jeżeli
^ m J / W - {ax + 6)) = 0 ^odpowiednio lim (f ( x ) - (ax + b)) = o j .
D e fin ic ja 4. P ro stą o równaniu y = a x + b nazywamy asymptotą ukośną obu
stronną wykresu funkcji f określonej w przedziale nieograniczonym, jeżeli jest ona jednocześnie asym ptotą ukośną lewostronną i praw ostronną tego wykresu.
A sym ptotą ukośna (jednostronna lub obustronna) wykresu funkcji nazywa się asymptotą poziomą wykresu funkcji przy a = 0.
Bezpośrednio z powyższych definicji otrzymujemy natychm iast wzory na współ
czynniki asym ptoty ukośnej:
W yznaczyć asym ptoty wykresu funkcji:
a) f { x ) = 4 ^ ; b) <?(x) = 3j3- y +1; c) fc(*) = d) T(x) = ® f=ł.
Odpowiedzi
a) asym ptota pionowa: x = O, ukośna: y = 1;
b) asym ptota pionowa: x = 0, ukośna: y — 3x — 5;
Stąd funkcja / jest lewostronnie (odpowiednio prawostronnie) ciągła w punkcie xo € X wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
W punkcie x = 1 funkcja / nie jest określona, w punkcie x = 2 funkcja ta jest lewostronnie ciągła, a w punkcie x = 3 nie jest spełniony warunek 3’ — funkcja / nie jest nawet jednostronnie ciągła. W punkcie x = 4 — jest lewostronnie ciągła.
R ys. 30. Wykres funkcji z przykładu 1
W arunek określający ciągłość funkcji / w punkcie x 0, tj.
lim f ( x ) = f ( x o),
X—>Xq
jest równoważny następującem u warunkowi
lim i/(x 0 + h) = f ( x o).
n—>0
N atom iast warunek określający lewostronną (odpowiednio prawostronną) ciągłość funkcji / w punkcie xo
lim_ f ( x ) = f ( x 0) (odpowiednio lim f ( x ) = f (xo)),
X-*X0 x -> x +
jest równoważny następującem u warunkowi
lim f ( x o + h) — f ( x 0) (odpowiednio lim f ( x o + h) = f ( x 0)).
h—>0~ h—* 0+
W sensie Heinego funkcja jest ciągła w punkcie xo E X , jeżeli dla każdego ciągu argumentów (x n ) zbieżnego do xq odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f ( x n )) jest zbieżny do f ( x 0).
W sensie Cauchy’ego funkcja jest ciągła w punkcie xq e X , jeżeli
A V A \x ~ x°i <6 ^ x°)i <
e-o e-o a > e-o x € X
W sensie Heinego funkcja jest lewostronnie (odpowiednio prawostronnie) ciągła w punkcie i 0 e I , jeżeli dla każdego ciągu argumentów ( xn ) zbieżnego do x Q i takiego, że / \ x n < x q (odpowiednio f \ x n > x q ) odpowiadający mu ciąg
n € N n e N
wartości funkcji (f ( x n )) jest zbieżny do f { x o).
W sensie Cauchy’ego funkcja jest lewostronnie (odpowiednio prawostronnie) ciągła w punkcie xq £ X , jeżeli
T w ie r d z e n ie 4. (Darboux) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale (a\ b) c X , gdzie f { a ) < f (b) i s £ ( / ( a ) ; /(£>)), to istnieje co najmniej jeden punkt c € (a;b) taki, że f ( c) = s.
Jest to twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich.
Dla / ( a ) > f ( b) otrzymujemy twierdzenie Darboux w następującej wersji:
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale (a\b) C X , gdzie f {a) > f{b) i s €
€ ( / W ; /( « ) ) , to istnieje co najmniej jeden punkt c £ (a; 6) taki, że f ( c) = s.
Funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach są np.: wielomiany, funkcje wymier
ne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonom etryczne i cyklometryczne.
P r z y k ła d 1 . Zbadać ciągłość funkcji f ( x ) — | * ’ x ^ jj’
Dziedziną tej funkcji jest zbiór X = E. Funkcja ta jest ciągła w E \{0}, gdyż ma ona w tym zbiorze postać f ( x ) = ^ = - 1 dla x < 0 i f ( x ) = ^ = - = 1 dla x > 0. Należy zatem zbadać ciągłość funkcji / w punkcie xq = 0. Mamy
f(x
o)=
/(O)= 1 ,
więc warunek 2 ciągłości funkcji jest spełniony. Ponadto
x - » x 0 x - * x Q x —>x0
lim f ( x ) = lim — = lim — = — 1
:— x — x —*Xn
| x |
lim f ( x ) — lim —
n— X—*x~}i %
czyli nie istnieje granica lim f ( x ) - warunek 1 ciągłości funkcji nie jest spełniony.
Zatem funkcja nie jest ciągła dla x 0 = 0 (chociaż jest w tym punkcie prawostronnie ciągła).
Ostatecznie badana funkcja jest ciągła w E \ {0}.
T w ie rd z e n ie 5. (o zachowaniu znaku) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 oraz f ( x o) < 0 (odpowiednio f { x 0) > 0), to istnieje takie otoczenie Q (x0,r ) ( r >
> 0), że dla każdego x G Q( xo, r) jest spełniona nierówność f ( x ) < 0 (odpowiednio
P r z y k ła d 2. Dla funkcji f ( x ) = x 3 - x, ciągłej w zbiorze E, z faktu, że / ( i ) = - | < 0 otrzymujemy, że f ( x ) < 0 dla każdego x z pewnego przedziału za
wierającego i . Tym przedziałem jest (0; 1), gdyż f ( x ) — x 3- x = x ( x - l ) ( x + l ) < 0 dla x £ ( 0 ; 1) oraz / ( 0 ) = /(1 ) = 0 .
f ( x ) > 0).
y
x
R ys. 33. Ilustracja twierdzenia o zachowaniu znaku
Z ad an ia 1. Zbadać ciągłość funkcji:
CO
; x < 1
* i ;
c a,
3. Uzasadnić, że istnieje rozwiązanie równania:
a) x 3 + x 2 + 2x - 8 = 0; b) ex = i .
c) lim y /ig x = y/ó — 0.
X— +0
1.11. Przykłady zastosowań funkcji jednej zm iennej, ciągów oraz relacji w naukach ekonom icznych
F u n k c je p o p y tu
Tórnąist [10] podał trzy typy funkcji popytu, gdzie y oznacza w ydatki a i — dochody.
a) y - a > 0, b > 0, x > 0 dla dóbr podstawowych,
b) y = f , o > 0, b > 0, x > c oraz y = 0 dla 0 < x < c dla dóbr wyższego rzędu,
c) y = a x ^§, a > 0, b > 0, x > c oraz y = 0 dla 0 < x < c dla dóbr luksusowych.
o c b + c x R ys. 36. Wykres funkcji Tornąista trzeciego typu
P rzykłady popytu (y) jako funkcji ceny dobra (x).
1. y = a + bx, a > 0, b < 0.
R ys. 37. Wykres popytu (y) jako funkcji ceny (x) w pierwszej wersji
2. y = k x a, a < 0, k > 0.
R ys. 38. Wykres popytu (y ) jako funkcji ceny (x) w drugiej wersji
3. y — k x ax, a < 0, k > 0.
o 1 x
e
R ys. 39. Wykres popytu (y) jako funkcji ceny (x) w trzeciej wersji
O p ro c e n to w a n ie lo k a t p ie n ię ż n y c h
P r z y k ła d 1. Lokata pieniężna w wysokości 10000 zł podlega oprocentowaniu po 12% rocznie w ciągu 2 lat. Obliczyć kapitał końcowy przy dopisywaniu odsetek do lokaty:
a) w końcu każdego roku;
b) w końcu każdego miesiąca;
c) w końcu każdego tygodnia;
d) w końcu każdego dnia;
e) w sposób ciągły.
Wzór na wysokość lokaty K„ przy oprocentowaniu n razy w roku, rocznej stopie równej p , po upływie t lat i lokacie początkowej w wysokości k to
Stąd obliczamy dla przypadków a)-e):
Ad a) K x = k ( l + rfa)* = 10000(1 + j§ ) 2 = 12544 zł.
Ad b) K n - fc(l + l ó f e) 12'2 = 10000(1 + I§ 5) 24 = 12697 zł.
Ad c) #52 = *(1 + T o f e ) 52'2 = 10000(1 + J o ) " 4 « 12709 zL
= kept/ 100 = lOOOOe12'2/100 w 12712 zł.
P l a n p r o d u k c ji i p la n k o n s u m p c ji, re la c ja p re fe re n c ji k o n s u m e n ta Do opisu planu produkcji lub konsumpcji można użyć przestrzeni wielowymia
rowych. Jako przykład rozpatrzm y działanie piekarni [9],
Każdemu towarowi produkowanemu względnie wykorzystywanemu do produk
cji w piekarni przypisuje się rzeczywistą oś E z ustaloną na osi jednostką w sposób następujący:
Dzienny plan produkcji można zapisać w postaci wektora
y = (200,100,3000,300, -5 0 0 , -2 5 0 , - 6 0 , - 1 , -4 0 , -2 5 ) € R10.
Ilości towarów produkowanych są wzięte ze znakiem dodatnim , a środków do pro
dukcji - ujemnym. Przy systemie cen (w złotych) p przypisanemu każdemu koszy
kowi towarów y € M10 :
Dzienny plan konsumpcji (towarów z tabeli 2) gospodarstwa domowego może przyjąć postać:
x = (0 ,1 ,8,2 ,2 ,0 ,0 ,1 0 ,1 , - 3 ) 6 R10.
Czas pracy w godzinach m a znak ujemny, a ilość konsumowanych towarów - d odat
ni. Ogólnie biorąc, konsumenci działają w przestrzeni towarów Rl (l = 1 , 2 , 3 , . . . ) i zadanie każdego z nich polega na wyborze zawartości pewnego koszyka, czyli na realizacji planu działania zwanego wtedy planem konsumpcji. P lan konsumpcji Xi (i — 1, . . . , m ) i-tego konsum enta jest reprezentowany przez wektor w przestrze
ni towarów t f (xi £ l 1), przy czym jego składowe dodatnie są to ilości towarów skonsumowanych, a składowe ujemne to nakłady w postaci wykonywanej pracy.
W przestrzeni Rl każdemu i-tem u konsumentowi (i = 1, . . . ,n ) przypisuje się dwuargumentową relację jego indywidualnych preferencji <7i C R21. Dla planów konsumpcji x }, x 2 € Rl zapis x licrix 2 oznacza, że plan konsumpcji x \ jest prefe
rowany względem x 2.
D e fin ic ja 1. Relację er* C K2i nazywamy relacją preferencji (ź-tego konsumen
ta) jeżeli jest ona zwrotna, przechodnia, spójna i domknięta.
Relacja preferencji porządkuje w odpowiedni sposób plany konsumpcji konsu
menta.
ROZDZIAŁ II
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
2.1. Definicja pochodnej i jej interpretacja
Załóżmy, że funkcja y = f ( x ) jest określona w pewnym przedziale (a; b) i że jeżeli xo € (a; 6), to xq + A x € (a; b), gdzie A x jest pewnym przyrostem zmiennej niezależnej x ( A x > 0 lub A x < 0). Przyrostowi Aa; odpowiada przyrost A y wartości funkcji / , tj.
A y = f ( x 0 + Ax) - f ( x o).
D e fin ic ja 1. Ilorazem różnicowym funkcji / w punkcie x 0 dla przyrostu Aa;
nazywamy iloraz
Ay _ f ( xo + Aa:) ~ f ( xo)
Aa; Aa;
R ys. 40. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego funkcji
Iloraz różnicowy funkcji / w punkcie xq dla przyrostu A x równa się tangensowi 65
kąta, który tworzy sieczna A B z dodatnim zwrotem osi Ox.
Pochodna w danym punkcie jest równa tangensowi kąta, który tworzy styczna A C z dodatnim zwrotem osi Ox, gdyż przy Ax -> 0 punkt B zbliża się po wykresie
Dla xo = O, mamy
Przez X i oznaczamy zbiór wszystkich i e l , w których funkcja / jest różnicz-
W literaturze przedm iotu stosuje się następujące oznaczenia pochodnej:
V‘ f ( x ) (Lagrange), (Leibniz),
D y, D f ( x ) (Cauchy), y (Newton).
Znajdowanie pochodnej funkcji nazywa się różniczkowaniem funkcji. Dział m ate
m atyki zajm ujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami nazywa się rachunkiem różniczkowym.
D e fin ic ja 5. Funkcję / nazywamy różniczkowalną w zbiorze A, jeżeli ma ona skończoną pochodną w każdym punkcie tego zbioru.
Z ad an ia
K orzystając z definicji, wyznaczyć pochodną funkcji:
a) f ( x ) =x2 + 3x - 2 ; b) g(t) = cost; c) h{x) =
2 c o s ( x + sin ^ cos ( x + ^ ) sin ^
Wyznaczanie pochodnej na podstawie definicji jest zazwyczaj dość trudne. Du
żo łatwiej można znajdować pochodne funkcji w oparciu o pewne twierdzenia i wzo
Stąd dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi we wspólnym zbiorze, to
f u \ ' u'v — uv'
(i)
A y _ “|x+Axl ~ _ u (x + Aa;)u(a: + A x ) - u(x )v(x ) _
D o w ó d . Przyrostowi argum entu A x ^ 0 odpowiada przyrost A y = f ( x + A x ) - f ( x )
zmiennej y. Otrzymujemy stąd
y + A y = f ( x + A x).
Zatem
f ~ l (y + A y ) - x + A x . Stąd
Aa: = f ~ 1(y + A y ) - f ~ \ y ) ) .
Ze względu na to, że funkcja f ~ l jest monotoniczna (rosnąca lub malejąca) i ciągła (bo jest różniczkowalna), mamy
A y ^ 0 i Ay —> 0, gdy A x ^ 0 i Aa: —> 0.
Zatem
A y _ f { x + Aa;) - / ( x) A y 1
Aa; Aa; f ~ l {y + A y ) - f ~ l {y)
Ay
Stąd
fi, \ v f { x + A x ) - f ( x )
f (x ) = J ™ --- WZ---— = 7317 1
Ax-*o A x Ą„_>n / ‘fa+ A y)-/"1^ ) ( f ~ 1{y))n gdzie y = / ( x).
c . n .d .
2.3. W zory rachunku pochodnych
Można udowodnić prawdziwość następujących wzorów:
1. (xa)' — a x a~ 1, x > 0, a £ R;
2. (sina;)' = cos a;;
3. (cos a;)' = - sinx;
4. (tga:)' = = tg2 a; + 1, c o s a :^ 0 ; 5. (c tg x )' = = — ctg2 a; — 1, sina: ^ 0;
6. (arcsina;)' = x £ ( -1; 1);
7. (arccosa:)' = - 7= ? ’ a; £ ( - 1 ; 1);
8. (arc tg x)' = 9. (arc ctg a;)' = 10. (e*)' = ex;
1 1. (ax)' = a1 ln a, a > 0;
12. (loga |a:|)' = i loga e, a > 0, a ± 1, x ^ 0; 13. (ln |* |); = £, i ^ O .
P r z y k ła d 1. (a:3 + 2a;2 - 7a: + 0,24)' = (a;3)' + 2(a;2)' - 7{x)' + (0,24)' =
= 3a;2 + 4a; - 7, X x = K.
P r z y k ła d 2. ( * ) ' = ' " " y ' = X , = K\
P r z y k ła d 3. (a rctg (x2 - 1))' = 1+ ( J _ 1)ł (a:2 - 1)' = -2x2+2 ’ X i ~ ®-P r z y k ła d 4. y = tg a;, f ' ( x ) — 1/ cos2 x, co sx ^ 0.
W tedy x = a r c tg y i (a rc tg y )' = ( / _1(y ))' = cos2 x = 1+txgż- = czyli
w 1
(arc tg y) =
P r z y k ła d 5. Dla y = (x - l ) sinx = e0n(*-i))sinx = esinxin(x-i); x > ^ mamy yi _ esmxin(x-i) ^ c o g jjin ^ - 1) + = (® — l ) sinx ^ cosx ln(a; - 1) + ~ “[)»
przy czym X \ = (l;o o ).
Zadania
1. Znaleźć pochodną funkcji:
a) y = 6a;5 - 2a:-4 + ln x; b ) y =2v/x 2 - ^ ; c) y = x x ; d) f ( x ) = e) g{x) = e4x2-6x+i. f) _ a rc tg i= £. g) _ 3x arcsina;;
h ) i(* ) =
2. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji /(a:) = x3 + 2a:2 + x i równoległej do prostej o równaniu y = x.
3. Znaleźć równania stycznych do wykresu funkcji y = x 2 przechodzących przez punkt (1; 0). Czy istnieją styczne do wykresu tej funkcji, które są do siebie równoległe ?
O d pow iedzi
c) y' = x x(ln a r+ 1 ), X x = R f ; d) / '( x ) = * 1 = R \ { | } ;
e) g'(x) = 2(4x - 3)e4x2- 6x+ \ = 1; f) h'{x) = X x = E \ { -1};
g) *'(x) = 3x ln 3 a rc sin x + ;y===?, -^l = ( - 1 ; 1);
h) f ( x ) = 2( i-x ) v 'i-x ’ ^ = (_ 0 °! !)•
2. y = x lub y = x + 1^ .
3. y = 0 i y = 4x — 4. Współczynnik kierunkowy dowolnej stycznej do wykresu funkcji y — x 2 w punkcie o odciętej xq jest równy 2 x q , więc dla różnych x0 wartości tych współczynników są różne. Zatem nie istnieją różne styczne do tego wykresu, które są do siebie równoległe.
2.4. Różniczka funkcji
Niech funkcja y = /( x ) będzie różniczkowalna w punkcie
xo-D e fin ic ja 1. Różniczką funkcji y = /( x ) w punkcie xo dla przyrostu dx zmien
nej x nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji w punkcie xo przez dowolny przyrost argum entu dx:
df{x o) = f ' ( x 0)dx.
Różniczka funkcji przedstawia główną część przyrostu funkcji.
Zatem /(x o + dx) « / ( x 0) + df(xo) = /(x o ) + f ( x 0)dx. Różniczkę można stosować do wyznaczania przybliżonych wartości funkcji.
P r z y k ła d 1. Niech f ( x ) = - z3 + x - 1, xq = 1, dx = 0,1. W tedy /( 1 ) =
= - 1 , f ' ( x ) = - 3 x2 + 1, czyli / ' ( l ) = - 2 . Stąd
/ (1,1) w —1 + (—2) • 0 ,1 = —1,2.
Zadania
1. Obliczyć różniczkę funkcji f ( x ) = sin x cos x w punkcie a;0 = 0 przy dx = 0,1.
2. Jaki błąd popełnia się przybliżając /( 1 ,5 ) przy pomocy wzoru /( 1 ,5 ) =
= / (1) + df( 1) dla funkcji f ( x ) = x 2 + x ? Odpowiedzi
1
.
0,
1.
2. 0,25.
2.5. Tw ierdzenia rachunku różniczkowego
T w ie rd z e n ie 1. (Rolle’a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domknię
tym (a; 6) i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału oraz na jego obu końcach przyjmuje tą samą wartość, to wewnątrz tego przedziału istnieje taki punkt c, że f'(c ) = 0.
D o w ó d . Funkcja f ( x ) jest określona i ciągła w przedziale (a; b) i dlatego zgodnie z twierdzeniem W eierstrassa, przybiera w tym przedziale zarówno wartość naj
większą M jak i najm niejszą m. Mamy więc dwa przypadki:
1. M — m. W tedy w przedziale (a; b) funkcja f ( x ) zachowuje sta lą wartość.
Rzeczywiście, nierówność m < f ( x ) < M daje w tym przypadku f ( x ) = M dla wszystkich x; dlatego f ' ( x ) = 0w całym przedziale. Jako c można wziąć dowolny punkt z przedziału (a; b).
2. M > m . Wiemy, że funkcja osiąga obie te wartości, ponieważ jednak f(a ) =
= f(b), przynajm niej jedna z nich jest osiągnięta w pewnym punkcie między a i b.
W takim razie z twierdzenia F erm ata (patrz twierdzenie 4 w rozdziale 2.7) wynika, że pochodna / '( c ) w tym punkcie jest równa zeru.
c . n .d .
P r z y k ł a d 1. Niech f ( x ) = x 2, x € ( -1; 1). W tedy / ;(x) = 2x = 0 dla x =
= 0 € ( -1;1).
T w ie r d z e n ie 2. (Lagrange’a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale (a; b) i różniczkowałna wewnątrz tego przedziału, to wewnątrz tego przedziału istnieje taki punkt c, że
m _ M .
o — a
Rys. 43. Ilustracja twierdzenia Lagrange’a P rzy / ( a ) = f(b) otrzymujemy twierdzenie Rolle’a.
D o w ó d . Wprowadźmy funkcję pomocniczą g(t) określoną wzorem m = f ( t ) - f ( a ) - m b l fa {a\ t - a ) .
Funkcja ta jest ciągła w przedziale domkniętym (a; b) i jest różniczkowałna we
w nątrz tego przedziału oraz g'{t) = f ' ( t ) - . Ponadto g(a) = g(b) = 0. Zatem na podstawie twierdzenia Rolle’a istnieje taki punkt c € (a; b), że g'(c) = 0. Stąd
P r z y k ła d 2. Niech f ( x ) = x 3, x £ (0; 1). W tedy f ' ( x ) = 3x2, /(O) = O,
3. Czy można skorzystać z twierdzenia Lagrange’a w przypadku funkcji h(x) =
= 2 — Ina; w przedziale (1; e) ? Dla jakiego c £ (1; e) prawdziwy jest wzór h'(c) —
_ h( e) —h ( l )9 e —1
O dpow iedzi
1. Funkcja f { x ) nie jest różniczkowalna w i0 = 1 £ (0;2) i
Zatem na oba pytania odpowiedź jest negatywna.
2. Funkcja g{x) jest ciągła w przedziale domkniętym (0; 7r) i różniczkowalna.
W ewnątrz tego przedziału oraz na jego końcach przyjmuje równe wartości g(0) =
= d W — 0. Funkcja spełnia więc założenia twierdzenia Rolle’a; w istocie mamy 9' ( f ) = 0 .
3. Funkcja h(x) spełnia wszystkie założenia twierdzenia Lagrange’a i wzór jest prawdziwy dla c = e — 1.
2.6. Pochodne rzędów wyższych. T w ierdzenie Taylora
D e fin ic ja 1. Jeżeli funkcja / ' ma pochodną w zbiorze X2 C X \ , to tę pochodną nazywamy pochodną drugiego rzędu funkcji / w zbiorze X 2 i oznaczamy ją przez f " łu b
3*£-D e fin ic ja 2. Pochodną rzędu n funkcji / nazywamy pochodną pochodnej rzędu
P onadto przyjmujemy, że /W = / . Oznaczamy f W — / ' , f ( 2~> = / " , / ( 3) = Określamy zbiory X , X \ , X?, X 3, . . . jako dziedziny odpowiednio funkcji / oraz jej pochodnych / ' , / " , / ' " , . . . Zatem X D X i D X 2 D X 3 D . . .
P r z y k ł a d 1. Niech f ( x ) = ^ = x ~ \ x ^ 0. W tedy
Uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a jest twierdzenie Taylora.
T w ie r d z e n ie 1. ( Taylora) Jeżeli funkcja f ma pochodne do rzędu n w prze
dziale (xo;xQ + h), to wewnątrz tego przedziału istnieje taki punkt c, że f ( x ) = - a T 2, f" { x ) = 2x~3, . . . , f ^ ( x ) = ( - 1 )nn \ x - n~ 1
X = Xi = X% = ■■■ = X n = R \ {0}.
Twierdzenie to pozostaje prawdziwe również dla h < 0, tzn., gdy Xq + h jest początkiem, a i o - końcem przedziału. Jeżeli w równości
/ < * „ + k) = /(,„ > + n & h + O p U ’ + . . . +
To + h oznaczymy przez z, to otrzymamy wzór Taylora, czyli
f ( x ) = f ( x o) + f ^ ° ' - ^o) + t - y - (x - a;0)2 + . . . +
Resztą tego wzoru lub resztą Lagrange ’a nazywamy R n = ± - P - ( x - x 0)n .
n\
Jeżeli
c € (xo, rro + h) dla h > 0 lub c (E (a;o + h, £0) dla h < 0, to piszemy
c = xo + Oh = xq + 6{x — zo), gdzie 0 £ (0; 1).
W tedy mamy
n\
Przybliżając funkcję / wielomianem
K ^ , f ' ( x o ), ^ , /"(*<>), x2 , , / (n_1)(a:o),
/(* o ) + —j f ~ ( x ~ *o) + ■ gj....(a: - ^o) + . . . + - ^ — j-y p (z - z 0) \ popełniamy błąd równy wartości bezwzględnej reszty R n . Jeżeli lim R n = 0, to
n —► oo
można obliczyć wartość f ( x ) z dowolną dokładnością.
Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy xq — 0 i h = x, to otrzym am y wzór nazywany wzorem M acLaurina, tj.
gdzie
Rn = —"--j— a;n , 0€ ( O ;1).
n!
P r z y k ła d 2. Dla funkcji / ( i ) = ex , otrzymujemy f ^ ( x ) = ex , skąd /^ fc^(0) =
= 1 dla A: = 1 ,2 ,3 ,... Zatem
Stąd
e _ 1 + n + l + + ( ^ r i j ! + ^ ! e0’ e S € ( 1 ; 3 ) -a więc
R - e- < 3 Rn ~ n\ < n!
i np. dla ra = 5 błąd wyznaczenia e jest mniejszy niż ^ — 0 ,025. Zatem
e W l + T ! + i + 5 ! + l ! = 2 ’ 708(3K± 0 ’025)-a biorąc n = 8, otrzym am y Jy < 0,000075, czyli
e ~ 1 + l ! + ^ ! + l + 5 ! + K !+ ^ ! + ^ ! =" 2’ 718(253968)(±0> 000075).
Z ad a n ia 1. Sprawdzić, czy funkcja y spełnia warunek:
a) 2(y')2 = y "(y - 1), gdzie y = §=§; b) y" = y'y dla y = eTsina:.
2. Napisać wzór M acLaurina dla funkcji:
a) f ( x ) = sina;; b) g(x) = ln (l + a;); c) h(x) — e ~ f . 3. K orzystając z poprzedniego zadania wyznaczyć:
a) s i n i z dokładnością do 0,001; b) l n2 z dokładnością do 0,1.
O dpow iedzi
1. a) tak; b) nie.
2. a) sina; = x — £ + §f + . . . + ( - l ^ - i ^ g ^ +
Rn — *
sin (fe + kn), n — 2k,
lfk+i)\ sin (@x + fe7r + | ) , n = 2f c + l ;
b) In (l + x ) = x - ^ + £ + ... + ( -1) " ; c) e ~ f = 1 - |a ; + + . . . + ( - 1 7 1
W a), b) i c) n, A: = 1 ,2 ,3 , .. . i 6 e (0; 1).
3. a) sin 1 ^ 0,842; b) ln 2 w 0,9.
2.7. Ekstremum funkcji
Niech funkcja / będzie określona w zbiorze X , w którym zawarte jest otoczenie Q punktu x 0 o prom ieniu r > 0 (Q(xo,r) = (xo - r; xq + r)).
D e fin ic ja 1. Funkcja / m a w punkcie x 0 maksimum (odpowiednio m in im u m ) lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie Q (xo,r), w którym
f \ f { x ) < f { x o) (odpowiednio f \ / ( x) > / ( x 0)).
x € Q Q
D e fin ic ja 2. Funkcja / m a w punkcie xo maksimum (odpowiednio minimum) lokalne właściwe, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S ( x 0,r) = Q (x 0,r) \ {x0}, w któ
rym
f \ f (x ) < f ( x o) (odpowiednio f \ f ( x ) > f { x 0)).
zes xeQ
M aksima i m inim a lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi lub krótko eks
tremami. Są to pojęcia związane z odpowiednio małym i otoczeniami punktu x 0.
Z kolei największa i najm niejsza wartość funkcji oznaczają pojęcia globalne, gdyż są one określone dla całej dziedziny funkcji lub przedziału domkniętego — pod
zbioru tej dziedziny.
D e fin ic ja 3. Funkcja / przyjmuje w przedziale (a; b) wartość największą (od
powiednio najmniejszą), jeżeli istnieje punkt xq € (a; b) taki, że f \ f ( x ) < f ( x 0) (odpowiednio f \ f ( x ) > f ( x 0)).
xe(a;b) x€(a\b)
P r z y k ła d 1. Funkcja y = f ( x ) (por. wykres n a rys. 44) m a w przedziale ( - 1 ; 4) maksimum właściwe w punkcie x \ = 1, minimum w x2 = 3, wartość największą w i3 = 4 oraz wartość najm niejszą w 14 = - 1.
81
T w ie r d z e n ie 1 . (Fermata) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x q
i ma w tym punkcie ekstremum, to f ' ( x o) = 0.
D o w ó d . Załóżmy, że funkcja / m a maksimum w punkcie a:0. W tedy istnieje oto
czenie Q tego punktu o promieniu r > 0, takie że
A f (x ) < / M , czyli A f ( x ) - f ( x 0) < 0,
x € Q x € Q
stąd < o, gdy 0 < x - x 0 < r i > 0, gdy - r < x - x 0 < 0. Zatem
lim ~ '< * “> < 0 i ]im / W ~ / f a ) 0 ,
x — x + X - X0 x — x “ X - X 0
Obie te granice rów nają się pochodnej f ' ( x 0) (bo ona istnieje!). Zatem f { x 0) < 0 i f ' { x 0) > 0, czyli
/ '( x 0) = 0.
Dowód dla funkcji / mającej minimum w punkcie jest analogiczny, c . n .d .
Twierdzenie F erm ata określa warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie x 0, tzn. f ' ( x 0) = 0. W arunek ten nie jest jednak wa
runkiem wystarczającym .
P r z y k ł a d 2. Funkcja f ( x ) = z2 m a pochodną f ' ( x ) = 2z i /'(a;) = 0 dla
xq = 0 i w punkcie xq — 0 jest minimum.
P r z y k ła d 3. Dla funkcji g(x) = a:3, mamy ^'(a;) = 3a:2 i g'(x) = 0 dla x 0 = 0, ale w punkcie xq = 0 funkcja g nie m a ekstremum.
Zauważmy, że funkcja może mieć ekstremum w punkcie, w którym nie jest różniczkowalna.
P r z y k ła d 4. Funkcja / ( x) = |a:| m a minimum w punkcie x0 = O, w którym nie m a pochodnej.
R ys. 46. Ilustracja przykładu 4
Okazuje się, że funkcja / może mieć ekstremum tylko w punktach, w których jej pochodna f istnieje i zeruje się lub w których ta pochodna nie istnieje.
D e fin ic ja 5. Punktami stacjonarnymi funkcji / nazywamy wartości x, dla któ
rych f '( x ) = 0 lub f '( x ) nie istnieje.
T w ie rd z e n ie 2. (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w sąsiedztwie S (xq, r)(r > 0) punktu stacjonarnego
zq oraz
f ( x ) > 0 dla x Q - r < x < x 0 i f { x ) < 0 dla x 0 < x < x0 + r
(odpowiednio f { x ) < 0 dla xq — r < x < xq i f ' ( x ) > 0 dla xq < x < xq + r), to w punkcie xq funkcja / ma maksimum (odpowiednio minimum) właściwe.
D o w ó d (dla minimum; dowód dla maksimum jest analogiczny). Załóżmy, że x &
6 S ( x 0, r ) = Q (x 0,r) \ { x 0} (r > 0). W przedziale o końcach x 0 i x funkcja / spełnia założenia twierdzenia Lagrange’a. Stąd
f ( x ) - f { x o) = f ' ( c ) ( x - x o).
Zatem iloczyn /'( c ) ( x - x 0) jest dodatni, gdyż dla x < x 0 obydwa jego czynniki są ujemne, a dla x > xo — dodatnie. Stąd dla każdego x € S ( x Q,r) zachodzi warunek f ( x ) - f { x o) > 0, czyli funkcja / m a minimum właściwe.
c .n .d .
Na poniższych rysunkach przedstawiona jest interpretacja pierwszego warunku wystarczającego dla istnienia ekstremum.
R ys. 47. Interpretacja dla maksimum Rys. 48. Interpretacja dla minimum
P r z y k ła d 5. Znaleźć ekstrem a funkcji f ( x ) = x > O, X = (0; oo). O trzy
mujemy
t u \ x x ~ lna; 1 - ln x ,,
f W --- = — ^2— , * i = (0; oo).
Stąd kolejno f ( x ) = 0 dla 1 - Ina: = 0, czyli a;0 = e, f ' ( x ) > 0 dla 1 - Ina; >
> 0, czyli 0 < x < e, f ' ( x ) < 0 dla 1 - Ina: < 0, czyli x > e.
Zatem funkcja / m a w punkcie x 0 = e maksimum o wartości f ( e ) = i , gdyż przy przejściu przez ten punkt f zmienia znak z dodatniego n a ujemny i zeruje się w xq.
T w ie r d z e n ie 3. (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu Q (x 0,r) (r > 0) pierwszą i drugą pochodną ( / ' i f " ) ciągłą w punkcie xq oraz f ' ( x o) = 0 i f ( x o ) / 0, to funkcja f ma w punk
cie maksimum (odpowiednio minimum) właściwe, gdy f " ( x 0) < 0 ( odpowiednio f " ( x o) > 0).
D o w ó d (dla maksimum; dowód dla minimum jest analogiczny). Funkcja / spełnia założenia twierdzenia Taylora i ponadto f ' ( x 0) = 0. Zatem
f ( x ) - f ( z o ) = - * o )2
D o w ó d (dla minimum; dowód dla maksimum jest analogiczny). W zór Taylora dla funkcji / m a postać:
/ ( * ) = / M + - *„) + - *„)’ +
— r + ^ < ~ . )"•
gdzie c £ (xo; a:) lub c € (z; xq). Uwzględniając założenie f ' ( x o) = f" (x o ) = . . . =
— f (-n~ 1\ x o ) ■ 0, otrzymujemy
f ( x ) - f ( x o) = ^—^~ ^-(x - x 0)n i c £ (x q-,x)lub c 6 (x;xo).
Niech f ( n\ x0) > 0. Skoro f {n) jest ciągła w punkcie x 0, to istnieje sąsiedztwo S =
= S( xo, r), gdzie r > 0, takie że / \ / (n)(z) > 0. Stąd mamy / \ f ( x ) - f ( x 0) > 0.
x 6s x e S
Zatem / \ / ( z ) > f(x o ) , czyli funkcja / m a minimum właściwe w punkcie xq. x£S
c . n .d .
P r z y k ła d 7. Dla /(a;) = x 4 otrzymujemy
f ( x ) = 4 z3 /'( 0 ) = 0, /" ( * ) = I2 x 2, / " (0) = 0, f " ( x ) = 24x, / " ' (0) = 0, / (4)(a:) = 24, / (4)(0) = 24 > 0.
Stąd funkcja / m a minimum w xq = 0.
Z ad a n ia
W yznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrem a funkcji:
a) f ( x ) = s l n x ; b) g(x) = x 2e~x \ c) h(x) = ; d) i{x) = x 3 + 3x2 - 9x - 2; e) j(x ) = f) A:(i) = g) /(a:) = -^i+ x ; h) /(a:) = x —
i) m(a:) — x 4 - 2x2 + 1; j) n(x ) =
O dpow iedzi
a) Funkcja rosnąca w (0; i ) , m alejąca w ( i ; +oo), minimum w i;
b) Funkcja rosnąca w (0; 2), malejąca w (-o o ;0 ) oraz w (2;+oo), minimum w 0 i maksimum w 2;
c) Funkcja rosnąca w ( -00; - 1 ) oraz w (l;+ o o ), malejąca w (—1;0) oraz w (0; 1), maksimum w - 1 oraz minimum w 1;
d) funkcja rosnąca w ( -00; - 3 ) oraz w (1; +00), m alejąca w ( - 3 ; 1), maksimum w —3 oraz minimum w 1;
e) funkcja rosnąca w ( -00; 0) i malejąca w (0; +00), maksimum w 0; f) funkcja rosnąca w ( -00; 1) i malejąca w (1; +00), maksimum w 1; g) funkcja malejąca w ( -1; +00), nie ma ekstremum;
h) funkcja rosnąca w ( -00; - 2) oraz w (0; +00), malejąca w ( -2; 0), maksimum w - 2;
i) funkcja rosnąca w ( -1; 0) oraz w (1; +00), malejąca w ( -00; - 1) oraz w (0; 1), minimum w —1 oraz w 1, maksimum w 0;
j) funkcja rosnąca w (0; e) i malejąca w (e; +00), maksimum w e.
2.8. W ypukłość, w klęsłość i punkty przegięcia krzywej
D e fin ic ja 1. Wykres funkcji f jest wypukły (odpowiednio wklęsły) w punk
cie x o wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sąsiedztwo x q takie, że w każdym punkcie tego sąsiedztwa wykres ten leży powyżej (odpowiednio poniżej) swej stycznej s w punkcie x q .
R ys. 50. Ilustracja wypukłości
D e fin ic ja 2. Wykres funkcji f jest wypukły (odpowiednio wklęsły) w prze
dziale (a;b), jeżeli jest wypukły (odpowiednio wklęsły) w każdym punkcie tego przedziału.
Zamiast „wykres funkcji / jest wypukły” mówi się również „funkcja / jest wypukła” .
T w ie rd z e n ie 1. Jeżeli / " ( x) > 0 (odpowiednio f''{ x ) < 0) dla każdego x G G (a; 6), to wykres funkcji f jest wypukły (odpowiednio wklęsły) w przedziale (a;b).
D o w ó d . Niech funkcja / m a w otoczeniu punktu xq dwie pierwsze pochodne ciągłe. Na mocy wzoru Taylora mamy
f ( x o + h ) ~ f { x o) - ± f ( x o) = £ f " ( x o + 9h).
Wykreślmy styczną do krzywej y = / ( x) w punkcie x q. Jej równanie ma postać V — f ( x o) + f'( x o ) ( x - xo), więc dla x — x 0 + h mamy O A = f ( x 0) + h f ' ( x 0).
Ponieważ f ( x o + h) = O B , więc
O B - CM = i / i 2/" ( ^ o + Stąd
^ / " ( f F o + Wi).
Znak prawej strony tej równości dla h ± 0 zależy tylko od znaku pochodnej f " ( x 0+
+9h) i pochodna ta jest dla małych |/i| dodatnia, gdy f " ( x 0) > 0, a ujemna, gdy f " ( x 0) < 0.
c . n .d .
P r z y k ła d 1. f ( x ) = x 3, f '{ x ) = 3x2, f " { x ) = 6x < 0 dla x < 0 i f ' ( x ) > 0 dla x > 0. Zatem funkcja f ( x ) — x 3 jest wklęsła w M_, a w ypukła w E + .
D e fin ic ja 3. P u n k t x q nazywamy punktem przegięcia funkcji f , jeżeli oddziela on część w ypukłą jej wykresu od części wklęsłej.
P r z y k ł a d 2. Dla funkcji f { x ) = x 3 mamy /"(O ) = 0, f " { x ) < 0 dla x < 0 i f " ( x ) > 0 dla x > 0.
Zatem punkt xo — 0 jest punktem przegięcia funkcji f ( x ) = x 3.
Niech funkcja / m a ciągłą drugą pochodną w otoczeniu punktu x 0. Zachodzą wtedy następujące twierdzenia.
T w ie r d z e n ie 2. Jeżeli punkt xq jest punktem przegięcia funkcji f , to f " ( x o) =
= 0.
D o w ó d . Załóżmy, że f " ( x o) ^ 0. W tedy na podstawie twierdzenia 1.10.5 funkcja ciągła f " m a stały znak w pewnym otoczeniu punktu xo, czyli funkcja / jest wypukła ( f " { x 0) > 0) lub wklęsła ( f " { x 0) < 0) w tym otoczeniu punktu x 0.
Zatem wykres funkcji / nie m a punktu przegięcia w punkcie x 0.
c.n.d.
Nie jest to jednak warunek wystarczający.
P r z y k ła d 3. Niech f ( x ) = z 4. W tedy / ' ( x) = 4x3, / " ( x) = 12x2, /" ( 0 ) = 0 i f " ( x ) > 0 dla każdego x ± 0.
R ys. 53. Ilustracja niewystarczalności dla twierdzenia 2
W punkcie xq = 0 funkcja f ( x ) = x4 nie m a jednak punktu przegięcia.
T w ie r d z e n ie 3. Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia funk
cji f w punkcie xq jest zmiana znaku f " przy przejściu przez xq, tzn.
f " ( x ) < 0 dla x < xo, f " ( x ) — 0 dla x = xq i f " { x ) > 0 dla x > xq, lub
/ " ( x) > 0 dla x < x 0, f " { x ) — 0 dla x — xq i f " ( x ) < 0 dla x > xq, dla dowolnego x należącego do pewnego sąsiedztwa S (x o ,r) (r > 0).
D o w ó d . W przypadku f " ( x ) < 0 dla x < aro, f " ( x ) = 0 dla x = xo, f " ( x ) > 0 dla x > xo funkcja / jest wklęsła w przedziale (x q —r ; x o), a w ypukła w przedziale (so! x o + r ) ■ Zatem funkcja / m a punkt przegięcia w xq.
W drugim przypadku rozumowanie jest analogiczne.
W drugim przypadku rozumowanie jest analogiczne.