O topologii przestrzeni podzbiorów domkniętych
W teorii mnogości wprowadza się pojęcie granicy ciągu zbiorów A n w następujący sposób: Przez granicę górną {dolną) rozumiemy zbiór tych elementów, które należą do nieskończenie wielu (prawie wszystkich) zbiorów A n. Jeżeli granice górna i dolna są równe, to ciąg nazywa się zbieżny, a ich wspólna wartość — granicą ciągu.
Zachodzą przy tym wzory
OO 00 00 CO
(1)
limvtw= П
U Л-п, limJ.„=
UП Л -
1 n —k k = 1 П—к
Ponadto, jeżeli przez fn{x), f*(x), f*{x) oznaczymy odpowiednio funkcje charakterystyczne zbiorów: A n, limA n, lim d №, to
(2) f { x ) = limfn(x), /*(a?) = lim fn{x).
Na to więc, by ciąg zbiorów A n był zbieżny do zbioru A potrzeba i wystar
cza, by ciąg funkcji charakterystycznych zbiorów A n był zbieżny do funkcji charakterystycznej zbioru A. Ta uwaga, jakkolwiek bardzo prosta, ma pewne zastosowania: pokazuje ona na przykład od razu, jak w prze
strzeni wszystkich podzbiorów jakiegoś zbioru X wprowadzić topologię, żeby:
1° topologia ta była dwuzwarta,
2° zbieżność indukowana przez tę topologię pokrywała się ze zbież
nością określoną powyżej.
Wystarczy mianowicie tę topologię wprowadzić tak jak w przestrzeni funkcji określonych na zbiorze X i przybierających wartości O i l , tzn.
tak, jak w produkcie tichonowskim zbiorów {O, l j . A więc jeżeli A e 2 X, a X-!, ..., xn e X , to przez otoczenie zbioru A wyznaczone przez punkty x lt . . . , x n rozumiemy zbiór tych B e2 x , dla których В ^ j^ j = i A j^ j {i = 1 , 2 , ..., n) (oczywiście warunek ten jest równoważny z warunkiem /(®<) = g (X i), gdzie f(x) i g{x) oznaczają odpowiednio funkcje charakte
rystyczne zbiorów 1 i B).
Podobnie wprowadza się pojęcie granicy topologicznej ciągu zbio
rów. Mianowicie jeżeli A n są podzbiorami przestrzeni topologicznej X , to przez granicę topologiczną górną {dolną) rozumie się zbiór punktów x e X , których każde otoczenie zawiera punkty nieskończenie wielu (prawie wszystkich) zbiorów A n. Ciąg zbiorów A n nazywa się zbieżny topologicz
nie w X , jeżeli jego górna granica topologiczna jest równa dolnej.
Znany jest wzór na granicę topologiczną górną (lim <i„), podobny do wzoru (1), a mianowicie
______ OO 00
(3) -lim<J.№ = П U Ai?
fe=l n = k
natomiast analogiczny wzór na granicę topologiczną dolną nie jest znany.
Wyprowadzimy obecnie wzory, analogiczne do wzorów (2), wyraża
jące funkcje charakterystyczne zbiorów limŁ4n, limkł^ przez funkcje charakterystyczne zbiorów A n, a następnie zastosujemy otrzymane wyniki do badania topologii przestrzeni podzbiorów domkniętych.
Mech fn(x), f*{x), f*{x) oznaczają odpowiednio funkcje charakte
rystyczne zbiorów: A n, lim Lin, limŁ4w. Wtedy (4a) f { x ) = inf (lim[sup /„(*)]),
U e x t e U
(4b) U(x) = inf jlim [sup/Jż)]},
U э х t e U
gdzie U jest otoczeniem.
D o w ó d . Udowodnimy wzór (4a) oznaczając przez f ] i £ odpowied- wiednio duży i mały kwantyfikator:
( f{ x ) = 1) = f ] П £ £ (ł€A n) = П П U (SUP/«W = !) =
Ua x к n > k t e U Х7эх к n > k i e U
= f~[ [Um(sup/n(ż)) = l] = (inf {lim[sup/Jź)]J = l}.
u d *eU W U U j
Dowiedliśmy więc, że lewa strona wzoru (4a) przybiera wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona przybiera również wartość 1.
Ponieważ zarówno lewa, jak prawa strona tego wzoru przybierają jedy
nie wartości O i l , więc równość zachodzi zawsze.
Wzór (4b) wyprowadza się analogicznie.
Zauważmy dalej, że jeżeli 23 jest bazą otoczeń przestrzeni X , to wyrażenia
inf {lim [sup/„(*)]}, inf {lim [sup/n(<)]}
U a x t ęU U э х — — t e U
nie zmienią swej wartości, gdy założymy, że U przebiega jedynie otoczę-
oia należące do 53. Jeżeli więc w szczególności wyrażenia te są wtedy równe, to ciąg zbiorów jest zbieżny.
Wzory (4a) i (4b) zastosujemy do dowodu następującego znanego twierdzenia:
Tw i e r d z e n i e 1. Jeżeli X jest przestrzenią ośrodkową, to z każdego ciągu zbiorów An można wyjąć podciąg zbieżny.
Dow ód. Mech U19 Z72, ..., Uk, ... będzie ciągiem otoczeń stano
wiących bazę 53 przestrzeni X. Bozpatrzmy następujący ciąg punktów zbioru Oantora:
^ Slip fn(t)
teUl
2 sup fn{t) i teU2
+ £2 + ..• +
2 sup fn(t)
teUk i
3fc 5
gdzie fn(x) jest funkcją charakterystyczną zbioru A n. Z ciągu możemy wyjąć podciąg zbieżny do punktu
£ dt% Cba O/U
T + ' ¥ + - + ' ¥ + należącego do zbioru Cantora. Mamy dla każdego к
a więc dla każdego x e X
™ ? K C ) - *y
te U k Zi
inf {lim[sup/ire(<)]j = inf jlim [sup/zJ O ]j,
и к э х t e U k U k o x ' t e U k
co oznacza, że ciąg Ajn jest zbieżny.
Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą, to, jak udowodnił Haus- dorff ([3], str. 145), w przestrzeni 2X wszystkich podzbiorów domknię
tych przestrzeni X można wprowadzić metrykę spełniającą warunki:
1*. Odwzorowanie x -> {a?} jest izometńą przestrzeni X na część prze
strzeni 2X.
2*. Zbieżność indukowana przez tę metrykę pokrywa się ze zbieżnością topologiczną w X .
3*. Przestrzeń 2X jest zwarta.
Odległość zbiorów A , B e2 X określił Hausdorff jak następuje:
д*{А, В) — max{supg(a?, Б ), supg(J., у )\,
х е А У е В
gdzie q oznacza metrykę w przestrzeni X (zob. również [4], str. 106 i [5], str. 21).
Dowodu wymaga jedynie warunek 2*, gdyż warunek 1* jest oczywisty, a warunek 3* wynika z warunku 2*, ośrodkowości przestrzeni X i twier
dzenia 1. Warunek 2* w postaci nieco ogólniejszej udowodnimy później.
Uogólnienie wyniku Hausdorffa na dowolne przestrzenie topologiczne dwuzwarte podał Yietoris(1). Mianowicie:
Jeżeli X jest przestrzenią topologiczną dwuzwartą, to w przestrzeni 2X można wprowadzić topologię spełniającą warunki:
1° odwzorowanie x -> {ж} jest homeomorfizmem przestrzeni X na część przestrzeni 2X,
2° zbieżność indukowana przez tę topologię pokrywa się ze zbieżnością topologiczną w X .
3° przestrzeń 2X jest dwuzwarta (zob. również [7]).
Topologię tę określamy w sposób następujący:
Niech 23 będzie bazą otoczeń przestrzeni X . Dla danego A e 2X niech U19 U2, Un, F1? F 2, . .., У u będzie dowolnym układem otoczeń na
leżących do 23 i spełniających warunki U i r\ А Ф 0, Vr r\ A — 0, {i — 1 , 2 , ..., n; r = 1 , 2 , ... , k ). Przez otoczenie A wyznaczone przez układ Ux, U2, • Un, Vx, Fa, . .. , Vk rozumiemy zbiór tych В e2X, dla których В rs Щ Ф О, В r\ Vr — 0. Otoczenie takie będziemy oznaczali krótko [U x, U2, ..., Un, Fi, Fa, . .. , F*].
Określoną w ten sposób topologię będziemy nazywali topologią Vietorisa, a bazę otoczeń [Z71? . .. , Un , Vx, . .. , Ffc] oznaczać będziemy przez 253.
Przy stosowaniu definicji Yietorisa do przestrzeni niedwuzwartych topologia w przestrzeni 2X może zależeć od wyboru bazy w przestrzeni X . Jeżeli np. za X weźmiemy zbiór liczb rzeczywistych, za 23x bazę wszyst
kich przedziałów otwartych (skończonych), a za 232 bazę wszystkich zbio
rów otwartych, to w pierwszym przypadku ciąg zbiorów A n — zbiór złożony z liczb 1/n, n jest zbieżny do zbioru A — {0), w drugim zaś przy
padku nie.
Jednakże prawdziwre jest twierdzenie następujące:
Twierdzenie 2. Jeżeli X jest przestrzenią dwuzwartą, to topologia w przestrzeni 2X nie zależy od wyboru bazy w X.
D o w ó d . Niech 23x i 232 będą dwiema bazami przestrzeni X . Wystar
czy udowodnić, że dla każdego A e 2X i każdego otoczenia [ Ux, . . . , Un, V x, . .. , F*]e 2®1 zawierającego A istnieje otoczenie [Z7*, ..., Ul, V*, . .., . .. , Fg]e2S31 spełniające warunki: А в [U l, . .. , Ul, F*, . .., F*] i [U*, . . . , Ul, F*, . .. , FJ]C iU l9 ..., Un, F 1? ..., F*]. W tym celu wybierz
my U*€232 tak, by и * г \ А Ф 0 i U* С Щ. Dalej, ponieważ Vr r\A =
i1) Zob. [8]. Podana tutaj definicja topologii w przestrzeni 2X różni się nieco od oryginalnej definicji Yietorisa; zbliżona jest bardziej do definicji topologii w przestrzeni w s z y s t k ic h podzbiorów dowolnego zbioru. Definicja ta jest równoważna definicji Yietorisa,
O, a przestrzeli X jest dwuzwarta, można znaleźć takie zbiory Кr,l ) ' r,2 ) .., v;>qr e 53 2, by 7,,, n A = 0 i 7r С 7*д ^ 7* 2 w 7*3 w ... w 7*,ar‘
Łatwo spostrzec, że wówczas otoczenie [ Z7*, ..., TJ*n, 7* x, 7 j 8, ..., YXj(Zl, 7 2* п . - . ? 7 2%2, . . . , 7 ^ , . . . , 7 ^ ] spełnia żądane warunki.
Twierdzenie 3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwarty, to to
pologia w przestrzeni 2X indukowana przez metryką Hausdorffa pokrywa się z topologią Yietorisa.
D ow ód . Oznaczmy przez 53x bazę otoczeń sferycznych w przestrzeni X , a przez 53 2 bazę otoczeń sferycznych w przestrzeni 2X przy metryce Hausdorffa. Należy udowodnić, że bazy 2s®1 i 53 2 są równoważne, tzn. że dla każdego A e 2 x i każdego llM€2f&1 zawierającego A istnieje takie H2e532, że A e il2 i £l2 C £lx, i na odwrót. Przypuśćmy więc, że ilx = [t7x, . . . , Un, 7 X, ..., 7 fc]. Mech będzie XieAr^TJi (1 < i < n). Przyjmijmy ex —
— m in[gtyi, X \ J7*)}, e2 = min{p(d., 7,-)j, e = min{ex, s2) i wreszcie и г = Е { в \ л , в ) < e), gdzie g* jest metryką Hausdorffa w przestrzeni 2X.
в
Jeżeli BeU2, to B r^ U iA 1 0 dla każdego i. Istotnie: z В rs Ui = 0 wynikałoby sup g (x , B) > g (X{ , В) ^ g (х{ , X \ U i) > e, a zatem g*{A , B) > e
x e A
wbrew założeniu. Analogicznie, gdyby przy pewnym j było В гл Vj Ф О, to dla у 0еВ 7,- mielibyśmy supp(A, у) > g(A , y 0) > , 7,-) > £
V j B
wbrew założeniu, a zatem В <0 7,- = 0 dla 1 < j &, skąd B e l l x, a więc H2 C .
Na odwrót, niech U2e532 będzie danym otoczeniem zbioru A, tzn.
= E ( e *U >B ) < e). Weźmy taki skończony układ punktów хг, х г, . . . , x n, в
że dla każdego x e A jest m inp(a!,ą) < |e, oraz taki skończony układ otoczeń 7 X, 7 2, ..., 7* pokrywający zbiór O = j f ( g ( A ,y ) > ^e), że
_ ?/
7 ,-^ A = 0. Przyjmijmy Ui = [?(g(x, xt) < js) (1 < г < w) oraz ilx =
x к
= [C\, . .., Pn, 7 X, . .. , 7*]. Jeżeli Bel lx, to В ^ С С В ^ (J 7, = 0,
?=1 a więc B C X \ C , ponieważ zaś dla każdego y e X \ C mamy g(A , y) <
więc sup^(A, 1/) < \e < e. Następnie dla każdego x eA mamy q(x, (i) <
V e B
< a?) + e(a?Xj В) < е(ж, a^H-^e dla 1 < г < n, a więc g ( x ,B ) <
< т т ^ ( ж , Жг) + зе < |e + |e = fe. Stąd sup£>(a?, B) < fe < e, więc g* (А , В) < £, przeto B e i l 2 i £lx C U2.
Oprócz przestrzeni 2X rozpatrzmy przestrzeń 2{X) wszystkich funkcji charakterystycznych podzbiorów domkniętych przestrzeni X . Topologię Yietorisa w przestrzeni 2{X) realizuje się w sposób następujący: Jeżeli / е 2{-X), a U1, ..., TJn, 7 X, ..., 7 fce53 są takimi otoczeniami w X , że
suv f(t) = 1 , suv f(t) — O, to za otoczenie / w wyznaczone przez układ
l e U i t e V j
U n . .. , Un, Vlt . .., Vk uważamy zbiór tych ge 2fX), dla których sup g(t) = teUi
= 1 , sup</(ź) = 0. Otoczenie takie będziemy oznaczali krótko <Z7X, ...
t e V j
..., Un, Vlf . .. , F*>.
Twierdzenie 4. Jeżeli X jest przestrzenią zwartą regularną, to zbież
ność indukowana w przestrzeni 2(X) przez topologią Yietorisa pokrywa się ze zbieżnością topologiczną w X .
D o w ó d . Wystarczy oczywiście dowieść, że w przestrzeni 2(X) zbież
ność indukowana przez topologię Yietorisa pokrywa się ze zbieżnością określoną wzorami (4a) i (4b).
Niech f1 będzie takim ciągiem funkcji należących do 2(X\ że (5) inf {lim [sup / a(i)]} = inf {lim[sup/1(<)]J — f(x).
Ub x ł e U U в х t e U
Niech H = (U u . .. , Un, Vlf ..., F*> będzie dowolnym otoczeniem funkcji /. Udowodnimy, że prawie wszystkie funkcje fi należą do U. Je
żeli Xi^Ui i f{xi) = 1, to inf {lim[sup/z(ź)]{ = 1, a więc w szczególności
Ubx{ — te u
lim [sup/z(t)] = 1 , co jest równoważne z tym, że supft(t) = 1 dla prawie
--- t e U i te Ui
wszystkich l. Przypuśćmy, że sup/z(ź) = 1 dla nieskończenie wielu l:
te V? _
h < h < • • • < l8 < • • • Niech Xis będzie takim punktem, • że xlg e V i fis(x ) — 1* Zbiór {#ZJ może być skończony albo nieskończony. Oznacza
jąc przez x 0 w pierwszym przypadku punkt, który w ciągu xlg występują nieskończenie wiele razy, a w drugim przypadku dowolny punkt skupienie zbioru \xi {stwierdzamy łatwo, że inf {lim [sup/(i)]} = 1, co jest niemożli-*
S Ub x0 _te u
we, gdyż x0 w każdym razie należy do F,-. Wobec tego sup/z(ć) = 0 dla
te po
prawie wszystkich l, a więc / zetl dla prawie wszystkich l.
Niech na odwrót fn będzie takim ciągiem, że dla każdego otoczenia U funkcji / prawie wszystkie wyrazy należą do U. Udowodnimy, że zachodzą równości (6). Jeśli f(x Q) — 0, to istnieje takie U, że x 0eU i supf(t) = 0. Niech x 0eV 1C U i U — <Fx>. Ponieważ fneli dla prawie
te U
wszystkich n (gdyż oczywiście f e i t), więc supfn{t) = 0 dla prawie wszyst
kich n. Wobec tego teVl .
0 < inf {lim[sup/M(<)]{ < inf {lim [sup/„(/)]{ < 0 .
UbXq~ - te U U BXQ te U
Przypuśćmy dalej, że f{x 0) = 1 . Niech Ux będzie dowolnym otocze
niem x 0 i U = {Ux). Mamy sup/(tf) = 1 . Wobec tego stąd, że fneii dla
t e U x
prawie wszystkich щ wnosimy, że snpfn(t) =?= 1 dla prawie wszystkich
t e U x
n. Przeto przy każdym U sx 0 mamy lim[sup/n(i)] = 1, a więc
— i6u
1 = inf (lim[sup/№(<)]} < inf jlim[sup/w(i)]} < 1.
U 9X0 --- t e U U ax0 te U
Z twierdzenia tego wynika warunek 2°, a z uwagi na twierdzenie 3 również warunek 2*.
Przystąpimy obecnie do dowodu warunku 3°. W tym celu wprowa
dzimy następujące oznaczenia: Przez CToznaczymy produkt tichonowski przestrzeni r dwupunktowych. Przestrzeń tę możemy traktować jako przestrzeń wszystkich funkcji <pokreślonych na zbiorze 23 mocy r i przyj
mujących wartości O i l . Otoczenia w przestrzeni Crsą określone w sposób następujący: Dla dowolnego układu elementów Z7X, ..., Un, Vx, . ,.,Р ле23 za otoczenie w Crwyznaczone przez ten układ uważamy zbiór tych <p e CT, dla których <p(Ui) = 1, <p(F,-) = 0 . Otoczenie takie będziemy oznaczali przez j Ux, U n, Vx, ..., Vk) .
Udowodnimy obecnie
Tw i e r d z e n i e 5. Jeżeli X jest przestrzenią dwuzwartą o bazie 23 mocy r, to przestrzeń 2X jest obrazem ciągłym pewnego podzbioru domknię
tego przestrzeni G1.
Dowód. Możemy założyć, że baza 23 spełnia warunek:
jeżeli Ux, Z72e23, to TJX^> U2e23.
Gdyby 23 nie spełniała tego warunku, to baza złożona ze wszystkich sum skończonych otoczeń należących do 23 już by warunek ten spełniała, a moc jej byłaby równa mocy bazy 23.
Przestrzeń CTmożemy traktować jako przestrzeń funkcji określonych na 23. Weźmy podzbiór Cr0 złożony z funkcji (p spełniających warunki:
1. Jeżeli TJX C Z72, to cp(TJx)< <p(U2) ,
2. <p(JJiv U2^ . . . ^ Uk) < ma,x[<p(U1)t (p{U2)] ...,<p(Uk)\.
Udowodnimy, że 2(X) jest obrazem ciągłym zbioru OJ. W tym celu funkcji cpeCl przyporządkujmy funkcję / = Ф{д>)е 2(X) w sposób nastę
pujący:
f(x) = inf (p{U).
U ах
Stwierdzimy przede wszystkim, że tak określona funkcja / istotnie należy do 2(X\ tzn. że jest funkcją charakterystyczną zbioru domknię
tego. Rzeczywiście, jeżeli f(x0) — 0, to istnieje takie U0bx0, że (p(U0) — 0.
Wtedy f(x) = 0 dla każdego x e UQ, a więc / zeruje się na zbiorze otwartym, czyli jest funkcją charakterystyczną zbioru domkniętego.
Stwierdzimy dalej, że odwzorowanie Ф przekształca Ol na całą prze
strzeń 2<X). Dla /o € 2('X) przyjmijmy
<p0(U) = sup/0(«).
ta U
Udowodnimy, że /, = Ф(у0). M ech / 0(я?0) = 1. Wtedy <p0(U) = 1 dla każdego Uaa?0, a więc inf<p0(U) = 1. Jeżeli f 0(x0) — 0, to z uwagi na to,
U a Xq
że /o jest funkcją charakterystyczną zbioru domkniętego, istnieje takie U„<?23, że x 0eU0 i f0(x0) = 0 dla a?eU0. Stąd <p0( U0) = 0, więc inf<p0( U) = 0.
U а х 0
Udowodnimy teraz ciągłość odwzorowania Ф. Niech / 0 = Ф(<р0) i niech (U 1, . . . , Un, F1? . .. , Vk) będzie dowolnym otoczeniem f0. To znaczy, że sup/0(£) = 1 i sup/0(ż) = 0. Jeśli XieUi i / 0(a?{) = 1? to wybierzmy
Xe Ul t 6 Vj
takie U*e33, że XieU* C U* C Ui. Dla każdego teVj mamy f0(t) = 0.
Stąd wynika, że istnieje V f spełniające warunki t e V f i y { V f ) = 0.
Oczywiście I7,- C Ff*. Wobec tego istnieje taki skończony układ
te f f _
Ffi), Ff2), . .. , Ffr), że F,- C F f j) . w Ffr). Przyjmijmy V* = Vfl\^ ...
. . . ^ Ffr) i niech U = { U*, . . . , 27j, V*, . . . , V l). Udowodnimy, że 9?0eH. Istotnie, gdyby <p0(Ul) = 0, to i nf <p (U) =0 wbrew temu, że
UaXi
j 0{xi) = 1. Podobnie, ponieważ <p(Ffs)) = 0, więc <p(F,*) = 0 (na mocy warunku 2). Wykażemy teraz, że Ф(Н) C <U1?..., Un, F1?. .. , Vk} . Mech (pelt i / = Ф(<р). Trzeba dowieść, że sup/(ź) = 1, sup/(ź) = 0.
__ fel/i
Odyby sup/(i) = 0, to wobec U* C Ui mielibyśmy f(t) — 0 dla każdego U U*. Istniałoby zatem takie Ute23, że ieUi i q>{Ut) = 0. Oczywiście
U* C U U/, istniałby więc taki skończony układ Utl, Ut2, ..., U^, że
t e U *
U* C U* C Utl^ . . . ^ Uip. Stąd na mocy warunku 2 mielibyśmy
<p ( иг* ) < max{<p ( UŹJ) , <p ( U<2) , . .. , <p ( Utp)\ = 0, co jest niemożliwe. Po
nieważ F /C F* i <p(V*) = 0, więc f(t) = 0 dla każdego łeVj, czyli sup/(«) = 0 .
t e V 1
Z uwagi na to, że przestrzeń X jest homeomorficznie zawarta w prze
strzeni 2X, możemy wobec twierdzenia 5 sformułować następujące
Tw i e r d z e n i e 6 (zob. Aleksandrów [1]). Każda przestrzeń dwu- zwarta X o bazie mocy r jest obrazem ciągłym pewnego podzbioru domknię
tego przestrzeni Cr.
Jak wiadomo, w przypadku r = K0 twierdzenie to można zaostrzyć:
Mianowicie każda przestrzeń dwuzwarta o bazie mocy K0 jest obrazem ciągłym całej przestrzeni UKo. W przypadku r > K0 twierdzenie to nie
może być zaostrzone, co udowodnił E. Marczewski [6]. Mianowicie Mar
czewski wprowadza tzw. własność
(K) Każda rodzina nieprzeliczalna zbiorów otwartych zawiera podrodzinę nieprzeliczalną, w której żadne dwa zbiory nie są rozłączne,
a następnie dowodzi, że
1. Produkt tichonowski przestrzeni mających własność (K) ma własność (K).
2. Obraz ciągły przestrzeni mającej własność (K) ma własność (K).
Wynika stąd, że przestrzenie, które są obrazami ciągłymi przestrzeni Ox mają własność (K), łatwo jest zaś podać dla każdego r > X0 przykład przestrzeni dwuzwartej o bazie mocy t, która tej własności nie ma. W tym celu wystarczy wziąć dowolny zbiór X x mocy r i element a $ X x , a w zbio
rze X — X xw [ot} wprowadzić topologię w sposób następujący: Za oto
czenie x e X xprzyjąć zbiór {x \, a za otoczenie punktu a każdy zbiór postaci {a} w X x\ S , gdzie S jest dowolnym, skończonym podzbiorem zbioru X x.
Tak określona przestrzeń X jest dwuzwarta i ma bazę mocy t , natomiast zbiory [ x ] , gdzie x e X x , tworzą rodzinę mocy x zbiorów otwartych rozłącz
nych. Oczywiście rodzina ta nie zawiera żadnej podrodziny nieprzeliczal
nej zbiorów nierozłącznych. Przestrzeń X nie jest więc obrazem ciągłym całej przestrzeni СГ.
Prace cytowane
[1] Г1. С. А л е к с а н д р о в , О п о н я т и и п р о с т р а н с т в а в т о п о л о ги и , Успехи матем. наук 2.1 (17) (1947), str. 5-57.
[2] С. C h oq u et, C o n v e r g e n c e s , Annales de l’Universite de Grenoble 22 (1947-48).
str. 57-112.
[3] F. H a u s d o r ff, M e n g e n l e h r e, Berlin und Leipzig 1927.
[4] C. K u r a to w s k i, T o p o l o g i e 7 , Monografie Matematyczne 20, Warszawa- - Wrocław 1948.
[5] — T o p o l o g i e U , Monografie Matematyczne 21, Warszawa-Wrocław 1950.
[6] E. M a rcze w sk i, S e p a r a b ilitó et m u lt i p l ic a t io n c a r te s ie n n e d es e s p a c e s to p o -
lo g iq u e s , Fundamenta Mathematicae 34 (1947), str. 127-143.
[7] E. M ich a el, T o p o l o g i e s o n s p a c e s o f s u b s e ts , Transactions of the American Mathematical Society 71 (1951), str. 152-182.
[8] L. V ie to r is , B e r e i c h e z w e ite r O r d n u n g , Monatshefte fiir Mathematik uud Physik 33 (1923), str. 49-62.
G. Мр у в к а (Варшава)
О ТОПОЛОГИИ ПРОСТРАНСТВА ЗАМ КНУТЫ Х ПОДМНОЖЕСТВ
Р Е З ЮМЕ
Если X — топологическое регулярное пространство, тогда 2х обозначает пространство всех замкнутых подмножеств пространства X , в котором базис составлен из всех множеств вида [Г /,, . . . , 77*?. V , , F s] — Е ( А U i Ф О;
A t 2Х
A rsV j — 0), где "Ui и Vj произвольные открытые множества пространства X . В статье изучаются топологические свойства пространства 2х . Главный результат утверждает, что если X — бикомпактное пространство, тогда пространство 2х является непрерывным образом некоторого замкнутого подмножества декар- тового произведения двоеточных пространств. Из этого следует, что простран
ство 2х бикомпактное, если X пространство бикомпактное, и что всякое биком
пактное пространство является непрерывным образом некоторого замкнутого подмножества декартового произведения двоеточных пространств. S.
S. Mr ó w k a (Warszawa)
ON THE TOPOLOGY OF THE SPACES OF CLOSED SUBSETS
S U M M A R Y
If -A is a topological space, then 2X denotes the space of all closed subsets of X in which a basis is composed of all the sets of the form [Z7j, ... , Uk, Vlt ..., Fs] —
= /Г TJ% Ф 0; Ar\Vj — 0) where Ui and Vj are arbitrary open subsets of X.
A e 2X
In the paper the topological properties of 2X are examined. The main result is the assertion that if X is a bicompact space then the space 2X is a continuous image of a certain closed subset of the Cartesian product of two-point spaces. It follows that the space 2X is bicompact if X is bicompact and that every bicompact space is a con
tinuous image of a closed subset of the Cartesian product of two-point spaces.
