Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej
Zakład Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji
Rozprawa doktorska
_____________________________________________
Wytrzymałość i stateczność miejscowa belek cienkościennych
o zmodyfikowanych przekrojach ceowych
mgr inż. Michał GRENDA
Promotor:
dr hab. inż. Piotr PACZOS Promotor pomocniczy:
dr Marcin RODAK
Poznań 2019
Pragnę wyrazić serdeczne podziękowania Panu dr hab. inż. Piotrowi Paczos za opiekę, zaangażowanie, pomoc merytoryczną oraz za cierpliwość i życzliwość okazaną w trakcie powstania tej pracy.
Serdecznie dziękuję za cenne wskazówki, naukową inspirację, wiarę w moją osobę oraz nieustanną mobilizację do pracy.
Dziękuję również Kolegom i Koleżankom z Zakładu Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji za wszelką pomoc i życzliwość.
Szczególne podziękowania należą się również moim bliskim, którzy służyli mi wsparciem przez cały ten czas wytężonej pracy.
Spis treści
Spis treści ... 3
Streszczenie ... 4
Summary ... 6
Symbole ... 8
1. Wstęp ... 11
1.1. Przegląd literatury ... 11
1.2. Cel i zakres pracy ... 28
2. Opis badanych belek ceowych ... 32
2.1. Mechanika konstrukcji, opis oraz wprowadzenie ... 32
2.2. Wymagania podstawowe ... 37
2.3. Charakterystyki i właściwości geometryczne ... 38
2.4. Opis problemu utraty stateczności konstrukcji cienkościennych... 49
3. Rozwiązania analityczne – stateczność miejscowa i ogólna ... 56
3.1. Stateczność ogólna... 58
3.2. Stateczność dystorsyjna ... 60
3.3. Stateczność miejscowa ... 62
3.4. Wyniki rozwiązań analitycznych... 66
4. Badania numeryczne z zastosowaniem metody elementów skończonych ... 69
4.1. Model numeryczny belki ... 71
4.2. Analiza numeryczna belek cienkościennych ... 77
4.3. Wyniki badań numerycznych - Metoda Elementów Skończonych ... 81
5. Badania numeryczne z zastosowaniem metody pasm skończonych ... 83
5.1. Opis badanych przekrojów ... 84
5.2. Analizy numeryczne – FSM (Metoda Pasm Skończonych) ... 85
5.3. Wyniki badań numerycznych - Metoda Pasm Skończonych ... 99
6. Badania doświadczalne wybranych belek ceowych ... 104
6.1. Opis badanego obiektu i rozpatrywane obciążenie ... 105
6.2. Doświadczalne badania optyczne ... 111
6.3. Wyniki badań doświadczalnych ... 114
7. Podsumowanie i wnioski końcowe ... 129
Zakończenie ... 135
Kierunki dalszych badań ... 136
Bibliografia ... 137
Streszczenie
Konstrukcje cienkościenne używane są w budowie maszyn, przemyśle samochodowym, lotniczym oraz budownictwie. Pozwalają one na przenoszenie większych obciążeń przy jednoczesnym zmniejszeniu ich masy. Cieszą się dużą popularnością wśród inżynierów i konstruktorów w Polsce i na całym świecie.
Praca poświęcona jest metodom analitycznym, numerycznym i badaniom doświadczalnym istniejących i całkiem nowych konstrukcji. Opracowanie składa się z sześciu rozdziałów.
Na wstępie przedstawiono ważniejsze polskie i światowe osiągnięcia w tej dziedzinie oraz cel i zakres pracy. Konstrukcje cienkościenne zostały szczegółowo przebadane i opisane w licznych publikacjach i monografiach. Świadczą o tym prace w renomowanych czasopismach oraz pozytywne reakcje na konferencjach międzynarodowych. Pozostają one jednak dalej przedmiotem współczesnych badań.
Następnie dokonano opisu przebadanych belek ceowych, zwracając szczególną uwagę na rozwój kształtów ich przekrojów poprzecznych. Analizowane belki są konstrukcjami cienkościennymi kształtowanymi z jednego arkusza walcowanej na zimno blachy o dowolnych wymiarach poprzecznych i podłużnych. Przekroje belek ceowych w przeciągu kilkunastu ostatnich lat zmieniały swoje kształty w celu zwiększenia ich wytrzymałości, stateczności i nośności. Przedmiotowe belki są znanymi klasycznymi konstrukcjami cienkościennymi, o zmiennych niestandardowych przekrojach poprzecznych.
W kolejnym rozdziale opisano analitycznie problem utraty stateczności belek.
Zdefiniowano naprężenia oraz momenty krytyczne ogólnej i miejscowej utraty stateczności belek z półkami skrzynkowymi i wzmocnionym środnikiem.
Następnie opisano badania numeryczne metodą pasm i elementów skończonych stosując programy Ansys Workbench 18.2, SolidWorks oraz CUFSM v.4.03. Zaproponowane analizy pozwoliły na dokładne i szczegółowe zbadanie wytrzymałości i zjawiska miejscowej utraty stateczności oraz lepsze zrozumienie tego zjawiska. Modele te pozwoliły zaprojektować belki o oczekiwanych właściwościach geometrycznych z uwagi na wytrzymałość i stateczność konstrukcji.
W ostatnim rozdziale przedstawiono badania doświadczalne wybranych belek ceowych.
Badania doświadczalne zostały przeprowadzone z użyciem maszyny wytrzymałościowej
ZWICK Z100 o napędzie mechanicznym i zakresie pomiarowym do 100 kN. Przedmiotowe
stalowe belki cienkościenne z profilowanym środnikiem i niestandardowymi półkami
o wymiarach 80𝑥60𝑥2000 [𝑚𝑚] kształtowane są z jednego arkusza walcowanej na zimno
blachy na giętarce numerycznej CNC oraz giętych ręcznie według normy Eurokod 3. Podczas przeprowadzanych badań użyte zostały do pomiaru odkształceń foliowe tensometry rezystancyjne oraz indukcyjne czujniki ugięcia.
Praca jest zakończona podsumowaniem, w którym zapisano najważniejsze wnioski z badań analizowanych przekrojów. W zrealizowanej pracy naukowej zastosowano metody analityczne, numeryczne (MES i FSM) oraz badania doświadczalne. Badania doświadczalne potwierdziły poprawność modeli numerycznych: obliczenia wykonane metodą elementów skończonych i pasm skończonych. Zagadnienia wytrzymałości i stateczności dotyczą rozkładów naprężeń w ściankach zginanych belek (półkach i środniku), ich ugięcia pod obciążeniem poprzecznym oraz ich miejscowego wyboczenia przy czteropunktowym zginaniu.
Otrzymane wyniki obliczeń analitycznych i badań doświadczalnych zostały zestawione z wynikami analiz numerycznych.
Celem pracy doktorskiej była:
• analiza wytrzymałości belek cienkościennych o zmodyfikowanych przekrojach,
• wyznaczenie naprężeń oraz przemieszczeń,
• analiza stateczności miejscowej oraz wyznaczenie sił krytycznych i odpowiadającym im postaci wyboczenia,
• porównanie wyników otrzymanych trzema metodami: analityczną, numeryczną (FSM, MES) oraz doświadczalną,
• zestawienie wyników w postaci tabel i wykresów.
Wyniki badań doświadczalnych i numerycznych posłużyły do weryfikacji modeli analitycznych opisujących przemieszczenia, naprężenia w belkach oraz stateczność miejscową.
Analizy te mogą przyczynić się do popularyzacji oryginalnych kształtów przekrojów belek
cienkościennych z profilowanym środnikiem oraz niestandardowymi półkami. Realizacja
przeprowadzonych badań wnosi istotny wkład w rozwój teorii stateczności belek
cienkościennych przede wszystkim ze względu na modelowanie przebiegu utraty stateczności
oraz wyczerpania jej nośności.
Summary
The thin-walled steel beams are used in civil engineering, automotive industry, aviation, vessel and railway industry. They allow to carry larger loads while reducing their weight. They are very popular among engineers and constructors in Poland and around the world.
This paper is dedicated to analytical, numerical and experimental methods of instants and completely new constructions. The study consists of six chapters.
At the beginning, the most important Polish and world achievements in this field as well as the purpose and scope of work were presented. Thin-walled constructions have been thoroughly researched and described in numerous publications and monographs. This is evidenced by work in renowned magazines and positive reactions at international conferences. However, they remain the subject of modern research.
As a next step, a description of the tested C-beams was made, paying special attention to the development of their cross-section shapes. The beams analysed are thin-walled structures shaped from one sheet of cold-rolled sheet metal of any lateral and longitudinal dimensions.
Sections of U-beams in the last dozen or so years have changed their shape in order to increase their strength and stability and load-bearing capacity. These beams are known classic thin- walled constructions with variable non-standard cross-sections.
The next chapter describes analytically the problem of loss of beam stability. Stresses and critical moments of general and local stability loss of beams with box shelves and reinforced web were defined.
Next, numerical studies were described using the bands and finite elements using Ansys Workbench 18.2, SolidWorks and CUFSM v.4.03. The proposed analyses allowed for detailed and detailed investigation of the strength and the phenomenon of local loss of stability and a better understanding of this phenomenon. These models allowed to design beams with the expected geometrical properties due to the strength and stability of the structure.
The last chapter presents experimental investigations of selected C-beams. Experimental
tests were carried out using a ZWICK Z100 testing machine with mechanical drive and
a measuring range up to 100 kN. The subject steel thin-walled beams with a profiled web and
non-standard shelves of dimensions 80𝑥60𝑥2000 [𝑚𝑚] are formed from one sheet of cold-
rolled sheet metal with the means of CNC bending machine and bent by hand according to
Eurocode 3. During the tests, foil strain gauges and inductive deflection sensors were used to
measure deformation.
The work ends with a summary in which the most important conclusions from the investigations of the analysed cross-sections were recorded. In the study work, analytical and numerical methods (MES and FSM) as well as experimental methods were used. Experimental tests confirmed the correctness of numerical models: calculations performed using the finite element method and finite bandwidths. The issues of strength and stability concern the distribution of stresses in the walls of bending beams (shelves and midline), their deflections under transverse load and their local buckling at four-point bending.
The work ends with a summary in which the most important conclusions from the investigations of the analysed cross-sections were recorded. In the study work, analytical and numerical methods (MES and FSM) as well as experimental methods were used. Experimental tests confirmed the correctness of numerical models: calculations performed using the finite element method and finite bandwidths. The issues of strength and stability concern the distribution of stresses in the walls of bending beams (shelves and midline), their deflections under transverse load and their local buckling at four-point bending.
Obtained results of analytical calculations and experimental studies have been compiled with the results of numerical analyses.
The aim of the doctoral thesis was:
• strength analysis of thin-walled beams with modified cross-sections
• determination of stresses and displacements
• analysis of local stability and determination of critical forces and the corresponding buckling type
• comparison of results obtained with four methods: analytical, numerical (FSM, MES) and experimental research
• summary of results in form of tables and charts
The results of experimental and numerical tests were used to verify analytical models
describing displacements, stresses in beams and local stability. These analyses may contribute
to the popularization of the original shapes of thin-walled beam cross-sections with a profiled
web and non-standard shelves. Realization of the conducted research is a significant
contribution to the development of the theory of stability of thin-walled beams, primarily due
to the modelling of the loss of stability and the exhaustion of its bearing capacity.
Symbole
Cechy geometryczne
A – pole przekroju poprzecznego b – szerokość półki
c – długość zagięcia wzdłuż środnika d – wysokość zagięcia
e – długość zagięcia f – rozstaw skrzynek (box) g – szerokość skrzynki (box) H – wysokość belki
I – moment bezwładności k – głębokość zagięcia L – długość całkowita L
0– długość do podparcia L
s– długość usztywnienia L
t, L
c– dłogość całkowita
L
red– dłogość zredukowana (wyboczeniowa) r – promień łagodnego zagięcia
𝑟
+,– biegunowy promień bezwładności względem środka ścinania S t – grubość ścianki
W
z– wskaźnik wytrzymałości na zginanie – smukłość pręta, smukłość względna
LCB1 – belka ceowa z łagodnym zagięciem i bez perforowanego środnika LCB2 – belka ceowa z łagodnym zagięciem i perforowanym środnikiem CWB1 – belka ceowa z łagodnym zagięciem i profilowanym środnikiem bez –
perforacji
CWB2 – belka ceowa z łagodnym zagięciem i profilowanym środnikiem z perforacją
DBFB – belka ceowa z półkami skrzynkowymi i zagięciem wzdłuż środnika DBFB-V – belka ceowa z półkami skrzynkowymi, zagięciem wzdłuż środnika
i profilowanym środnikiem typu V
DBFB-S – belka ceowa z półkami skrzynkowymi, zagięciem wzdłuż środnika i profilowanym środnikiem typu S
l
Obciążenia, siły przekrojowe, nośność
𝐵 – bimoment
F – obciążenie, siła (ogólnie) F
kr– siła krytyczna
M
kr– moment krytyczny
M – moment zginający, nośność obliczeniowa przekroju przy zginaniu 𝑀
/, 𝑀
1– wewnętrzne momenty zginające,
N, M
z, B – siła wewnętrzna W – praca sił zewnętrznych
𝐽
/, 𝐽
/1, 𝐽
1– moment bezwładności przekroju poprzecznego belki 𝐽
3– wycinkowy moment bezwładności
𝐽
4– stała skręcenia Saint-Venant 𝛽
+/, 𝛽
+1, 𝛽
3– ramiona symetrii przekroju
P, PR – siła skupiona, nośność obliczeniowa środnika pod obciążeniem skupionym
V, VR – siła poprzeczna, nośność obliczeniowa przekroju przy ścinaniu
Naprężenia i wytrzymałość
s – naprężenia
R
e– specyfikowana przez producenta (normowa) granica plastyczności R
H– granica sprężystości
R
m– specyfikowana przez producenta wytrzymałość na rozciąganie
E – moduł Younga
G – moduł Kirchoffa
– współczynnik częściowy nośności przekroju ze względu na uplastycznienie z uwzględnieniem niestateczności miejscowej lub dystorsyjnej
σ
– naprężenia normalne
τ
– naprężenia styczne
U
e– energia odkształcenia sprężystego
0
g
MWspółczynniki
a – współczynnik zależny od warunków zamocowania j – współczynnik wyboczeniowy
m – liczba naturalna 𝜓 – kąt obrotu
𝑧
c– współrzędna środka przekroju belki w układzie współrzędnych związanym z półką
x
w– współczynnik bezpieczeństwa ze względu na wyboczenie
Indeksy i inne oznaczenia
c, t, v, b – ściskanie, rozciąganie, ścinanie, docisk D – przyrost, różnica, składnik poprawkowy d, k – obliczeniowy, charakterystyczny
f, w – półka, środnik,
i – kolejny, i = 1, 2 ...; i = x lub i = y j – połączenie
kr, KR – krytyczny w sensie klasycznej teorii stateczności min, max – najmniejszy, największy
pl – plastyczny
R – graniczny w sensie nośności obliczeniowej red – zredukowany
x, y, z – względem osi X, względem osi Y, względem osi Z 𝑢, 𝑣, 𝑤 – przemieszczenia środka ścinania S
𝑢
;, 𝑣
;, 𝑤
;– przemieszczenia punktu 𝑅
Σ – suma
|| , ^ – równoległy, prostopadły
Rozdział 1 1. Wstęp
1.1. Przegląd literatury
Materiały konstrukcyjne używane do budowy nowoczesnych maszyn i urządzeń pozwalają̨
na przenoszenie większych obciążeń przy jednoczesnym zmniejszeniu ich masy. Konstrukcje cienkościenne stosowane są w wielu gałęziach przemysłu w Polsce i na całym świecie.
Wykorzystywane w budowie maszyn, przemyśle: samochodowym (elementy nadwozia), lotniczym, okrętowym, kolejowym oraz budownictwie (konstrukcje budowlane i elementy konstrukcyjne dachów i hal). Cieszą się dużym zainteresowaniem wśród inżynierów i konstruktorów. Popularność swoją zyskały dzięki dużej wytrzymałości przy stosunkowo niewielkiej masie.
Zapotrzebowanie na tego typu konstrukcje wynika głównie z technologii wytwarzania oraz
łatwości ich montażu. W świecie od kilku lat wzrasta zainteresowanie praktycznym
wytwarzaniem belek cienkościennych o niestandardowych przekrojach poprzecznych. Prace
naukowe opisujące belki ceowe o niestandardowych przekrojach poprzecznych opisali Paczos
i Magnucki [93] oraz Mahendran [101]. Belki cienkościenne są kształtowane w technologii
gięcia na zimno. Podczas takiej obróbki zakres temperatury wynosi maksymalnie 40% wartości
temperatury topnienia materiału. Zaletą tego rodzaju obróbki jest uzyskanie dużej dokładności
wymiarowej wykonanego elementu oraz dopasowanie wymiarów i kształtów do
indywidualnego zapotrzebowania klienta. Do innych zalet technologii formowania na zimno
należą: mniejsze zużycie energii potrzebnej do procesów produkcyjnych, tańsza od
tradycyjnych metod wytwarzania, może być stosowana w przypadku blach powlekanych
powłokami antykorozyjnymi. Wytwarzanie profili cienkościennych jest łatwiejsze jednak, aby
odkształcić materiał potrzebna jest duża siła. Obecnie do kształtowania tych elementów
wykorzystuje się m.in. giętarki ręczne i giętarki numeryczne wzbogacone o system CAD.
Rysunek 1.1. Wybrane przekroje poprzeczne belek cienkościennych o przekrojach ceowych
Zainteresowanie konstrukcjami cienkościennymi, w tym również belkami zimnogiętymi miało wpływ na szybki rozwój technik wytwarzania oraz potrzebę stosowania coraz to nowszych kształtów. Procesy i maszyny do formowania na zimno rozwijają się tak szybko, jak technologia materiałów i produkcji. Do najbardziej typowych przekrojów profili cienkościennych należą teowniki, ceowniki, dwuteowniki i zetowniki. Wytwarzane belki mogą mieć różne kształty przekrojów: mogą̨ być symetryczne, asymetryczne lub monosymetryczne, co znacznie rozszerza ofertę handlową. Dzięki temu projektanci mają dużą możliwość dopasowania odpowiedniego kształtu przekroju do wymogów konstrukcji. Belki kształtowane na zimno ze względu na możliwość swobodnego kształtowania dają projektantowi dużą elastyczność w doborze kształtu przekroju poprzecznego, w przeciwieństwie do belek walcowanych na gorąco, które są dostępne w znormalizowanych wymiarach.
Ważnym czynnikiem doboru części konstrukcyjnych jest aspekt ekonomiczny. Należy tak dobierać części konstrukcyjne, aby nie spowodować znacznego wzrostu ceny przy zachowaniu ich wysokiej wytrzymałości. Różne kształty przekrojów poprzecznych, grubość blachy i właściwości materiałowe pozwalają na projektowanie elementów konstrukcyjnych, w których waga odgrywa kluczową rolę w procesie optymalizacji. Optymalizację belek cienkościennych opisali Magnucka-Balndzi, Magnucki, Kasprzak i Paczos [86, 89, 90, 100]. Optymalizacji poddano nie tylko proponowane kształty belek cienkościennych, lecz także rodzaje obciążeń takie jak siły ściskające, obciążenia poprzeczne oraz momenty gnące.
Davies w swojej pracy [39] przedstawił w sposób przeglądowy rozwój otwartych przekrojów belek cienkościennych oraz wskazał na pewne problemy występujące w ich analizie wytrzymałościowej.
Od wielu lat obserwuje się pewne problemy występujące w tego typu konstrukcjach, są one
związane z szybką i niejednokrotnie trudną do oszacowania utratą stateczności ze względu na
ich cienkościenność. Podstawowym elementem konstrukcji stalowych są belki, które przenoszą
obciążenia przez zginanie w jednej lub dwu płaszczyznach. Występuje również możliwość złożonego stanu obciążenia belki, to znaczy jednoczesnego zginania i skręcania oraz dodatkowo rozciągania lub ściskania osiowego. Możliwość przenoszenia stosunkowo dużych obciążeń jest często ograniczana nie przez wytrzymałość materiału, z którego wykonane zostały konstrukcje, lecz w głównej mierze przez utratę jej stateczności. Spowodowane jest to często zbyt wysokim stosunkiem wymiarów poprzecznych do grubości ścianek konstrukcji. Dlatego przy projektowaniu konstrukcji należy zwrócić szczególną uwagę na ograniczenia związane z utratą stateczności miejscowej, ogólnej czy dystorsyjnej. Poprzez niewielkie zwiększenie masy konstrukcji cienkościennej możemy uzyskać dużo większą wytrzymałość i stateczność.
Stosunek wymiarów poprzecznych do grubości ścianek profili cienkościennych powoduje występowanie w nich miejscowych postaci wyboczenia oraz interakcje zachodzące między nimi.
Ma i Hughes [82] analizowali przy założeniu miejscowego wyboczenia się środnika ogólne wyboczenie dwuteowników przegubowo podpartych obciążonych równomiernie rozłożoną siłą poprzeczną.
W związku z tym ważna staje się analiza i rozpoznanie nośności i nośności granicznej oraz sztywności badanych przekrojów w strefach wzmocnienia (zagięć) oraz postaci ich zniszczenia w zakresie sprężystym, sprężysto-plastycznym i plastycznym z uwzględnieniem dużych przemieszczeń. Istotne staje się również określenie optymalnych parametrów wzmocnienia, takich jak: geometria wzmocnienia, długość wzmocnienia oraz rodzaj i liczba zagięć.
Bambach i Rasmussen [10] analizowali oraz badali doświadczalnie przekroje ceowe z zagięciem. W pracy tej autorzy przedstawili efekt wielokrotnego pofalowania półki, który jest efektem interakcji pomiędzy środnikiem a półka i zagięciem. Podobne badania numeryczne zostały prowadzone przez Chenga i Schafera [35]. Wyniki te zweryfikowano wykonując badania doświadczalne.
Papangelis i inni [136] przedstawili program komputerowy do obliczeń ogólnej utraty
stateczności belek, prętów i ram. Wang i Li [171] badali zwichrzenie giętno-skrętne belek
cienkościennych, zauważając, że wpływ odkształceń postaciowych występujących na
środkowej powierzchni ścianek belek cienkościennych jest pomijalnie mały. We wskazanej
pracy autorzy posłużyli się rozwiniętą przez siebie metodą elementów skończonych. Pi
i Trahair badali wpływ wyboczenia środnika na siłę krytyczną ogólnej utraty stateczności belek
cienkościennych. Oprócz tego przebadali wpływ braku pełnej swobody wypaczenia przekroju
na podparciach belki, a uzyskane wyniki przedstawili w pracy [139]. Natomiast Mohri i inni
[110] badali stateczność ogólną swobodnie podpartych belek cienkościennych o przekrojach
otwartych. Korzystając z założeń teorii Własowa, wyprowadzili formułę na stateczność ogólną dla różnych przypadków obciążenia za pomocą metody energetycznej Ritza oraz Galerkina.
Zauważyli niezgodności wyprowadzonych wzorów z formułami zawartymi w normie Eurokod 3. Autorzy porównali wyniki uzyskane z użyciem metody elementów skończonych (MES), potwierdzając ich poprawność. Zaproponowali również zmiany w normach europejskich Eurokod 3.
Współczesne prace w tej dziedzinie koncentrują się głównie na badaniu ogólnej oraz miejscowej formy utraty stateczności belek cienkościennych kształtowanych na zimno.
Problemy stateczności oraz wytrzymałości monosymetrycznych cienkościennych belek o przekroju otwartym przedstawili w pracy [96] Magnucki, Szyc oraz Stasiewicz. Uzyskane wyniki analityczne zweryfikowali za pomocą metody elementów skończonych, wykorzystując system COSMOS/M. Poszukiwanie modeli matematycznych opisujących problemy występujące w belkach cienkościennych oraz ich weryfikację na podstawie badań doświadczalnych prowadzą do ciągłego ulepszania wyprowadzanych formuł. Badania takie przedstawili: Paczos i inni [131], Put i inni [142] oraz Hancock [58], których prace są również poświęcone stalowym konstrukcjom kształtowanym na zimno, w tym belkom cienkościennym.
Bebino i inni [20] przedstawili numeryczne procedury uzyskiwania rozwiązań stateczności oraz drgań własnych otwartych konstrukcji cienkościennych. Do obliczeń zastosowali oni bezpośrednią metodę wytrzymałościową DSM (direct strength method), a uzyskane wyniki porównali z normami: North American (AISI 2004) oraz Australia / New Zealander (SA-SNZ 2005). W kolejnej pracy Silva i inni [156] przedstawili nieliniową analizę sprężysto-plastyczną cienkościennych konstrukcji laminowanych (wielowarstwowych). Do rozwiązywania zagadnienia autorzy użyli metody Newtona-Raphsona, uwzględnili niedokładności kształtu konstrukcji oraz zastosowali kryterium wytrzymałościowe Tsai-Hila. Wyniki zostały zweryfikowane numerycznie za pomocą metody elementów skończonych (ABAQUS).
Szczegółowe rozwiązania analityczne i numeryczne (MES) oraz wyniki badań doświadczalnych odnoszące się do problemów wytrzymałości i stateczności cienkościennych belek kształtowanych na zimno przedstawili: Dubina i Ungureanu [167], Moen i Schafer [107], Trahair [166] oraz Trahair i Hancock [165].
UTRATA STATECZNOŚCI – WSTĘP
Utrata stateczności oraz wytrzymałość konstrukcji cienkościennych są głównymi
problemami, które należy uwzględnić w ich projektowaniu. Zniekształcenie przekrojów
dwuteowych (distortsional buckling) belek cienkościennych o smukłym środniku opisał
Zirakian [181], Lei Zhang i Tong [76]. Przedstawili wyboczenie giętno-skrętne (flexural- torsion buckling) cienkościennej belki teowej formowanej na zimno. Naprężenia odpowiadające wyboczeniu zniekształcającemu (warping stress) przy giętnej postaci utraty stateczności, jak również miejscową (local bucklig) oraz ogólną (distortional buckling) utratę stateczności belek o przekroju zetowym przedstawili Chu i inni [36]. Stasiewicz, Magnucki, Lewiński oraz Kasprzak [160] opisali miejscowe wyboczenie półki z zagięciem dla belki cienkościennej oraz przedstawili gotowe wzory służące do wyznaczenia naprężeń krytycznych.
Rozwiązania analityczne oraz analizę numeryczną naprężeń, a także badania ogólnej (globalnej) utraty stateczności otwartych monosymetrycznych belek cienkościennych o różnych kształtach półek przedstawili Magnucki, Szyc i inni [96]. Schafer i Adany [152] oraz Ostwald i Magnucki [120] opisali różne postacie wyboczenia w związku z utratą stateczności kształtowanych na zimno belek cienkościennych o różnych przekrojach otwartych.
W większości przypadków o wytrzymałości oraz nośności belek i prętów cienkościennych decyduje w dużym stopniu ich stateczność. Wyróżniamy trzy rodzaje utraty stateczności:
ogólną, zwaną też globalną, miejscową, zwaną lokalną oraz dystorsyjną, którą opisał w swojej pracy szczegółowo Davies [39].
Problemy ogólnej oraz miejscowej utraty stateczności opisali również: Samanta i inni [150], Vandermeulen i inni [169], Srinivasa i inni [159], Dinis i inni [45], Kwon i inni [72], Schafer [153], Becque i Rasmussen [23], Nandini i Kalyanaraman [112], Mohri i inni [109] oraz Liu i inni [80]. Zagadnienia dotyczące nieliniowości geometrycznych i fizycznych w belkach cienkościennych opisali: Mohri i inni [111], Ruhi Aydın i Mizan Dogan [7], Belingardi i Peroni [24], Quach, Teng i inni [143], Mahmud Ashraf [102], Young i inni [175], Moen i inni [106], Lechner i inni [75] oraz Macdonald, Kotełko i inni [83].
Nguyen i Lee [115] w artykule przedstawili wyniki dla wyboczenia giętnego, skrętnego i giętno-skrętnego obciążonych osiowo cienkościennych belek o przekrojach otwartych (FG – functionally graded) z materiałów metaliczno-ceramicznych. Dla jednego z przypadków przeprowadzili porównanie numeryczne, aby wykazać słuszność proponowanej teorii z wynikami dostępnymi w literaturze.
METODY BADAŃ
Bardzo często równania równowagi stateczności wprowadza się do metody elementów
skończonych i rezultaty obliczeń porównuje z wynikami znanymi z literatury. Bakker i Peköz
[9] oraz Sarawit i inni [151] omawiają programy (FEM, CUFSM, CU-Beam) mające
zastosowanie w projektowaniu belek i prętów cienkościennych. Autorzy zwrócili szczególną
uwagę na zjawiska występujące przy projektowaniu konstrukcji cienkościennych, a także na źródła ewentualnych błędów pojawiających się w trakcie analiz metodą elementów skończonych.
Powstaje również wiele prac naukowych z zastosowaniem takich teorii, jak: GBT (uogólniona teoria wytrzymałościowa, ang.: GBT – generalized beam theory), FSM (metoda pasm skończonych, ang.: finite strip Method) czy w końcu DSM (bezpośrednia metoda wytrzymałościowa, ang.: DSM – direct strenght method). Twórcami ważniejszych prac w tym obszarze są: Simao i inni [173], Basaglia i inni [12], Camotim i Silvestre [33], Silva i inni [155], Camotim i inni [30, 121], Adany i inni [6] oraz Bebiano i inni [19].
Zhang, He i inni w swojej pracy [143] analizowali smukłe, cienkościenne elementy z prostymi podpartymi krawędziami za pomocą nowej półanalitycznej metody skończonej macierzy transferowej. Teoria ta rozszerza zalety semianalitycznej metody pasm skończonych i metody macierzy transferowej. Dodatkowo autorzy potwierdzili skuteczność i niezawodność tych badań.
Hancock [57] w swoim artykule dokonał przeglądu badań konstrukcji cienkościennych formowanych na zimno opublikowanych w czasopismach i na konferencjach w latach 2013- 2014. Opisano trzy obszary badawcze, które zostały włączone do norm amerykańskich NAS S100:2012 oraz australijskich/nowozelandzkich AS/NZS 4600.
ROZWIĄZANIA ANALITYCZNE
Magnucki i inni [96] zbadali wytrzymałość i stateczność swobodnie podpartych belek cienkościennych o monosymetrycznych otwartych przekrojach poprzecznych, obciążonych równomiernie rozłożoną siłą poprzeczną. Problem rozwiązano z zastosowaniem teorii Własowa, a uzyskane wyniki obliczeń analitycznych zweryfikowano za pomocą metody elementów skończonych z użyciem programu COSMOS/M. Zauważono spore różnice między wynikami zastosowania obu metod, które mogłyby wynikać z uproszczenia założeń teorii belek oraz teorii Własowa. Autorzy pracy [40] zaproponowali wprowadzenie współczynnika korekcyjnego do wzoru na stateczność ogólną.
Ibrahim i inni [64] przedstawili i zaproponowali jednowymiarowy element skończony 1D
typu shell wykorzystywany do opisu wyboczenia belek cienkościennych z zastosowaniem
odkształceniowej teorii wyższych rzędów (N-order). Model ten został przystosowany do analiz
utraty stateczności belek o przekrojach skrzynkowych i teowych oraz cienkich płyt i belek
o przekroju okrągłym. Następnie uzyskane wyniki porównano z rozwiązaniami
opublikowanymi w pracach innych autorów, którzy korzystali z różnych koncepcji opisu belek
cienkościennych, tj. EBBT (Euler-Bernoulli beam theory) i TBT (Timoshenko beam theory).
W pracy [64] przedstawiono również wyniki obliczeń sił krytycznych oraz postacie wyboczenia belek utwierdzonych i swobodnie podpartych.
Gonçalves i inni [50] przedstawili kinematyczny opis belek cienkościennych o ściankach prostych. W opisie analitycznym wzięto pod uwagę odkształcenia przekroju poprzecznego, zginanie ścianek belki oraz odkształcenia podłużne. W modelu założono duże przemieszczenia i obroty przekrojów poprzecznych. Autorzy zaprezentowali kilka przykładów z zastosowaniem powłokowego elementu skończonego oraz wykazali zgodność tych wyników ze standardowym modelem analizowanych belek.
Kołakowski i Mania w pracy [68] przedstawili badania numeryczne z zastosowaniem autorskiej metody semianalitycznej (SAM) oraz rozwiązania analityczne miejscowego wyboczenia cienkościennych konstrukcji kompozytowych o przekrojach zamkniętych.
Przedstawione przez nich wybrane metody analityczne mogą być z łatwością dostosowane do rozwiązywania nieliniowych problemów dynamicznych konstrukcji kompozytowych.
Abambres, Camotim i Silvestre [1] przedstawili monografię z zagadnień niesprężystych oraz przebiegu ścieżek równowagi konstrukcji cienkościennych z półkami walcowymi.
W pracy tej sformułowano nieliniowe związki w zakresie sprężysto-plastycznym, które następnie zastosowano do rozwiązania postawionego problemu z użyciem metody GBT.
Wyniki rozwiązań za pomocą metody GBT porównano z wartościami uzyskanymi z analizy elementów skończonych (ABAQUS). Ścieżki równowagi zostały oparte na metodzie przyrostowej arc-length. Autorzy wykazali, że analizy GBT są bardzo efektywne i w zestawieniu z rozwiązaniami numerycznymi MES umożliwiają szybkie uzyskanie zadowalających wyników. Z zastosowaniem biliniowych oraz nieliniowych charakterystyk właściwości materiałowych w zakresie sprężysto-plastycznym uzyskuje się dokładność nieprzekraczającą 17%. Praca dotycząca tych samych przekrojów, lecz poświęcona innemu zagadnieniu, tzn. wyboczeniu cienkiego środnika, została przedstawiona przez Hassaneina i Silvestrego [61]. Autorzy opracowali modele analityczne, które następnie zostały zweryfikowane z użyciem systemu CUFSM (FSM – metoda pasm skończonych). Rozbieżności pomiędzy rozwiązaniem analitycznym i wynikami FSM nie przekraczały 5% i dotyczyły momentu krytycznego wyznaczonego dla wyboczenia miejscowo-dystorsyjnego.
Ze względu na duże różnice między wymiarami poprzecznymi a grubością ścianek w profilach kształtowanych na zimno mogą wystąpić miejscowe postacie wyboczenia. Główne kierunki badań dotyczących tej tematyki przedstawił Hancock, który w pracy [59]
zaproponował formułę służącą do obliczania momentu krytycznego dla wyboczenia półki
z zagięciem w ceownikach i zetownikach. Dzięki zaletom belek kształtowanych na zimno projektant może elastycznie dobierać kształt przekroju poprzecznego, co nie jest możliwe w przypadku belek walcowanych na gorąco, które są dostępne w znormalizowanych wymiarach.
BADANIA NUMERYCZNE
Schafer i Adany w pracy [152] posłużyli się autorskim programem opartym na zmodyfikowanej metodzie skończonych elementów pasmowych (FSM).
Adany i Schafer przedstawili w pracy [2] metodę obliczania sił krytycznych dla czystych postaci wyboczenia belek cienkościennych zaimplementowaną na bazie metody pasm skończonych (FSM – finite strip method). Dekompozycji różnych postaci wyboczenia dokonano na podstawie założeń GBT (general beam theory). Nową metodę nazwano constrained finite strip method – cFSM. Zastosowanie tej metody oraz przykłady obliczeniowe autorzy przedstawili w pracy [5]. Adany i inni [3] zademonstrowali metodę określania postaci wyboczenia za pomocą metody cFSM użytej w programie CUFSM.
Djafour i inni [46] zaproponowali sposób obliczania macierzy ograniczeń w metodzie pasm skończonych cFSM dla postaci wyboczenia globalno-dystorsyjnego. Zaletą tej metody jest możliwość wykorzystania do obliczania sił krytycznych dla czystych postaci wyboczenia w przypadku przekrojów zamkniętych.
Chu i inni [38] badali zjawisko miejscowej utraty stateczności w różnych postaciach (local, distortional buckling) belek cienkościennych kształtowanych na zimno o przekroju zetowym z zagiętymi półkami. W badaniach tych posłużono się metodą pasm skończonych, szczegółowo opisaną w monografii Y.A. Cheunga w roku 1976. Otrzymane wyniki dla swobodnie podpartych belek obciążonych równomiernie rozłożoną siłą poprzeczną porównano z wynikami otrzymanymi dla belek poddanych czystemu zginaniu. Autorzy zauważyli, że maksymalny moment krytyczny jest większy w przypadku belek poddanych pierwszemu rodzajowi obciążenia, przy czym różnica ta maleje wraz ze wzrostem długości belek.
Chu i inni [36] przeprowadzili badania nad statecznością miejscową i dystorsyjną belek
swobodnie podpartych kształtowanych na zimno i obciążonych równomiernie rozłożoną siłą
poprzeczną. Autorzy zauważyli, że w przypadku wyboczenia miejscowego różnica
w obciążeniu krytycznym pomiędzy obciążeniem ciągłym a przypadkiem czystego zginania
jest niewielka i maleje wraz ze wzrostem długości belki. Natomiast w przypadku wyboczenia
dystorsyjnego ta różnica jest znacząca. W badaniach tych zastosowano metodę pasm
skończonych (FSM – finite strip method).
Gonçalves i inni [51] przedstawili metodę obliczania wartości sił krytycznych dla różnych postaci odkształceń przekrojów poprzecznych (postaci wyboczenia). Metodę oparli na GBT (general beam theory). Postacie wyboczenia przekrojów zostały przez nich podzielone zgodnie z kryteriami kinematycznymi. Dinis i inni [44] badali stateczność miejscową i ogólną kątowników, teowników i przekrojów krzyżowych. Ze względu na kształt przekroju poprzecznego są one mało odporne na obroty względem osi kolumny lub belki. Ponadto trudno odróżnić skrętną postać utraty stateczności od postaci miejscowej. W badaniach belek i kolumn zastosowano metodę GBT, która umożliwia rozróżnienie postaci wyboczenia.
Li i Schafer [77] opisali odmienny sposób obliczania sił krytycznych w zakresie sprężystym, wykorzystywany do obliczania sił granicznych w metodzie DSM. Zaproponowali użycie w tym celu klasycznej metody FSM dla długości półfal obliczonych za pomocą cFSM i dla odosobnionych postaci wyboczenia. Ze względu na częsty brak jednoznacznych minimów lokalnych dla miejscowej i dystorsyjnej postaci wyboczenia poszukiwano nowego sposobu obliczania sił krytycznych. Li i Schafer porównali nową metodologię obliczania sił granicznych w metodzie DSM z klasyczną oraz zaproponowaną przez Beregszászia i Ádány’ego [25].
Badania numeryczne dotyczące wytrzymałości ściskanych cienkościennych słupów ceowych z zagięciami przedstawili Dinis, Camotim i inni [43]. Uzyskane wartości sił niszczących zweryfikowali z użyciem metody DSM, badając jednocześnie interakcje między miejscową a dystorsyjną postacią wyboczenia. Autorzy przedstawili postacie zniszczenia oraz rozkład odkształceń plastycznych w wybranych przekrojach ceowych. Podobne badania dotyczące ściskanych perforowanych belek ceowych z zagięciami przedstawili Yao i Rasmussen [174]. Zaproponowali oni zmodyfikowaną metodę DSM z analizą regresyjną do wyznaczania wyboczeń miejscowego, dystorsyjnego, skrętnego i ogólnego oraz interakcji pomiędzy tymi postaciami. Uzyskane rozwiązania zostały sprzężone z zależnościami opisanymi w normie AISI.
Paczos i Zawodny [132] przedstawili numeryczną weryfikację miejscowej utraty stateczności belek cienkościennych z łagodnym zagięciem (open and closed drop flange) z wykorzystaniem programu do badań numerycznych ABAQUS.
Podobne badania numeryczne z zastosowaniem MES przeprowadzili Dinis
i Camotim [42]. Stosując do tego celu system ABAQUS, badali oni interakcje między
wyboczeniami miejscowym i ogólnym belek ceowych z zagięciem. Wykorzystując analizę
nieliniową, przeprowadzili badania numeryczne w zakresach sprężystym oraz sprężysto-
plastycznym. Wzięli pod uwagę wpływ imperfekcji na przebieg ścieżek równowagi i nośność
graniczną.
Nandini i Kalyanaraman [113] badali interakcje różnych postaci wyboczenia belek ceowych z zagiętymi półkami za pomocą systemu ABAQUS. W wyniku przeprowadzonych doświadczeń numerycznych otrzymali wartości sił granicznych dla belek o różnych parametrach geometrycznych i właściwościach materiałowych. Wyniki porównali z wynikami otrzymanymi na podstawie norm AISI i Eurokod 3 oraz uzyskanymi z metody DSM (direct strength method). Zauważyli również, że dla niektórych postaci wyboczenia normy przybliżają z wystarczającą dokładnością wartości sił granicznych, natomiast w przypadku interakcji wszystkich form wyboczenia wartości obliczone za pomocą metody elementów skończonych zostały znacznie przekroczone. Autorzy zaproponowali nową metodę obliczania sił krytycznych.
Kubiak i Kołakowski [70] do analizy stateczności i pracy konstrukcji po jej utracie użyli pakietu ANSYS 5.7. Opisali oni dwa sposoby rozwiązania problemu stateczności: liniową analizę stateczności (wartości własne), która umożliwia wyznaczenie obciążeń krytycznych (punktów bifurkacji) i odpowiadających im postaci wyboczenia, oraz nieliniową, która umożliwia analizę pokrytyczną zachowania się konstrukcji oraz wyznaczenie ich nośności.
Przedstawili przykładowe konstrukcje cienkościenne, dyskretyzując je dla ośmiowęzłowego, wielowarstwowego elementu powłokowego o sześciu stopniach swobody w każdym węźle. Elementem tym można zamodelować cienkościenną konstrukcję wielowarstwową zbudowaną maksymalnie ze 100 warstw o różnej grubości i różnych właściwościach materiałowych. W celu analizy pokrytycznego zachowania się konstrukcji Kubiak i Kołakowski zaproponowali przeprowadzenie obliczeń w sposób dwustopniowy:
w pierwszym kroku dokonali liniowej analizy stateczności w celu wyznaczenia kilku postaci wyboczenia, odpowiadających najmniejszym obciążeniom krytycznym zarówno dla postaci miejscowych (lokalnych), jak i ogólnych (globalnych); w drugim kroku przeprowadzili nieliniową analizę stateczności na modelu, w którym przyjęto wstępne imperfekcje kształtu odpowiadające miejscowym i ogólnym postaciom wyboczenia.
Badania belek ceowych z różnymi typami zagięć środnika przedstawili Nedelcu, Chira i inni [114]. Autorzy zaprezentowali metodę będącą kombinacją metody elementów skończonych (MES) oraz uogólnioną teorią belek (GBT). Jest to metoda niezawodna, bardzo szybka i umożliwiająca wyznaczenie sił krytycznych dla belek jednorodnych zarówno z otworami, jak i bez otworów.
Basaglia, Camotin i Coda w swojej pracy [47] przedstawili i omówili wyniki badań
numerycznych na podstawie uogólnionej teorii belek (GBT) oraz nieliniowej analizy sprężysto-
plastycznej dla profili stalowych zimnogiętych. Badania przeprowadzili za pomocą
oprogramowania ANSYS, a wyniki porównali do metody DSM. Uzasadnili również słuszność stosowania metody GBT do projektowanie belek poddanych obciążeniom poprzecznym.
Celem opracowania [57] jest przedstawienie wyników badań numerycznych 1050 belek z zagiętą półką (LCB – lipped channel beam) w warunkach pożaru. Podwyższone temperatury, które oddziałowujące na konstrukcje stalowe są symulowane za pomocą modeli, naprężeń i temperatur określonych w EC3-1.2 dla stali formowanych na zimno. Modelowanie przeprowadzono za pomocą oprogramowania ANSYS. Wyniki badań opisane przez Camotim i Landesmann [74] wskazują na słuszność ciągłego ulepszania konstrukcji w celu poprawy wytrzymałości w środowisku zagrożonego wysokimi temperaturami. Powyższe wyniki są wykorzystywane do ustalenia wstępnych wytycznych dotyczących projektowania konstrukcji (DSM) zimnogiętych w trakcie pożaru.
W pracy [161] autorzy SudhirSastry i inni przeprowadzili analizę wyboczenia poprzecznego belek cienkościennych formowanych na zimno z półkami kroplowymi poddanych czystym momentom zginającym. Krytyczne obciążenia wyboczeniowe są szacowane na podstawie kryteriów optymalizacji. Szacowane krytyczne naprężenia wyboczeniowe porównywane są z opublikowanymi wynikami w literaturze i wykazują doskonałą zgodność. Zbadano wpływ długości belki, promienia i grubości zagięcia półki oraz długości półek otwartych na krytyczne naprężenia wyboczeniowe dla kilku kombinacji parametrów geometrycznych belki. Analizy numeryczne przeprowadzono dla trzech różnych przekrojów, a najlepsze wyniki otrzymano dla profili cienkościennych z wydłużonymi półkami kroplowymi.
BADANIA DOŚWIADCZALNE
Świniarski, Królak oraz Kowal-Michalska [162] przedstawili modelowe badania doświadczalne oraz analizy numeryczne stateczności i nośności granicznej cienkościennych słupów (dźwigarów) o przekrojach jedno- i wielokomorowych, poddanych równomiernemu ściskaniu. Opisali wpływ przyjętej schematyzacji charakterystyki materiału na przebiegi krzywych pracy uzyskanych na drodze numerycznej za pomocą pakietu ANSYS 11 [178].
Bradford i Ge [28] badali cienkościenne dwuprzęsłowe belki dwuteowe obciążone siłą
skupioną na każdym przęśle. Brali pod uwagę wpływ na siłę krytyczną różnych czynników,
takich jak: geometria przekroju, smukłość, sposób podparcia, miejsce przyłożenia sił oraz
stosunek długości przęseł i sił przyłożonych do każdego z nich. Badania przeprowadzono
w zakresie sprężystym, zauważając, że stosunek miejscowej siły krytycznej do siły ogólnej
wzrasta wtedy, gdy maleje smukłość środnika lub gdy rośnie długość belki oraz zwiększa się
stosunek długości jednego przęsła do długości drugiego. Przedstawiono również wykresy sił krytycznych dla różnych wartości obciążeń przyłożonych do sąsiednich przęseł.
Kesti i Davies [67] porównywali siły graniczne dla krótkich prętów uzyskane na podstawie formuł zawartych w normie Eurokod 3 z wynikami badań doświadczalnych i zaproponowali modyfikację tych formuł. Beale i inni [18] badali eksperymentalnie ceowniki kształtowane na zimno. Wykazali zgodność uzyskanych wartości momentów granicznych (ultimate moment capacity) z wynikami teoretycznymi.
Hsu i Chi [62] przeprowadzili badania doświadczalne belek kształtowanych na zimno z uwzględnieniem trzech przypadków monotonicznie wzrastającego obciążenia siły skupionej oraz dwóch sił skupionych i jednego obciążenia cyklicznego. Zaproponowali zmodyfikowany kształt belki dwuteowej z tzw. klamrą przy jednej z półek. Zauważyli, że belki o większej sztywności na zginanie w stanie przedwyboczeniowym wykazują większą utratę wytrzymałości w stanie powyboczeniowym niż belki o mniejszej sztywności. Zaproponowali pewne formuły na obliczanie niektórych charakterystyk geometrycznych rozpatrywanych przekrojów. Badania belek cienkościennych o przekrojach zamkniętych obciążanych dynamicznie przedstawili Prokić i Lukic [141].
Rendek i Balaz [93] porównali wyniki uzyskane z wykorzystaniem uogólnionej teorii belek (generalized beam theory) z wynikami eksperymentów na belkach cienkościennych kształtowanych na zimno. Young i Hancock [176] testowali wytrzymałość belek o profilu ceowym na wgniecenia środnika pod wpływem siły skupionej. Wyniki porównali z danymi ujętymi w dostępnych normach NAS, AS/NZS, AISI. Salem i inni [149] badali doświadczalnie siłę graniczną po miejscowej utracie stateczności dwuteowników ściskanych siłą przyłożoną w środku i poza środkiem przekroju. Uzyskali zgodność wyników badań doświadczalnych z wynikami numerycznymi otrzymanymi z użyciem metody elementów skończonych. Becque i Rasmussen [22] przedstawili postacie wyboczenia dwuteowych części konstrukcji, które uzyskali w wyniku badań eksperymentalnych. Autorzy badali również wpływ imperfekcji materiałowych na postać utraty stateczności konstrukcji.
Wyniki badań eksperymentalnych konstrukcji cienkościennych można również znaleźć w pracach: Bhowmicka i innych [26], Pastora i Rourea [137] oraz Yong i Liu [177]. Badania doświadczalne naprężeń oraz przemieszczeń belek cienkościennych kształtowanych na zimno zostały opisane przez Paczosa, Magnuckiego i Zawodnego w pracach [129, 134] oraz przez Paczosa i Wasilewicza [129].
Badania numeryczne i doświadczalne cienkościennych belek o przekrojach otwartych
zostały przeprowadzone przez Pastora i Rourea [137] oraz Schafera [154]. W swych badaniach
Schafer analizował dwa inne rodzaje obciążenia. Zaproponował on formuły umożliwiające obliczanie obciążeń krytycznych oraz uwzględnił interakcje między ogólną (globalną) a miejscową utratą stateczności belek cienkościennych.
Kubiak i inni [41] przedstawili wyniki badań doświadczalnych oraz numerycznych dla konstrukcji ceowych wykonanych z kompozytu węglowo-epoksydowego laminatu składającego się z ośmiu symetrycznie zorientowanych warstw. Głównym celem badania było zbadanie zachowania się struktur podczas quasi-statycznej kompresji aż do osiągnięcia zniszczenia. Wyniki pozwoliły na opisanie zachowanie postwyboczenia i oszacowanie ostatecznej nośności badanych konstrukcji kompozytowych.
Kształtowane na zimno elementy stalowe o dużej wytrzymałości są coraz częściej stosowane jako elementy nośne w budynkach. Belki cienkościenne z zagiętą półką (LCB – lipped channel beam) jest jednym z najczęściej stosowanych elementów giętkich w przemyśle i budownictwie. Mahendran i Keerthan [65] w swojej pracy przedstawili wyniki eksperymentów, aby sprawdzić zachowanie się na ścinanie i wytrzymałość profili typu LCB.
W artykule [73] Rodrigues i inni przedstawili serię testów wytrzymałości na zginanie w warunkach naturalnych i podczas pożaru na prostych podpartych belkach stalowych wykonanych z jednego lub dwóch profili w kształcie sigma. Oceniono krytyczną temperaturę i czas oraz wpływ usztywnień na belki w różnych warunkach. Wyniki pokazały, że belki z usztywnieniami wzdłuż środnika mogą zachowywać się różnie w środowisku o podwyższonej temperaturze i narażone na ogień.
Chen i Wang [34] w artykule przedstawili wyniki badań stalowych belek formowanych na zimno z profilowaną częścią środkową. Przeprowadzono 48 prób dla elementów o różnych warunkach brzegowych, warunkach obciążenia, długościach i wysokościach przekroju. Wyniki analiz metodą elementów skończonych (MES) były zgodne z wynikami badań doświadczalnych. Autorzy potwierdzili słuszność prowadzenia modelowania numerycznego do przewidzenia wyników eksperymentów.
Kubiak i inni [70] przedstawili wyniki eksperymentalnej analizy wyboczenia i post-
wyboczenia cienkościennych, kwadratowych rur o przekroju poprzecznym (GFRP) poddanych
czystemu zginaniu. W tym celu zaprojektowano i wykonano specjalny uchwyt do
czteropunktowego testu zginania. W celu zebrania wszystkich niezbędnych danych
wykorzystano czujniki tensometryczne oraz system cyfrowej korelacji obrazu (DIC) firmy
ARAMIS, produkowany przez firmę GOM. Tensometry mierzyły odkształcenia w jednym
punkcie, podczas gdy system DIC był w stanie generować mapy pól przemieszczeń. Na
podstawie danych z uniwersalnej maszyny wytrzymałościowej Instron możliwe było określenie obciążeń wyboczeniowych i ścieżek równowagi w celu porównania wyników.
Aghoury i inni [48] badali próbki poddawane osiowemu obciążeniu ściskającemu profili cienkościennych o przekroju sigma. Model elementów skończonych jest opracowywany przy użyciu oprogramowania (ANSYS). Dla wybranych ośmiu próbek wyznaczono wzór naprężeń szczątkowych oraz średnie wartości miejscowe i dystorsyjnego wyboczenia, jak również ogólne pomiary imperfekcji. Porównano metody eksperymentalne, elementów skończonych (MES) oraz projektowe (DSM i AISI).
Naprężenia oraz przemieszczenia belek cienkościennych kształtowanych na zimno zostały opisane przez Paczosa i Zawodnego w pracach [133, 134, 179]. Inne prace dotyczące badań eksperymentalnych przedstawili: Pizhong Qiao i inni [182], Ran Feng i inni [49], Biegus i inni [27], Pastor i inni [137], Cheng Yu i inni [35], Paczos i Wasilewicz [129], Hamdy i inni [56], Keerthan i Mahendran [66], Mahendran i Jeyaragan [101], Becque i inni [21] oraz Wilkinson i Dempsey [172].
PORÓWNANIE METOD BADAWCZYCH
Magnucka i Paczos [85] przedstawili rozwiązania analityczne belek ceowych o niestandardowych przekrojach poprzecznych oraz zweryfikowali metodą pasm skończonych wartości sił krytycznych oraz postacie wyboczenia. Paczos [123] przeprowadził analizę cFSM belek z półkami skrzynkowymi, odnosząc uzyskane wyniki do przeprowadzonych badań doświadczalnych.
Porównanie wyników teoretycznych z wynikami eksperymentalnymi pomaga w dużej mierze ulepszyć modele matematyczne belek. Takie podejście zostało podjęte przez np.
Magnucka-Blandzi i Magnucki [84], który przygotował przegląd prac na stalowych konstrukcjach zimnogiętych. Podobne problemy analizowano na całym świecie, a niektóre wyniki w tej dziedzinie przedstawiła Magnucka-Blandzi [85], Paczos i inni [124]. Pokazali własne eksperymentalne i numeryczne badania cienkościennych belek kanałowych o niestandardowych przekrojach.
Dębski, Kubiak i Teter [40] oraz Kołakowski i Mania [68] przedstawiają badania oparte na
eksperymencie kompozytowych słupów o przekrojach ceowych obciążonych statyczną siłą
ściskającą. Badane ceowniki zostały wykonane z ośmiowarstwowych materiałów
kompozytowych o różnych konfiguracjach warstw. Wyniki badań doświadczalnych zostały
zweryfikowane numerycznie za pomocą programu ABAQUS i dodatkowo potwierdzone
metodą analityczno-numeryczną.
Batista [14, 16] porównał wartości nośności granicznej kolumn i belek cienkościennych uzyskane z użyciem metody efektywnych przekrojów zaproponowanej w pracach [15, 17]
z danymi eksperymentalnymi zaczerpniętymi z literatury. Badał także zgodność wyników eksperymentalnych z otrzymanymi za pomocą metod opisanych w normach europejskich (metoda efektywnej szerokości) i amerykańskich (direct strength metod). Wyniki teoretyczne otrzymano przy założeniu interakcji miejscowej i ogólnej postaci utraty stateczności.
W rozważaniach tych pominięto dystorsyjne wyboczenie kolumn i belek.
Wyniki badań nad nośnością graniczną belek o niestandardowych przekrojach ceowych przedstawili Paczos [127] oraz Kasprzak [125]. Zaprezentowane przez tych autorów wyniki badań doświadczalnych zostały zweryfikowane analitycznie oraz z zastosowaniem MES.
Wyniki przedstawione w pracy [12] zostały zweryfikowane z użyciem programu ANSYS.
Podobną tematyką oraz szerokim opisem zagadnień stateczności dynamicznej kolumn zajmowali się Kotełko i Mania [69].
W odniesieniu do sztywności rozważanych kolumn uzyskano podobne wyniki dla wszystkich próbek: kąt nachylenia siecznej jest niemal identyczny w stanie pokrytycznym.
Porównanie ugięć rozważanych kolumn doprowadziło do wniosku, że kolumna charakteryzująca się większym obciążeniem krytycznym pod działaniem zastosowanej siły deformowała się mniej niż kolumny o mniejszym obciążeniu krytycznym.
André Eduardo i Martins Rua Pinto [47] przedstawili w swojej pracy badania cienkościennych elementów stalowych metodami cuFSM, MRR i DSM. Uzasadnili oni również, że zastosowanie elementów stalowych formowanych na zimno w budownictwie jest motywowane przez wysoką efektywność strukturalną tych profili, a mianowicie poprzez wysoki stosunek wytrzymałości do masy, szeroki zakres kształtów (kształty przekrojów) i niskie koszty produkcji i transportu.
W artykule [77] Liu, Chang i inni opisali kolumny o cienkich ściankach ze stopu aluminium.
Przeprowadzili oni badania eksperymentalnie i numerycznie w celu sprawdzenia zachowania wyboczeniowego i oceny dokładności obecnych metod projektowania. Badania doświadczalne miały służyć weryfikacji modelom numerycznym (MES). Badano również wpływ grubości ścianek na naprężenia za pomocą metody pasm skończonych (FSM). Wyniki zostały porównane z danymi podanymi przez funkcjonujące amerykańskie, europejskie i chińskie specyfikacje dotyczące konstrukcji ze stopów aluminium i metodą bezpośredniej wytrzymałości (DSM) na cienkościennych konstrukcjach.
Hanckock i Pham [60] przedstawili badania metodami semi-analityczną pasm skończonych
(SAFSM), pasm skończonych (FSM) i elementów skończonych (MES) dla elementów
cienkościennych. W pracy podsumowano teorię SAFSM, wykorzystywaną do analiz wyboczenia płyt. Badania przeprowadzono do obliczenia naprężeń przed wyboczeniem w płytach i sekcjach oraz do wykonywania analiz wyboczenia przy użyciu naprężeń.
Sadovský i Kriváček w pracy [148] przedstawili metodę modelowania obliczeniowego wytrzymałości wyboczeniowej ściskanej osiowo cienkościennej belki ceowej z zagięciem.
Badania przeprowadzono za pomocą geometrycznej i nieliniowej analizy MES z uwzględnieniem niedoskonałości (GMNIA). Rozważane są niedoskonałości geometryczne wynikającym z tolerancji wykonawczych. Wyniki modelowania potwierdzają słuszność prowadzenia badań dla konstrukcji z niedoskonałościami.
Celem badań przeprowadzonych przez Wang i Young [170] jest zbadanie zachowań strukturalnych i ocena stosowności aktualnej metody wytrzymałości bezpośredniej (DSM) przy projektowaniu kształtowników ze stali walcowanej na zimno poddawanych zginaniu.
Usztywnienia zostały zastosowane do środnika, aby poprawić wytrzymałość na zginanie zimnogiętych kształtowników stalowych, które są podatne na miejscową i dystorsyjną utratę stateczność. Porównano wyniki badań eksperymentalnych i numerycznych (MES) z metodą wytrzymałości bezpośredniej (DSM).
Hanckock i inni [138] w swojej pracy przedstawili badania wytrzymałości na ścinanie profili formowanych na zimno ze wzdłużnymi wzmocnieniami środnika. Metoda modelowania elementów skończonych (MES) została porównana z wynikami badań eksperymentalnych i metodą Direct Strength Method (DSM).
Moen, Smith, Adany i Schafer [29, 207, 157] opracowali i podsumowali metody ogólnych,
dystorsyjnych i miejscowych obciążeń krytycznych dla zimnogiętych kształtowników i belek
z otworami. Ogólne wyboczenie belek i słupów stalowych formowanych na zimno, w tym
wpływ otworów, jest przewidywane przy przybliżonych "ważonych średnich" właściwościach
przekroju z zasady St. Venanta, formułowanych z klasycznych rozwiązań opartych na
stabilności energetycznej według Rayleigh–Ritz. Wyboczenie dystorsyjne i miejscowe
elementu stalowego formowanego na zimno z otworami określa się metodą semianalityczną
pasm skończonych, uwzględniając odpowiednie modyfikacje grubości elementu i wybór
długości pół-fal wyboczenia. Proponowane rozwiązania są weryfikowane za pomocą badań
numerycznych metodą elementów skończonych. Metody te opracowano w celu wsparcia
w obliczeniach wytrzymałości stalowych stojaków paletowych i regałów wysokiego
składowania na potrzeby Amerykańskiego Instytutu Żelaza i Stali (AISI). Jednoznaczne, proste
metody utraty stateczności prętów z perforacją są kluczowe dla rozszerzenia Metody
Bezpośredniej Wytrzymałości (DSM – direct strength method) i określenia wytrzymałości ostatecznej stalowego elementu giętego na zimno.
OPTYMALIZACJA I NOWE PRZEKROJE
Powstało również szereg prac poświęconych optymalizacji belek cienkościennych kształtowanych na zimno, których autorami są między innymi Magnucki, Ostwald oraz Maćkiewicz [88, 99, 121]. W pracach tych autorzy rozważali belki cienkościenne z zagięciem oraz z pofałdowanymi półkami, wyprowadzając pewne zależności dotyczące odkształceń i naprężeń w celu zbadania ich stateczności. Analityczne modele opisujące utratę stateczności zostały oddzielnie wyprowadzone dla zagięcia, półki oraz środnika analizowanych belek cienkościennych. Optymalizację dwukryterialną belek zimnogiętych przedstawili Rodak i Ostwald w pracy [146]. Opracowując model, autorzy wzięli pod uwagę nie tylko warunki wytrzymałościowe konstrukcji, ale również ograniczenia związane z wymiarami poprzecznymi profilów oraz ze statecznością i sztywnością belek. Szeroki opis belek o niestandardowych przekrojach ceowych przedstawili w swych pracach Paczos [122] oraz Magnucki i Kasprzak [124, 126].
Obecne zasady projektowania dla prętów i kształtowników stalowych formowanych na zimno opierają się na tej samej niesymetrycznej krzywej wytrzymałości w temperaturze otoczenia. Mahedran i inni [55] zbadali dokładność stosowania obowiązujących norm projektowania w zakresie temperatury otoczenia w Australii / Nowej Zelandii (AS / NZS 4600), amerykańskim (AISI S100) i europejskim (Eurokod 3 część 1.3). Stwierdzono, że te zasady projektowe dokładnie przewidziały możliwości wyboczenia prętów z zagiętymi półkami w podwyższonych temperaturach. Dokładność proponowanych zasad projektowania dla podwyższonych temperatur zostały zweryfikowane za pomocą analizy metodą elementów skończonych.
Celem badań Nguyen, Kim i Lee [116] jest przedstawienie metodologii formułowania i rozwiązania dla optymalnego projektowania cienkościennych belek kompozytowych.
Obiektywną funkcją problemu optymalizacji jest maksymalizacja krytycznych obciążeń giętno-skrętnych obciążonych osiowo belek, które są obliczane przez oparty na przemieszczeniu jednowymiarowy model elementów skończonych.
Optymalizacje cienkościennych belek omówili szczegółowo również Magnucki, Rodak
i Lewiński [95], Loughlan i Yidris [81].
1.2. Cel i zakres pracy
Przedmiotem rozprawy doktorskiej są badania w zakresie wytrzymałości i stateczności belek cienkościennych o zmodyfikowanych przekrojach ceowych z niestandardowymi półkami i profilowanym środnikiem (rys. 1.2).
Rysunek 1.2. Przekroje badanych belek
Klasyczne konstrukcje cienkościenne znane są już od początku dwudziestego wieku. Ich zastosowanie możemy znaleźć między innymi w budowie maszyn, budownictwie (mosty, hale, budowle wysokościowe), przemyśle związanym z transportem kolejowym, lotniczym i samochodowym (wagony kolejowe, jednostki pływające) oraz w wielu innych dziedzinach przemysłu. Tematyka jest aktualna i ciągle intensywnie rozwijana na świecie, co można zauważyć w licznych publikacjach opisanych w przeglądzie literatury. Konstrukcje te zostały szczegółowo zbadane i opisane w licznych publikacjach i monografiach. Świadczą o tym publikacje w renomowanych czasopismach oraz przychylne reakcje na konferencjach międzynarodowych. Pozostają jednak dalej przedmiotem współczesnych badań. Proponowane badania pozwolą na dokładne i szczegółowe zbadanie zjawiska miejscowej uraty stateczności oraz lepsze rozumienie tego zjawiska.
Belki są konstrukcjami cienkościennymi kształtowanymi z jednego arkusza walcowanej na zimno blachy o dowolnych wymiarach poprzecznych i podłużnych. Przekroje belek ceowych w przeciągu kilkunastu ostatnich lat zmieniały swoje kształty w celu zwiększenia ich wytrzymałości, stateczności i nośności. Przedmiotowe belki są znanymi klasycznymi konstrukcjami cienkościennymi, jednakże uwzględniono w nich dodatkowo zagięcia wzdłuż środnika oraz niestandardowe kształty półek.
Badania obejmować będą rozwiązania matematyczne (analityczne), analizy numeryczne
metodą elementów skończonych (MES, ang.: FEM – finite-element method), metodę pasm
skończonych (ang.: FSM – finite strip methods lub cFSM – constrained finite strip methods)
oraz badania doświadczalne. Problem badawczy sprowadza się do opisania i zbadania zjawiska
miejscowej utraty stateczności oraz wpływu zmiany przekroju na wartości obciążeń. Badania
doświadczalne i analizy numeryczne będą miały na celu wyznaczenie wartości sił krytycznych
dla miejscowych postaci wyboczenia ściskanych półek oraz określenia wartości sił maksymalnych odpowiadających wyczerpaniu ich nośności. Odpowiednie ukształtowanie przekroju poprzecznego belki ceowej prowadzi do znacznego zwiększenia jej nośności w stosunku do jej masy. Celem pracy była między innymi analiza wytrzymałości i stateczności oraz porównanie otrzymanych wyników. Sterując odpowiednimi parametrami geometrycznymi tej struktury, takimi jak: długość zagięcia, ilość zagięć na półce czy długość promienia gięcia można dążyć do maksymalizacji odporności ze względu na wytrzymałość, stateczność i nośność.
Wieloletnie doświadczenia w obszarze wytrzymałości i stateczności konstrukcji cienkościennych skłoniły zespół wykonawców do przeprowadzenia nowych badań doświadczalnych i numerycznych dążących do rozwiązania zagadnienia. Wstępne badania wykonane i publikowane w literaturze przez zespół dają solidne podstawy by oczekiwać, że postawione cele zostaną osiągnięte. Część z przedstawionych rozwiązań została opublikowana w renomowanych czasopismach światowych i była prezentowana na krajowych i międzynarodowych konferencjach.
Teza rozprawy. Zwiększenie wytrzymałości i stateczności miejscowej poprzez
modyfikację przekrojów poprzecznych belek cienkościennych.
Hipoteza rozprawy. Wpływ wzmocnienia środnika oraz modyfikacje kształtu półek na
