THE CALCULATION OF THE RIGHTING MOMENT FOR A MOVING SHIP WITH AN I N L T I A L
ANGLE OF HEEL b y G. V. S o b o l e v a n d W. B. O b r a s t s o v T r a n s l a t e d by M i c h a i l A l e k s a n d r o v a n d G e o f f r e y G a r d n e r The D e p a r t m e n t o f N a v a l A r c h i t e c t u r e a n d M a r i n e E n g i n e e r i n g The U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n C o l l e g e o f E n g i n e e r i n g M a r c h 197 0
The f a c t t h a t t h e r e i s a s t a b i l i t y c h a n g e f o r a m o v i n g s h i p may be c o n s i d e r e d t o b e e x p e r i m e n t a l l y p r o v e n . I n R e f e r e n c e s [ 1 ] , [ 2 ] a n d [ 3 ] i t i s s t a t e d t h a t f o r a f u l l s h i p (Cg > 0.6) w i t h a s p e e d l e s s t h a n a c e r t a i n c r i t i c a l v a l u e , t h e c h a n g e o f r i g h t i n g moment i s p o s i t i v e a n d v i c e -v e r s a ( c u r -v e s 1 a n d 3 o f f i g u r e 1 ) . e^coTijf F i g u r e 1 F o r a f i n e h u l l f o r m (Cg < 0.5) t h e p i c t u r e i s r e v e r s e d . . ( C u r v e 2, f i g u r e 1 ) . The m a g n i t u d e o f t h e c r i t i c a l s p e e d d e p e n d s u p o n t h e s . t a b i l i t y d i a g r a m and c o r r e s p o n d s t o F_,. R 0.35 - 0.50« I n R e f e r e n c e [ 4 ] a n e m p i r i c a l m e t h o d f o r c a l c u l a t i n g t h e r e s t o r i n g moment f o r a m o v i n g s h i p was i n -t r o d u c e d o n -t h e b a s i s o f e x p e r i m e n -t a l r e s u l -t s . The f i r s -t t h e o r e t i c a l c o n s i d e r a t i o n s c o n c e r n i n g t h i s p r o b l e m w e r e p r e s e n t e d i n R e f e r e n c e r 5 ] . T h e r e , i t was p o i n t e d o u t t h a t t h e s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o b t a i n e d w i t h o u t a c c o u n t i n g f o r s p e e d c a n n o t be c o r r e c t f o r a s h i p i n m o t i o n . The r e a s o n f o r t h i s i s t h e c h a n g e o f p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n o n t h e h i i l l , f r o m h y d r o s t a t i c t o h y d r o d y n a m i c i n n a t u r e . ; T h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n i s . g i v e n b y : (1) w h e r e T — d r a f t z - t h e v e r t i c a l c o o r d i n a t e o f t h e c o n s i d e r e d p o i n t
i n R e f e r e n c e [ 5 ] . F o r t h e c h a n g e o f r e s t o r i n g moment, t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n was a l s o o b t a i n e d .
dMx 'de[Dh^-f '
- r)
V/l +2 y^C/x r V^^<^ V ] • (2)
H o w e v e r , w i t h o u t t h e d a t a r e l a t e d t o t h e p r e s s u r e d i s t r i -b u t i o n f o r t h e m o v i n g s h i p , f o r m u l a ( 2 ) i s d i f f i c u l t t o u s e . F o r a q u a l i t a t i v e a n a l y s i s t h e s h i p h u l l c a n be r e p r e -s e n t e d b y a f o i l o f -s m a l l a -s p e c t r a t i o , a n d c h o r d e q u a l t o t h e s h i p l e n g t h . C o n s i d e r i n g t h e h e e l i n g o f a n o n - c i r c u l a r s h i p h u l l we c a n s e e t h a t t h e w a t e r l i n e s become u n s y m m e t r i c a l . Due t o t h i s f a c t , a f o r c e s i m i l a r t o t h e r i s i n g f o r c e o n a f o i l w i l l a p p e a r . The m a g n i t u d e o f t h i s f o r c e v a r i e s i n t b e v e r t i c a l d i r e c t i o n . The t o t a l f o r c e w i l l c a u s e a l a t e r a l d r i f t a n d c o n s e q u e n t l y a h y d r o d y n a m i c r e a c t i o n . T h e r e f o r e , a s h i p m o v i n g w i t h h e e l i s s u b j e c t e d t o t h e s e m e n t i o n e d f o r t i e s as w e l l as t h o s e r e a c t i o n s o n t h e r u d d e r w h i c h o c c u r as a r e s u l t o f t r y i n g t o k e e p a s t r a i g h t c o u r s e . . The a p p l i c a t i o n o f f o i l t h e o r y t o t h i s p r o b l e m was d e v e l o p e d i n R e f e r e n c e [ 6 ] a s a means o f c a l c u l a t i n g t h e d a m p i n g c o e f f i c i e n t f o r r o l l i n g m o t i o n s . F o r t h e p r o b l e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n , t h e s o l u t i o n b a s e d o n t h i s t h e o r y , c a n be o b t a i n e d i f we a c c o u n t f o r t h e n o n - s y m m e t r y i n c a l c u l a t i n g t h e a n g l e o f a t t a c k f o r e a c h w a t e r l i n e . T h i s c a n o n l y b e d o n e b y a s s u m i n g t h a t t h e f l o w i s t w o d i m e n s i o n a l a n d t h a t e a c h w a t e r l i n e i s i n d e p e n d e n t o f t h e i n f l u e n c e o f n e i g h b o r i n g w a t e r l i n e s . The l a s t a s s u m p t i o n i s v a l i d o n l y f o r f o i l s w i t h v e r y l a r g e o r i n f a n t e s i m a l a s p e c t r a t i o s . The c a s e o f a s h i p h u l l b e l o n g s t o t h e s e c o n d c l a s s i f i c a t i o n (X = ^ < 0 . 0 8 ) . I t i s k n o w n t h a t f o r f o i l s w i t h t h i s a s p e c t r a t i o t h e t o t a l f o r c e c a n b e r e s o l v e d i n t o t w o c o m p o n e n t s : a) The c o m p o n e n t w h i c h i s l i n e a r l y d e p e n d e n t u p o n t h e a n g l e o f a t t a c k .b) T h e component, d e p e n d e n t u p o n t h e a n g l e o f a t t a c k s q u a r e d .. TO o b t a i n t h e l i n e a r s o l u t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e a n g l e o f . a t t a c k ( h e e l i n g a n g l e ) we c a n c o n s i d e r o n l y t h e l o n g i t u -d i n a l f l o w . The c o n s e q u e n t p r o c e -d u r e o f c a l c u l a t i n g t h e a t t a c k a n g l e i s t h e f o l l o w i n g
/ ^1
Y1 - /
\ Jc /
\ 1
\ / .-A /
/
1 ) F i g u r e . 2 E a c h w a t e r l i n e i s r e p l a c e d b y a s i m p l i f i e d c o n t o u r ( F i g u r e 3) : F i g u r e 3 2) A p p r o x i m a t i n g t h i s c o n t o u r by a c i r c u l a r a r c we •can c a l c u l a t e t h e a n g l e óf a t t a c k f o r z e r o l i f t u s i n g t h e known f o r m u l a o f f o i l t h e o r y : 3w h e r e f ( z ) - t h e maximum, v a l u e o f f ( s e e f i g . 3) i , F o r s h i p s , w i t h m a i n p a r t i c u l a r s g i v e n i n t a b l e 1„ t h e d i s t r i b u t i o n o f t h i s a n g l e a l o n g t h e s h i p d r a f t , i s g i v e n i n f i g u r e 4. F i g u r e 4 4
E a c h c u r v e c o r r e s p o n d s t o a c e r t a i n m o d e l a n d a c e r t a i H h e e l i n g a n g l e w h i c h c a n b e o b t a i n e d f r o m t a b l e 2. F o r t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e s e c u r v e s t h e f o l l o w i n g p o w e r s e r i e s c a?t b e u s e d : (3)
model
/VS
Hill.
Qftt/. °i I I 15 -0,015 0,081 2 I 30 0,052 0.012 3 I 45 0,110 -0,052 4 2 15 0,031 -0,042 5 2 30 0,0?7 -0,030 6 2 45 0,029 =0,009 7 3 15 0,050 0,007 3 30 0,015 0,024 • 9 3 45 0.023 0,010 T a b l e 2 I n t h e f o l l o w i n g s o l u t i o n we c a n l i m i t o u r s e l v e s t o t h e f i r s t t h r e e members. When o b t a i n i n g t h e r e s t o r i n g momentt h e c o n s t a n t c o m p o n e n t o f t h e a n g l e o f a t t a c k i s o f no i n t e r e s t T h e r e f o r e , we a r e o n l y c o n c e r n e d w i t h c o e f f i c i e n t s a^ a n d a^ (see t a b l e 2 ) . The s i m p l i f i e d i n t e g r a l e q u a t i o n o f t h e h y d r o f o i l w i t h a s m a l l a s p e c t r a t i o . R e f e r e n c e [ 8 ] , was u s e d t o o b t a i n a s o l u t i o n . A f t e r d e n o t i n g (4) 5
and t r a n s f o r m i n g e q u a t i o n (4) a c c o r d i n g t o R e f e r e n c e [ 9 ] we h a v e : 0 5 r '
W^J
3-0-J
i^-^K (6) A f t e r i n t e g r a t i o n (7) The l a s t e x p r e s s i o n c a n be e f f e c t i v e l y r e p l a c e d by t h e sysrem' o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s w h i c h a r e s u i t a b l e f o r c o m p u t e r a p p l i -c a t i o n s - The r e s u l t o f t h e -c o T n p u t a t i o n f o r t h r e e m o d e l s w i t h t h r e e h e e l i n g a n g l e s a r e g i v e n i n f i g u r e 5, w h e r e t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n s o n a s h i p ' s s i d e a r e g i v e n . . U s i n g a p o w e r s e r i e s\ N
\
F i g u r e S a p p r o x i m a t i a n we c a n o b t a i n t h e a d d i t i o n a l r e s t o r i n g moment u s i n g f o r m u l a ( 2 ) . A t t h e same t i m e , t h e a d d i t i o n a l r e s t o r i n g moment c a n b e c a l c u l a t e d d i r e c t l y , u s i n g(8) The r e s u l t s o f t h e s e c a l c u l a t i o n s a r e g i v e n i n f i g u r e s 6, 7' a n d S as f u n c t i o n s o f F^^. CONCLUSIONS 1 ) T h e a d d i t i o n a l r e s t o r i n g moment d u e t o s h i p ' s s p e e d c a n e x c e e d t h e v a l u e f o r a s t e a d y s h i p b y 15 - 20%.. 2) The c h a n g e o f r e s t o r i n g moment f o r f u l l s h i p s a n d p r a c t i c a l F r o u d e n u m b e r s i s .always p o s i t i v e , 3) The i n c r e a s e o f s h i p b l o c k c o e f f i c i e n t c a u s e s t h e i n c r e a s e o f r e s t o r i n g moment d u e t o s h i p ' s s p e e d . 4') F o r f i n e s h i p s t h e c h a n g e c f r e s t o r i n g moment i s s m a l l , a n d m i g h t be p o s i t i v e o r n e g a t i v e . 5) The n e g a t i v e v a l u e o f a d d i t i o n a l r e s t o r i n g moment c o r r e s p o n d s t o t h e h e e l i n g a n g l e f o r w h i c h t h e s t a b i l i t y d i a g r a m h a s a n "S" t y p e f o r m . 6) F o r F p < 0.2S t h e m a i n p a r t o f t h e a d d i t i o n a l , r e s t o r i n g moment i s a v o r t e x c o m p o n e n t . F o r F^^ > 0.25 t h e p r l m e a p a r t o f t h i s moment i s a wave, c o m p o n e n t o f h y d r o -d y n a m i c f o r c e s . Fig.S 1
REFERENCES [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] B a s i l e w s k i e , A. N., "The I n f l u e n c e o f Speed o n S h i p T r a n s v e r s e S t a b i l i t y , " M o r s k o y F o t , No. 1 , 1 9 5 6 S t e n v a a g , D., G a r b e r g , A., " H u o l b a t e s S t a b i l i t e t u n d e r f a s t , " S h i p s m o d e l t a n k e r s , M o d d e l e k s e , No. 2 6 , 195J O b r a s t s o v , W. B. , " E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f I n f l u e n c e s o f S h i p s Speed o n i t s T r a n s v e r s e S t a b i l i t y ^ P r o c . o f L S I , 1 9 6 6 O b r a s t s o v , W. B., " M e t h o d o f C a l c u l a t i n g t h e R e s t o r i n g Moment o f a M o v i n g S h i p , " P r o c . o f L S I , 1967 S e m e n o v - T j a n - S h a n s k i e , W. W., "To t h e P r o b l e m o f t h e S t a b i l i t y o f a M o v i n g S h i p , " S h i p b u i l d i n g S c i e n t i f i c S o c i e t y , P r o c . No. 3 9 , 1 9 6 1 s o b o l e v , G. v . , "Damping o f R o l l i n g f o r a M o v i n g S h i p , " P r o c . o f L S I , 1958 M i r o c h i n , B. V., " C a l c u l a t i o n o f V t y p e H y d r o f o i l s U s i n g V o r t e x T e c h n i q u e , " A v e a t s e o n n a j a T e c h n e k a , 1 9 6 4 , No. 1 S o b o l e v , G. v . , " H y d r o d y n a m i c s o f S m a l l A s p e c t R a t i o H y d r o f o i l A p p l i e d t o M a n e u v e r a b i l i t y , " K I E V , 1 9 6 7 S o b o l e v , G. v . , " L i n e a r Components o f S h i p H y d r o d y n a m i c C o e f f i c i e n t s , " S.S.T.S. No. 9 0 , 1967
