Een eenvoudige methode t.b.v. de manoeuvreerindices K en T uit zig-zag proeven

(1)

V

g

Rapport No. 267

LABORATORIUM VOOR

SCHEEPSBOUWKUNDE

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT

EEN EENVOUDIGE METHODE TER BEPALING VAN DE MANOEUVREER-INDICES K EN T UIT ZIG-ZAG PROEVEN

door

J.M.J. Journée

(2)

Een eenvoudige methode ter bepaling van de manoeuvreer-indices K en T

uit zig-zag proeven

door

J.M.J. Journee

Inleiding.

De beweging van een schip t.g.v. een roersignaal, zoals bij een zig-zag

manoeuvre, kan door een mathematisch model beschreven worden. In het

eerste orde systeem van Nomoto

('iY

werd een compromis gevonden tussen een redelike benadering van de beweging en de eis dat het model

eenvoudig moet zijn. Door Ñomoto zijn enkele eenvoudige methoden aan-gegeven orn de indices K en T uit zig-zag proeven te bepalen.

Het is echter gebleken dat de met deze K en T berekéndemanoeuvres in het algemeen vrij grate verschillen vertonen met de aan board gemeten

manoeuvres. In verband hierinee is een methode ontwikkeld orn de indices

K en T zodanig te bepalen dat het verschil tussen de gemeten en

berekende manoeuvres, wat betreft periodetijd en doorzwaaihoek, minimaal

is. Hiertoe zijn met de digitale rekenautomaat voor een praktisch interval van de indi,es K en T uit het eerste orde systeem de voornaainste grootheden

van een zig-zag proef berekend, waarbij de grootte van de roerhoek en de

roerhoeksnelheid als voornaarnste parameters gebruikt zijn. De resultaten van dit rekenwerk zijn vastgelegd in grafieken en kunnen als uitgangspunt dienen voor de analyse van zig-zag proeven.

De bewegingsvergelijking.

Aangenomen wordt dat de relatie tussen het koersverloop en de roerhoek

beschreven kan worden door de volgende bewegingsvergelijking:

T+

'1

= K(ó- S)

(i)

Hierin is:

4, de koershoeksnelheid in graden c.q radialen per seconde

de geregistreerde roerhoek in graden c.q. radialen

r de effectieve roerhoek in graden c.q. rdialen K een evenredigheidsconstante met dimensie:sec1

(3)

-2-3. Het onderscheidtussen een schee,ps- en een standaardprocedure.

De standaardprocedure van een zig-zag proef moet voldoen aan de volgende

eisen;

de absolute waarden van de roerhoeken zi.jn gelijk

de absolute waarden van de roerhoeksnelheden zijn gelijk

het roer gaat orn op het moment dat ii = -6

Het is duidelijk dat de pròcedure van een zig-zag proef met een schip nooit exact aan deze eisen kan voldoen. Het is echter wel mogelijk orn

een scheepsprocedure voldoende nauwkeurig te herleiden tot een

standaardpro-cedure. Bij de analyse van het voornoemde eerste orde systeem is dan ook

uitgegaan van een standaardprocedure..

1. De analyse van het eerste orde systeem.

Voor een aantal combinaties van K en T is het koeraverloop metde tijd

berekend met als parameters:

ó het niveau van de roerhoek

o de roerhôek waarbij het schip een rechte koers vaart de roerhoeksnelheid

Uit deze koersverlopen zijn de volgencle grootieden bepaald:

t de periodetijd de gemiddelde koers

uf _{de maximale waarde van de koers t.o.v.} 4)

a _g

Deze drie grootheden zijn bepaald uit de derde periode.

Geconstateerd werd dat het inschakelverschijnsel hier voldoende uitgedempt

is (figuur i).

4), o

t

Fig. 1.

(4)

n

Door analyse van deze gegevens zijn de volgende benaderingen gevoriden:

t

=t

1

p po tS a 16 2 a 6 r Hierin zijn: j), 11, 6 en 6 in graden a r t , t en t in seconden Ç1 po :r 26 tr de roerlooptijd a

i

I

t.C1

(2)

t, cq.

ao is de periodetijd c.q. koershoekamplitude bi

II

en t _{4_i} Po ao

-z- , c1, C2, CIL en zijn funkties van het produkt K.T

oT

a

èn c3 is een funktie van T.IJ (zie de figuren 5 tIm ii)

5.

Het herleiden van de scheepsprocedure iaareenstandaardprocedure.

Het grootste irerschil tussen de scheeps- en standaardprocedure ordt in het algemeen veroorzaakt door het niet voldoen ari de eis:

'hex = (zie figuur 2). = o. ao - K. t + K.T.6 2.c r a 3

1,O9.K.t

+ (6 16 CIL

(3)

(IL) (S a

(5)

ti

Fig. 2

correctie voor * 't'uax

-uu

A

correctie voor t

Als aangenomen wordt dat op het tidstip t1 geldt:

kan de periodetijd gecorrigeerd worden met t2 - t1, en de maximale

waarde van i met: p

- (o ).

ex o

In verband met het reeds eerder genoemde inschakelverschijnsel en uitgaande

van een zig-zag proef van drie perioden wordt voor

0a' 1

a' p en

het gemiddelde gedurende de tweede en derde periode genomen, waarbij bovengenoemde correctie in rekening gebracht is.

6.

Bepaling van K en T uit een zig-zag proef.

Als nu de waarden van

0a' ' 't'a'

lPg en t bekend ziin zijn in de

vergelijkingen (2), (3) en (f4) K, T en 0r de onbekenden.

Door iteratie zijn K, T en O hieruit op te lossen. Dit is echter een zeer

tijdrovende bezigheid. Door enkele aannamen zijn deze vergelijkingen sterk

te vereenvoudigen, zonder dat dit grote invloed op de nauwkeurigheid heeft. In bet algemeen kan gesteld worden:

« o

: : - 0,25 KdT Ij) gecorrigeerd max p

(6)

s

De vergelijkingen (2) en (3) gaan nu over in:

t. = t - 2t + 0,125 K.T.t

Po p r r

-. +

Ktr

In de appendix wordt afgeleid dat geldt

T=

t

Po

14K + A)

Hierin is A een funktie van K.T (zie figuur 14).

In de appendix is ook aÍ'geleid dat d'ao een funktie is van K.T (zie ook figuur 14).

Als van een zig-zag proef 4.* , *5 , t en t bekend zijn kunnen de coefficienteri

a a _p r

K en T langs iteratieve weg uit de vergelijkingen (5),

(6)

en (7) bepaald worden.

In eerste instantie wordt in

(6)

K.t verwaarloosd.

r l

In figuur 14 kunnen dan en A bij de waarde van uit (6), argelezen

worden. De vergelijkingen (5) en (7) leyeren dan een aarde voor T op.

Daar ook K.T bekend is, is dan K ook bekend. Met deze K-waarde wordt de

procedure herhaald. De procedure wordt herhaald tot K en T niet meer veranderen.

(7)

7.

Appendix.

Uit de bewegingsvergelijking (i) is af te leiden dat voor

W =

en O geldt: -t/T KS (l_eth/'T) + = q) + Uit

(8)

en

(9)

voigt: q) = q)0 + T(et/T - i) - KT t/T e

-1-t/T)

o -6--t/T -t/T T(1-e ) - KTS (1-e - t/T) o Figuur 3 (io)

(8)

Tijdstip t2

Uit

(8)

voigt:

= 0.e_t2/'T +

Daar het inschakeiverschijnsel uitgedernpt verondersteld wordt, geNt:

Dus: -t2/T

- = -K.

1-e óa i+e_t2l'T Uit

₍₉₎

voigt: ( _t2/T) -t2/T + T 1 e - KTS (1-e - t2/T) 2 o o a Daar tj = 5 en i - is dus: o a 2 a -t2/T -2 + KT (1-e - t2/T) = -t2/T a T(1-e

Uit (ii) en (12) voigt:

= _{+ 2} 1-e T K.T

i+et2/T

-t2/T

1-e t

Ais gesteid wordt: A

= -t2/T is A dus een funktie van 1 +e

T

wantt

2t

Po 2

Nu ontstaat Voor tpo de volgende betrekking:

t

-±L

_+IA

T K.T -7-(12) (13)

(9)

-8-Uit het bovenstaande voigt dat x, en funkties zijn van het

produkt K.T. T

In figuur 5 is t uitgezet ais funktie van T met K ais parameter.

Po b Voor T = O is t = en voor K = O is t = po K po Tij.stip ti Uit (8) voigt: = e th/T

_{+ K&(}

_{i_e_tilT)} Daar = o is dus: ti/T = -K.(e -i) a

Uit (ii) en (114) voigt dan:

i_e_t2lT _ti/T

- i+e_t2/'T

e - i

Daar A een funktie is van het produkt K.T is dus ook ti/T een funktie van K.T.

Uit (io) voigt: 'po

KT(e/T

i - ti/T)

Daar p en p = p is dus o a i ao - 1

KT(eh/

- i - ti/T) '5 a 't)

Daar ti/T eeri funktje is van K.T is dus ook een funktie van K.T.

In figuur 6 is 't'ao _{uitgezet als funktie van K.T.}

ao Voor T o is 1 en voor K o is o.

a a

Uit het voorafgaande voigt echter ook dat K.T en A funkties zijn van

'P a

In figuur 14

ZlJfl

-1 en A uitgezet tegen ao

K.T

(i5)

(10)

8.

Dankbetuiging.

De auteur dankt

de

heer G. van Leeuven voor zijn steun -vooral wat betreft wiskuridige problemen- bij de uitvoering van de analyse van

het eerste orde systeem.

(11)

-9-2.0

-1

KT

1.5 1.5

0.5 o

II

-11

II. L

k

I

X

1.0

-10-1.5

20 _OjJ

IF

25

1.00 X

t

0.75

0.50

0.25 o

(12)

tp0

(sec.)

1'oo

200 loo

-11-50

FIGUUR 5.

tp0 ALS FUNKTIE VAN K EN T.

loo

-a». T(secj

-0.010

-0.020

K (sec-')

-0.03 0

-DOLO

-0.050

-0.060

-0.080

-0.100

-0.120

-0.150

rr

r

-0.190

t

300

(13)

f

1.5

1.0

0.5

-12-FIGUUR 6.

ALS FUNKTIE VAN KT.

-KT

(14)

Ô

7

¿

-13-FIGUUR 7.

C1 ALS FUNKTIE VAN Kl.

/

/1

1'

/BENADERING:

/1

C1 =4 -0.25 KT

/1

5

lo

6 cl

¶

5

(15)

1.0

0.8

0.6

O .L

0.2 FIGUUR 8.

1 -C2 ALS FUNKTIE VAN KT.

5 10

(16)

10

0.8 C3

0.6

0.4

0.2 -

15-0.05

FIGUUR 9.

0.10 i

TIòI

(17)

1.0 0.6

0.4

0.2 FIGUUR lo.

5

-16-10

C4 ALS FUNKTIE VAN K1.

-Kl

(18)

C5

2.0 1.5 1.0