Kwartalnik Statystyczny, 1934, T. 11, z. 3/4

KWARTALNIK STATYSTYCZNY, TOM XI, ZESZYT 3— 4

R E V U E T R 1 M E S T R 1 E L L E D E S T A T 1 S T 1 Q U E , T O M E XI,

F A S C I C U L E 3— 4

*> t 9 t

TŁO CZO NO CZCIONKAMI DRUKARNI P A Ń S T W O W E J. Nr. 72994. 900.

G Ł Ó W N Y U R Z Ą D S T A T Y S T Y C Z N Y R Z E C Z Y P O S P O L I T E J P O L S K I E J

K W A R T A L N I K STATYSTYCZNY

T O M XI, ZESZYT 3 - 4

19 3 4

W A R S Z A W A

N A K Ł A D E M Ó Ł Ó W N E G O U R Z Ę D U S T A T Y S T Y C Z N E G O

2 Y T A T 2 O Ą S R U Y H W Ó J O 2 J O 9 l 3 T I J 0 9 2 0 9 Y 5 D 3 S f l

K O M IT E T R E D A K C Y JN Y G Ł Ó W N E G O U R Z Ę D U S T A T Y S T Y C Z N E G O P r z e w o d n i c z ą c y :

D y re kt or Gł. U. St. — E d w a rd Szturm de Sztrem C z ł o n k o w i e :

Stefan Szulc — Redak tor g łó w n y

K arol C zernicki — Zastępca redaktora głównego W ła d y sław Malinowski

J a n Derengow ski — Se kretarz redakcji

C O M ITĆ D E R Ś D A C T IO N DE L O F F I C E C E N T R A L DE S T A T IS T IQ U E

V

P r e s i d e n t :

Directeur de 1'Off. Centr. de Stał. — E d w a rd Szturm de Sztrem M e m b r e s :

Stefan Szulc — Redacteur en chef Karol C zernicki — Redacteur suppleant W ładysław Malinowski

J a n Derengow ski — Secretaire de redaction

S e k r e t a r j a t re d a k c ji — teł. 232-79

Za opinje w y r a ż o n e w a r ty k u ła c h d r u k o w a n y c h w w y ­ da w n ic tw a ch G łó w n e g o U r z ę d u S t a t y s t y c z n e g o o d p o w i a d a p o d ­ p i s a n y autor.

Les a rticles inseres dans les puhlications d e VOffice C e n ­

tral d e S ta tis tiq u e tra d uisent les opinions d e s auteu rs signant les

articles.

SPIS RZECZY

S T A N I S Ł A W K O Ł O D Z I E J C Z Y K

O pewnej k lasie hipotez statystycznych, zw iązanych z m eto d ą najm n iejszy ch k w a d ra tó w .

S T E F A N L E W Y

M iędzynarodow e porów nanie cen hurtow ych w latach

1923 — 1932 . . . .

Dr. J A N W I Ś N I E W S K I

K ilk a uwag o m iarach k o rela cji H A L I N A M I L I C E R - G R U Ź E W S K A

O m iarach staty sty czn y ch . . . . .

S. F O G E L S O N i A . R A J C H M A N

Je sz cz e o jednej z m atem atycznych teoryj „k o n ju n k tu ry P rz eg lą d obcych czasopism staty sty czn y ch w op raco w an iu B. B u c zy ń ­

skiego i S. Fogelsona — Skorow idz autorów oraz S k o ­

row idz rzeczowy . . . .

S P R A W O Z D A N I A ...

K R O N I K A

IV Sesja M iędzynarodow ego T o w arzystw a E konom etrycz-

nego # • • • # # »

S ek cja S ta ty sty c zn a T ow arzystw a Ekonom istów i S t a ty ­

sty k ó w Polskich . . . . .

Nowa dziedzina działalności Royal S tatistical Society . S. F O G E L S O N

Dr. H. B erlin er (1883 — 1934). W spom nienie pośm iertne

Str.

357

428

535

544

562

595 613

624 626 627

628

TABLE DES MATIERES

S T A N I S Ł A W K O Ł O D Z I E J C Z Y K

Sur une classe des hypotheses statistiques, associees

& la thćorie des m oindres c arres S T E F A N L E W Y

C om paraison In ternationale des p rix de gros en 1923 — 1932 ...

Dr. J A N W I Ś N I E W S K I

Quelques rem arques sur les m esures de la c o rre latio n . H A L I N A M I L I C E R - G R U Ż E W S K A

Sur les m esures statistiq u es . . S. F O G E L S O N i A . R A J C H M A N

C onsiderations a propos d u n e theorie m athćm atique con cern an t la ,,conjoncture“ .

Revue des pó rio d iąu es etran g ers p a r B. B uczyński et S. Fogelson — R śp e rto ire des a u te u rs et R śp e rto ire des matiores

C O M P T E S - R E N D U S ...

C H R O N I Q U E

IV-e Session de la Societe Econom etrique In tern a tio n ale Section statistiq u e de la Societś des economistes et des

statisticiens polonais . . . . .

Le nouveau dom aine de l ‘activitś de la Royal Statistical

Society . . . .

S. F O G E L S O N

Dr. H. B erliner (1883 — 1934). N otice com m em orative .

Page

357

428

535

541

562 595 613

624 626 627

628

O pewnej klasie hipotez statystycznych związanych z metodą najmniejszych kwadratów

( Z" ZAKŁADU BIOM ETRYCZNEGO INSTYTUTU IM . NENCKIEGO T . N. W . I ZAKŁADU STATYSTYKI MATEM ATYCZNEJ S. G. G. W . W W ARSZA W IE )

T R E Ś Ć : I. W stęp : 1. U w a g i o g ó ln e 357. 2. D e fin ic je i o z n a c z e n ia 358 . 3. O m etod ach sp ra w d za n ia h ip o te z sta ty sty c z n y c h 359. 4. P o d sta w o w e tw ie r d z e n ie J . N ey - m ana i E . S . P e a rso n a o w y zn a cza n iu n a jle p sz e g o ob szaru k r y ty c z n e g o 361.

5. Z agad n ien ia M ark ow a 364. II. T w ie r d z e n ie p o m o cn ic ze 369. III. Z a sto so w a n ie m eto d y w ia r o g o d n o śc i: 1. Z agad n ien ie 371. 2. W ia ro g o d n o ść h ip o te z y H 372.

3. W n io sk i 375. IV . Z a sto so w a n ie m eto d y n a jle p sz y c h o b sz a r ó w k ry ty czn y ch : 1. N a jlep sz y ob sza r k ry ty c zn y w stosu n k u do h ip o te z y H 381. 2. O z a le ż n o śc i n a jle p sz e g o ob szaru k r y ty c z n e g o od h ip o te z a lte r n a ty w n y c h 390. 3. W n io sk i 391.

V. O h ip o te z a c h d o ty c z ą c y c h w a r to śc i n a d z ie i m a tem a ty czn y ch u k ła ­ d ó w funkcyj lin io w y ch zm ien n ych e w e n tu a ln y c h 392. V I. P rz y k ła d y : 1. H i­

p o te z a o w a r to ś c i sp ó łczy n n ik a reg r esji 396. a . R eg resja k rz y w o lin ijn a 398.

b. R eg resja w ie lo r a k a 399 . 2. H ip o te z a o w a r to śc i n a d z ie i m atem a ­ tyczn ej przy zadanym u k ła d z ie p aram etrów z,- 401. a. R egresja k r zy w o lin ijn a 403.

b . R eg resja w ie lo r a k a 403. 3. H ip o tez a o r ó w n o śc i d w ó ch n a d z ie i m a te m a ty c z ­ n ych 404. 4. U o g ó ln ie n ie p o ję c ia reg resji 406. 5. Z a g a d n ien ie k - p rób . a. H i­

p o te z a o w a r to śc i n a d z iei m a tem a ty czn y ch 408. b . H ip o te za o r ó w n o śc i n a d zie i m a tem a ty czn y ch 413. V II. O o b w ie d n i n a jle p sz y c h o b sza ró w k r y ty c zn y ch 417.

VIII. D a lsz e u o g ó ln ie n ia 421. IX . Z a k o ń cze n ie 423.

L W S T Ę P 1. U w agi ogólne

W p rac y niniejszej zajm o w ać się b ęd ziem y uogólnieniem pew nego zagadnienia A. A. M arkow a z teo rji błędów . Zagadnienie to łączy się z a ­ zw yczaj w lite ra tu r z e sta ty s ty c z n e j z nazw iskam i „ S tu d en tV * i R. A. Fi- shera, k tó r z y podkreślili d o p iero jego znaczenie w z asto so w an ia ch s t a ty ­ styki m atem aty czn ej, tr a k t u ją c je zre sz tą niezależnie od M arkow a i na in ­ nych podstaw ach.

Zanim do właściwego tem atu przystąpim y, podam y k ilk a n a jw a ż n ie j­

szych inform acyj, do ty czący ch te o rji sp ra w d z an ia hipotez statystycznych;

op ierać się b ęd ziem y p rzy tem na term inologii w p ro w ad z o n ej przez J. Ney- m an a i E. S. P e a rso n a.

K w artaln ik S ta ty s ty c z n y , z c sz . 3— 4, rok 1934. 1

2. Definicje i oznaczenia Niech

Xj. X2. . . . X„ ( 1)

oznacza ciąg n zmiennych ew entualnych,

p (x lt x 2, . . . x„) (2)

praw o współzależności tych zmiennych, a ciąg

x l° ’ x i° ' • • • x n° ( 3 )

zaobserwow ane w artości zmiennych (1).

Niech dalej H oznacza hipotezę staty sty czn ą, k tó rą należy spraw dzić o p iera ją c się na w yniku (3). H ipotezę H nazyw ać będziem y „ p ro stą , jeśli w ynikać z niej będzie d o k ła d n a postać p ra w a p raw d o p o d o b ień stw a (2), w p r z y p a d k u przeciw nym — a więc wtedy, gdy ok reślać będzie p e w n ą nie- jed n o stk o w ą klasę p ra w p raw d o p o d o b ie ń stw a — nazyw ać ją będziem y

„złożoną". Z powyższego o k reślen ia hipotezy złożonej wynika, że k a żd ej takiej hipotezie można p rzy p o rz ąd k o w ać pewien zbiór — n iejed n o stk o w y — hipotez p rostych: hipotezy tego zbioru m ożna otrzym ać, d o łą c z a ją c do hi­

potezy złożonej H d o d atk o w e założenia d o tyczące (2), niesprzeczne z z a ­ łożeniami, stanow iącem i treść tej hipotezy.

Umówmy się rep rezen to w ać k a ż d y ew en tu aln y w ynik dośw iadczenia (3) przez p u n k t % p rze strze n i n - w y m iaro w e j; p u n k t te n nazw iem y

„ p u n k te m e k sp e ry m e n ta ln y m " , zaś zbiór w szystkich p u n k tó w e k s p e ry m e n ­ talnych W — „ p rz estrz e n ią e k sp ery m en taln ą".

K a ż d a m eto d a sp ra w d z an ia hipotezy staty sty czn ej H polega p rzy takiej in te rp re ta c ji geometycznej na w yróżnieniu w p rzestrzen i e k sp e ­ ry m entalnej pewnego zbioru p u n k tó w — ew en tu aln ie obszaru — w, n a zy ­ wanego obszarem k ry ty czn y m i na p rzy ję ciu reguły: odrzu cać hipotezę H za k ażd y m razem, gdy p u n k t ek sp ery m e n ta ln y okaże się elem entem w, oraz przyjm ow ać H — w razie przeciwnym.

Różnice pom iędzy poszczególnemi m etodam i sp ra w d z an ia hipotez po ­ leg a ją na różnicach w stosow anych obszarach k ry ty czn y ch . U stalen ie ob­

szaru k ry ty c z n e g o w sto su n k u do sp ra w d z an e j h ip o te zy uzależnione jest przy- tem od p rzy jęcia tej lub innej z asa d y w yboru. W d aw niejszych p ra c a c h nie były naogół p rec y zo w an e z asad y w y b o ru o b szaró w k ry ty czn y ch , a w nielicz­

nych p rz y p a d k a c h , gdy n a w e t tak ie z asad y w yp o w iad an o , z asa d y te były ko n stru o w an e oddzielnie d la każdego poszczególnego problem u. Sposoby jednolitego sp ra w d z an ia hipotez staty sty czn y ch p o d a li dopiero J. N eym an i E. S. P e a rso n w szeregu publikacyj [10—12, 16— 21] *.

1 L?czby w z ię te w klam ry ozn aczają num ery prac w b ib ljo fr a łji.

3. O m e to d a c h sp ra w d z an ia h ip o te z sta ty s ty c z n y c h

P o d staw ą, na której m etody J. N eym ana i E. S. P e a rs o n a się o p ie ­ rają , jest w yróżnienie dwóch k ategoryj błędów, jak ie można popełnić przy sp ra w d z an iu hipotez statystycznych. B łędy te p o leg a ją w szczególności:

1. na odrzu cen iu sp raw d zan ej hipotezy H, gdy ona w istocie jest słuszną;

2. na p rz y ję c iu tej hipotezy, gdy słu sz n ą jest ja k a ś inna h ip o te ­ za —■ H .

N a tern w yróżnieniu błędów o p a rte są m etody „wiarogodności i ,,n a jlep szy c h obszarów kry ty czn y ch ", k tó re stosow ać będziem y w p racy niniejszej. Z naczenie ty ch m etod nie polega je d n a k jed y n ie n a ich ogól­

ności. Polega ono ta k ż e n a tern, że stosow anie ich p rzy sp ra w d z an iu sze­

regu hipotez sta ty s ty k i klasycznej, p ro w a d ziło zawsze do spraw dzianów już p o p r z e d n i o ogólnie p rzy ję ty c h i sto so w an y c h ; m eto d y te sta n o w iły więc podłoże, n a k tó r e m m ożna b y ło uzasad n ić rację sto so w an ia szeregu s p r a w ­ dzianów klasycznych, nie o p a rty c h d o ty ch c za s n a ogólnych zasa d ac h . — W niniejszym rozdziale ograniczym y się do n a szk ic o w an ia jedynie m eto d y najlepszych o b szaró w k ry ty cz n y ch , o d k ła d a ją c p odanie n iek tó ry c h szczegó­

łów do ty czący ch m eto d y w iarogodności do ro z d z ia łu III.

Oznaczmy, jak poprzednio, przez - p u n k t ek sp ery m en taln y , przez H — sp ra w d z an ą hipotezę złożoną, a przez w — obszar k ry ty cz n y w sto su n k u do hipotezy H. Niech dalej H t oznacza hipotezę prostą, w chodzącą w sk ład hipotezy H, a P ( v H*) — o k reślan e przez hipotezę h praw dopodobieństw o, że p u n k t - z n ajd zie się w dowolnym zbiorze v. J e ś li dw a obszary v i V\

sp e łn ia ją tożsam ościow e w aru n ek

= t P ( v \ H i) (4)

d la każdej hipotezy H*. przy czem $ oznacza liczbę stałą, n iezależną od H 1, to mówimy, że o b szar Vi p osiada .,mcc" e w stosunku do obszaru v oraz, że jest podobny do v.

H ipotezie H przeciw staw im y w y b ran ą ze zbioru dopuszczalnych p ro ­ stych hipotez t.’ hipotezę a lte rn a ty w n ą P rzez ..n ajlep szy obszar k ry ty czn y hipotezy H w stosunku do hipotezy H u o mocy ^e“, rozum ieć będziem y ob­

szar w

1. podobny do p rzestrzen i e k sp ery m en taln ej W:

P (w ] H*) = * P ( W H 1) = e. (5) 2. sp e łn ia ją c y w arunek:

P ( W — w | H t) = 1 — P ( w H,) = Minimum. (6)

R o zp atrzm y bliżej znaczenie d efinicji powyższej. W tym celu o zn acz­

my przez P ( w ) praw dopodobieństw o niesłusznego o drzucenia hipotezy H — zatem , w myśl klasyfikacji J. N e y m a n a i E. S. P e a rso n a, p r a w d o p o d o b ie ń ­

stwo p o p ełn ien ia b łęd u k ate g o rji pierw szej, a przez P ( W - w ) — p r a w d o ­ p o d o b ień stw o przyjęcia tej hipotezy, w p rzy p a d k u , gdy słuszną jest h ipo­

teza H i — więc p raw dopodobieństw o b łęd u drugiej kateg o rji. Oznaczm y dalej p rzez P ( H ) i P ( H ,) p raw d o p o d o b ień stw a a p riori hipotez H i H it oraz przez P ( H l p raw d o p o d o b ień stw a a p rio ri hipotez p ro sty ch H (, w cho­

dzących w sk ła d hipotezy H. M am y

P ( H ) = (7)

P ( w ) = S P ( H ' ) P ( w W ) (8) P { W — w ) = P { H l) P ( W - w \ H l). (9) Ł ącząc wzory pow yższe z w zoram i (5) i (6) o trzym ujem y

P ( w ) = 2 P ( H t) P ( w \ H ł) = e S P ( / f ) < e , (10)

P<W—w) = Minimum. (11)

Znaczenie wzorów (10) i (11) u ją ć m ożna w sposób n astęp u jący . 1. Ze w zoru (10) wnosimy, że jeśli przyjm iem y jako sp ra w d z ia n h i­

potezy H jakikolw iek obszar o mocy e podobny do p rzestrzen i e k sp e ry m e n ­ talnej W , wówczas p raw dopodobieństw o p o p e łn ien ia b łęd u pierwszej k a te ­ gorji nie będzie p rz e k ra c z a ło liczby e. K res górny p raw d o p o d o b ień stw a b łę ­

d u jest więc niezależny od p raw d o p o d o b ień stw a p rio ri hipotez H ł.

2. Je ś li dopuszczalne są tylko dwie hipotezy H i H to ja k w ynika ze w zoru (11), jak ik o lw iek b y łb y u k ła d p ra w d o p o d o b ie ń stw a priori tvch hipotez, stosow anie do sp ra w d z an ia hipotezy H najlepszego obszaru k r y ­ tycznego w, zap e w n i mniejsze p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łę d u drugiej kategorji, niż stosow anie każdego innego obszaru sp ełn iająceg o w aru n ek (5). P r z y ­ p ad ek , gdy hipotez a ltern a ty w n y ch jest ty lk o jedna, jest w y jątk o w y : zw ykle jest ich zbiór nieskończony.

S p e c ja ln ie w ażny jest p rzy p a d ek , gdy ten sam obszar w 0. s p e łn ia ją ­ cy (5), spełnia w aru n ek (6) w stosunku do k a żd ej dopuszczalnej hipotezy p ro stej, a ltern a ty w n ej w stosunku do sp raw d zan ej hipotezy H. W tym p rz y p a d k u możemy powiedzieć, że o g ran iczając w ybór obszarów k ry ty c z ­ nych do sp e łn ia ją c y ch rów nanie (5), nie moglibyśmy znaleźć obszaru k r y ­ tycznego, k tó rem u o d p o w iadałoby p raw dopodobieństw o b łęd u ro d za ju d r u ­ giego, m niejsze niż obszarowi w 0 , n a w e t gdybyśm y posiadali d o k ła d n e informacje o p ra w d o p o d o b ie ń stw a c h a priori w szystkich h ipotez d o p u ­ szczalnych.

O bszar u 0. sp e łn ia ją c y (5), oraz sp e łn ia ją c y (6) względem każdej hipotezy a ltern a ty w n ej do H, nazyw ać będziem y w spólnym n ajlep szy m ob ­ szarem k ry ty cz n y m w stosunku do całej k lasy hipotez altern aty w n y ch .

T w ierd z en ia ogólnego o istnieniu i w yzn aczan iu najlepszego obszaru k rytycznego niema. Z nane jest, jako jed y n e z tej dziedziny, tw ierdzenie J. N eym ana i E. S. P e a rs o n a [19J, k tó re się odnosi w yłącznie do pewnej szczególnej k lasy hipotez statystycznych.

4. P o d s ta w o w e tw ie rd z e n ie J . N ey m an a i E. S. P e a rs o n a o w yznaczaniu najlepszego o b sz aru k ry ty cz n eg o

W p ro w ad z am y ok reślen ie rodziny hiperpow ierzchni „niezależnej od p a ra m e tra " .

Niechaj

f { (a, X„ X,, . . .Xn) = C, (i = 1, 2, . . . k < n) (12) oznacza u k ła d rów nań h ip erpow ierzchni n - wym iarowych, zależnych od p a ra m e tró w a i C„ a

S (a, C v C2. . . . C J (13)

przek ró j ty ch hiperpow ierzchni, w zględnie w p rz y p a d k u 6 = 1, hip erp o - wierzchnię fi (a, Xv X2, . . . x n) = C,. Niech dalej

F (a) (14)

oznacza rodzinę w szystkich p rze k ro jó w S (a, C lf C : , . . . Ck), utw o rzo n y ch p rzy ustalonej w artości p a ra m e tra a, a dow olnych w artościach liczb Cj, Cg, . , . Ck.

R odzinę F (cl) nazwiem y „n iezależn ą od p a ra m e tr a a", w ted y gdy dla dow olnych dwóch w arto ści p a ra m e tr a a. np a , i a , k a żd y przek ró j S lf należący do ro d zin y F ( a j , należeć będzie jednocześnie do rodziny F \ a ź) — i odwrotnie.

P rz y k ła d e m rodziny niezależnej od p a ra m e tr a jest rodzina p r z e k r o ­ jów kul i płaszczyzn:

fi («• x :. x_>, x 3) = (%1 — a)8 + (x2 — a'y2 - f (x , — a)* = C t

f > (a, Xg, x_>, Xj) — x t ~ł~ X, -f- x 3 — Ci. (15) A by to o k azać k ład ziem y a = a. i tw o rzy m y rodzinę. F ( a j , p r z e ­ krojów p o w ie rz ch n i

(*i — a i)ł + (x8 — a j * -f- (x , — a j2 — C i

X, + X, + x , = C / . (16)

k tó re oznaczać będziemy, jak wyżej, przez S ( a Jt C / . C /), Kładziemy n a ­ stępnie a = a2 i tw orzym y rodzinę F < a J . Okażem y, że do rodziny tej należy każdy przekrój S (a,. C / , Ct ').

Niechaj p rz e k ro je S ( a z, C " , C / r), rodziny F ( a j , w y zn aczan e są rów naniam i

(X, — a j2 - f ( x s — a j2 + (X3 — a.)2 = Ci"

*i + x2 + x , = C 2". (17)

Połóżm y

C / ' = 0 / + 3 ( a / — a , 2) + 2 C / (a , — a,)

C2" = C / . (18)

Z p o d staw ien ia do (17) otrzym am y

X,2 + X22+ x 32—2 a2 ( X i + X , + X , ) + 3 a / = C / + 3 ( a / - a , * ) + C 2' («j— a j (19)

*i + x , + X3 = C / (19 bis)

i dalej wobec (19 bis)

x / + X2* + x3* — 2 a2(x , + X2 + x3) + 3 a zs =

= C / + 3 ( a j — a / ) + 2 (x Ł + x 2 + x 3) ( a ,—a j . (2 0) co pro w ad zi bezpośrednio do rów nania

( x t — a j * + (x 2 — a j * + (x s — a j2 =z C / . (21) R ów nanie (2 1) o k reśla łącznie z rów naniem (19 bis) przekrój S ( a „ C / . C /) .

Znaleźliśmy więc w rodzinie F ( a J p rzek ró j identyczny z dowolnie o b ran y m p rze k ro jem ro d zin y ( F a J . W obec symetrii o znaczeń — można w ten sam sposób przejść od dow olnego przekroju, należącego do rodziny F ( a J , do identycznego z nim przekroju w rodzinie F ( a J . XX nosimy stąd, że ro d zin y F <a J i F ( a J są identyczne, a tern samem że rodzina F ( a ) jest od p a ra m etra a niezależna.

Niechaj teraz p raw o w spółzależności zm iennych Xlf x... . , , x n jest znaną funkcją skończonej liczby p a ra m e tró w a v az, . . . af :

p P (*|« i Xt, x«, , . . x n ) . (22)

H ipoteza H, k tó r ą należy spraw dzić, niechaj wyszczególnia w artości r pierw szych pokolei p a ram etró w

o-i — a f° , j a l , 2, . . . r ^ i , (23) nie w y m ieniając już w artości p a ra m e tró w następnych, zaś hipoteza a lte rn a ­ tyw na H l niechaj wym ienia w artości wszystkich p aram etró w

ai — ai • 1= 1. 2, . . . s. (24)

przyczem

» / 4= (25)

przynajmniej dla jednego i ^ r.

Z ałożenia tw ierd zen ia zapow iedzianego są n astęp u jąc e 3:

1. F u n k c ja P p o siad a pochodne cząstkow e w szystkich rzędów ze w zględu na a r_|_i- a r_i_2’ • • • < * , •

2. Je śli

o /og p

<pt = ----^ — . i = r + 1, r + 2, . . . * (26) wówczas

d<p i

Pt = (27)

gdzie sp ó łczy n aik i A, oraz £ f. są od x t, X2. . . . xn niezależne.

3. F u n k c je <fii można uszeregować w tak i ciąg

Pir + 1' P i r + 2 ’ ' ' ' & *' (28) że dla k ażdego q ( = r + 1. r -f- 2, . . . s) ro d zin a F ( ) p rzek ro jó w hiper- pow ierzchni, o k reślo n y ch rów naniam i

Pir + l ~ Cr + V ^ /r + 2 = ^ r + 2‘ * * • Piq _ , = - 1 *29) jest od p a ra m etra a ę niezależna, przyczem Cr _|_ Cr 2* ‘ * Cę _ v o z n a ­ czają stałe dowolne.

P rz y pow yższych założeniach można przy k ażd em e dodatniem i m niejszem od jedności, w yznaczyć n a jlep szy obszar k ry ty cz n y i to tylko jeden. O bszar ten zbudow any jest p rz y tern w sposób n a s tę p u ją c y .

Niech W ( p r ^. . . . o znacza przekrój h ip erp o w ierzch n i

P r - \ - \ ~ V P r - \ - 2 ~ Q + 2' * * " P $ ~ ^$' (^0) utw orzony p rz y u stalo n y ch w arto ściach liczb C/. a w ( p r _j_ j , . . . ¢/,). tę część pow ierzchni

W [pr

r/>s\

p • • • • X|, . . • x n) ^ (,31)

^ (p r _|_ ji • • . Pg) p V® i*« • • • ®%*®r -J- | • • • • ®< 1 ^1 • • • •

gdzie j, . . . ¢#,) jest liczbą niezależną od x , , x 2, . . . x n, a zależną tylko od stałych C { i spełnia rów nanie

y" [ ' ’ ‘ f P l®i*» ••• ®r 1' ^'|i '^1' ^2' ••• d W (Pf |i ••• p t ) — (32)

W (pr + V ...pt )

= t / / • • • / p ( a ,0. ... a / , ar , v ... a s; X,.... X„) d W ( 0 r + t

‘ W ( ^ r + 1 . .

1 Klasa praw prawdopodobieństw p, spełniających podane niżej warunki 1, 2 i 3 nie fest pusta. Należy do niej — jak w rozdziale IV.1. okażemy, prawo współzależności Gaussa n niezależnych zmiennych ewentualnych.

N a jle p sz y obszar k ry ty cz n y o mocy e. n - wym iarowy, p o w staje przez zsum owanie w szystkich p łató w n —s w ym iarow ych w ( ^ r _|_v ... (pB), jakie tylko m ożna uzyskać n ad ając param etrom C,- w artości dowolne.

O k azać można, źe obszar zbudow any w sposób opisany, jest n ie z a ­ leżny od p a ra m e tró w niew ym ienionych w hipotezie H, a więc od , . <%*

oraz «V + v • • • a *•

O b sza r te n może być jed n ak zależny od liczb a / . . . a y określanych przez hipotezę a ltern a ty w n ą. J a k o p rz y p a d e k szczególny należy uw ażać ten, w k tó ry m n ajlep szy o b szar k ry ty c z n y nie je s t zależny od <%/, a 2', . . . a'r , a więc gdy m am y do czynienia z najlepszym o b sz are m kry ty czn y m , w sp ó l­

nym dla całego zbioru h ip o tez a lte rn a ty w n y c h .

Istnienie o b szaru niezależnego od hipotez a lte rn a ty w n y c h ma z n a ­ czenie specjalne, gdyż u p raszcza ono znacznie zadanie sp ra w d z an ia h ip o ­ tezy. W p rz y p a d k u bowiem, w k tó ry m niezależności niema, należy d la k a ż ­ dej hip o tezy a ltern a ty w n ej — ew entualnie, p rzy sp ra w d z an iu n iektórych hipotez, d la pew nych k las hipotez a lte rn a ty w n y c h — w yznaczać zosobna n a jlep sze obszary krytyczne. P ro w ad z i to w zastosow aniach do znacznych kom plikacyj i czyni nasz sp ra w d z ia n nieużytecznym . Je ś li n ato m iast istn ie ­ je w spólny obszar k ry ty czn y , zad a n ie sp ra w d z en ia hip o tezy re d u k u je się do jednorazow ego w yznaczenia najlepszego o b szaru krytycznego.

5. Z agadnienia M a rk o w a

R o z p atrzm y ciąg n niezależnych zm iennych e w e n tu a ln y c h

x 1§ x*. . . . x n (3 3)

z a k ła d a ją c , źe tak ich n a d zieje m atem atyczne

m i = £ ( x ,) ,'= 1, 2, . r ,'n (3 4) jak ich średnie odchylenia

o, = yz £ ( x , — m,)3 i = i, 2, . . . n (35) są skończone oraz, źe n a d z ie je m atem aty czn e mi są zw iązane z uk ład em s n) niezależnych p a ram etró w

o,, a 2. . . . as, (36)

t. zw. ,,spółczynników re g re sji" 1 — za pośrednictw em rów nań

m i ~ c l i a + c2ia2 + • • • + c „ a , (3 7) i ™ 1» 2, . . . n

1 W p ro w a d zo n e tu o k r e ś le n ie sp ó łc z y n n ik a reg re sji n ie p o k ry w a s ię z trad ycyjn em zn a cz en iem te g o p o jęc ia ; n a le ż y je tra k to w a ć jak o n a tu ra ln e u o g ó ln ie n ie k la sy c z n e j d e ­ fin icji.

p rzyczem m acierz

(C/;^ 1 = 1 , 2 , . . . s (38)

/ 1» 2, # • • n

jest nieosobliwa.

Z ałóżm y dalej, że w arto ści sp ó łczy n nik ó w reg resji nie są z n an e i źe jest wiadomem, że

3 / = p i = 1, 2, . . . n ( 3 9 )

gdzie jest liczbą znaną, a t niezn an y m sp ó łc zy n n ik ie m proporcjonalności.

Oznaczm y, jak wyżej, przez

x A X » x„u (40)

zaobserw ow ane w artości zm iennych (33). In te re su ją c e nas zagadnienie M a r ­ kow a polega na sp raw d zeniu hipotezy, o p a rłe m n a w yniku losow ania (40), że jed en ze spółczynników regresji, np. o,-, p o sia d a u sta lo n ą zgóry w a r ­ tość <7,°.

Z ap ro p o n o w an a przez M a rk o w a k lasy czn a dziś m eto d a sp ra w d z an ia tej hipotezy, zw iązan a jest ściśle z jego wynikam i, uzyskanem i w teo rji n a jm n iejsz y ch k w ad rató w . Do w yników tych zw racam y się obecnie.

Niech c oznacza p e w n ą w ielkość z w iązan ą z p ra w e m p r a w d o p o d o b ie ń ­ stw a (2) zm iennych ew en tu aln y ch x t. Linjow ą funkcję

7 = 7 (x\, x t, . . . x n) (41) n a zy w a ć będ ziem y „ p ra w d o p o d o b n e m przy b liżen iem liczby c“ , jeżeli jej

n a d z ie ja m atem a ty c zn a będzie rów na tej liczbie

E (7) = c. (42)

O k azać można, źe w a ru n ek (42) nie o k reśla jed n o zn aczn ie funkcji 7. Okoliczność ta pozw ala na d o konanie specjalnego w yboru w klasie funkcyj sp ełn iający ch te n w a ru n ek . Czynim y to, dołączając w a ru n ek , a b y k w a d r a t średniego b łęd u wyróżnionego p raw dopodobnego przy b liżen ia był n a j ­ m niejszy:

E (7 — c)ł = Minimum. (43)

F u n k c ję 7 o k reślo n ą w aru n k am i (42) i (43) nazyw ać będziem y „naj- lepszem p r a w d o p o d o b n e m przy b liżen iem w ielkości c “.

M a rk ó w z ajm o w ał się wyznaczeniem n a jlep szy c h p raw d o p o d o b n y ch p rzy b liżeń sp ó łc zy n n ik ó w regresji (36) p rzy założeniach, p o d a n y c h na w stęp ie u stę p u niniejszego. W y k a z a ł on, że n ajlep sze p ra w d o p o d o b n e p rz y ­ bliżenia sp ó łczy n n ik ó w reg resji — oznaczać je będ ziem y p rze z o, — w y ­

znaczone są w arunkiem

n

S = V p { {xt — c u «, — c2/ a 2 — • • • — cii a «)* = Minimum, (44) i= l

co d a je

1 ^{" *}

a i = ~ F ~ S I P / c / / r tf x i • ,- = 1 . 2 , . ( 4 5 ) 1 ; = 1 / = 1

gdzie r oznacza w y zn aczn ik

1 ~ B ij i , j = 1 , 2 , . . . * ( 4 6 )

utw orzony z wyrazów

n

Bij — V p* cl7 c/7 . (47)

/ = i

a r,y uzupełnienie algebraiczne tego w yznacznika, utw orzone przez w y k re ­ ślenie w iersza oznaczonego n u m ere m i i k o lum ny oznaczonej n u m ere m /.

D odajem y, źe w edług (45) n a jlep sze p raw d o p o d o b n e przy b liżen ia są funkcjam i linjow em i zmiennych inaczej m ówiąc, że

n

“ / = 2j X; * = 1, 2, . . . * (48)

; = i

gdzie oznacza spółczynnik niezależny od x,

*

A// — P / Ct j 1 « . # = 1, 2, . . . * ; / = 1. 2, . . . n. ( 4 9 ) / = 1

D alsze wyniki M ark o w a d otyczą w y znaczania p raw d o p o d o b n y ch przybliżeń średnich błędów liczb Oznaczm y przez A(ł —k w a d ra t średniego błędu liczby a (-

h * — E (a{ — a{)*, (50)

przez — jego p raw d o p o d o b n e przybliżenie, a przez S0 — minimum sumy (44). R e z u lta t M a rk o w a w y ra ż a się w zorem :

S °

t

rtr =

' n - , & P,

Zwróćmy się znów do n ajlep szy ch p raw d o p o d o b n y ch przy b liżeń spół- czynników r e g r e s j i — cy O k azać można, że ich praw o praw d o p o d o b ień stw a zdąża p rzy n ro sn ącem nie ograniczenie do p ra w a p ra w d o p o d o b ie ń stw a G aussa:

— a,)»

1 2 h T

* y s (“ )

Okoliczność tę w y k o rz y stał M arków p rzy sp ra w d z an iu in teresu jącej nas hipotezy, źe a, = o,®- ograniczając się do ty ch p rzy p a d k ó w , w k tó ry c h

liczba n zmiennych ew en tu aln y ch jest ta k wielka, że m ożna praw o p r a w d o ­ p o d o b ień stw a p raw d o p o d o b n y ch przybliżeń a. z astąp ić jego g ran iczn ą p o ­ s ta c ią (52).

W y b ó r o b szaru k ry ty czn eg o o p a rł M arków na z asa d ac h n astęp u jąc y ch : 1. H ipotezę należy odrzucić, jeśli odchylenie p raw dopodobnego p r z y ­ bliżenia Ol. , obliczonego n a p o d sta w ie w y n ik u losow ania (40), od w arto ści hipotetycznej a,° jest niem niejsze bezwzględnie biorąc, od pewnej liczby A :

I - a ; | ^ A. (53)

2. Liczbę A należy ta k d o b rać, aby p ra w d o p o d o b ie ń stw o p o p e łn ien ia b łę d u przez od rzu cen ie praw dziw ej hipotezy — a więc b łę d u k a te g o rji pierw szej, w edług k lasy fik a cji J . N eym ana i E. S. P e a rso n a — nie p r z e ­ k ra c z a ło ustalonej ,,m a łe j" liczby e.

Celem w y p ro w ad z en ia o b szaru krytycznego, sp ełn iająceg o w arunki powyższe, rozłożym y p raw dopodobieństw o błędnego o d rzu cen ia hipotezy sp ra w d z a n e j — oznaczym y je przez P — n a iloczyn: 1. p ra w d o p o d o b ie ń stw a P i, że hipoteza ta jest słuszna, 2, p raw d o p o d o b ień stw a P , od rzu cen ia tej hipotezy na zasad zie (53), obliczonego p rzy założeniu, że jest ona słuszną:

P = P x • P 2. (54)

Stw ierd zam y d alej, że aby w aru n ek 2. był spełniony, w ystarczy, jeśli A d o b ierz em y ta k , aby

P 2 - £. (55)

będzie bowiem

P = ePj ^ £ . 1 = e. (56)

N a stęp n ie r o z k ła d a m y liczbę A na czynniki

A = v0 h (, (57)

z a k ła d a ją c narazie, że z o stały u zy sk an e sk ą d in ą d inform acje o w artości średniego b łęd u h{. Nierów ność (53) p rz y jm u je te ra z postać:

ai — o,® ! ^ Po (58)

O bliczam y Ps, uw zględniając (52) i biorąc pod uw agę znaczenie o b ­ sz aru krytycznego (58) piszemy

-® o (a,- — a/°)J

P> = •' ' }h '* <,(a' " - o '0)' (59) 0o hi

co po zastosow aniu p rze k sz tałce n ia

d a je

2

K = — y — \ e2 dv. (61)

} / 2r- *'«„

Ł ącząc (55), (58) i (61) stw ierdzam y, że poszukiw any obszar k r y ­ ty czn y d an y jest n ieró w n o ścią

i a i — «z0 I

o I = ---^ v0. (62)

gdzie v0 jest pierw iastkiem ró w n an ia

V

dv = e. (63)

Vo

J a k k o lw ie k wzór powyższy o k reśla obszar sp e łn ia ją c y w arunki 1 i 2 , to je d n a k nie może on być ta k długo stosow any, ja k długo n ie z n a ­ n ą p o zo staje liczba hv Liczbę tę z a stę p u je M ark ó w jej praw d o p o d o b n em przybliżeniem "ty uw ażając, że p rzy d o stateczn ie w ielkich w arto ściach n liczba ta niewiele się różni od W zó r (62) p rz y jm u je wobec powyższego postać

o °

— ^ y0. (6 4 )

''li

gdzie v0 jest n a d al pierw iastkiem ró w n an ia (63).

P rz ed staw io n y powyżej sposób w yznaczania obszaru krytycznego w sto su n k u do hipotezy ai = a-° nasu w a pew ne uwagi.

1. W w a ru n k u 1. n a rz u ca M ark ó w zgóry postać alg eb raiczn ą obsza­

ru k ry ty czn eg o do tego stopnia, że zad a n ie w yznaczenia o b szaru k r y ty c z ­ nego, re d u k u je się do w yzn aczen ia sta łe j A. In tu icy jn ie odczuw am y słusz­

ność w p ro w ad zen ia nierów ności (53), je d n a k zd ajem y sobie sp raw ę z b r a ­ k u ja k ie jś ogólnej zasady, k t ó r a b y u z a sa d n ia ła w y b ó r takiej, a nie innej

p ostaci o b szaru krytycznego. To niedociągnięcie w m etodzie M ark o w a b ę ­ dzie usunięte, z chw ilą gdy zastosow anie wspom nianych już ogólnych m e ­ to d J . N eym ana i E. S. P e a rs o n a do p ro w ad zi do w yników zgodnych z w y ­ nikam i podanem i przez M arkow a.

2. J e ś li w zór (62) jest rów now ażny wzorowi (53), to nie jest nim już w zór (64). W e w zorze tym figuruje b ow iem n o w a zm ienna e w e n tu a l­

na (a-i— o,°) /1¾. k tó rej m ianownik jest fu n k cją zmiennych x t. W p ro w a d z e ­ nie nierówności (64) w m iejsce (62) nie zapew nia więc spełnienia się wa-

ru n k u 2. A by w a ru n ek ten był spełniony należy, ściśle biorąc, oprzeć się nie na p raw ie p raw d o p o d o b ień stw a zmiennej u, lecz na p r a w i e — p(z) — zmiennej ew entualnej

z = - a<_~~ ° * (65)

7i,

i obliczyć w m iejsce vQ w ielkość Zo z analogicznego do (63) rów nania

p (z) dz = e. (6 6)

r

Z agadnieniem tern zajm ow ali się ,.S tu d en t" i R. A. Fisher, z a k ł a d a ­ jąc dodatkow o, źe zmienne e w en tu aln e x ( u leg a ją p ra w u p raw d o p o d o b ie ń ­ s tw a G a u ssa i że p o sia d ają w spólne śre d n ie odchylenia. W y k a z a li oni, że

p rzy m ałej liczbie zm iennych ew entualnych, a ściśle biorąc, p rzy m ałej

„liczbie stopni sw obody"

v = n — s (67)

— ro zu m iejąc przez liczby „m ałe", liczby nie p r z e k ra c z a ją c e 30 — o d c h y ­ lenia p ra w a p ra w d o p o d o b ie ń s tw a p(z) od p r a w a p ra w d o p o d o b ie ń s tw a G au ssa

są znaczne i m a le ją w m iarę w z rasta n ia liczby stopni swobody.

W p ra c y niniejszej tr a k to w a ć b ęd ziem y p ro b lem M a rk o w a jak o p e w ie n p rz y p a d e k hipotezy ogólnej, o k reślając ej jednocześnie w artości pewnej liczby r ^ l s spółczynników reg resji

a t = a t0, a t = a / , . . . ar — a r#, r ^ s. (6 8) Z a k ła d a ć b ę d ziem y p rzy te m , źe zm ienne e w e n tu a ln e x u legają p raw u p raw d o p o d o b ień stw a G au ssa i źe p o s ia d a ją w spólne śre d n ie odchylenia.

H ipotezę tę sp ra w d z ać będziem y, sto su jąc w pierw m etodę wiarogodności, a n astęp n ie m etodę n a jlep szy c h obszarów k ry ty czn y ch . Do wyników d o ty ­ czących problem u M arkow a, a osiągniętych już w p ra c a c h daw niejszych przez „ S tu d e n t a", R. A. F ish era, J . N ey m an a i E. S. P e a rs o n a łatw o b ę ­ dziemy mogli przejść, k ła d ą c r = 1.

P rzy to czy m y tera z tw ierdzenie, n a k tó rem będziem y się często o p ie ­ rali w dalszym ciągu p racy,

H. T W IE R D Z E N IE PO M O C N IC Z E Niech

m i j | / , / = l , 2 _____ . ( 6 9 i

jest w yznacznikiem rzę d u s ^ l . nierów nym zeru.

„ W y ra z e m sp rzężo n y m z w y ra ze m m,; tego w y z n ac zn ik a " n azyw am y m inor (ze z n a k ie m ), o d p o w ia d ając y tem u w yrazow i, znorm alizow any przez

podzielenie go przez ten wyznacznik. W y ra z sprzężony z m(/ oznaczać b ę ­ dziemy lite rą d u ż ą z tem i samemi w skaźnikam i —

W y ra z y sprzężone [5, 7] sp e łn ia ją dw a ważne związki:

( a ) V ] m „ M j t = h t r

' T (70)

(b) ^ M t{ — 8«»

/ = 1

gdzie 8,- oznacza symbol kro n eck ero w sk i 8,.;. = 0. dla i / ,

" "

W p rz y p a d k u gdy w yznacznik (69) jest d o d a tn i n azy w am y form ę k w a d rato w ą Y m,y Jfy Xy d o d atn io określoną. J a k wiadomo jest w tedy również d o d atn io ok reślo n ą form ą k w a d ra to w ą z nią sprzężona Y xf X-.

P o d a jem y te ra z in te resu ją ce nas tw ierd z en ie pom ocnicze:

J e ś l i

t

\ & i j x i x j (7 2 )

«7=1

o z n a c z a d o d a t n i o o k r e ś l o n ą f o r m ę k w a d r a t o w ą , a y p = A, , *i + 6, . X, + . . f + bpt x , (7 3)

, = 1, 2, . . . r < *

u k ł a d p n i e z a l e ż n y c h f u n k c y j l i n j o w y c h z m i e n n y c h X{. w ó w c z a s i s t n i e j e u k ł a d s— r f u n k c y j l i n i o w y c h

y q - 6ęi ^ + 6<71 xź -f- . . . + óvł x, (74)

¢ = / - + 1 , r + 2, . . . s

t a k i , ź e u k ł a d u t w o r z o n y z p o ł ą c z e n i a (73) i (74) b ę- d z i e n i e z a l e ż n y , a p o n a d t o

Ż & /* # * / = i Tp < , y p y q + Ż V (75)

i ; = l p ę = l / = r + l

g d z i e 7 p(? j e s t s p r z ę ż o n e z e

t p q = V 6pł- bqj G j j , p. q = l , 2, . . . r. (76)

0 = 1

T w ierdzenie to w ynika bezpośrednio z podstaw ow ego tw ierdzenia teo rji form k w a d ra to w y c h o p rze k sz tałce n iu d o d a tn io określonej formy k w a d ra to w e j n a sum ę k w a d r a tó w . N adm ieniam y, że je s t ono ró w n o w aż n e

tw ierdzeniu n astęp u jąc em u :

J e ś l i

(R{j) t, i = 1, 2, . . . *

o z n a c z a m a c i e r z d o d a t n i o o k r e ś l o n ą , a

i = 1, 2, . . . r / —— 1| • • • *

m a c i e r z r z ę d u r — s, w ó w c z a s i s t n i e j e m a c i e r z

i = r -j- 1, . . . *

/ = I, 2, . . . . *

(78)

(79) t a k a , ż e m a c i e r z , k t ó r a p o w s t a n i e p r z e z d o ł ą c z e n i e j e j d o m a c i e r z y (78), a w i ę c

i. / = 1 , 2 , . . . « j e s t n i e o s o b l i w a , p r z y c z e m

(80)

2 V % / # ,/ — °pq

»7=1

d l a p = r + l , r + 2, . . . s i <7 = 1 , 2 , . . .

(81)

UL Z A S T O S O W A N IE M ETO D Y W IA R O G O D N O ŚC I 1. Z agadnienie

Z ak ład am y , że zm ienne e w e n tu a ln e x „ x , , . . . x n 1. są niezależne;

2. ulegają p ra w u p ra w d o p o d o b ie ń s tw a G au ssa

_

P (*/) = — 7— e 2°ł » (82)

3 L 2"

gdzie m, oznacza nadzieję m a te m a ty c z n ą zmiennej xf , a o — w spólne w szystkim zm iennym śred n ie odchylenie;

3. ich n a d zieje m atem atyczne są funkcjam i linjowemi s spółczyn- ników regresji o, :

m t = c u a, + f/2 °2 + • • • + c,i a, (83) i — 1 f 2, 1 • • n

p rzyczem m acierz

( C|/ ^ 1= 1, 2, . . . * (84)

/ = 1, 2, . . . n

jest nieosobliw a.

N a stęp n ie k ład ziem y

E( = E t , dla 1 = 1, 2, . . . r

S

ty = 6/, . dla ; = r + 1. . . . (99)

/ = 1

d o b iera ją c p rz y te m spółczynniki 6,, lak, ab y form a (97) p rz e k sz ta łc iła się w form ę

r b

n s ,a = R y E i Ej -f- ty2. (100)

i j — 1 ^{t = r-f-1}

gdzie R- oznacza m inor z n o rm alizo w an y w yzn aczn ik a rn

rr

(101) Sk o lei p rzy ró w n u je m y d o z era poch o d n e c zą stk o w e p r a w a p r a w d o ­ podobieństw a (95), u tw orzone względem o. or^.1, . . . o, lub, co na jedno w y ­ chodzi, analogiczne p o ch o d n e c z ą stk o w e w zględem lo g ary tm u p ra w a (95).

M am y

(jlg pm d o

d l g p u 1 V , dty 1 V

2 j = - - >■

da, * , = % i

b tj 'ty = o.

(102)

(103)

/ = r + l / = r + 1 , . . .

sk ą d

ty = 0.

W rezu ltacie m am y

/' = r + 1.

p “ {max) = ( 2. ( . / + *.*>")

n n

2 — 2 e przyczem

nzi* = T R ij E i E u

i) = 1

W iarogodność — X — h ip o te zy //, oblicza się ze w zoru

P m (max)

(104)

(105)

(106)

A =

P o (max) (107)

(___ *JL— \ 2 = j 1 + 2 (108)

+ X * ' ■

Z p o d sta w ien ia odnośnych w zorów o trzym ujem y I s j \ 2 / „ .

>. — Sa

K ład ąc

aaamy

(109)

x = ( ! + : * ) 2 ( n o )

O d n o śn y o b szar k ry ty c z n y o k reślo n y jest n ieró w no ścią

X ^ X*. (111)

gdzie Xo jest liczbą z a w a r tą m iędzy zerem i jednością, ta k d o b ran ą , a b y praw dopodobieństw o p o p ełnien ia b łęd u k a te g o rji pierwszej (p a trz str. 359) nie p rz e k ra c z a ło zgóry u sta lo n e g o „ sp ó łczy n n ik a ufności" — e.

W y zn a cz en ie liczby X0 , p rzy d an y m sp ó łczy n n ik u ufności s, p r z e d ­ staw ia się n a stę p u ją c o . N iech p (X) o z n ac za p ra w o p ra w d o p o d o b ie ń s tw a w iarogodności X, obliczone w zględem h ip o te zy H. P r a w d o p o d o b ie ń s tw o o d rzu cen ia h ip o te z y H, gdy jest słuszną, n a z asad zie k ry te rju m w ia ro g o d n o ­ ści, wynosi

f ( X ^ W = l p (X) dX. (112)

0

S z u k a n a liczba X@ jest w o b e c teg o p ie rw ia stk ie m ró w n a n ia

$

W p rzy p a d k u , k tó r y ro zw ażam y , m ożna n ieró w n o ść (111) z astą p ić ró w n o w a ż n ą jej n ieró w n o ścią

( i i 4 ) przy czem

. . - i - i < l l 5 )

jest p ierw ia stk ie m p rze k sz ta łc o n e g o ró w n a n ia (113)

f .

gdzie p ( 0 o znacza e le m e n ta r n e p ra w o p ra w d o p o d o b ie ń s tw a zm iennej C.**•

C elem w yzn aczen ia funkcjip(C) z najdziem y n ajp ierw p ra w o w sp ó łz a ­ leżności zm ien n y ch sa i X,.

W tym celu z astą p im y u k ła d zm iennych e w e n tu a ln y c h u k ład e m Ei, E t , . . . E t , y , _j_ j. y , -|_ 2 y n' (117) za p o śre d n ictw e m ró w n a ń

x i = m, + c w Ei + . . . + cs i E t + c, +1 , y, + 1 + . . . + cni y n , (118) d o b iera ją c p rzy tem — na mocy tw ierd zen ia pomocniczego — spółczynniki

j , . . . cnn tak, a b y m acierz (c,y) ,-y = 1<2> n b y ła nieosobliw a, oraz by

2 ci< cy# — • f=i

dla i = / ,2, . . . n i / = s + / , s + 2, . . . n .

K w a d r a t jak o b jan u p rz e k s z ta łc e n ia (118) wynosi

(119)

r d ( x v x 2. . . . x n ) i ^ L ó ( E . . . E t , y t j .. . . y „ ) |

S i v - • 6 i v ⁰. . . . 0 St i' • ' Sgg • ⁰. . . . 0 0. . . . 0. . . . 1. . . . 0 0. . . . 0. . . . 0. . . . 1

(120)

= G

i jest d o d a tn i jako k w a d r a t nieosobliwej m acierzy (cł;) f; _ j 2 „.

J e s t jeszcze

n s

2 cp« (*. - m/) = 2 4

i= i / = i

zgodnie z (98). (118) i (119), oraz

(121)

n s a ~ — 2 (*< — m, — cii ^1 — - • - — c,i E , ) z — 2 y * (*22)

i=l / = » + 1

M am y więc

P ( £ i . • ♦ • > „ ) =

Ó Xj, . . . X )

2 _ _

,/ii, . . . y n) p (X |, . . . Zjj) —

= consł. e 2o* f V (c w £ i + . . . + csi: E J - + V y / 1

i=l / —r-f-l

C ałk u jąc pow yższe p ra w o p ra w d o p o d o b ie ń stw a względem

yt

yn

V l - y t 9 = sc (124)

n /=*4-1

otrzym ujem y d ro g ą znanych obliczeń [12] praw o w spółzależności zm iennych s a, Ejt E t, « • •

p * • • ^ * ) = j

I

I

* - •

-i - i - ("V + nvl (125>

= const. sa e przyczem

n

ns02 = 2 ] ( c i / f i + • • • + c« £«)"• (126)

i = i

W k o ń cu w p ro w ad z ając jako n ow ą zm ienną e w e n tu a ln ą w y rażen ie

Zi — [/ “ £ ^«/ Ą

* n »7=1

(127)

d o stajem y przy pom ocy ra c h u n k ó w analogicznych p raw o w spółzależności zm iennych s a i 7,:

n ( , . = + X / )

n - . - l r - 1 --- — --- ( 1 2 8 )

P («„• 7-i) = const. s a / , e «- K ła d ąc tera z

Z,

; = (129)

9 a

m am y

* 1 + ; * )

" - « + H-1 r - i --- . (130) P (*«,. ••) = eon*/. » 0 ; e ^

sk ąd po p rz e c a łk o w a n iu w zględem s a w g ranicach od 0 do x ; w y n ik a

r r ~ X

p ( 0 = eon*/. - —:--- — — . (131)

o + :ł) 2

S ta ła z a w a r ta w o sta tn im zw iązku wynosi

r- l

I /»->0 C <K , ~ 1 _ 2 ___'

consł. = I ■ — • + r Zr n — (132)

I J (1 + C*) 2 j r 5 I r * o

W y n ik o trzy m an y ujmujemy w

T w ierd z en ie I: O b s z a r k r y t y c z n y w s t o s u n k u d o h i p o ­ t e z y H, w y n i k a j ą c y z z a s t o s o w a n i a m e t o d y w i a r o - g o d n o ś c i , o k r e ś l o n y j e s t n i e r ó w n o ś c i ą

; = x ź ^ lB I la, ( , 3 3 ,

Y </=1

p r z y c z e m /?f/ j e s t z n o r m a l i z o w a n y m m i n o r e m w y z n a c z ­ n i k a

G „

(134)

I

n sa2 j e s t r ó w n e m i n i m u m f u n k c j i n

(x/ — cn ° i — • • • — c„ o , ) 2' (135)

i = i

p o d c z a s g d y s p ó ł c z y n n i k i o z n a c z a j ą n a j l e p s z e p r a w d o p o d o b n e p r z y b l i ż e n i a s p ó l c z y n n i k ó w r e g r e ­ s j i o,-, a t e r n s a m e m m i n i m a l i z u j ą (135. w r e s z c i e

E i = ai — a i°, * = i. 2, . . . r . (136) Co o z n a c z a p i e r w i a s t e k r ó w n a n i a

„r—l B

ł c

Z . \ . - . + r - • (1 3 7 )

\ r 2 / (i + — t

a * — s p ó ł c z y n n i k u f n o ś c i .

P rzy e fe k ty w n e m obliczaniu w ielkości G p(?i op rzeć się m ożna na zw iązku w ielkości tych z n ajlepszem i p raw d o p o d o b n em i przybliżeniam i a , ,

J a k z (93) widać, są wielkości a, p ierw ia stk am i u k ła d u ró w n a ń

n

6,1 _ “ i + 6«i a * + • • • + iip a , = V C|7 X, ^I = 1. 2, . . . r ; (138)

f = l

i sta n o w ią linjowe funkcje zm iennych x t :

% = i ; ż c« *>■ di»»

/= i 1=1 R o z p atrzm y spółczynniki linjowe

K , =

Ś

/ = 1

i obliczmy sumę

)'p/ • p> ł — l, 2 . . , (141)

/ = 1

B ędziem y mieli

?>p/ V i ^I> cit Gjq cjt — (*42)

/ = 1 r= i f/= i

»

— L G ip G /<? — S G /«7 °;p — Gp<? *

0 = 1 /= 1

rezultat, z którego często będziem y korzystali przy obliczaniu w y rażenia G pę

3. W nioski

R o z p a trz m y p rz y p a d e k szczególny sp ra w d z a n ia hipotezy, odnoszącej się do w a rto ści jednego ty lk o sp ó łczy n n ik a regresji. K ła d ą c w e w zorach o sta tn io w y p ro w a d z o n y c h r = . 1, o trzy m am y

r - ^ J1 a ' — ° ’.n

" V oraz

1 d:

sO

Są to wzory, z k tó ry c h w y p ro w ad zić m ożna b e z p o śre d n io s p r a w ­ d zian z „ S tu d e n t a", w y p ro w ad zo n y [23), p rzy sposobności sp ra w d z an ia h ip o ­ tezy o w artości nadziei m atem atycznej jednej zmiennej ew entualnej na p o d ­ stawie n losowań. W zo ry te z aw ie ra ją jak o p rz y p a d k i szczególne również sp raw d zian y , p o d a n e przez R. A. F ish era [2, 3], jak o uogólnienia sp ra w d z ia ­ nu z „ S t u d e n f a " . S p ra w d z ia n y F is h e ra — oznaczane zw ykle symbolem ł — zw iązane są ze sp raw d zian em £ związkiem

(144)

a , — a,° r

'•o (143)

t = c y' n — s . (145)

T ra k tu ją c za R. A. F ish ere m sp ra w d z ia n t jak o funkcję jednego tylko p a ra m e tr a

v = n — s (146)

t. zw. „liczby stopni sw o b o d y ", otrzym ujem y dla całej klasy hipotez | r = l j , w spólne ró w n an ie, służące do w y znaczenia liczby t0 — Co f/v- '*

2 /»oo dł

* i ( H ^ 1 " 5 ■ (,47)

to

S p ra w d z ia n (145) podaje ró w n ież M ark ó w , o p ierając się z re sz tą na zupełnie innych p o d sta w ac h , co omówiliśmy już obszerniej w rozdziale w stępnym . O granicza się on je d n a k ty lk o do p rz y p a d k u d o sta te c z n ie w ie l­

kiej liczby zm iennych e w en tu a ln y c h . P o n iew aż jed n ak p rzy d o sta te c z n ie wielkich v — w większości zag ad n ień p ra k ty c z n y c h w y s ta rc z y założyć v >> 30 — w zó r (147) z astąp ić m ożna w zo rem asy m p to ty cz n y m

w zór (63) p o d an y przez M ark o w a, d a j e d o sta te c z n ie d o b re przybliżenie liczby to-

P rz ec h o d zą c do om ów ienia p rz y p a d k u r 1 zauw ażam y, że d o ty c h ­ czas — o ile nam w iadom o — nie był tu p o d a w a n y ż ad e n sp ra w d z ia n o g ó l­

ny. R o z p a try w a n y był ty lk o p rzez R A. F is h e ra oraz p rzez J. N ey m an a i E. S. P e a rso n a [18] pewien p rz y p a d e k szczególny. Było to s p ra w ­ dzanie hipotezy, że k zm iennych ew en tu a ln y c h , niezależn y ch i ulegających p ra w u w spółzależności G aussa, o k tó ry c h w iadom o, że m ają w spólne ś r e ­ dnie odchylenie, p o siad a rów nież w spólne n ad z eje m a te m a ty c z n e . N a d m ie ­ niamy, że wzory, k tó r e były przy tej sposobności p o d a w an e , w y n ik ają—

jak to z re s z tą bliżej w rozdziale VI ro z p a trz y m y — z ogólnych w zo­

rów (133) i (137).

W o b ec pow yższego będziem y sp ó łczy n n ik C tr a k to w a li jak o dalsze uogólnienie cech y zbiorczej „ S tu d e n t a", zaś p raw o p ra w d o p o d o b ie ń stw a p (C> p o d a n e we w zorze (131), jak o uogólnione p ra w o p ra w d o p o d o b ie ń stw a

„ S tu d e n t a". N a d m ien iam y jeszcze, że analogiczne p ra w o p r a w d o p o d o b ie ń ­ stwa o trzy m ał H. Hotelling dla pewnej innej cechy zbiorczej — T [6].

IV. Z A S T O S O W A N IE M ETO D Y N A JL E P S Z Y C H O B SZA R Ó W KRYTYCZNYCH

1. N ajlepszy o b szar k ry ty c z n y w sto su n k u do h ip o te zy H

H ipotezie złożonej H p rzeciw staw iam y , jak tego m e to d a wym aga, p r o ­ stą h ip o te zę a lte r n a ty w n ą H \ p rzy p isu jącą p a ra m e tro m w y stęp u jący m

w p raw ie w spółzależności (82) wartości:

3 = 3% a, — a ', a, = a / . . . , a , = a / . (149) O znaczać będ ziem y jeszcze przez

Ei = ai — °,°- (150)

zatrzy m u jąc dla innych symboli ich znaczenie z ro zd z iału poprzedniego.

T w ie rd z e n ie II: N a j l e p s z y o b s z a r k r y t y c z n y h i p o t e ­ z y H o k r e ś l o n y j e s t n i e r ó w n o ś c i ą

Ż W /

^ Vo. (151)

1 / n »o2 + 2j Ą & 1/ E/ e/

r i;= i 1 *7 = 1

g d z i e Uq j e s t p i e r w i a s t k i e m r ó w n a n i a

f 1 fL +T * ~ 3 / 1 „ + r _ , _ t x

\ (l - 2 c/u = e B ( y - ' - ^ ( 152)

t/

Vo

p r z y c z e m e o z n a c z a s p ó ł c z y n n i k u f n o ś c i . D o w ó d : Połóżm y

(p = Zg p (x4, . . .%,) = - n / g j / 2 n — n/g: — A j (ns0- + n s0ź)- (153) H ip o te z a sp ra w d z a n a # przypisuje funkcji </5 p o stać

P — — n /g 1 2 r — n Zg: — A j (nsa ! - f n s * ) t (154) gdzie

r

nsi2 = y i (cu E l + c2i E t + . . . -j- ct i E , Y , (155)

i = i

przyczem

£*,. = a (. — o,°. dla i = l, 2. . . . r

Ej = ay — dj . dla i = r + 1 , . . . s; (156) 3 0. oraz Oy(/=r4-i, r+2, . . . s) oznaczają tu w artości p aram etró w niew ym ie- nionych w hipotezie H.

Po d o b n ie jak w rozdziale p o p rzed n im (por. w zory (97) i n astęp n e) p rz e d sta w ia m y nsj* w p o staci form y k w a d ra to w e j

S

n s li = y , g y E i E j (157)

it = l

i p rz e k sz ta łc a m y przy pom ocy p rz e k sz ta łc e n ia

E i ~ E i ' « = 1.2. . . . r

' / / — Ś E t ' / = r + 1 , . . . » ( 1 5 8 ) / = 1

w formę

r s

« . . * = 2 + V ł ( «, (159)

/>=1 f=r-f-l

przy czem oznacza znów z n o rm alizo w an y m inor w yzn aczn ik a G „

(160)

N a stęp n ie tw o rzy m y funkcje

A = ^ 7 = -

Ź

Ż

1 / = r + l a ° / 5 / = r + l

= - j j ~ — + -~s (n *<,2 + n $iS) * (162) W y k aż em y , że sp ełn io n e są z ało żen ia p o d sta w o w e g o tw ierd z en ia J.

N ey m an a i E. S. P e a rso n a, p o d an eg o w rozdziale w stęp n y m . W istocie

1. funkcje (pi sp e łn ia ją założenie pierw sze, p o siad ając p o ch o d n e c z ą stk o w e w szy stk ich rz ę d ó w w zględem a r _j_ j , a r 2 , . . . a f / o ;

rt£SŁ>. - ^-

2. p o c h o d n e c z ą stk o w e ty ch funkcyj

d<Pt l •

d a . 33 2 j bu df A i ’ , = r + l . r + 2. . . . « (163)

/= r -|-l

oraz

1 S T = J l” V + n s,2] = - df C + D (164)

spełniają w a ru n e k (27), gdyż A h C i D nie zależą od zm iennych x;