DWUETAPOWA METODA DETEKCJI ZAKŁÓCEŃ IMPULSOWYCH W SYGNAŁACH FONICZNYCH

(1)

Krzysztof Cisowski

Politechnika Gdańska, Wydział ETiI Katedra Systemów Automatyki,

ul. G. Narutowicza 11/12, 80-952 Gdańsk, e-mail: krci@eti.pg.gda.pl

DWUETAPOWA METODA DETEKCJI ZAKŁÓCEŃ IMPULSOWYCH W SYGNAŁACH FONICZNYCH

Streszczenie: Artykuł poświęcony jest problemom detekcji zakłóceń impulsowych w sygnałach fo- nicznych. Zaproponowano dwuetapową metodę detekcji zakłóceń opartą o analizę funkcji gęsto- ści rozkładu prawdopodobieństwa poziomu zakłó- ceń impulsowych występujących w danym sygnale.

Określono sposób ustalenia poziomu wyzwalania detektora progowego.

1. WSTĘP

Jednym z najczęściej stosowanych sposobów detekcji zakłóceń impulsowych występujących w sygna- łach fonicznych jest metoda progowa polegająca na porównywaniu chwilowych wartości poziomu sygna- łu z pewną z góry przyjętą wartością odniesienia. W danej chwili czasu sygnał uznawany jest za zakłó- cenie, gdy wartość jego amplitudy jest większa od progu detekcji. Dla usprawnienia procesu wykrywania zakłóceń (ich uwydatnienia w badanym sygnale) dokonuje się często wstępnego przetwarzania sygnału fonicznego. Stosowane metody to między innymi: filtracja górno-pasmowa i parametryzacja sygnału. W parametrycznych detektorach progowych zakłada się, że sygnał foniczny {y(t)} jest lokalnie stacjonarnym procesem autoregresyjnym (AR) rzędu p. W kolej- nych przedziałach stacjonarności {y(t)} poddawany jest wstępnej filtracji za pomocą filtru analizujące- go (wybielającego) o współczynnikach równych parametrom modelu AR. Otrzymany sygnał błędów resz- towych {e(t)} ma w porównaniu z {y(t)} znacznie mniejszą wariancję (σ²_e  σ_y²), a w związku z tym zmniejszoną wartość stosunku sygnał/szum (filtracja tylko nieznacznie wpływa na zmianę wariancji szumu). Dzięki temu nieciągłości wprowadzane do sy- gnału przez zakłócenia impulsowe są bardziej wyeks- ponowane – łatwiejsze do wykrycia. Próg detekcji jest najczęściej ustalany w sposób dynamiczny w oparciu o lokalne własności statystyczne sygnału {e(t)}.

Sygnał błędów resztowych uzyskany w procesie wybielania {y(t)} ma charakter szumu białego o nie- znanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Często dla uproszczenia przyjmuje się, że sygnał {y(t)} (a w kon- sekwencji {e(t)}) ma rozkład gaussowski – w pełni określony przez dwa parametry: wartość oczekiwaną my oraz wariancję σ²_y (w przypadku sygnału {e(t)}

są to odpowiednio: me oraz σ²_e). W przypadku, gdy

{y(t)} zawiera zakłócenia impulsowe, założenie o je- go gaussowskim charakterze jest dużym uproszcze- niem. Impulsy o znacząco dużych poziomach poja- wiają się częściej niż wynikałoby to z własności funkcji gęstości rozkładu normalnego, która bardzo szyb- ko maleje do zera, gdy wartości modułu sygnału są większe 3 σe i dążą do ∞ (σe = p

σ_e² jest średnim odchyleniem standardowym błędów resztowych). W wielu pracach dotyczących analizy sygnałów zakłó- conych impulsowo do modelowania rozkładów praw- dopodobieństw sygnałów stosuje się rozkład gaus- sowski mieszany (Mixture Gaussian Process), roz- kład α−stabilny (szczególnym przypadkiem rozkła- du α−stabilnego jest rozkład gaussowski, dla które- go α = 2), uogólniony proces gaussowski lub rozkład t-Studenta [4], [3].

Ważną cechą pierwszych dwóch klas rozkładów oraz rozkładu gaussowskiego jest samopodobieństwo (suma zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa zachowuje ten sam rozkład - wymagane jest jedynie odpowiednie przeskalowanie funkcji gęstości). Dzięki samopodobieństwu sygnały poddawane filtracji liniowej - operacja splotu - zacho- wują swój rozkład prawdopodobieństwa.

Znając rozkładu prawdopodobieństwa {e(t)}

poziomy wyzwalania w detektora można ustalić w oparciu o klasyczne kryterium Neymana-Pearsona [2]. Dolne i górne wartości progowe odpowiadają wówczas wartościom krytycznym Ld oraz Lg testu statystycznego, w którym dla danego poziomu istot- ności β weryfikowane są dwie hipotezy dotyczące: 1) braku przynależności lub 2) przynależności poszcze- gólnych próbek {e(t)} do zbioru próbek nadmiaro- wych (próbki o bardzo dużych amplitudach występu- ją w „czystym“ sygnale {e(t)} bardzo rzadko - często- tliwość ich występowania określamy arbitralnie do- bierając prawdopodobieństwo β). Hipoteza zerowa H_o mówi, że w chwili t_i dana próbka sygnału e(t_i) nie jest nadmiarowa (Ld¬ e(ti) ¬ Lgz prawdopodo- bieństwem równym 1 − β), a hipoteza alternatywna H1zakłada, że próbka e(ti) jest nadmiarowa – zawie- ra zakłócenie impulsowe (e(ti) > Lg lub e(ti) < Ld z prawdopodobieństwem równym β). W trakcie wery- fikacji hipotez można popełnić dwa błędy: błąd I rodzaju – gdy niezakłócona impulsowo próbka sygnału zostanie uznana za zakłóconą (próbka „dobra“ będzie miała poziom należący do obszaru krytycznego testu

2006

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 7 - 8 grudnia 2006

(2)

statystycznego) lub błędy II rodzaju – gdy próbka zakłócona impulsowo zostanie uznana za „dobrą“ – będzie należała do obszaru dopuszczalności H0.

Przyjmując założenie o gaussowskim charakte- rze sygnału {e(t)} poziomy wyzwalania w detektora można ustalić w oparciu o popularne kryterium 3 σ.

Wynika z niego, iż za próbki nadmiarowe uznawa- ne są te dane, których amplituda przekracza trzy- krotną wartość średniego odchylenia standardowego:

Lg = 3 σe, Ld = −3 σe. Dla tak przyjętych progów poziom istotności jest równy β = 0,0027. Prawdopo- dobieństwo popełnienia błędów pierwszego rodzaju jest wówczas małe (równe β). Stosując powyższe kry- terium detekcji wykryjemy większość zakłóceń (po- pełnimy również pewną, nieznaną liczbę błędów drugiego rodzaju) ale również część próbek "dobrych"

zakwalifikujemy jako zakłócenie. W proponowanym algorytmie powyższy etap, jest pierwszą fazą detekcji, służącą do wstępnej selekcji danych. Druga faza, której celem jest zmniejszenie sumarycznej liczby błędów pierwszego rodzaju polega na dalszej anali- zie wstępnie wyselekcjonowanych danych w oparciu o ich zmienione własności statystyczne. Nowe poziomy wyzwalania obliczone są na podstawie nowej funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa wyznaczonej z rozkładu prawdopodobieństwa sygnału {e(t)}.

Dwuetapowy algorytm detekcji można również zastosować przy braku założeń co do gaussowskiego charakteru {e(t)}. Progi detekcji każdego z etapów są wówczas obliczane w oparciu o daną funkcję gę- stości rozkładu {e(t)}. W pierwszym etapie można przyjąć poziom istotności równy β = 0,0027 czyli wartości odpowiadającej zastosowaniu dla rozkładu gaussowskiego reguły 3 σ. W etapie drugim funkcję gęstości rozkładu prawdopodobieństwa należy obli- czyć w oparciu o postać analityczną gęstości rozkładu {e(t)}. W przypadku, gdy znany jest tylko histogram {e(t)} poziomy wyzwalania detektorów w fazach I i II można wyznaczyć się w sposób opisany w [1].

2. MODEL SYGNAŁU FONICZNEGO W pracy przyjęto, że zakłócony impulsowo sy- gnał foniczny {y(t)} opisany jest w przedziale stacjo- narności zależnościami:

y(t) = s(t) + z(t), s(t) = Xp j=1

ajs(t − j) + n(t), (1) gdzie aj, j = 1, . . . , p, oznaczają wartości współczyn- ników AR, {s(t)} jest niezakłóconym sygnałem fo- nicznym, {n(t)} to szum wejściowy o nieznanym roz- kładzie prawdopodobieństwa (posiadający wartość oczekiwaną mn = 0 i wariancję σ²_n < ∞) formujący sygnał {s(t)}, a {z(t)} jest sygnałem zakłóceń impul- sowych.

Przyjmując, że sygnał foniczny {s(t)} jest samo- podobnym procesem losowym rozkłady prawdopodo- bieństw {s(t)} oraz {n(t)} są takie same (różnią się jedynie skalą). Sygnał {y(t)} z racji zawierania sy- gnału {z(t)} ma rozkład prawdopodobieństwa nieco inny niż {s(t)} (przy małej w stosunku do sygnału

użytecznego intensywności zakłóceń obydwa rozkła- dy są podobne).

Poddając sygnał {y(t)} filtracji odwrotnej za pomocą filtru analizującego o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR), którego współczynnikami są oszacowania parametrów baj, j = 1, . . . , p, otrzymuje się sygnał błędów resztowych {e(t)} o wartości oczekiwa- nej me' 0 i wariancji σ²_e< ∞ wyrażony równaniem:

e(t) = y(t) − Xp j=1

b

ajy(t − j) (2)

= s(t)+z(t) − Xp j=1

b

aj(s(t−j)+ z(t−j)).

Wprowadźmy oznaczenia e

n(t) = n(t) + ∆n(t) = s(t) − Xp j=1

b

ajs(t − j), (3)

e

z(t) = z(t) + ∆z(t) = z(t) − Xp j=1

b

ajz(t − j), (4) gdzie {en(t)} oznacza szum wejściowy powiększony o część {∆n(t)} powstałą na skutek błędów oszacowań parametrów modelu aj, j = 1, . . . , p, a {ez(t)} jest sy- gnałem zakłóceń impulsowych {z(t)} powiększonym o składową {∆z(t)} (składnik {∆z(t)} zawiera sumy ważone opóźnionych w czasie p wartości {z(t)}, ozna- cza to, że w {ez(t)} „rozmyte“ impulsy zanikają dłużej niż w sygnale {z(t)}). Wykorzystując wprowadzone oznaczenia równanie (2) można zapisać w postaci:

e(t) = en(t) + ez(t) = n(t) + [∆n(t) + ez(t)]. (5) Gdy szum impulsowy nie jest zbyt intensywny oraz stosowane są efektywne algorytmy estymacji parame- trów {aj}, rozkład prawdopodobieństwa {e(t)} jest najczęściej podobny do rozkładu prawdopdobieństwa {n(t)}. Różnica wyraża się w grubościach ogonów obydwu funkcji - wykres gęstości rozkładu {e(t)} w porównaniu z {n(t)} nieznacznie wolniej opada ze wzrostem wartości poziomu sygnału (prawdopodo- bieństwo próbek o dużych poziomach jest większe).

3. DETEKTOR ZAKŁÓCEŃ IMPULSOWYCH

Proponowana metoda detekcji zakłóceń impulsowych jest procesem dwuetapowym. W pierwszej fa- zie sygnał błędów resztowych {e(t)} podawany jest procesowi wstępnej selekcji przy wykorzystaniu za- leżności:

e⁰(t) =











e(t) − Lβ

2d dla e(t) < Lβ 2d

0 dla Lβ

2d¬ e(t) ¬ Lβ 2g

e(t) − Lβ

2g dla e(t) > Lβ 2g,

(6) gdzie L^β

2d L^β

2g to odpowiednio dolny i górny próg wyzwalania detektora wyznaczony dla przyjętego po- ziomu istotności β w oparciu o rozkład prawdopodo- bieństwa {e(t)}. W pracy przyjęto, że poziom ten jest

(3)

równy β = 0,0027, co przy założeniu gaussowskie- go charakteru {e(t)} odpowiada zastosowaniu reguły 3 σ. Progi wyznacza się rozwiązując równania:

β 2 =

Z _L_β

2d

−∞

p (e(t)) de , β 2 =

Z _∞

Lβ 2g

p (e(t)) de , (7) które można zapisać w postaci

F (Lβ

2d) = β/2, Φ(Lβ

2g) = 1 − F (Lβ

2g) = β/2 , gdzie F (·) oznacza dystrybuantę rozkładu prawdopo- dobieństwa {e(t)} a Φ(·) uzupełnienie dystrybuanty F (·). Korzystając z powyższych oznaczeń progi de- tekcji {e(t)} można wyznaczyć korzystając z zależ- ności:

L^β

2d = F⁻¹(β/2) dla e(t) ¬ L^β

2d, Lβ

2g = Φ⁻¹(β/2) dla e(t) > Lβ 2g,

(8)

gdzie F⁻¹(·) oraz Φ⁻¹(·) oznaczają funkcje odwrotne odpowiednio F (·) (w przedziale, w którym: e(t) ¬ L^β

2d) oraz Φ(·) (w przedziale, gdzie: e(t) > L^β

2g).

Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa p(e⁰(t)) sygnału {e⁰(t)} wyznacza się korzystając z dobrze znanej własności prawdopodobieństwa warunkowego, które mówi, że jeśli pomiędzy dwoma zdarzeniami elementarnymi A i B zachodzi zależność A ⊂ B to prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem B jest równe:

p (A|B) = p (A ∩ B)/p (B) = p (A)/p (B) . (9) Przyjmując następujące oznaczenia: B = {(e(t) <

L^β

2d) ∨ (e(t) > L^β

2g)} – zbiór wszystkich wartości sy- gnału wykrywanych przez detektor w pierwszej fa- zie detekcji, {e_B(t)} ⊂ B – zbiór próbek sygnału {e(t)} spełniających kryterium detekcji, funkcję gę- stości rozkładu prawdopodobieństwa p (e⁰(t)) sygna- łu można wyznaczyć korzystając z zależności:

p (e⁰(t)) = p (e(t) | B) = p (e_B(t) | B) = p (e_B(t)) p (B) .

(10) Na rys. 1 zamieszczono wykresy przedstawiające metodę konstrukcji funkcji gęstości rozkładu prawdo- podobieństwa sygnału {e⁰(t)}. Czynnik p (B) równy

p (B) = Z

B

p (e(t))de = Z

B

p (e_B(t))de = β (11) sprawia, iż zachowany jest podstawowy warunek normalizacji funkcji rozkładu prawdopodobieństwa p (e⁰(t)): Z

B

p (e⁰(t))de⁰= 1 . (12) W drugim etapie detekcji, którego celem jest zmniejszenie ogólnej liczby błędów pierwszego rodza- ju wyznacza się w oparciu o rozkład p (e⁰(t)) nową pa- rę progów wyzwalania detektora L^γ

2d i L^γ

2g. W tym celu należy rozwiązać się następujące równania:

γ 2 =

Z _Lγ 2d

−∞

p (e⁰(t)) de⁰, γ 2 =

Z _∞

Lγ 2g

p (e⁰(t)) de⁰, (13)

−40 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

a) P(e(t))

e(t)

β/2 β/2

−40 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0.5 1 b) P(e‘(t))

e‘(t)

AA AA

AA AU

¢¢

¢®

Rys. 1: Metoda konstrukcji funkcji gęstości rozkła- du prawdopodobieństwa sygnału {e⁰(t)}, a) przykła- dowy rozkład prawdopodobieństwa sygnału {e(t)}

∼ N (0, 1), b) funkcja rozkładu {e⁰(t)} otrzymana po odpowiednim przeskalowaniu fragmentów rozkła- du {e(t)} odpowiadających obszarom krytycznym te- stu statystycznego I fazy detekcji (poziom istotności β = 0,05).

gdzie γ jest arbitralnie przyjętym poziomem istotno- ści (np. γ = 0,05). Powyższe zależności można zapi- sać w postaci

F⁰(L^γ

2d) = γ/2 , Φ⁰(L^γ

2g) = 1 − F⁰(L^γ

2g) = γ/2 , przy czym F⁰(·) oznacza dystrybuantę rozkładu prawdopodobieństwa {e⁰(t)} a Φ⁰(·) jest uzupełnie- niem F⁰(·).

Podobnie jak w pierwszym etapie detekcji progi wyzwalania detektora dla ujemnych i dodatnich war- tości sygnału {e⁰(t)} można wyznaczyć korzystając z zależności:

L^γ

2d= F⁰⁻¹(γ/2) dla e⁰(t) ¬ L^γ

2d, L^γ

2g= Φ⁰⁻¹(γ/2) dla e⁰(t) > L^γ

2g,

(14)

gdzie F⁰⁻¹(·) oraz Φ⁰⁻¹(·) to funkcje odwrotne odpo- wiednio F⁰(·) (w przedziale, w którym: e⁰(t) ¬ L^γ

2d) oraz Φ⁰(·) (w przedziale, gdzie: e⁰(t) > L^γ

2g). Osta- tecznie, korzystając z zależności:

e⁰⁰(t) =











e⁰(t) − L^γ

2d dla e⁰(t) < L^γ

2d

0 dla L^γ

2d¬ e⁰(t) ¬ L^γ

2g

e⁰(t) − L^γ

2g dla e⁰(t) > L^γ

2g

(15) otrzymuje się sygnał {e⁰⁰(t)}. Sygnał ten podawany jest na wejście dyskryminatora, opisanego zależno- ścią:

d(t) =

0 gdy e⁰⁰(t) = 0

1 gdy e⁰⁰(t) 6= 0 , (16)

(4)

na którego wyjściu pojawia się sygnał zero- jedynkowy będący jednocześnie sygnałem wyjścio- wym całego detektora. Jedynki oznaczają wykryte zakłócenia.

Progi detekcji L^γ

2d oraz L^γ

2g można wyzna- czyć zarówno w oparciu o rozkład prawdopodobień- stwa p (e⁰(t)) (rozwiązując równania (13)) jak również p (e(t)), gdyż pierwszy z wymienionych rozkładów powstał przez przeskalowanie (normalizacje) frag- mentów rozkładu drugiego. Nowa formuła wyznacza- nia progów wyzwalania pomijająca konieczność wy- znaczania rozkładu prawdopodobieństwa p (e⁰(t)) ma postać:

βγ 2 =

Z _Lγ 2d

−∞

p (e(t)) de , βγ 2 =

Z _∞

Lγ 2g

p (e(t)) de . (17)

Przyjmując, że {e(t)} ma rozkład normalny N (0, σe) poziomy odniesienia można wyznaczyć ko- rzystając z tablic standaryzowanego rozkładu nor- malnego poprzez odczytanie wartości se, dla której dystrybuanta jest równa ^βγ₂ . Progi detekcji są wów- czas równe odpowiednio:

L^γ

2d = −σe| se|, L^γ

2g= σe| se| . (18) Tabela 1 zawiera wartości parametru sedla wy- branych wartości γ przy ustalonym β = 0,0027.

γ se

1 -3,0

0,5 -3,2051 0,1 -3,6425 0,05 -3,8172 0,01 -4,1974 0,005 -4,3518 0,0027 -4,4850 0,00135 -4,6307 0,001 -4,6924

Tabela 1: Parametr sedla wybranych wartości γ (β = 0,0027), szczegóły w tekście.

Z dotychczasowych doświadczeń praktycznych autora wynika, że w detektorach parametrycznych działających w oparciu o zależności (18), (15) oraz (16) (zamiast σe stosowana jest chwilowa ocena średniego odchylenia standardowego bσ(t)) wartość

| se| dobierana jest eksperymentalnie w zakresie 3,5 <| se|< 4,5. Oznacza to, że przyjmując założe- nie o gaussowskim charakterze {e(t)} w drugim eta- pie detekcji należy przyjmować poziom istotności γ należący do przedziału od około 0,1 do 0,0027. W przypadku innych założeń co do rozkładu prawdo- podobieństwa {e(t)} i/lub znajomości oszacowania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa (np. w postaci histogramu) progi detekcji wyznaczamy roz- wiązując równania (17). Wartości poziomu istotno- ści γ należy dobrać eksperymentalnie (przyjmując, że β = 0,0027).

4. WNIOSKI KOŃCOWE

W pracy omówiono nową dwuetapową metodę wykrywania zakłóceń impulsowych występujących w sygnałach fonicznych. Algorytm jest odmianą para- metrycznego detektora zakłóceń, wykorzystującego model autoregresyjny sygnału. Oparty jest o ana- lizę rozkładów prawdopodobieństw błędów resztowych otrzymywanych na wyjściu filtru analizujące- go o współczynnikach równych parametrom modelu AR. W algorytmie tym wyznaczanie wartości progowych detektora przebiega w dwóch fazach. W pierwszej, w której dokonywana jest wstępna selekcja danych, progi wyzwalania detektora wyznaczane są w oparciu o znany rozkład prawdopodobieństwa sygna- łu {e(t)} jako wartości krytyczne testu statystyczne- go dla poziomu istotności β = 0,0027 (dla rozkładu gaussowskiego przyjęty poziom istotności odpowiada zastosowaniu reguły 3 σ). Druga faza detekcji służy do zmniejszenia liczby fałszywych alarmów (błędów I rodzaju testu statystycznego) pojawiających się licz- nie w fazie pierwszej. Progi detekcji drugiego etapu są obliczane dla nowej wartości poziomu istotności γ w oparciu o rozkład prawdopodobieństwa próbek {e(t)}

wykrytych jako zakłócenia przez detektor pierwszego etapu. Rozkład ten wyznaczany jest w oparciu o pier- wotny rozkład prawdopodobieństwa {e(t)}. W pracy zaproponowano także sposób połączenia obydwu eta- pów detekcji w jeden algorytm, oraz wskazano zakres zmienności parametru γ odpowiadający empirycznie wyznaczonemu przez autora przedziałowi typowych wartości poziomów wyzwalania detektorów parametrycznych.

SPIS LITERATURY

[1] K. Cisowski, Detekcja zakłóceń impulsowych w sygnałach fonicznych z wykorzystaniem wygła- dzonych lokalnych histogramów sygnału Proc.

X Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne PWT2005, Poznań, 8–9 grudnia 2005, str. 109–

114.

[2] Kay S. M.: Fundamentals of Statistical Signal Processing, Volume II Detection Theory. Pren- tice Hall PTR, Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River. New Jersey 07458, 1998.

[3] Kuruoglu E. E.: Signal Processing in α−stable noise environments: a least lp−norm approach, PHD Thesis, Signal Processing and Communi- cations Laboratory, Department of Engineering University of Cambridge, 1998.

[4] Moerland P.: A comparison of mixture models for density estimation, ICANN99. Ninth Inter- national Conference on Artificial Neural Ne- tworks (IEE Conf. Publ. No.470), Vol. 1, pp 25- 30, Edinburgh, UK, 09.1999.