MECHANIKA KWANTOWA Karol Kołodziej

MECHANIKA KWANTOWA Karol Kołodziej

Zestaw 3

1. Korzystając ze wzoru ^ A × ~ ~ B ^

i = ε _ijk A _j B _k i z tożsamości tensorowej ε _ijk ε _imn = δ _jm δ _kn − δ _jn δ _km

udowodnić następujące tożsamości wektorowe:

 A × ~ ~ B ^ × ~ C = ^ A · ~ ~ C ^ B − ~ ^ B · ~ ~ C ^ A, ~ A × ~ ^ B × ~ ~ C ^ = ^ A · ~ ~ C ^ B − ~ ^ A · ~ ~ B ^ C, ~ A · ~ ^ B × ~ ~ C ^ = ~ B · ^ C × ~ ~ A ^ = ~ C · ^ A × ~ ~ B ^ .

Wskazówka: W dwóch pierwszych tożsamościach rozważyć i-tą składową wektora po stronie lewej i pokazać, że jest ona równa i-tej składowej wektora po stronie prawej.

Ponieważ operatory orbitalnego momentu pędu spełniają nastepujące relacje komutacji:

[L _i , L _j ] = i¯ hε _ijk L _k , ^h ~ L ² , L _i ⁱ = 0,

to stany własne orbitalnego momentu pędu wybiera się zwykle w następujacy sposób:

L ~ ² |lmi = l(l + 1) ¯ h ² |lmi , L _z |lmi = m¯ h |lmi ,

gdzie, jak pokażemy w dalszej części kursu, l = 0, 1, 2, ... i m = 0, ±1, ..., ±l.

2. Pokazać, że dla wartości oczekiwanych w stanie |lmi zachodzi (a) hlm |L _x |lmi = hlm |L _y |lmi = 0,

(b) hlm |L _x L _y + L _y L _x | lmi = 0, (c) hlm |L ² _x |lmi = hlm |L ² _y |lmi.

3. Jaką relację nieoznaczoności spełniają składowe L ₁ i L ₂ operatora orbitalnego momentu pędu, dla których [L ₁ , L ₂ ] = i¯ hL ₃ ? W których stanach własnych |lmi operatorów ~ L ² i L ₃ można jednocześnie najdokładniej zmierzyć L ₁ i L ₂ ?

4. Pokazać, że wariancja kąta azymutalnego ϕ i wariancja trzeciej składowej orbitalnego momentu pędu L 3 w stanie kwantowym opisywanym funkcją falową ψ = ^{√ 1} _π sin ϕ wyno- szą odpowiednio ^{ π} ₃

− ¹ ₂ ^ i ¯ h ² .

5. Udowodnić, że jeśli operator A komutuje z dwoma składowymi momentu pędu, to ko-

mutuje również z trzecią.

6. Macierze Pauliego, σ _i , i = 1, 2, 3, można zdefiniować jako macierze 2 × 2 spełniające warunki:

[σ _i , σ _j ] = 2iε _ijk σ _k , {σ _i , σ _j } ≡ σ _i σ _j + σ _j σ _i = 2δ _ij , i, j = 1, 2, 3.

Udowodnić, że

(a) σ _i σ _j = δ _ij + iε _ijk σ _k , (b) σ 1 σ 2 σ 3 = i,

(c) Tr σ _i = 0, (d) det σ _i = −1.

7. Niech ~a = [a ₁ , a ₂ , a ₃ ] i ~b = [b ₁ , b ₂ , b ₃ ] będą dowolnymi wektorami o składowych rzeczy- wistych lub zespolonych, a ~ σ = [σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ], gdzie σ _i , i = 1, 2, 3 są macierzami Pauliego.

Oznaczmy ˆ a ≡ ~a · ~ σ. Udowodnić, że (a) ˆ a ² = ~a ² ,

(b) ⁿ ˆ a, ˆ b ^o = 2~a · ~b,

(c) ˆ a · ˆ b = ~a · ~b + i~ σ · ^ ~a × ~b ^ . 8. Udowodnić, że

e ^iϕ

^σ

σ ₁ e ^−iϕ

^σ

= σ ₁ cos ϕ − σ ₂ sin ϕ, e ^iϕ

^σ

σ ₂ e ^−iϕ

^σ

= σ ₂ cos ϕ + σ ₁ sin ϕ, gdzie σ i , i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

Literatura: J.B. Brojan, J. Mostowski, K. Wódkiewicz, Zbiór zadań z mechaniki kwantowej.