Ponieważ operatory orbitalnego momentu pędu spełniają nastepujące relacje komutacji:

(1)

MECHANIKA KWANTOWA Karol Kołodziej

Zestaw 2

Ponieważ operatory orbitalnego momentu pędu spełniają nastepujące relacje komutacji:

[L

i

, L

j

] = i¯ hε

ijk

L

k

,

^h

~ L

²

, L

i

= 0,

to stany własne orbitalnego momentu pędu wybiera się zwykle w następujacy sposób:

L ~

²

|lmi = l(l + 1) ¯ h

²

|lmi , L

_z

|lmi = m¯ h |lmi ,

gdzie, jak pokażemy w dalszej części kursu, l = 0, 1, 2, ... i m = 0, ±1, ..., ±l.

1. Pokazać, że dla wartości oczekiwanych w stanie |lmi zachodzi (a) hlm |L

x

|lmi = hlm |L

y

|lmi = 0,

(b) hlm |L

x

L

_y

+ L

y

L

_x

| lmi = 0, (c) hlm |L

²_x

|lmi = hlm |L

²_y

|lmi.

2. Jaką relację nieoznaczoności spełniają składowe L

¹

i L

²

operatora orbitalnego momentu pędu, dla których [L

¹

, L

²

] = i¯ hL

³

? W których stanach własnych |lmi operatorów ~ L

²

i L

3

można jednocześnie najdokładniej zmierzyć L

¹

i L

²

?

3. Pokazać, że wariancja kąta azymutalnego ϕ i wariancja trzeciej składowej orbitalnego momentu pędu L

³

w stanie kwantowym opisywanym funkcją falową ψ =

_√π¹

sin ϕ wyno- szą odpowiednio

^π₃²

−

¹₂

i ¯ h

²

.

4. Udowodnić, że jeśli operator A komutuje z dwoma składowymi momentu pędu, to komutuje również z trzecią.

5. Macierze Pauliego, σ

i

, i = 1, 2, 3, można zdeﬁniować jako macierze 2 × 2 spełniające warunki:

[σ

i

, σ

_j

] = 2iε

ijk

σ

_k

, {σ

i

, σ

_j

} ≡ σ

i

σ

_j

+ σ

j

σ

_i

= 2δ

ij

, i, j = 1, 2, 3.

Udowodnić, że

(a) σ

i

σ

j

= δ

ij

+ iε

ijk

σ

k

, (b) σ

1

σ

2

σ

3

= i,

(c) Tr σ

i

= 0, (d) det σ

i

= −1.

6. Niech ~a = [a

¹

, a

2

, a

3

] i ~b = [b

¹

, b

2

, b

3

] będą dowolnymi wektorami o składowych rzeczy- wistych lub zespolonych, a ~σ = [σ

¹

, σ

2

, σ

3

], gdzie σ

i

, i = 1, 2, 3 są macierzami Pauliego.

Oznaczmy ˆ a ≡ ~a · ~σ. Udowodnić, że

(2)

(a) ˆ a

²

= ~a

²

, (b)

ⁿ

ˆ a, ˆb

^o

= 2~a · ~b,

(c) ˆ a · ˆb = ~a · ~b + i~σ ·

~a × ~b

. 7. Udowodnić, że

e

^iϕ¹²^σ³

σ

1

e

^−iϕ¹²^σ³

= σ

1

cos ϕ − σ

2

sin ϕ, e

^iϕ¹²^σ³

σ

2

e

^−iϕ¹²^σ³

= σ

²

cos ϕ + σ

¹

sin ϕ, gdzie σ

i

, i = 1, 2, 3, są macierzami Pauliego.

Literatura: J.B. Brojan, J. Mostowski, K. Wódkiewicz, Zbiór zadań z mechaniki kwantowej.