Seria: M EC H A N IK A z. 115 Nr kol Z W IĄ ZK I R Ó ŻN IC ZK O W E I CAŁKOW E W LEPK O SPRĘŻY STO ŚCI

Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230

Z d e n ë k S O B O T K A C zech A cadem y o f Sciences

Z W IĄ Z K I R Ó Ż N IC Z K O W E I C A Ł K O W E W L E P K O S P R Ę Ż Y S T O Ś C I

Streszczenie. W pracy ro zp atru je się różne struktury różniczkowych rów nań zwyczajnych ze współczynnikami zmiennymi, któ re zostały w yrow adzone na podstaw ie m odeli Teologicznych ciał lepkosprężystych. D la przedstaw ienia odpow iednich wyrazów całkowych w prow adzono specjalne funkcje rozw iązujące.

B ad an o struktury związków różniczkowych i całkowych o raz pokazano, że m etody Teologiczne m ogą być pożyteczne dla racjonalnych rozw iązań różniczkowych rów nań zwyczajnych.

D IF F E R E N T IA L A N D IN T E G R A L R E L A T IO N S IN V IS C O E L A S T IC IT Y

Sum m ary. T h e p a p e r is concenred with various stru ctu res of ordinary differential eq u atio n s with variable coefficients which are derived on the basis of Theological m odels for viscoelastic bodies. F o r the form ulations o f corresponding integrals, the special resolving functions are introduced. T h e analytical structures o f th e com pled differential and integral relations a re investigated in detail. It is show n th a t th e Theological pro ced u res may contribute to the ratio n al solutions of o rd in ary differential equations.

D IF F E R E N T IA L - U N D IN T E G R A L - B E Z IE H U N G E N IN D E R V IS K O E L A S T IZ IT Ä L

Z usam m enfassung. In d er A rbeit w erden verschiedene S tru k tu ren der g em ein en D ifferentialgleichungen mit veränderlichen K oeffizienten, die au f G rund d er Theologischen M odelle von viskoelastischen K ö rp ern ab g ele itet w urden, e rö rte t. U m die en tsp rech en d en Integralausdrücke zu form ulieren, h at m an spezielle L ösungfunktionen eingeleitet. M an h at die S tru k tu ren von D ifferential - und - Integral - B eziehungen untersu ch t und aufgezeigt, daß Theologische M e th o d e n für ratio n ale L ösungen d er gem einen D ifferentialgleichungen v erw en d b ar sein können.

368 Z . S o b o tk a

1. IN T R O D U C T O R Y C O N S ID E R A T IO N S

T h e p a p e r contains som e results o f the search for analogies betw een the rheological and m ath em atical structures. It can be shown th a t every differential eq u atio n can be re p re se n te d by a rheological m odel. V arious configurations o f the ordinary differential e q u atio n s a n d th eir integrals are derived on the basis o f viscoelastic relatio n s and rheological m odels. F o r instance, th e strain e of a viscoelastic body re p re se n te d by the rheological m odel w ith one isolated H o o k ean elastic elem en t and th ree Kelvin - Voigt viscoelastic groups co n n ected in series and each consistinng o f th e elastic an d viscous elem en t co n n ected in parallel dep en d s on the tim e - varying stress a ( t) in th e following m an n er

w here a k( t ) = E k(t)/A.k(t) a re the reciprocal tim es of re ta rd a tio n defined by the ratios of m oduli o f elasticity E k(t) an d coefficients o f viscosity A.k(t).

E lim inating th e constans oof integration C k by successive m ultiplication by the ex p o n en tial functions and differentiation o f E q .( l) yields th e third - o rd e r differential equation:

w here th e tim e - varying function f(t) dep en d s on the stress, its tim e derivatives, m oduli of elasticity, coefficients o f viscosity and their tim e derivatives.

T h e actual solution o f differential equation (1.2) can consist in d eterm in in g the functions a k an d substituting them into E q .( l.l) . As can be seen, th e o rd e r o f differential eq u atio n to be solved is th en reduced.

F ro m E q.(1.2), th e a u th o r has o btained th e following altern ativ e expression for the strain an d sim ultaneously th e solution o f this non - hom ogeneous o rdinary differential e q u atio n

f d t (.s)ds

■0 d z + C k

(1.1)

t '" + (otj + a 2 + a 3) t " + (cij a 2 + ctj a 3 + a 2 a 3 + 2a.\ + a 2) e ' +

(s)ds

T1 T2

T i f [ a 2( s ) - a

*2 J><

f e ' d x ,

r°

T3

f a^(s)ds

x 3)e 10 d x 3 + C3 f e * r°

+

+

dx..

(1.3)

T he p ro o f o f th e foregoing solution can be carried out by m ultiplying it by the exponential functions an d differentiating it, successively.

T h e re fo re , bo th expressions (1.1) and (1.3) can be taken fo r th e solutions o f the differential eq u atio n (1.2). T h e solution o f the n-th o rd e r ordinary d ifferential eq u atio n is th en expressed eith er by th e sum of n sim ple integrals o r by th e n-t'old integral.

2. G E N E R A L F O R M O F D IF F E R E N T IA L E Q U A T IO N S A N D R E L A T E D IN T E G R A L S

T h e exponential functions in te foregoing introductory considerations can be rep laced by th e g en eral integrable functions. T h e au th o r has called them th e resolving functions or briefly the R - functions.

In this m an n er, a m ore g eneral integral rep resen tatio n is expressed by

/

/Cr3)R3(

+ c3

w here R k(t) are the g eneral continuous integrable functions with continuous derivatives.

E lim inating the integrals and constants of integration, we obtain the corresponding differen tial equation:

(2 .2 )

R[ R'2

2

/ \ r [

/ 4-

/

2 R[R²

4- --- 4-

r[r'3

--- 4- R X

R\ *2 * 3 U J R iR3 R1R3

r' X K + < ' Ri ' r[

a

R ^ R } ^r3 + i w e = / ( 0 ■

As can be seen, th e deriveratives o f R - functions in the foregoing eq u atio n are logarithm ic o nes so th a t we can write:

37 0 Z . S o b o tk a

d ln iîj d \n R z d ln R j

d r d t d t

d 2\n R x d 2ln R 2

d t 2 d r 2

d ln R j d \n R 1 dlni?, d ln f t, d ln f ^ d ln R j

d t d t d t d t d t d t

(2.3)

d ]n R x d kiR ^ d ln R j d 2lnR] d ln R j d d ln R t d ln l ^ d 3lnR ,

d r d r d t d t 2 d t d t . d r d t d r 3

c = / ( r ) .

T h e d ifferential an d integral relations can be fo rm u la te d in an altern ativ e m anner.

Introducing o th e r resolving functions Sk(t), the integral relation m ay be expressed in the following form

1 f d T i ^.'r d t 2

V r )

I

/ + C, * C , C, (2.4)

E lim inating again the integrals and constants o f integration yields:

s i ( s ^ y ( 5 ,5 25 ,y

s,s2

s" |

2 | s;s; |

| ( y 2y s;

Sj S, S2 S, 5j Sj S2 5 , S2 53

(2.5)

(S^y (s"s2y s"s^ SÎ525^

5 ,5 2 S,S2 ^Si5253 / ( O

3. S E C O N N D -O R D E R D IF F E R E N T IA L E Q U A T IO N W IT H V A R IO U S R -F U N C T IO N S

S tartin g from the integral relation:

1 J r Ki ( Ti

* l ( 0 { ^ ( T , )

d t . ¡ f { t J R 1{ t 2) d z 1 + C1 * C , (3.1)

we o b tain second - o rd e r differential equation:

// {r[ R ^ ) _/ ' + R ' X

e +

J*3| A

s' +

UJ

£ = m ■ (3.2)

In troducing into the foregoing equation th e functions:

= Aqsinaf , R^ = k ^ s m b t , (3.3)

we obtain th e differential equation with trigonom etric coefficients:

„2

t." + ( a c o s a i + b c o s b t)e ' a b c o ta tc o tb t - e = fit) ■ (3.4)

T he re la te d integral is expressed by

t |

r s i n a t,

i f

I/O

1

j / (t2) sin bx1d x 2 + C2

*0

+

(3.5)

Introducing th e resolving functions:

R, = — , k, R, = -

t m t n

(3.6)

yields th e differential equation:

e " --- ( m + n ) e ' + — ( m n + n ) e = / ( t ) .

t t2

(3.7)

T h e c o rresp o n d in g integral has the following form

e = t"^{t m .}

f

J

+

-o <0 T 2

(3.8)

P ro ceed in g in this m an n er and choosing various R - functions, we can obtain a very extensive set o f differential relations with coupled integrals which re p re se n t a useful clue for th e solutions of non - hom ogeneous ordinary differential eq u atio n s with variable coefficients.

372 Z . S o b o tk a

R E F E R E N C E S

[1J Sobotka Z.: R heology of M aterials and E ngineering Structures. Elsevier. A m sterdam . O xford, New Y ork, Tokyo 1984.

[2] S ob o tk a Z.: R heological M odels and Solutions o f the N on - H o m o g en eo u s O rdinary D ifferential E quations. A cta T echnica CSAV, N o. 5, 1989, pp. 537-562.

R ecenzent: D r hab. inż. Jerzy Świder W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.

Streszczenie

P rzedm iotem pracy są niek tó re wyniki b adań analogii pom iędzy stru k tu ram i reologicznym i i m atem atycznym i. M ożna wykazać, że każde rów nanie różniczkow e zwyczajne m oże być przedstaw ione przez m odel reologiczny ciała lepkosprężystego, które się składa z elem entów sprężystych i lepkich. R ząd takiego rów nania odpow iada liczbie elem entów lepkich. N iek tó re rów nania różniczkowe są przedstaw ione przez m odele zaw ierające elem enty z charakterystykam i urojonym i albo zespolonym i. W pracy um ieszczono różniczkow e rów nania zwyczajne ze w spółczynikam i zm iennym i i odpow iednie całki w ielokrotne ze stałymi całkow ania, które otrzym uje się na podstaw ie modeli reologicznych. R ów nania różniczkowe i odpow iednie wyrazy całkow e zw iązane są za pom ocą specjalnych funkcji rozwiązujących. W ybierając różne funkcje rozw iązujące, m ożem y otrzym ać szeroki zbiór różniczkowych rów nań zwyczajnych w raz z ich całkam i.

Taki zbiór m oże doprow adzić do wielu racjonalnych rozw iązań różniczkowych rów nań zwyczajnych.