Optymalne planowanie przeglądów urządzeń górniczych metodą programowania dynamicznego

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: GÓRNICTWO z; 97

1379 . Nr kol. 597

Piotr MAKSELON

OPTYMALNE PLANOWANIE PRZEGLĄDÓW URZĄDZEŃ GÓRNICZYCH METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO

Streszczenie: W pracy przedstawiono matematyczny algorytm określenia przedziałów czasowych dokonywania przeglądów tech­

nicznych, przy których współczynnik technicznego wykorzysta­

nia zespołu jest maksymalny;

Nieprzerwana i bezawaryjna praca wszelkich urządzeń pracujących pod ziemią jest warunkiem prawidłowego toku produkcyjnego, jakim jest proces wydobycia węgla; Urządzenia psują się w przypadkowych momentach czasu eks­

ploatacji zespołu; W tych warunkach celem podniesienia niezawodności zespo­

łu urządzeń poddaje się je okresowym przeglądom.

Za kryterium efektywności przeglądów może byó przyjęte maksimum współ­

czynnika technicznego wykorzystania zespołu urządzeń W w funkcji zbioru Z, Z = Jf., ie [ 1 ,n]j , przedziałów czasowych między przeglądami posz­

czególnych urządzeń T i.

T - R/Z/ - t/Z/

W /Z/ = --- f---

gdzie:

T - czas eksploatacji zespołu,

R/Z/- sumaryczne zużycie czasu na wykonanie przeglądów zespołu na odcinku czasu [o,T] ,

t/Z/- średni czas znajdowania się zespołu w stanie niesprawności na odcinku czasu [o,t] ;

Celem naszymi jest dobrać tak przedziały czasowe między przeglądami po­

szczególnych urządzeń, przy których w zadanym odcinku czasu eksploatacji współczynnik technicznego wykorzystania zespołu będzie maksymalny.

Załóżmy zatem, że mamy zespół składający się z n urządzeń^ z których każde charakteryzuje się czasem dokonywania przeglądu r^/if [l],n] /, oraz współczynnikiem częstotliwości awarii ^ = const; Żądamy określenia przedziałów czasowych pomiędzy przeglądami każdego z urządzeń zespołu przy których współczynnik technicznego wykorzystania kompleksu W jest maksymalny;

Dla uproszczenia zagadnienia przyjmujemy następujące założenia:

a/ w momencie rozpoczęcia eksploatacji wszystkie urządzenia są w idealnym stanie*

b/ czas przeglądu zespołu Jest znikomo mały w porównaniu z czasem eksploatacji;

cl prawdopodobieństwo awarii i-tego urządzenia w momencie zakończenia przeglądu jest równe zeru;

d/ urządzenia wchodzące w skład zespołu cechuje wystarczająco wysoka niezawodność;

e/ przedziały czasowe między przeglądami poszczególnych urządzeń są wielokrotnościami.

Poza tymi założeniami, uporządkujmy urządzenia w takiej kolejności, aby był spełniony warunek r ^ ^ ri+-| *

Założenie /e/ przedstawiamy w postaci:

£*¿+1 / fi “ = 1,2,i,i

Liczbę przeglądów i-tego urządzenia w przedziale czasu [0,t] ozna­

czamy przez Pj gdzie pJ = T/ - 1 /T/ ^ jest liczbą całkowitą/.

Składową FL sumarycznego zużycia czasu R/Z/ na przegląd zespołu określimy jako

Ri “ ri 1 mi “ mi+1 / ’ i e fi.«-1] • Rn = rn nn a zatem sumaryczne zużycie czasu R/Z/ jest równe:

4

m / . r „ / J . - 1 / * § r / A . i _ /

‘n x ii Ti+1

W następnym etapie: musimy określić czas znajdowania się zespołu urzą­

dzeń w niesprawnym stanie t/Z/ w przedziale czasu [0,t]

J t ś ,

z

n

gdzie: Vi / f\/ jest to średni czas znajdowania się i-tego urządzenia w stanie niesprawności, przy warunku dokonywania przeglądu z częstotliwością f\.

/ ?”./ można określić jako:

fi

Optymalne planowanie przeglądów., 47

Jeżeli jednak ^ ^ 1 , to / f± / - T ^ 7^/2.

Otrzymamy wtedy

n

XI

t/Z/ = | X I ^ i

Szukane wyrażenie dla maksymalnej wartości W* - współczynnika tech­

nicznego wykorzystania zespołu, któremu będzie odpowiadał optymalny ciąg

W

będzie miał zatem postać:

W* /Z/= max

Ti

. 1 " *r rn / € “1/+ § r*' k " -1 ig*1 fij

Dla rozwiązania tego zagadnienia idealnie nadaje się metoda programo­

wania dynamicznego. W tym celu wprowadzimy dodatkowe zmienne xi = Tu'i |l?i * xi = »

i £ [ 1, n-1 ] , x^ = T/ = l,2,..i

Po prostych przekształceniach otrzymamy wyrażenie

. . XP + p=i+1

Fx/Xx/= 1 - W*= min | \ [r^ ¡ ^ - 1 / + £ r .. /x.- 1 / f*J

+ ^ ^-1 I [ pj^| , x1 = 1,2,..;

Rozwiązując dany problem zgodnie z zasadą optymalności Bellmana w dro>- dze n-krokowego procesu tworzymy w pierwszym kroku funkcję

f1 K ( ^ = f ł 1 *2 (X1 ' 1) +

XT £[1, entier (“/ą^j . q2 € [t, »] » <ł2 - f i gdziei

x^ - wartość , dla której /ą^/ osiąga minimum, m - górna granica iloczynu:

us P. Makselon

Można więc jednoznacznie określić / q2/ ^ xi ¡^¡¡f n

dla dowolnego zbioru x. ( i e [2,n] > P I xi 4 m

\ x=1

rozpatrywanego w poszczególnych krokach«

W drugim kroku utworzymy funkcję

T źl

f2 ( *2 N ) ■ ^ [ r % (*2 - 1) + + fi ( X18 (*2^)] •

n

^ entier ( m/q3)] » q3 fe [i. n ] » q3 = *p ’ q2 = * 2 %

Postępując analogiczni3 w dalszych krokach otrzymamy

”r ^ ^ •

fi (xi (qi+i)) = [fŁ qi+i (xi ' ^ + “ 5 - " “ —■i+:i ■ xi +

+ f i-i (x i‘-i (x i q i+ i))] ’

n

*i f [1 .entier ( m / q.+1)] , q ±+1 e [i ,m ] , q l+1 = f j +1 XP

q i+1 = 1 * •

¥ kroku n-tym otrzymamy f = F* i xn° = x^ .

Wykorzystując 2nalezione funkcje x P f q ^ J . kolejno określimy x* (i6 fi, n-l]J przy pomocy zależności

( * " - a ,* * ' •

W ten sposób otrzymamy ciąg X*, a co za tym idzie, ciąg szukanych przedziałów czasowych [ f i l , a dalej współczynnik W* .

Dla określenia górnej granicy m należy wziąć,; pod uwagę, że przy zmniejszaniu się r. zmniejszają się wartości 7”. /max W /, a z kolei

1 n

wzrasta wielkość

n

i=1 1

Podstawiając zatem = r^ do równania na wartość współczynnika W, po prostych przekształceniach otrzymamy

- t ó r [ 1 - ( q “ 2 g A i f i ]

Optymalne planowanie przeglądów 49

a następnie

W = max [ l - £ (X 1 - 1 ) - g-Ł. g ^ t ]

Wyżej przedstawiona metoda pozwala na zaplanowanie przeglądów urządzeń mechanicznych pracujących pod ziemią na określony dowolny przeciąg czasu.

Pozwala to prawie wyeliminować nieoczekiwane awarie, a co za tym idzie, nieoczekiwane przestoje. Jeżeli potrafimy określić dla każdego urządzenia danego zespołu czas dokonywania przeglądu oraz współczynnik częstotliwości awarii', to obliczenie optymalnych przedziałów czasowych dokonywania prze­

glądów zgodnie z przedstawionym algorytmem, jest stosunkowo proste. Najwy­

godniej jest wykorzystać do tego typu obliczeń maszynę cyfrową i opracować plan dokonywania przeglądów technicznych dla wszelkiego typu urządzeń pra­

cujących pod ziemią;

LITERATURA

[iJ Gnedenko B.V., Machraud J.N.: Techniceskaja kibemetika, nr 3 s.86-91 1976r.

[Z] Barzilovic E.Ju.: Avtomatika i Telemechanika, nr 8 s.175-177, 1969r.

[i] Burlakov E;A.: Avtomatika i Telemechanika, nr 3 si 170-176, 1978r.

[hj Bellman R;: Dynamic Programming; Princeton, N.J; Princeton Univ.

Press, 1957r.

OiTTHMAJIbHOB IUIAHHPOBAHHE ITPOCUOTPA rOFHOrO 0BO TV Î03A IÎH I METOSOM ÎHHAIOÎRECKOrO IIP0rPAI,!HP03AHHH

Pe3xiMe

B o r a i t e npiiBOgHTca M a T e M a T H v e c K o 2 ajiropiîTM onpegejieHHa B p c ' e m m x npe^e.coB n p o H 3 B e a e H H H T e x a r m e c K o r o ocK O T p a , n p H K o i o p u « KosiJsÿaflHeHT T e x i n m e c K o r o H c n o J i i > 3 0 B a H H a K O J .t r u i e K c a H B J i H e i c a m o k ch M a r i B i n a i .

O P T I M A L P L A N N I N G OF T H E M I N I N G I N S T A L L A T I O N S S U R V E Y S U S I N G T H E M E T H O D OF D Y N A M I C P R O G H A M M I N G .

S u m m a r y

T he p a p e r p r e s e n t s the m a t h e m a t i c a l a l g o r i t h m of d e f i n i n g the time i n t r e v a l s of t e c h n o l o g i c a l s u r v e y s , at w h i o h the t e c h n o l o g i c a l u t i l i z a ­ t i o n o o e f f i o l e n t of the s y s t e m is d o s e to m a x i m u m .