LONGITUDINALE DISPERSIE IN EEN GOED GEMENGD ESTUARIUM
Inle_icl
i~g_
He.t getij beïnvloedt in het algemeen in sterke mate <le water.beweging j_n
een estuarium. De variërende waterstand op zee veroorzaakt in het estuarium
een lange golf, waarvan amplitude en stroomsn8lheden door bodemwr.ijving
afnemen met de afstand tot de monding, Naast de g,;tijbewe.ging sveelt ook
de bovenafvoer een rol.
De getijbeweging in het estuarium beïnvloedt de zoutindringing: bij vloed stroomt zout zeewater het es tuarimii binnen, te.rwij l bij eb zeewa te.r, in mindere of meerde.re mate gemengd met het zoete rivierwater, n~:i,ar zee
afstroomt. Doordat het soortelijk ge.Hicht van liet zeewater groter is clan
dat van de zoete bovenafvoer, zal de verdeling van de zoutconcentratie in
het estuarium de stroming be.Invloeden. Zo ontstaat een wisselwerking tussen
zoutverdeling en waterbeweging.
Gela~1gdheidss truc tuur
In par. IV. 5 · is aangegeven dat 111 gevallen zonder getijbeweging de
zoutindringing de vorm aanneemt van een stationaire zoutwig aan de bodem. Bij geringe getijbeweging en relatief grote bovenafvoer treedt: een zout.wig nog wel op, maar de indringings)engte gaat vari~ren met de getijfase eu de verticale uitwisseling neemt onder invloed van de hogere
turbulentie-intensiteit (samenhangend met de hogere stroomsne1-heden) toe. In dit geval
spreekt men van een _gel_aagd estuarium.
Bij sterkere getijbeweging en/of kleinere bovenafvoer kan de verticale uitwisseling van massa zo toenemen dat, hoewel er nog aanmerkelijke d:i.cht·-heidsverschillen in de verticaal voorkomen, geen zoutwig meer optreedt. Het estuarium is dan gedeeltelijk gemengd_.
Bij nog sterkere getijbeweging of kleinere bovenafvoer kunnen ten gevolge van de;verticale uitwisseling de dichtheidsverschillen tussen bodem en
oppervlak klein worden ten opzichte van het dichtheiclsverschil tussen
zeewater en rivierwater. Men noemt het estuarium dan goei__gem':'ngd, Ook 1n
dit geval blijft de zoutve.rdeling de waterbeweging beÏnvloedens doordat er nu longitudinale dichtheidsgradienten optreden (zie het voorbeeld in par. VII.2.2).
De gelaagdheidsstructuur van een estunriurn is niet altijd dezelfde,
Doordat de ve1~ ti.cale getij afnpli tude cp zee kan varië.ren (dood tij-springtijcycl us, me.teoro lor,i sche invloeden) en de bovenafvoer aan verandering onderhevig J_s,
kan een estuarium dat in een bepaald geval gelaagd is enige tijd later b.v.
goed gemengd zijn. Ook de afstand waarover het zout binnendringt is in het
algemeen veranderlijk.
Voor inleidingen in de problematiek van estuaria zie (~,lZ_, 38),
Voorspellen van zoutindringing
Het is meestal niet goed mogelijk zonder meetgegevens de
gelaagdheids-structuur van een bepaald estuarium te voorspel_len. De grote variabiliteit
in geometrie (bodemligging -b.v. platen en geulen-, zijrivieren, havens, e.d.). en andere omstandigheden (getij, bovenafvoeren, wind, scheepvaart)
·be-moeilij-ken sterk het opstellen van algemeen geldige regels. Veldmetingen zijn
dan ook vereist om de mate van gelaagdheid en lengte van de zoutindringing vast te stellen, Deze metingen betreffen: de geometrie van het estuarium, de waterbeweging (waterstanden en stroomsnelheden ten gevolge van het getij,
bovenafvoeren) en verdelingen van zoutconcentraties. Bij voorkeur verricht
men metingen bij verschillende waterstanden op zee (doodtij-springtijcyclus) en verschillende bovenafvoeren.
De meetresultaten kunnen gebruikt worden voor het ijken van wiskundige
modellen voor zoutindringing. Met deze modellen kunnen dan·voorspellingen
gedaan worden ten aanzien van de zoutindringing onder andere omstandigheden. Een vaak voorkomend geval betreft de zoutindringing bij verminderde
boven-afvoer in verband met een irrigatieproject, Voor verificatie van de
voor-spellingen is men weer op metingen aangewezen: er is een wisselwerking tussen meten en rekenen.
De keuze van het te gebruiken wiskundig model zal afhangen van de aard van de gelaagdheid, b.v. een lagenrnodel bij een gelaagd, en een over de dwarsdoorsnede geïntegreerd (z.g. dispersie-)model bij een goed gemengd
estuarium. Daarnaast kunnen ook redenen van meer praktische aard een. rol
spelen bij de modelkeuze, Zo is het rekenen met een model voor een
gedeelte-lijk gemengd estuarium (par, VII. 2. 2) relatief duur. Lagenmodel en dispersiemodel
ziJn in dit opzicht aantrekkelijker. Het dispersiemodel vraagt echter meer
meetgegevens.
Behalve het werken met wiskundige modellen heeft men getracht parameters, waarin een aantal gemeten grootheden wordt ondergebracht, op te stellen die
de mate van gelaagdheid karakteriseren, Het meest succesvol is gebleken
( 1)
Hierin is f.,p het dichtheidsverschil tussen zeewater en rivierwater, Qf
de zoete bovenafvoer, been karakteristieke breedte van het estuarium, en
ut een karakteristieke stroomsnelheid van de getijbeweging. In de teller
van(!) staat een maat voor de arbeid die per tijdseenheid verricht moet worden om de bovenafvoer op te mengen, de noemer vertegenwoordigt het
beschikbare vermogen van de getijbeweging, Een kleine waarde van RiE zal
overeenkomen met een goed gemengde toestand, een grote waarde met een
gelaagde toestand. Het interval van waarden van RiE waarbij de overgahg
tussen beide toestanden plaatsvindt zal van geval tot geval verschillen, Voor min of meer prismatische estuaria houdt men voor dit interval wel aan 0,08 < RiE < 0,8.
Dispersiemodel voor een goed gemengd estuarium met eenvoudige geometrie
In par. VII,2.1 en VIL.2.2 is aandacht besteed aan gelaagde en gedeeltelijk
gemengde stromingen, Hieronder volgt een beschrijving van een
dispersie-model voor de goed gemengde toestand. In dit relatief eenvoudige geval
kunnen toch nog verschillende mengmechanismen werkzaam zijn, b.v. samen-hangend met een onregelmatige geometrie (eb- en vloedscharen, havens). Beschouwd wordt hier het geval dat het best aansluit bij de tot nu toe be-handelde stromingen, n.l. het geval dat de stroming nagenoeg horizontaal
en quasi-tweedimensionaal (in het verticale vlak) is.
De massabalans voor een balansgebied dat zich over de gehele
dwars-doorsnede van het estuarium uitstrekt luidt (zie figuur 1)
J
pdA+_?__A dX A
J
p u dA=
0waarin Ade oppervlakte van de dwarsdoorsnede is, Het is 111
---~ zee
oever u
- - · - - · ·~---·
Figuur 1een goed gemengde situatie zinvol de over de dwarsdoorsnede geiniddelde
dichtheid pen snelheid~ in te voeren, Deze grootheden worden gegeven door
1
p = A
f
p dAA
en u =
X
1f
u dAA
Vergelijking 2 wordt hiermee
d d -
a
f
at
p A +ax
P u A +ax '
A
(p-p) (u-'.ü) dA - 0 (3)
De integraal in (3) geeft een transport weer dat ontstaat door afwijkingen
-
-van dichtheid en snelheid -van de gemiddelde g1:ootheden p en u. Dit transport
wordt het dispersieve transport genoemd. Samen met de continuÏteitsvergelijking
3-.A
+ l_ A~=
0at
ax
kan (3) nog geschreven worden als
f
(p-p)(u-~)dA=
0 AOmdat er een relatie bestaat tussen dichtheid en saliniteit, beschrijven
(3) en (4) ook de over de dwarsdoorsnede gemiddelde zoutverdeling.
(4)
In de uitdrukking voor het dispersieve t1:ansport komen de variaties
van pen u over de dwarsdoorsnede nog voor. Om deze onbekende variaties
uit het model te elimineren, maakt men doorgaans gebruik van de
gradient-transport hypothese (vergelijk par. VII,] ,J). Deze hypothese luidt hier
f
(u-~)(p-p)dAA
= -
ADap
Xax
waarin D een longitudinale dispersiecoefficient voorstelt. Deze
X
(5)
coefficient zal met plaats en tijd variëren, en is vooralsnog ook onbekend, Er zijn dus ook hier veldmetingen nodig, nu om waarden van de
dispersie-coefficient te bepalen, De eenvoudigste aanpak hierbij is te trachten
een empirische cor!elatie op te stellen tussen de dispersiecoefficient en het estuariurn-Richardson~etal (en eventueel de plaats).
Een beter gefundeerde benadering is uit te gaan van de verticale (gravitatie-) circulatie besproken in het voorbeeld van par. VII. 2. 2 en zo met behulp van (5) een uitdrukking voor de dispersiecoefficient af te leiden (22,34,35),
Uitdrukking voor de dispersiecoefficient bfj rechthoekige doorsned~ De drukverdeling is hydrostatisch en wordt v.oor een goed gemengde toestand bij benadering gegevei1 door (zie ook figuur 1, hier is hb=O)
p "" p g ( a- z) met p
=
p(x,t)
Vergelijking 7.43 geeft dan met verwaarlozing van versnellings- en
massatransporttermen
els
xz
."'az
"' elp elx - - p g elx - g(a-z)elx ela elpIntegratie naar z geeft met de randvoorwaarde s
=
0 op z=
axz s xz
-- ela 2 elp=
p g(a-z)~x +½
g(az) -0ax
Elimineren van ela/elx met behulp van de schuifspann:i:ngssnelheid u* gedefinieerd volgens
u2 x = 1 sxz (O) /-p 1 = 1 ga 3x . 2 ela + .1. g a2
p
18x
elp geeft voor de schuifspanningsverdeling-l. s
p xz = .:!:_(1- ~)u a
x
2 - 1 g 2 a2 ~(1- ~) a a p 122..
elxVergelijking 7.4 geeft dan, met K
=
u a f (z/a) waarin f een bekendes
x
o odimensieloze functie van z/a is,
elu l
az
=--~-
f (z/a) 0 [ u . - ] - . · z +(1--) -x
+ - - - (1- -) l _\
ga z z . elp a a 2. u a a p elx*
Integratie naar
z
geeft voor de stroomsnelheidsverdeling een uitdrukkingvan de vorm
() f (z) ga21
elp
f (~)u z ~;u I - + -
-x a ux p elx 2 a (6)
waarin f1 en f2 bekende functies van z/a ziJn, van (6) het voorbeeld van par, VII,2,2,
De over de diepte gemiddelde snelheid u (variaties van u over de breedte blijven hier buiten beschouwing) is te schrijven als
ga2 1 elp -::
u == ~u f + - - - f
x 1 ux p clx 2
waarin f
1 en f2 dieptegemiddelde waarden van f1 en f2 zijn.
(7)
Het linker lid van (5) bevat naast u en u ook de dichtheid, Om de
dichtheidsverdeling over de verticaal te berekenen gaan we uit van
(7.40)
en (7.6). Verwaarlozing van clp/clt, clu/clx en w, en de benadering clP/ox ~ clP/clx geven
elp
u - ~
dX .1_ dZ K p dZ ~
Stel verder K == u a f
3(z/a), waarin f3 weer een dimensieloze functie
p :k
voorstelt, dan ontstaat met (6) na integratie naar z voor op/clz
Nogmaals integreren naar z geeft voor de afwijking van de gemiddelde dichtheid een uitdrukking van de vorm
p-p
--
-waarin cp
1 en cp2 dimensieloze functies van z/a ziJn met cp1 == cp2 == O, die met (9) te berekenen zijn.
_Substitutie van (6), (7) en (10) in (5) geeft na uitwerking een uitdrukking van de vorm
ga21 cl-p ga2 1 3-p 2]
+ C ( - - -)+ ( )
2 u2 p ox c3 ~
p
clx*
*
-waarin c1, c
2 en c3 positieve dimensleloze coefficienten zi.jn
(clp/3x ~ O), Substitutie van (5) en (11) in (3) of (4) geeft de z.g. dispersievergelijking,
In een situatie zonder dichtheidsverschillen g~ldt volgens (11) Dx" c1 au*, Het blijkt dat in werkelijkheid c
1 in het algemeen nog sterk afhangt van de hier 11iet beschouwde breedte/diepte-verhouding (5).
(8)
( 10)
De laatste twee termen in (11) geven de invloed van de verticale
gravitatie-circulatie op D weer, In het gebied met longitudinale dichtheidsgradient
X
vergroten deze twee termen de dispersiecoefficient aanzienlijk, De
coefficienten c2 en c3 zijn in theorie constant, maar zullen in werkelijkheid
vaak afhankelijk gesteld moeten worden van b.v. de vorm van de dwarsdoorsnede
(34,1_~), en van RiE. Dit laatste wordt gevonden door_b.v. Harleman en
Thatcher (3_!_), die in hun relatief vaak toegepaste model alleen de eerste
twee termen in het rechterlid van (11) beschouwen, Samenvattend kan gezegd
wordèn dat het niet gehèel duidelijk is wanneer (11) praktisch van toepassing is, zie b.v. 39.
Een probleem bij het oplossen van de dispersievergelijking vormt soms de randvoorwaarde aan de zeezijde, doordat de saliniteit in de monding kan
variëren met de getijfase, Vooral bij eb zal de saliniteit aldaar lager
zijn dan die verderop in zee (3_!_).
De plaats- en tijdsafhankelijke stroomsnelheid u in de dispersie-vergelijking kan, evenals de waterstanden, berekend worden met een
water-be.wegingsmodel,· Figuur 2 geeft een indruk van de longitudinale zoutverdelingen
voor verschillende getijfasen. In deze figuur is ~f de dichtheid van het
rivierwater, rivier
.
/
/ e b./
/
Figuur 2 monding p + b,p f zee XInvloed van de bovenafvoer
Er wordt niet zelden waargenomen dat in een zeker middendeel van het estuarium de zout.verdeling met de eb- en vloedbeweging heen en weer
beweegt, maar verder niet veel van vorm verandert, zie figuur 2, Nadere
analyse van dit geval geeft een goede indruk van de rol die de bovenafvoer
speelt bij de zoutindringing, Stel daarom in (4) en (5) dat in een met de
getijsnelheid ut heen en weer bewegend assenstelsel - gegeven door l;=l;(x,t)
de dichtheid plaatselijk niet meer van de tijd _afhangt:
p met
J
0
t
u (t')dt'
t (12)
De stroomsnelheid u in (4) is te schrijven als een som van de snelheid uf
ten gevolge van de bovenafvoer (uf
=
Qf/A) en de getijsnelheiJ ut,Substitutie van (J2), (J3) en (5) in (4) geeft,
1 d (A I ie_)
A
ds \ dl; ( 1 lf)Integratie van (14) is mogelijk, omdat uf A
=
Qf=
constant, Met derand-voorwaarde dp/dl; = 0 voor p
=
pf ontstaat· Uit dit resultaat blijkt dat dp/dl; toeneemt als Qf toeneemt (bij gelijke p - pf). De lengte waarover zoutindringing plaats vindt neemt daardoor
( 15)
af als Qf toeneemt, zie figuur .3, In par, IV,5 werd een dergelijk resultaat
Q
=OJ_P
, _ f - -~
-.
rivier.
.
' zee -~ toenemende Qf---~-~,-/_,.,,, _____ .;_ __ .,,,_/ __ ~,,,---
I
___
~
t: p=pf---l
',
Figuur 3 Aanvullende literatuur36, K.R. Dyer, Estuaries,Wiley & Sons, 1973
37, D.M, McDowell en B.A, O'Connor, Hydraulic behaviour of estuaries,
Macmillan, J 9 77
38, C.B. Officer, Physical oceanography of estuaries (and associated
coastal waters), Wiley & Sons, 1976
39 D. Prandle, Salinity intrusion in estuaries, J. Phys, Oceanography,
