Digitale schakeltechniek: Van probleemspecificatie tot realisatie, deel 1

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1673 5047

"" 11" 11111

C 862943

.

J

-t.. '

.

..

_..

'

.

.

.

DIGITALE SCHAKELTECHNIEK van prob leemspecific atie tot reali satie

door ir. A.P. Thijssen en ir. H.A. Vink

met medewerking van lector ir.

eH.

Eversdijk

IliIill!lll!i11111111111111111I11I1 1illll

I

111II!I11111111111111111111I11 lIil'II'\II II',I\\\\tIIl l!il'l'lllllllli\1111I\ 111'11l 111111tl' \111 1'1111\ 11I1IliI 1111111 1 " I I 111111111111111 11_11I

lidi!

111111 11\'hil

ll,i'l llld

lll1'1

111I

:11111'iI1l1

11'1111'111\ \1111'1 11 1I11111il lll 1111111 11 11111 1111I 11 11!I!1111 I'11 "I

L

Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft 2 e,verbeterde druk, 1981

3

VOORWOORD

Digitale schakeltechniek is lang, wellicht te lang,beschouwd alseen vak dat slechtsdoor ervaring kan worden geleerd. Vele leerboeken beperkenzichtot eenbehandelingvande verkrijgbare componentenen to thet bespreke n van schakelingenvoor tellen, sch uiven en andere standaardbewerkinge n.Eensyste matische benadering van het ontwerpe n van digitale schakelingen op elementair niveauwerd node gemist.

De voor U liggende tekst is gegroeid uit een tweetalcollegesaan de Tech nisc he Hogeschool te Delft, de colleges "Schakeltechniek Beknopte Cursus"en"Scha keltechniek III,Theorie van de Sequentiële Machines".Op suggestie vanprof. dr. ir. R.M.M. Oberma nheeft ee rst-genoemde aute ur zich sinds 1970 toegelegdop de bestuder ingvan demogelijkheden tot toepassing vande theo rie van de seque ntiële machin esop hetontwerpen van digitale sc ha-kelingen.Weld ra groeide het inzich t dat bij het onde rwijs in de digit ale schake ltec hnie k geen scheiding gemaakt dient te worde n tussen de behandelingvan de theo ret ische en praktische schakeltechniek. Een systematisch opgezetteprobleemspecificatieleid t vrijwel altijd toteen beter ontwerp, terwijlde voor het bou "en vaneenbetrouwbaa rwerke nde proefschakeli ngbeno digde tijd drast isch bekort kan word en . Bijdeprobl eem specificati e speelt de mod elvormingeen belangrijke rol. Het Moore en het Mcaly mod elvan een se-quentiële schakelingzijnonmisbare hulpmiddele n, niet allee n bij de behande ling van de "level mode" schakeltechn iek maar vooral bij de besturingsspec ificat ievan "clock mode" schakelingen.In deze tekst wordt veelaandacht besteed aande probleems pec ifica tie. Juist doorhet specificeren, op systematisc he wijze uitgevoerd , groeit het inz icht in de problema tiek van het betreffende ontwe rp.Demath em ati sche relati e "compa tibel" spee lt eenbelangrijke rol bij de spec ificatie.Telken s en bij verschillend e fasen van het ontwerp blijk t dat het opspore nvande cornpa tibilitei tsrelatictussen verschill end e objec ten, of dit nu besturingstoestande n,inste lsignalenof ande regroothe denzijn, teleiden tot een beter inzicht in de mogelijkhedenom eenschakeli ng voor de gegeven pro bleem stellin gter eali-seren.

Kenmerkend bij het beoefene n van dedigitale scha keltec hn iek ishet grote aantal variant en bij de oplossing van vrijwel elk probl eem. Devrijheiddiede ontwerpe r van logische sc ha-kelingen heeft is zeergroot. Een juist geb ru ikvandezevrijheidwordt vergem akk elijktdoor een systematischeproblee mspec ificatie. Daarbij zijn de reedsgenoe mde math em ati sch e hulp-middelen onontbeerlijk.Anderzijds is veelvrijhe id in eenontwerp ook gevaarlijk.Men ziet gemakkelijk situatiesover het hoofd die de ju iste werking vaneen apparaat kunnenvers to-ren.Het opstelle nvaneen toestand stabel en/o f-diagram voor volgord esch ak elin gen brengt automa tisch met zich mee dat over iedere sit uatie naged acht wordt. Men komtveelminder in de verleidingbepaa lde vooronderstellingen en randvoorw aarden bijeen ont werp niet te verifiëren. Foute n, die anders pasuit prakt ijkp roeven naar vor enkom en ,kunnen ineen vroeg stadiumvan het on twerp worde n hersteld.

Dit boek behande lt de "klassie kescha keltec h nie k" en is in de eersteplaat sbestemd voor degenen diezich ber oepsh alvemethet ontwerp envan digitaleapparatuur(gaan) be zighou-den .Het niveau is afgestemd op H.T .S.-studenten enstude nte n van de T.H.'s in deeerste jaren van hun studie. Veel aandach t isbesteed aan dedidacti sche op bo uw van de stof , zo-dat het boek ookgeschikt is voor zelfstudie.

De beha ndelingvan dediverse onde rwerpe nis elemen tairen vergt beh alve eengeringe ke n-nis van de elektronica vrijwel geenvoorkennis van andere vakgeb iede n. Om praktische rede -nen is afgezien van een vertalin gvan deingeburgerd e Engelse termen. Ineen vakgebi ed,dat zo sterk beheerstwordt dooren berust opEngelstalige literatuur en handboek en, zou dit de toegan kelijkheidvan deinternationale liter atuur slech tssch aden.Enigebasiskennis van de Engelse taal isdaarom gewenst, maar niet nood zakelijk.Voor die termen waarvoo reen Nederlandseuitdrukking bestaat is deze in detek st genoe md.

De behandelde stof biedt de nood zakelijke basisken nisomeen cursus"micro processo ren" of "compute rarchi tectuur" metsucces te kunnen volgen. Een belangrijk deelvan deze sto f vindt men in de hoofdstukken over besturingenen organisatievan digitaleschakelingen in het tweede deel. Dein dezehoofdstukken gepresenteerde stof isbasiskenni svoorhet on t-werpe n van logische schakelingen metbit-slice microp ro cessor en . Bij dezebouw sten en heeft men meervrijhe id in destructuurvan eenontwer p dan bij de standaa rd mi cropro-cessoren.

Men zou vraagtekenskunne n plaatsen bijhetopgenomengedee lte over relais en kont akt -schakelingen. De aanleidingtotdezetwij fel isde overheersenderol diede geïntegreerde circu itsspelen in de digitalescha keltec h niek. Het weglatenvan het gedee lte overko ntakt-scha kelingenzou evenw elonjuist zijn omdat deze schakelingeno.a.in de en ergietechniek veelvuldig worde n toegepast.Dein hoofd stuk 3 behand elde sto f, tezamen met de gro nd-slagen van delevelmode schakeltechniek in dehoofdstukken 6 en 7 maken dit werk ook voorenergiet echnici eengeschi kt leerb oek .Zijkunnen na bestuderingvan deze stof in staa tgeacht wordenom eenvoud ige vergre nde lschakelingen te ontwerpe n, ook als deze een seque ntieelkara kter hebb en. Overigen s ishetinz ichtdat andere bouwste nenspec ifie ke pro-blem en met zich meebr engen , zoals sluipwege n bij kontaktschakelingen,op zichreeds een motiv atie voor een beh and elin g.

In deel II worden in dehoofdstukken I I - 13algorit me nenschakelingen voor rekenkun-dige bewerkingen besproken. In dehoofd stukken 14 - 17 staat de organisatie vaneen di-gitalescha ke lingcentr aal. De beha nde ling is gebaseerdop de scheidin gin datap ad enbe -stu ring. Hoo fd-stuk IS beha nde lt de speci ficatievanbesturingenen hoofdstu k 16 de reali-satie. In hoofd stuk 17 word t diep eringegaan opde str uct uurvan digitale schake lingen, de organisatievorm van de schakeling. De laatste hoofdstukkenvan deel IIzijn gewijd aan en-kele onderwerpen uit detheori evan de sequen tiële machines. Onder ande re de compatibi-liteit srelatie, coderingspro bleme nen de reduct ievan toestan dstabellen worden besproken envan een math em ati sch ebasis voo rzien.

Voor een introductiecur sus digitalescha keltec h niekkunnenenke lemeer op de realisati e gerichte onde rwerpen worden overgeslagen . Eensuggestie voor eenselectieuitdeel 1is: H I- 10 devolgende par.: J.l - 1.3; 2.1 - 2.3/4 ;3.1 - 3.3;4.1 - 4.7 ; 5.1- 5.5 en 5.7; 6.1 - 6.2 (tot pag. 133); 6.3 - 6.5;7.1;8.1 - 8.4; 8.6 - 8.8; 9.1 - 9.6 en10.1 - 10.3 en voortsenkeleonderwerpen uit deel 2 die terplaat se worde naangegeven .

De au te urszijnveel dank verschuldigd aan ir. C.H.Eversdijk,wien s colleges de basisvorm en van het voor U liggend ewerk en aan vele stude nte n, die via hun examensen taakopd rach-ten voor een welkome terugkoppelinghebbengezo rgd.Med edoorhun inbr engisde oor-spronkelijke opzet op een aantal puntengewijzigd en aangevuld. Deprakti jkheeft geleerd dat een acti evebeheersingvan dehier gepresente erdestof de tijd, diebenodigd isomtot een betrouwbare proefschak elin gte kom en ,drastisch kanbeko rten. De tijd die men nodi g heeft om zich deze stofeigen te maken wordt snel teru gver diend. Om een actieve beheer-singvan de stof te vergemakkelijken iseen groo t aantal opgave ntoegevoegd. Sommige er-van gaan wat verder dan de behandelde theorie,of zijnereenaanvulling op . Een bundel met uitwerkingen van de opgaven verschijn t zodra deze gereed is.

De au teurs zijn zich bewust dat velen,direct of indirect, hebb en bijged ragenaan het tot stand komen van deze tekst.Behalve aan de reed s genoem den is inhetbijzonderdank ver-sch uldigd aan ir. F.Handokovoor zijn med ewerking bij het same nste llenvaneen voorlo-per van deze tekst ,aan ir. R.B. Koolhaasvoor zijn adviezen ophet gebiedvan de hard -ware en aan ir. C.l . van Spronsen met wie deze tek st geb ru ikt istijdenseen bed rijfscur-sus in de digitale schakeltechniek.

Mevr. E.H. Wiersum-Bat sheeft assistentieverleend bij het typenvan de verschillend e con-cep te n van deel I.

Een woord vanwaarderingaan demed ewerkersvande "Vere nigingvoor Studie- en Studen-tenbelangen te Delft"niet magontbrek en .Zijzijn het die er in kor tetijd ingeslaagd zijn een van vele slordige correcties voorzien manuscriptom te werk en in persklare copy. Voor opbouwende kritiek en suggestiestot verbeterin ghebb en de aute urseenopen oor. Uwsuggesties worden met belangstelling afgewacht en zullen verwerkt worde n in eennaar zij hopen spoedi gnoodzakelijke tweededruk.

Delft, januari 1979. A.P.Thijssen

5

iNHOUD DEEL I

O.

INLEIDING 9

1. SCHAKELALG EBRA, EEN ALGEBRA MET NULLEN EN ENEN

1.1. Digitale schakelingen en symbolische logica 14

1.2. De schakelalgebra 19

n _{1.3. Canonieke vormen van schakelfuncties 25}

0-1.4. Het ontbinden van een schakelfunctie naar zijn variabelen 29

Opgaven 30

Literatuur 32

2. HET VER EENVOUDIG ENVAN SCHAKELFUNCTIES

2.1. Het Karnaughdiagram 33

2.2 . Schakelfuncties met enkele niet-gespecificeerde

functiewaarden 39

2.3. Opmerkinge n over het gebru ikvan Karn aughdi agram men 42

2.4. Het formuleren van dekkingsproble men 44

2.5. Het Quine-McCluskey algoritme 49

Opgaven 52

Literatuur 54

7' 3. KONTAKTSCHAKELINGEN

3.1. Inleiding 55

3.2. De analyse van schakelingen met kontakten 58 3.3 . Enkele voorbeeldenvan kontaktschakelingen 62 ~n

3.4. Het ontwerpen van schakelingen met kontakten 65 3.5. Overgangsverschij nselen in kontaktschakelingen 69

Opgaven 71

Literatuur 73

4. POORTSCHAKELINGEN

4.1. Inleiding 74

4.2. Het ontwerpen met de bouwstenen ANDen OR 75 4.3. Het ontwerpen met de bouwstenen NANDen NO R 79 4.4. Combinatorische sch akelin gen enstandaa rd bouwst en en 83 4.5. Combinatorische schakelingenen leesgeheugens 87 4.6 . De realisatie van poortschakelingen met diodes 91 4.7. De realisatie van TT L-poortschakelin gen 95 4.8. Overgangsverschijnse len in poortsc hake lingen 99

Opgaven 102

Literatuur 105

5. ENKE L VO UDI G E GEHEUGENELEMENTEN

5.1. Geheugenwerking 107

5.2. Realisaties van gehe ugenelemen te n 110

5.3. Het SR

=

11 probleem bij gehe ugenele menten 112

5.4. Toepassingen 114

5.5. Het ontwerpen van schakelingen met gehe ugenwerki ng 118 5.6. Overgangsverschij nselen in schakelingen met gehe uge

n-werking 121

5.7. Symbolen voor trekkers 122

Opgaven 124

225 226 230 233 238 241 245 247 6. ANALYSE EN SPECIFI CATI EVAN LEV EL MODE SEQUENTIËLE

SCHAKELINGEN

6.1. De toestandstabel en het toestandsdiagram 126 6.2. De analyse van schakelingen met geheug en wer king 130 6.3. De specificatie van problemen met geheugenwer kin g 139 6.4. Een nadere beschouwing van don't care condities 145 6.5. Een mathematisch model voor level mode sequ entiël e

schakelingen 147

Opgaven 151

Literatuur 155

7. REALISATIE VAN LEV EL MODE SEQUENTI ELESCHAKELING EN 7.1. Aspecten van de realisatie van level mode sequen tië le

schakelingen 156

7.2. Het reduceren van toestandstabellen 162

7.3. Compatibiliteit van toestanden 165

7.4. Het opstellen van een gereduceerde toestandstabel 171 7.5. Het coderen van de inwendige toestanden 174 7.6. Keuze der bouwstenen en realisatie van het on twerp 180

Opgaven 184

Literatuur 189

8. FLIP-FLOP GEHEUG ENEL EMENT EN

8.1. Risico-analyse van level mode sequentiëleschak elin gen 19 1 8.2. Geh eug enelementengebaseerd op het Meester- en-Sl aaf

principe 196

8.3. Waarheidstabellen en formules voor D, T en J-K flip-flop s 200 8.4. Waarheidstabellen en formules voor S-R flip-flops 204

8.5. Overige types flip-flops 205

8.6. Timing van flip-flop geheugenelementen 208 8.7. Voorbeelden van flip-flop schakelingen 215

8.8. Symbolen voor flip-flops 217

Opgaven 220

Literatuur 224

9. TELL EN

9.1. Specificatie vantelsch ak elin gen

9.2. Synchron ebinairetelschakelingentot 2° 9.3. Asynchronebinaire telschakelingen tot 2° 9.4. Decade tellers

9.5. Tellenineen willekeurigecod e 9.6 . Symbolenvoor telschakelingen

Opgaven Literatuur 10. SCHUIFREGISTERS

10.1. Enkele toepassingenvan schuifregisters 10.2. Parallel-serie en serie-parallelomzetters 10. 3 . Parallel-parallel omzett ers

10.4. Modulo-2 terugg ekoppelde schuifregiste rs Opgaven Literatuur Antwoorden Register 248 254 257 260 266 267 a a 22

7

Inhoud DEEL 11

11. Opt ellen en aftre kke n 12. Vermenigvuldigenen delen 13. Codes en code-o mzette rs

14. Voorbeelde n van het on twerpe nvan digitale scha ke linge n 15. De specificatie van de best ur ing

16. De realisatie van de best ur ing

17. De organisatievan de data -over drac h t

18. De equ ivalen tie re la t ie en de compatibiliteitsrelatie 19. De reductie van toestandst ab ellen

20. Overgangsverschijnsele n encoderinge n bij level mo de seque n ti ële schakel inge n Register deel 1+ deel 2

Lijst van

sy

mbolen en afkortingen

EIJ exclusieve OF _~ verzameling maximale

+ logische OF compa t ibe le klassen

logische EN À uitgangs fun cti e

aanduiding NIET À uit gebreide uitgan gsfun cti e

don 't care AND logische EN-po ort

!I logisch e EN BIN binair

v logische OF BCD bina ry cod ed decimal

n

doorsnijding C aanduid ing klo kinga ng

U vereniging C co mmand input

E beh o ort tot CT n count = n

gelijk aan CT R count er

=I=- ongelijkaan D ingang D(elay ) flip-flo p

>

groter dan DTL diode-transistor logica

;;;, groter of gelijk d don't care

< kleiner dan E+ hoogste voedingsspanning

~ kleine r of gelijk E laagste voedingsspanning

--, _{uitste loperator EXOR exclusieve-OF poort}

compatibel met F false

'i-- incompatibel met FF flip-flop

-+

dyna mic input _fi i-de functiewaarde

~ negatie aan ingang f(x,y ,z) logische functie in x, y en z

---ti

polariteitsindicator H hoog

<q,i> geordend paar:qEQ en iE I HLD hold

[iI .. . in

1

rij van n ingan gss ym bolen I ingangsver zameling

a klokpuls INV invertor

13 klokpuls ingangscombinatie

r

q verzameli ng van vo or toe- lopende variabele

stand q gespe cificeerde J gespecificee rd ingan gswoo rd

inga ngswoord en J inga ng J-K flip-flop

.0.t vert ragingst ijd K ingang J-K flip-flop

.0.t_max max imal e vertragingstijd k lopende variabele

0 to estandsfunctie L laag

0 uitgebreide toe st andsfunc- LD load

tie Mi maxterm i

Mn mo de n _te tijd dat signaa lconstant

mod-2 modulo-2 moet blijven

NAND NIET-EN poort t_d propagati etijd

NOR NIET-OR poort t_h hold time

n variabele _ti inste lt ijd combinatoriek

n _{index, aanduiding n-de t}

p propagat iet ijd

klokpuls _t

pHL idem , bij Ho og-Laag

over-ns nanoseconde _gang

OR OF-poort _t

p L H idem,bij Laag-Hoo g

over-PLA programmabIe logic array _gang

PRaM programmeerbare ROM _t

p u1s pulsduur

Q toestandsverzameling _t

s kew clo ck skew

Q uitgang van flip-flop _{U uitgangsverzameling}

Qn uitgang na n-de klokpuls

_u/iS

_{omschakelingangOp/N eer}

q toestand _{V Volt}

R resetingang _{x ingangsvari abele}

RePROM herprogrammeerbare PRaM _{y toestandsvariabele}

ROM read-only memory y _aanduiding

geheugenele-S setingang _ment

s seconde _{z oude stand geheu gen}

ele-sO,SI instelingangen van schuif- _{ment Z}

register _{Z nieuwest and geh}

eugen-SHL shift left _{element Z}

SHR shift right

Zo trekker met over heersen de

T ingang T(oggle) flip-flop _reset

T periodeduur klok puls

Z\ trekker met overhee rsende

T true _set

TTL transistor-transistor logica

Zz trekker met extra ont houd T_{ske w} effectief beschikbare t_skew

stand

k 'er-eer nde nde oud 9

INLEIDING

Wat omvat de dig

itale

techniek

?

Om ons heen zien we steeds meer digitaal werkende apparatuur verschijnen. Vele so orten van apparaten, die reeds lang in de handel zijn, worden steeds meer in _ een totaalandere techniek gerealiseerd . Zijworde n "gedigitalisee rd" . Voorbeelde n zijn o.a. digitale klokken en horloges, meters,recorders, parkeermeters en par -keerautomaten, enz. Ook in de automatische telefonie breidt het aantal compu -tergestuurde telefooncentra les zich sterk uit. Een ander voorbeeld is de intrede van de computer in ons bestaan. Door de computer is het menselijk leven zo ingrijpend gewijzigd,dat het niet onwaarschijnlijk is dat verre nageslachten de mens van de 20e eeuw zullen aanduid en als de "homo digitalis".

Om deze explosieve groei van het gebruik van digitaal werkende apparaten te kunnen verklaren moet in de eerste plaats gewezen worden op de techniekvan het integreren van schakelingen. Deze techniek, vooralgestimuleer ddoor de ruimtevaart ,heeft het mogelijk gemaakt complexe systemen in kleine afmetingen en tegen redelijke kosten te realiseren. De aanzet tot de groei van de digitale techniekstamt echter van voor de ruimtevaart. Voorbeelden vinde n we reeds in derelais-automatieken van telefooncentrales. We kunnen de stormachtige intrede van de digitale technieken in ons bestaan niet geheel verklaren met de stimula ns die uitgaat van de ruimtevaart. Er moeten meer redenen zijn die aan deze groei van het aantal toepassingen ten grondslag liggen. Aan de hand van een eenvoudig voorbeeld zullen we trachten er enkele op te sporen.

Voorbeeld.Het op afstand zich t baar maken van de stand van een as.

Het op afstand zichtbaar maken van een bepaald gegeven (in dit geval de stand van een as) iseen vaak voorkomend prob leem. Van alle mogelijke middelen die ons hierbij ten dienste staan beperken we ons tot die mid delen waarbij de benodigde informatie elektrisch wordt overgedragen.

De informatie wordt gerepresen teerd do or een ele kt rische groot he id (st roo m of spanning). Dit signaal brengen we via een kabelverbinding over. Op de plaats van bestemming moet de informatie weer zich tbaargemaakt worden. Een van de mogelijkheden is als uitslag van een meter. Fig. 0.1 to ont een(vrij primi -tieve) oplossing van het probleem.

fig. 0.1. Continuepositiebepaling met span ningsdeler.

Op de as is een schijf Sgemo n t eerd, waarop een strook weerstandsmateriaal is bevestigd. De strook is aan eenzijde geaard. De afsta n dvan de.bo rstel b tot het aard punt bepaalt mede de totale weerstand inhet met ercircuit en dus de stroom door de met er. Indien de kabelweerstand gering is ten opzichte van de kringweerstand,dan zal de uit slag van demet er goedovereenkome n met de

positi evan de as. De gesche tste oplossing is eenvoorbeeld van een continue registratiemeth od e.

Bezien we deze oplossing van het probleem dangeven we als waardering: - een ruime voldo end e voor de eenvoud van de oplossi ng.

- een onvoldoende vo or de betrouwbaarheid. De betrouwbaarheid wordt negatief heinvlo ed do or:

een directe afhankelijkheidvan de batterijspanning.

de kabelweerstand is meestal niet verwaarlo osba ar en boven dien een func tie van temperatuur e.d.

overgangsweerstanden tussen borstel en weerst and sbaan zijn van grote invloed. In verband met deze afhankelijkheden is een vo ortduren de ijkingvan het systeem noodzakelijk.

Fig. 0.2 geeft een oplossing die met betrekking tot de betrouwbaarheid een ruime voldoende scoort. Op de as zit wederom een schijf met daarop een geaarde strook ter lengte van één achtste van de omtrek. Acht vast opgestelde bor st els bepalen nu de positie.

fig.0.2.Discrete positieb epaling,paralleloplossing.

De bereikbare nauwkeurigheid van de oplossing met vast opgeste lde borstels in fig. 0.2 lijkt geringer dan die van fig. 0.1. Dit isech ter schijn, omdat het aantal borstels vergroot kan worden. Uiteraard wordt de realisatie daarmee duurder. In fig. 0.2 is de positie van de as in een zg. acht-eenh eden code vastgelegd:

positie 0 ~ 00000001 positie I ~000000 I 0

positie 7 ~ 10000000

,.

.

Deze codering kan ech ter veel efficiënter geschieden. De fig.0.3 en 0.4 geven twee uitvoeringen van een'code sch ijf waarmee de acht posities in een drieeen -heden code zijn vastgelegd.

Vergelijken we de oplossing in fig. 0.2 met die uit de figuren 0.3 en 0.4, dan maken beide laatste oplossingen een efficiënter gebruik van o.a. de kabelverbinding.De laatste twee oplossingen gebruiken slechts drie aders. Van deze twee heeftde o plos-sing in fig. 0.4 verre de voorkeur boven die in fig. 0.3. Dereden is de volgen de:

I I

::=dH~==gesp

.

-:: bin.code

fig.0.4. Codeschijfin de gespiegeld binaire

rr

:;:::::=== binaire

_ _"""," code

Stel dat de borstels in fig. 0.3 staan in de stand 7, d.w.z. alle drie geaard. Bij verdraaiing naar de stand 0 (geen geaard) kunnen, afhankelijk van de exacte positie van de borstels, een aantal tussenmeldingen gegeven worden. Stel dat de borstels op de buitenste en binnenste ring niet geheel goed staan,zodat de stand 7 [I I IJ overgaat in [0 I I] en via [0 10] tenslotte in stand 0 [000 J. De

I geeft aan dat de borstel geaard is, de 0 dat de borstel dit niet is.

Wezien dat tijdens de overgang van stand 7naar stand 0 schijnbaar de standen 3 [Ol I Jen 2 [OIO] optreden.

fig.0.3. Cod eschij fin degewone binaire code.

De codeschijfin fig. 0.4 heeft geen last van deze overgangsverschijnselen dank zij de toegepaste progressieve code. Tijdens elke overgang verandert slechts op één positie het signaal. We moeten dus altijd kiezen tussen twee naburige posi -ties, en dat is precies het gebied waar de as zich in bevindt.

ed. eern

iÏme

al

Het bovenstaande voorbeeld beoogt niet het probleem van de stand bepaling van een draaiende as voor eens en altijd op te lossen. Het voorbeeld duidt wel op een van de meest essentiële problemen van de digitale techniek:met betrouw:' bare componenten behoeft nog niet altijd een betrouwbare schakeling te ont-staan. Een juiste keuze van de systeemopzet is van essentieel belang voor het eindresultaat. Voor een goed ontwerp van een digitale schakeling is nodig: - kennis van de beschikbare componenten (wat is mogelijk)

- inzichtin de factoren die een correcte werking van de schakeling nadelig kun -nen beinvloeden (storingsbron-nen)

- ontwerpmethoden waarbij op voorhand rekening wordt gehouden met sto-ringsbronnen (systeemop zet).

De behandeling van de componenten wordt in het volgende beperkt tot die e i-genschappen ervan die van belang zijn bij het logisch ontwerp van de schakeling, de systeemopzet dus. De lezer zal in dit boek tevergeefs een uiteenzetting zoe-ken over bijvoorbeeld het geleidingsmechanisme in halfgeleiders en andere on-derwerpen. Kennis hiervan gebruikt de ontwerper van digitale apparaten niet rechtstreeks bij zijn systeemopzet.

maken Ie

oplos-Tweewaardige comp.onenten

?

In de digitale techniek worden vrijwel uitsluitend tweewaardige componenten toegepast:

- een transistor geleidt of geleidt niet - een relais is bekrachtigd of niet bekrachtigd - een schakelaar is gesloten of open

enz. Het is echter mogelijk de stroom door een tra nsis to r over een vrij ruim ge-bied te variëren.Wat is de reden dat men slechts detweeuiter sten gebruikt? Het antwoord moet gezocht worden in de gewenste betrou w ba arh eid van het systeem. Alsvan een transistor uitsluitend de twee uit erste n van de geleidings-toestand gebruikt worden, is een grote mate van onafha nkelijk he id van de para -meters van het element zoals versterkingsfactore.d .verkre gen. Vervanging en af-regeling zijn dan uiterst eenvoudig.Door sle ch ts de twee uiter st e waarden te be-nutten is de uitwisselbaarheid van onderdelen op ti maal. Men kan als bezwaar opwerpen dat een afrondingsfout wordt geïntroduceerd als men de waarde van grootheden met een continu waardeber eik met discrete stappen vastlegt. Verge -lijk o.a.het vastleggen van de stand van de as in de figuren 0.1 en 0.2. Echter, de waarde van elke continue grootheid is slechts binnen een bepaalde to leran tie bekend. Zo zijn variaties in de batterijspanning in fig. 0.1 van directe invloed op de nauwkeurigheid. De positiebepalingin fig. 0.2 kan dus even nauw keurig geschieden alsin fig. 0.1 indien men het aantal segmenten aan de omtrek groot genoeg maakt .Nu geschiedt de verd ere verwerk ing van con tinue sign alen altijd met een zekere onnauwkeurigheid..De verwerking van discrete groo theden in digitale schakelingen kan met een willekeurigte kiezen nauwkeurigheid worden uitgevoerd. Uiteraard kost een nauwkeurige verwerking van gegevens in een digi-taleschakeling meer tijd en/ofmateriaal.

Binaire talstelsel

In de digitale schakeltechniek worden om bovengenoemde redenen vrijwe l uit-sluitend tweewaardige componenten toegepast. De ingangs-en uitg ang ssign alen van deze componenten worden daarom binaire signalen gen o emd.

Om meer dan twee niveaus van een continu signaal te kunnen onde rscheide n zijn dus verscheidene tweewaardige signalen nodig. Aan elk signaalniveau word t één (of soms meer dan één) combinatie van waarden van de tweewaardige sig-nalen toegekend. Dat deze toekenning niet altijd probleemloos is leert onseen vergelijking van de fig. 0.3 en OA. Algemeen geldt dat met k binaire signalen of variabelen ten hoogste 2k _{niveaus kunnen worden onde rscheiden. Zo kunnen de} decimalegetallen 0 t/m 7 met drie binaire variabelen (bits) worden ge codeerd. Een van de meest gebruikte codes staat in tabel 0.1, het is de gewone binaire code. getal/ gewicht combinatie 2221 2° 0 0 0 0 I 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 I 0 7 1 1 1

e- 'a-af - Je-n ;e -:ie .n g i-ft n of de 13

De binaire variabelen (bits) krijgen van rechts naar links een gewich t toegekend dat gelijk is aan opeenvolgende machten van 2, het grond tal van het binaire tal-stelsel,De binaire code is uitbreidbaar tot een willekeurig aantal bits. Het cor-responderende decimale getal wordt gevonden als die machten van twee bij el-kaar opgeteld worden waarvoor een I genoteerd is in de desbetreffende kolom. Afhankelijk van bepaalde toepassingen worden ook andere codesgebru ik t. Een vo orbeeld hiervan is de toepassing van de gespiegeld binaire code in fig. 0.4. De taak van een ontwerpervan digitale schakelingen begint met het opstellen van een specificatie van de te realiseren schakeling. In deze specificatie wordt degewenste werking vastgelegd. Vervolgens worden de realisatiemogelijkheden onderzo ch t, waarbij de beschikbaarheid van de bouwstenen een rol speelt. Ook aspecten zoals het afwegen van serie-nplossingen (veel tijd) versus parallel-oplos-singen (veel materiaal) behoren hiertoe. Tenslotte de bouw van de schakeling, waarbij de fysische eigenschappen van de componenten een rol spelen. Hulpmid -delen, zoals de schakelalgebra en gedeelten van de theorie der sequentiële scha -kelingen, komen nog uitvoerig aan deorde. Zo ook de beperkingen van deze hulpmiddelen.

1. SCHAKEL

ALGEBRA,

EEN ALGEBRA MET NUL

LEN EN ENEN

1.1. Digitale schakelingen en symb

olische

logica

Iederontwerp van een digitaleschakeling begin t met het omschrijven van de gewenste werkin g. Zo 'n eerste beschrijving zal als regel vaag zijn, terwijlook het probleem meestal verre van co m p leet is on de rzo ch t. In een aantal gesprekken tussen opdrachtgever en ontwerper ontstaat een meer gedetailleerd beeld van de bedoelingvan de opdrachtgever. De ontwerp er van digitale schakelingen heeft tot taak alle wensen van deopdrachtgever zo te omsc hrijven dat he t mogelij k is een apparaat te bouwen, met tweewaardige bouwsten en , dat aande bedoeling van de opdrachtgever tegemoet komt.

Wat kan men nu met één binaire (= tweew aardige )variabele beschrijven? Is het bijvoorbeeld mogelijk met een binaire variabe le A aan te geven of een voorwerp rood of groen is?Men kan stellen met A= 0~ ro od en met A= I ~groe n de juist e kleur vast te leggen . Deze 0 en 1corres po nderen met detwee waard en die een binaire variabele kan aan ne men. De geste lde vraag is hiermee op het eerste gezicht bevestig end bean twoord .

Het kan ech t er ook gebe ure n dat bij onderzoek van het voorwerp de kleur o ran-je blij kt te zij n, dusnoch rood nochgroen. Er bestaa t in dit geval eenderde mogelijkheid , nl. geen van beid e genoem de kleure n.

Conclusie.

Met één binaire variab ele kan niet worden aangegeven ofde kle ur rood of groen is, indien andere kleuren niet zijn uitgesloten. Kenmer ken die zich beterlen en om met één binaire variabele te word en vastgelegd zijno.a.:

rood - niet rood raam ope n - raam dicht

spannin g hoog- span ni ng laag (precies twee niveaus mogelij k ) kontakt ope n - kontakt geslo te n.

Sommige begrippen of kenm erken kunnen niet word en beschreven met binaire grootheden, zo als deintuïtieve begrippen:ongeveer, bijna,misschien , e.d. Ook geldt dit voor de veel voorkomende overgangsverschijnselen in de techn iek, Lh.a. dynamische toestanden genoemd. Het gedragin destatische toestanden kan echter wel met binaire grootheden worden beschr even.

Definitie.

Een propositie is een uitspraak die precies twee waarden kan aannemen , welke meestal worden aangeduid met "waar" en "n iet waar" (" tr ue" en "false" ). In het algemeen kan men stellen dat slechts die eigensch appen, kenmerken of verschijnselen met binaire grootheden kunnen worden beschreven waarop één of meer proposities "passen".

Dat wil zeggen dat de van belang zijnde kenmerken in proposities ku nne n wo r-den uitgedrukt. Meestal wordt het waar zijn van een propositie aangegeven met T (true), het niet waar zijn met F (false). In de digitale schakeltechniek gebruikt men vaak de logische I (waar) en de logische 0 (nie t waar). Staat Z voor de uit -spraak

~N .et ie is et In-15

dan betekent Z

=

T of Z

=

I dathet regen t en Z

=

F of Z

=

0dat he t niet re -gent. De logische 0en I geven de waarheidswaarde van de betreffende propositie aan.

De begrip pen propos itie en wa arheidsw aarde st am me n uit de symbolis che logica. Alseen bela ngr ijke publicatie op dit gebie d wordt besch ou wd

"An lnvest iga t io n of the Laws ofThought"

van George Bo ol e in 1854. Naarhem wordt de no g te behan d el en schakela lgebra wel de Bo ol e alge br agenoem d. Een wiskundige verstaa t on de r een Bo ol e alge br a echter weliets me er dan de simpel e collect ie re kenregel sdie een schake ltech n i-cus eronder verstaat!

Bewe

rkinge n

i

n

de sy

m bolisc he l

ogica

In fig. 1.1 is een serieschakeling van twee maakkon tak te n a en b ge te kend. De fu nctie van de schakeling wordt vast gel egd me t denaast de figuur gege ven uit-spraken A, Ben S.

A:"He t kontakt a geleidt"

~~"--

_,

B:"Het kontakt b geleidt"

~

s

5: "De keten geleidt"

en

fig.1.1. Serieschakelingvan kontakten.

Tussen de waar he id swaarde n van A en Benerzijdsen S an de rz ijds best aat een direct verban d. Dit verban d is gegeve n in de tab el 1.1 via T en F en in tabel 1.2 met I en O.Tabell en , diehetverband tussen dewaarheidswaarde van verschil-len de uits p r ak en vastleggen , worde n waarheidstabe llengen oe md ttrutli tabie).

A B S A B S

F F F F +-r0 0 0 0

F T F T +-rl 0 1. 0

T F F I 0 0

k, T T T I 1 I

tabel 1.1. De operatie EN tabel 1.2.De operat ie EN inwaarheidswaarden. in 0en 1.

Het ver b an d tussen de uitsprak en A en B en S kan ook in een fo r m ule worden uitgedruk t via de logische operat ie EN:

S= AEN B.

De opera t ie EN drukt uit dat Ssle ch t s waar is als zowe l A als B waar is. We kunnen de tabelle n 1.1 en 1.2 dus ook zie n alseen definitie van de logische EN. De operatie EN wordt met verschille nde symbolen aangeduid in de literatuur: :t

ikt

Behalve de logische operatie EN kennen we ook de logische operaties OF en NIET. Van de opera tie OF zijn twee verschillende definit ies in omloop, de zg. "inclusieve OF" en de "exclusieve OF", gegeven in de tabellen 1.3 en IA.

A B S A B S

F F F F F F

F T T S=A+B F T T S=A EIl B

T F T T F T

T T T T T F

tabel 1.3. De inclusieveOF. tabel1.4.De exclusieveOF.

In het volgende wordt onder de operatie OF altijd de inclusieve OF verst aan , tenzij uitdrukkelijk is vermeld dat het de exclusieve OF betreft. Men kom t de exclusieve OF niet vaak tegen. De inclusieve OF word t vaak aangeduid met de symbolen

OF, v, + de exclusieve OF met

EX-O F, EIl.

In deze tekst is gekozen voor het "-t:" tek en en het tek en "EIl".

De operatie NIET dient om de ontkenning van een uitspraak A aan te geven. Mogelijkeschrijfwij zen zij n:

NIET A,A, ---'A en -A.

De operatie NIET word t in deze tekst als regel met een streep boven de uit-spraak aangegeven. Tabellen 1.5 en 1.6 geven het verband tussen de pro po sities A en

A

(lees: niet A):

!i1

Ä

F

T

T F 0+-+ F l+-+T

m

·

Ä

o

I I 0

tabel 1.5. De operatieNIET in waarheidswaarden.

tabel1.6.De operatieNIET in 0en 1. Voorbeeld .

In fig. 1.2 is de parallelschakelingvan twee kontakten a en b getekend. De l o-gische functie wordt weer gekarakteriseerd door de proposities A,B en Szoals deze reeds zijn geïntroduceerd bij de serieschakeling van kontakten.

A: ..Hel kontak I a qeleidt" B: "Het kontakt b geleidt.. 5: "De keten geleidt"

s

rn

A B S mB F F F 0 0 0 F T T 0 +-+F 0 I 1 T F T I +-+T I 0 I T T T I I I

tabel 1.7. De opera tie OF in tabel 1.8.DeoperatieOF waarheidswaarden . in 0 en 1. zg. Ie je :ies 17

Vo or de parallelschakeling van kontakten bestaat een verband tussen de uitspra-ken A,B en S, zoals dit in de tabellen 1.7 en 1.8 is gegeven. Een vergelijking met tabel 1.3 leert dat de parallelschakeling van kontakten gezien kan worden alseen realisati e van de logisch e operat ie OF.

Voorbeeld. Specificatie van een druktoets.

De functie van een druktoets kan men beschrijven met de volgende twee propo-siti es :

D: "De toets is ingedrukt" G:"Het kontakt geleidt".

Is het verband tussen de waarheidswaarden van D en G als volgt (in nullen en enen):

D

=

0 +-+ G

=

0 en D

=

I +-+ G

=

1

dan heeft drukken tot gevolg dat er een geleidende verbinding on t st aat. Het betreffend e kontakt wordt een maakkontakt genoemd.

Blij kt het verband ech t erte zij n:

D

=

0 +-+ G

=

1 en D

=

I +-+ G

=

0 dan noemen we het kontakt een verbreekkontakt.

Voorbeeld. Toekenning van waarheidswaarden.

Van een elektronische bouwsteen is gegeven dat de in- en uitgangsspanningen twee niveaus kunnen aannemen, aanged uid met L en H (laag en hoog). Het ver -band tussen de twee ingangsspanningen Y en Z en de uitgangsspanning S is ge -geven in tabel 1.9. Y Z S Y Z S Y Z S o- L L L F F F F F F als L H H L+-+F

t

F T T L+-+T

r

F T F H L H H+-+T T F T H+-+F T F F H H H T T T T T T

tabel 1.9. Functiebeschrijvin g tabel 1.10. Waarheidstabel tabel 1.11.Waarheidstabel Sprek en we af dat een lage uitgangsspanning overeenkomt met de waarheidswaarde F en een hoge met T, dan is tabel 1.10 de corresponderende waarheidstabel. Een vergelijking leert dat deschakeling de logische OF realiseert. Correspondeert daarentegen L (laag) met T (true), dan behoort tabel 1.11 bij tabel 1.9. Deze tabel beschrijft echter de logische EN.

Conclusie

Dezelfde schakeling kan soms meer dan één logische bewerking uitvoeren, af-hankelijk van de afgesproken toekenning van T en F (of van 0 en I). Het is daarom van essentieel belang vaste afspraken te maken over de interpretatie van logische spanningsniveaus.We komen op deze problematiek nog uitgebreid terug.

D

e toew

ijzing

van b

inaire

var

iabelen

Op relais kunne n maakkontakten, verbreekkontakten en/ofwisselkontak ten g e-monteerd zijn. Meestal geven we in tekeningen het relais met een hoofdletter aan en dekon t ak ten met kleine letters. Teneinde het verband tussen de bekra ch-tigingstoestand van het relais en het geleidend zijn van een erdoor bediend k on-takt zo goed mogelij k te laten uit kom en , no teren we bij een maakkontakt van een relaisZ de binaire variabele z en bij een verbreekkontakt de binaire variabele

z

.

Zie fig. 1.3 . reloi s

~A-maakkonta kt of

~

verbr eeKk ontak t

wisselkont akt fig. 1.3.Toekenn ing vanlogischevariabe len aan kontakten.

Bij een wisselkontakt mo et aan maakzijde z en aan verbreekzijde i worden ge -noteerd. Meestal volstaat men met z in het midden. De notatie

z

bij het ver -breekkontakt heeft als voordeel dat de belettering in de formule niet afwijkt van die in de tekening.

Voor elek trotechnische tekeninge n is de volgende afspraak van toepassing: Kon t akt en van relais worden in tekeningen getekend in de stand waarin zijstaan als het bijbehorende relais niet is bekrachtigd. Bij druk toe tsen is dit de stand waarin het kontakt staat als er niet gedruk t wordt. Van schakelaars met twee stabiele standen wor dt derust st and getek e nd ; welke de rust- en welke de werk-stand is wordt bij afspraak vastgelegd .

Opmerk ing

In de praktij k kan deze tekenregel ertoe leid en dat verschille nde kontakten in een stand geteke nd staan waarin zij in het betreffende apparaat ged urende de wer kcy c1us no o it zullen staa n.

Het volgen de voorbeeld toon t een pro bleem , dat via een uitdrukking in de ge -intro duceerde logisch e operatoren kan worden geformuleerd.

Voorbeeld

Iem and mo et boodscha ppen doen en heeft op zijn boodschappenlijstje staan: bo ter (t), sui ke r (u), aspiri ne (v), drop (w), koekjes (x), brood (y) en vleeswaren (z). Ta bel 1.12 geeft eenoverzich t waar de diverse artikelen verkocht worden.

van :rug. ~e -ach -on -.n -ele ~e -van nd n 1 .e tren n. 19 u v w x y z Kruidenier A x x x x x x x = verkrijgbaar Drogist B x x Melkman C x x x x Bakker 0 x x Slager E x

tabel 1.12 .Over zichtverkrijgbaarheid van boodschappen. Zij S een binaire groothei d die voo rst elt de proposit ie

S: "Boodschap pe nl ijstje afgewerkt".

Om aan boter (t) te komen moet een bezoek worde n gebracht aan de kruide-nier of aan de melkman. Dit is in een formule uit te drukken:

Sbater = (A +C) waarbij A aangeeft:

A: "Bezo e k de kruidenier" C: "Bezoek de mel km an ". Evenzo moet suiker worden gekocht :

\

Sbaterllsuiker = (A+C)' A.

Alle boodschappen kunnen worden gekocht alsde volge nde uitdrukking waar is: S= (A+ C) 'A ' B'( A +B+C)' (A +C+ D)'(A +D)' (A +C+E).

Uit tabel 1.12 vindt men bij nadere beschouwing weldra dat hetvoldoende is om ZOwelde kruide nier als de drog is t een bezoek te bre nge n. Inderd aad blij kt bij invullen van"A is waar" en "B is waar" in de formulevoor S ook S waar te zijn. De boodschappenlijst kan dus ook worden afgewerkt als

S= A'B

is. He t stelselrekenregels waarmee de form u le voor S teru ggebracht kan wo rden to t de laatst gegeven vorm wordt in de nu volgend e paragraaf beh andeld.

1

.2

.

De

s

chakelalgebra

In fig. 1.4.a en fig. 1.4.b zijn twee kontaktsch ake linge n geteke nd waarva n de werking in tabel 1.13 is beschreven.

Beid e scha keli nge n leidentot dezelfd e tabel, en worden daarom logis ch equi va-len t genoemd.Wordt gelet op overga ngsve rsc h ijnse le n, dan kunnen logisch eq ui-valente schakelinge n echterweldegelijk in gedrag versc h ille n. Niet ech te r in de sta tisch e toest and.

Omdat de beide formules tot dezelfde waarh eid st ab el leid en , mo et het mogelijk zijn om ze met bepaalde rekenregelsin elkaar om te reke ne n:

fig. IA. Equivalen teschakelingen, S = Y'z + y·z + Y' z = Y'z + Y'z + y·z = Y'z+ Y'z+ Y'z + y·z = (y + y). z + Y' (z+ z) =1'z+ Y'1 =y+ z y z S 0 0 0 0 I I I 0 I I I I tabcl1.13. Waarheidstabel.

mits verandering van volgord e mag mits Y'z := Y'z + Y'z

mits o.a. Y'z + Y'Z = (y + yj-z mits Y + Y= Ien z +

z

= I mits I'Y:= y.

[

Achter elke regel in bovenst aand e afle id ing isver meld onder welke voorwaarde(n ) de betreffen de stap istoegest aan. (De I in een formule duidt bij k ontaktschake-lingen aan dat de betreff end eket en geleidt.)

Onderzoek en we de boven verm elde voorwaard en voor kon t ak tsch ak elin gen dan blijkt dat daaraan alt ijd wordt voldaan .Het zel fd e zal blij ken voor de nog te be-handelen ele kt ro n ische of mechanische realisat iesvan logisch e bewerkingen en functies.

Het stelsel rek enregels volgens welk e bep aald e form u les in andere (meest al e en-voudiger e) form ules kunnen wor den omgereke nd , wordt aangeduid met de naam

schakelalgebra. Het volgende stelsel blijkt in de praktijk pre ttig han teer baar.

Schak

elalgebra

Volgorde van bewerkingen

In de schakelalgebra wordt als volgord evo or deverschillende logische b ewerkin-gen aangehouden:

I. Voer eerst alle inversies uit

2. Daarna allelogische bewerkingen EN, aangeduid met 3. Tenslotte de bewerkingen OF, aangeduid met +.

Deze volgorde kan worden gewijzigd met haken, zoals dit in de norm ale algebra ook geschiedt. Allelogische formules moeten volgens dezeregelswor den geïn ter-preteerd.

Rekenregels voor constanten

Voor de constanten 0 en I gelden de volgende rekenregels: 0+0=0 0+1 = I I +0

=

I I

+

I = I 0'0 = 0 0'1 = 0 1'0= 0 1'1

=

I 0=1 1=0

21

De 0 en I zij n de enige constant en die voorkomen in de schakelalgebra . Zij ko-men overeen met "niet waar" en "waar" uit desymbolischelogica .

La Lb z+ z= z

Z'z

=

Z

Rekenr egels voor logisc he variabelen

I.De gelijk she idswe t

Deze wet zegt dat in een logische som of produkt id ent ieke termen mogen wor-den herh aald . Voor kontaktschakelingen betekent deze wet dat herhalingvan dez elfde kon ta k t keten in serie- en parallelschakelingen is toegestaan , maar in we -zen overb odig is. Voor de schakelalgebra betekent de gelijkhe idswet dat coëf fi-ciënten en machten van getallen anders dan 0en 1niet voorkomen.

2.De associatieve wet

(x+ y) + z= x + (y + z)

(x·y )·z = x·(y ·z)

2.a 2.b

Deassoci atieve wet zegt dat bij de int erpr et ati e vaneen logisch e form u le de

aangeho uden volgordevan id en t ieke logische bewerkingen onbe lang rijk is.

Volgens deze wet mag men de volgor devan term en in een logisch e som resp.

Produkt naar behoeve wijzige n .

Deze wet geeft aan ho e haakje s binne n resp. uit een fo rmul e kunnen word en ge

-bracht.Het is voor deze wet interessant de met dezelogisch e uitd ru kkinge n ove r-eenkomende kontak tschake linge n te bekijk en. Fig. 1.5 geeft de sch ake ling beh o -rend bij regel 4.a

4.a 4.b 3.a 3.b x+ Y'z = (x + Y)'(x + z) x-Iy +z) = x'y + X'z y +z =z +y Y' z= z'y 3.De com m u tat ieve wet

4. De distributieve wet n)

fig.1.5. Dedistributievewet in kontaktschakelingen.

De schakelingen zijn logisch equi valen t. De eerste schakeling bezit drie kont ak-ten en verdient uit het gezich ts pun t van mat eriaalgebruik de voorke u r. De d is-tributieve wet kan gebrui kt word en als een hulpmidd el bij het vereenv oudigen van schakelingen.

5. De modulus wetten O+z=z I·z = z I +z= I O·z= 0 S.a S.b S.c S.d

De modulus wetten beschrijven hoe formules met constanten en logische varia -belen moeten worden geïnterpreteerd.

6. De negatie wetten

z+z= z·z= 0

(z) = z

y +z=y ·z

y·z=y+z De wetten van De Morgan

6.a 6.b 6.c

6.d 6.e

De negatie wetten 6.a t/m 6.e beschrijve n de grondregels,volgens welke de uit-drukkingen waarin inversies voorkomen moeten worden geïnterpreteerd. De w et-te n 6.d en 6.e worden de wetten van De Morgan genoemd. De Morgan behoort

evenals Boole tot de grondleggers van de symbolische logica.

7.De absorptie wetten z+y·z=z z·(y + z) = z y + y·z = y + z y.CY +z) = y-z x·y + X·z + y·z = x·y + X·z (x + y)·(x +z)·(y + z) = (x + y)·(x + z) 7.a 7.b 7.c 7.d 7.e 7.f De absorptie wetten zijn veree nvo ud igingswette n. Deze wetten geven aan dat een bepaald e term in een formule resp. een tak in een schakeling overbodig is. So m s ech te r gebru ikt men deze wetten ande rso m . Do o r het toevoegen van ter -men ishet som s mogelij k de invlo ed van hinderlijke overgangsverschij nselen uit te slu it en.

Ond er de wette n genoe md onder I t/m 7 kome n een aantaloverbodige wetten vo or , d.w.z. wetten die direc t afle id ba ar zij n uit eerdergegeven wetten. Het ge -geven ste lsel blijk t in de prakt ijk ech te r uit ste kend te voldoen. Men kan zich veel werk besp aren bij het gebruik van de abso rp ti ewette n , hoewel zij in wezen voor de defini tie van de sch a ke lalgebra overbodig zijn.

Het bewijzen van schakelwetten

Een formee l bew ijs voor de juisthe id van de bo ven beschreven logische wetten kan men leveren via een waarheidstabel. Linksvan de vertikale streep zet men alle mo gelijke com bi na ties van waarheidswaarden van de lo gische variabelen,

rechts zet men in twee verschillende kolommen de waarheidswaarden van de lo gisch e uitdruk k ingen links en rechts van het gelijkteken in de wet. Zijn deze

Voorbeeld

Bewijs de wetten van De Morgan.

y z y+z

Y·

z

y z y·z

Y

+

Z

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0

tabel 1.14. tabel I.IS.

Het bewij s voor de absorptiewetten kan men ook geven op grond van de eerder gegeven wetten.

H

et

begrip duaal in de

schak elalgebra

In de Bo ole algebra kent men het begrip duale vorm van een formule. Als een bepaalde uitdrukking waar is, dan is ook de dualevorm ervan waar. De du-alevorm van een uitdrukking ontstaat als volgt:

- Vervangelke +door· en elke • door +in een uitdrukking - Vervang elke 1 door 0 en omgekeerd elke 0 door 1.

Het bewijs dat als een bepaalde uitdrukking of bewering juist is ook de d ua1e vorm ervan juist is, wordt geleverd in de Boole algebra. In de schakelalgebra komt het begrip duaal veel voor. Alle schakelwetten hierboven zijn gegeven in paren. Bij onderzoek blijken de twee wetten in elk paar elkaars duale vorm te zijn. Een schijnbare uitzondering vormt wet 6.c. Van deze wet zijn de gegeven vorm en de duale vorm ervan aan elkaar gelijk. Vanwaar deze belangstelling voor het begrip duaal in de schakelalgebra?

Een mogelijk gebruik van de dualiteit van twee wetten bij de bewijsvoering ervan ligt voor de hand. Zo is wet 7.e gemakkelijker te bewijzen dan wet 7.f. Is echter 7.e bewezen dan is daarmee ook 7.f bewezen.

Het gebruik van het begrip duaal in de digitale techniek gaat echter veel verder. Vergelijk en we tabel 1.9 met de tabellen 1.10 en 1.11 dan zien we dat de elek-tronische schakeling die door tabel 1.9 wordt beschreven in het ene geval de logische OF realiseert en in het andere geval de logische EN:

Voorbeeld

Bewij svan wet 7.a:

z+y·z = l·z+y·z = (l +y)·z

=

l·z = z Bewijs van wet 7.d: y.(y +z) = y.y +y·z = 0 +y·z = y·z (via 5.b) (via 3.b en 4.b) (via S.c) (via S.b) (via 4.b) (via 6.b) (via S.a)

S=Y+ Z resp. S =Y-Z.

Beide logische form ules zijn duaal ten opzichte van elkaar. Dit is geen toeval, zoals de volgen d e stelling aangeeft:

Stelling:

De logisch e funct ies dieontstaan bij de twee mogelijke interpretaties van H(oog) en L(aag) alsT(rue) en Fta lse) van eentabel diede elek-tr isch e werking vaneen bouwsteen beschrijft, zijn elkaars duale vorm.

Bewijs:

r- --- ---

----

-1

,

I , bes.chrijv ing in Hloog) en Llaag). I I

'

-fig. 1.6.

Zij gegeveneenele me nt wer ken d volgen s een beschrijving in H en L. Een

beschrij-ving in F en T volgens de to ekenn ing

F-+ L, T -+H

onts taa t door de in- en uitgan gen te voorzien van de getekende omzetters. Men

bede nke ech te r dathet alte rna tie f,

F-+H, T -+L

bereikt kan worden door vóórelke ingang en uit gan g een z.g. invertor te plaat

-sen die de bewerking NIET uitvoert. In descha kelalg ebra bet eken en deze inver

-sies

S= a-b+ c-d - - - + ) S*= a-b +c-d

= (a + b)- (c+d).

Nu zijn de schakelf u ncties S en S* echter elkaars duale vorm. Dit geldt ook voor een willek eurigeschakelfunctie.

Het systee m van to ek enning

F -+L en T -+ H

wordt het syst eem van deposit ieve logica genoe md. Het alternatief

F -+H en T -+L

het systee m van de negatieve logica. In de praktijk wordt tegenwoordig vrijwel

1.3.

Canonieke vormen van schakelfuncties

Voorbeeld

Zij gegeven een schakeling met drie binaire uitgangssignalen x,y en z. Aan deze signalen wordt het volgende gewicht toegekend:

Zo correspondeert met de combinatie xyz= 110 het getal

Gevraagd word t een schakeling te ontwerpen die signa leert ofhet met een b e-paalde uitgangscombinatie corresponderende getal groter dan of gelijk aan 3 is. Tabel 1.16 specificeert de gewenste lo gisch e werking van de schakeling. (In plaats vanT en F gebrui ken wc voor ta an I en 0.)

g x y z S x y z S 0 0 0 0 0 0 0 0 _fo I 0 0 I 0 0 0 1 f₁ 2 0 1 0 0 0 1 0 f₂ 3 0 1 1 1 0 1 1 f₃ j- 4 1 0 0 1 1 0 0 f4 5 1 0 1 1 1 0 1 f₅ 6 1 1 0 I 1 I 0 f₆ 7 1 I I I 1 I 1

r,

tabel1.16.Specificatievaneen tabel1.17.Waarheidstabel vaneen

schakelfunctie. willekeurigeschakelfunctie.

De logische formule die behoo rt bij tabel 1. 16 is

S = x'Y'z + x·y·z +x'Y 'z + x·y ·z + x·y ·z. -Deze formule kan worden veree nvo udigd tot

S=x +y·z.

Met deze laat st e stap zijn we geko me n tot een beknopte formulering van de werkingsvoorwaarden van de te ontwerpen schake ling .

Opmerking

In het vervo lg wor dt de verm enigvuldigpunt, waarm ee men de logische bewerking EN aand uidt, weggelat en wan nee r dit deduidelijkheid van de formule niet scha ad t.

D

e

m

int ermvorm va

n

sc

hakelfu nc ties

In het bovens taan de vo orb eeld is de specificatie van de gewenste werking van de scha keli ng gegeven in waarheidstabel 1.16. In het algemeen kan een uitgangs-signaal twee waarden aanneme n ,zoals in waarh eids ta bel 1,17 is beschreven. Elke fUnctiewaarde f_j (hier 0 ~ i~ 7) is een bin aire groo the id, die afha n ke lijk van het beschreve n probleem de waar d e 0 of 1 aanneemt. Zo is van een schakeling die mo et aangeven of het aangeboden getal in het vorige voorbeeld even (l) of oneven (0) is:

Algemeen geldt:

Een waarheidstabel met n ingangsv ariabelen kan 22n verschille nde schakelfunc-ties beschrijven. Niet elke functie in n variabe len is ech ter even zinvol. Zo is de schakelfunctie met f

_o

tlm f₇ gelijk aan I identiek met de logisch e I. En om deze voor te stellen zijn geen drie binaire variab elen no d ig!

Tabel 1.17 leidt tot een st and aardvo rm (een som-van-p rodukt en vorm) van een schakelfunctie in drie variabelen:

S= xyz·fo + xyz·fJ + xyz·f2 + + xyz·f6 + xyz-f.,

= m_o'f_o + mi'f_l + m₂'f₂ + + m₆'f₆ + m₇·f₇·

Bij elke functiewaarde f_i behoort één produkt van de variabelen x, y en z. Dit produkt neemt voor precies één ingangscombinatie van de schakeling de waarde

I aan, voor alle overige combinaties heeft het de waarde O. Een dergelijk pro-dukt, dat als adres van de betreffende functiewaarde in de waarheidstabel kan worden geïnterpreteerd, wordt een min term genoemd. Een min term is een pro -dukt van (ingangs)variabelen waarin alle ingangsvariabelen één maal voorkom en . Duidelijk is dat:

1. mi'm_j = 0 mits i *j

2. mi = I voor slechts één ingangscombinatie 7

3. ~ mi = I. i=O

Het rangnummer van de min term resp. functiewaarde wordt alsvolgt bepaald: Ken de k ingangsvariabelen van een schakelfunctie de gewich te n 2°,21, ... , 2k- 1 toe.Tel die gewichten bij elkaar op waarvoor in de bijbeh o rend e min term de variabele niet geïnverteerd voorkomt. Deze som is het rangnummer van de min-term. Ven n diagramm en

z-o

fig. 1.7.Venndiagrammen . (al (b)

In fig. I.7.a is een z.g.Venndiagram getekend voor één variabele. Het door de cirkel omsloten gebied correspondeert met z

=

I, ook te interpreteren alshet gebied waar de uitspraak Z waar is. Het gebied buiten de cir ke lcorres po n de ert met z= O. Het gehele gebied, omsloten door de rechtho ek wordt ook wel het universum genoemd, d.W.Z. hierin zijn alle mogelijkheden omvat, zowel z = 0 als z= I.

27

variabelen. In het diagram zijn acht verschillende gebieden aan te wijzen,die

correspo nderen met de ach t mintermen van een schakelfunctie in drie variabelen .

In elk vak isde bijbe ho ren de fu n ctiewaar d e geplaatst.

Venndiagrammen kunnen worden gebruikt bij de vereenvoudigingvan schakel -fu nc t ies. In fig. 1.7.c zij n de functiewaarden ingevuld die corresponderen met

de in tabel 1.6 gegeven specificatie van een schakeling. We zien onmidde llij k dat het gebied ,waar de schakelfunctie de waarde I heeft, bestaat uit de veren i-ging van de gebieden x en yz. De meest eenvoudige vorm van de schakelfu nctie is dus

S", x +yz.

Venndiagrammen voor meer dan vier variabelen worden weldra onoverzichtelijk en zijn voor het vereenvoudigen van schakelfuncties niet meer geschikt. In het volgend ehoofdst u k wordt een meer gestileerde vorm van het Venndiagram ge -introduceerd speciaal ten behoeve van het vereenvoud igen van schakelfunct ies. Nu het Venndiagram geïntroduceerd is,zal ook de betekenis van het woord min(imale)term duidelijk zijn.

De maxtermvorm

van

schakelfuncties

De mintermvorm van een schakelf u nctie wordt veel gebruikt vanwege de directe

correspon den t ie met de waarheidstabeI. Somswordt nog een andere sta ndaard-vorm (een produktvorm) van een schakelfunctiegebruikt, de Z.g.maxtermvo rm. Het verband met de mintermvorm is als volgt:

Zij gegeven een schakelfunctie in drie variabelen. De inver se van deze scha kel-functie ontstaat door alle functiewaa rde n teinvert eren , d.w.z .van een NIET te vOorzien .We kunnen de oorspronkelijke functie weer terug krijgen door het g e-heel nogmaals te inverteren. In form ule:

S= m_{oo fo} +mIo_{f l} + ...+m₆0f₆ +m₇0f₇ S= S = (moof_o+ m,ofl +...+m₆0f₆ +_:-17."f₇₎

= (m_o +fo)o(m, +f₁)o( )"(m₆ +f_6)-(m₇ +f₇) = _(Mo +fo)o(M_I +f,) o( )0(M₆ +f₆₎0(M₇ +f₇). Het verband tussen een min term mi en een z.g. maxte rm Mi is dus:

mi = Mi of mi= Mi'

Een maxterm Mivervult in een produktvo rm dezelfde rolals mi ineen somvo rm Van de schakelf unc tie. Vo or elke com bina t ie van waard en van de binaire vari abe-len word t de waarde van de func tie S bepaald door precies één functiewaar de fi· Werden daartoe in een somvo rm alle overige term en 0, in een prod uk tvo rm echter moete n alle overige fact oren van het produkt juist 1 zijn. Ook denaam maxtermvorm kan nu wor den verklaa rd. Elke maxt erm (maxi male term) c orres-pondeert met een zo groot mogelijk gebied in een Ven ndiagra m, zodat het nog net niet samenvalt met het universu m. Beide vorme n van eenscha kelf un ct ie, de minterm vorm en de maxtermvorm,worden welde canonieke vorm envan een schakelfu nctie gen oemd.Beidevormenworden zelde n directin deze vorm in een schakeling gerealiseerd. Daarvo or kiest menliever een vereenvo udigde uitdruk

-king die minder materiaal kost. In het volgende hoofdstuk worden daartoe en ke-le vereenvoudigingsmethoden behandeld.

Voorbeeld

Bepaal de mintermvorm ,de max t er mvo rmen demeest eenvoudigesomvorm en

produktvorm van de volge nde schakelfunctie

s

= xyz+xy + xz +yz.

Oplossing.

Demintermvorm vindenwe door ex pans ie,d.w.z.in tr od uctie van ontbrekende

variabe len:

s

= xyz + xy(z+z) +x(y + y)z+(x +x)yz = xy.z+ xy.z+xy,z+ xyz +xy! +xy.z+xyz = xyz +xyz +xyz +xyz +xyz' +xyz.

De overige termen ontbreken doordat de corresponderende functiewaarden 0 zijn.

De functiewaarden met waard e I zijndus:

De func t iewaarden die 0 zijn, zijn:

Hieruit volgt direct de maxtermvorm :

=

m

\'m

₂

= (x +y +z)(x+ y+ z).

De een voudigst esom vorm on ts t aat als vol gt uit de mintermvorm :

s

= xy z+xyz +xyZ: + xyz+xyz+xyz

= (xyz+ xy z)+(xyz+ xyz)+ x(yz+ yz +yz+yz) = yz+yz+ x.

De eenvo ud igste produ ktvorm van de gegeven functie is (toevallig) gelijk aan de

maxt erm vo rm .

Op merking

In veel boeken specificeert men een schakelfunct iedo or de functiewaarden te

geven die 1zijn of alleen hun indices. Voo r bovenst aand voor beeld zou dit zijn:

of

n.

1.4

. Het ontbinden van

een schakelfunctie

naar zijn variabel

en

Weike vorm van een schakelfunctie leidt tot een economische realisatie van de schakeling met de ter beschikking staande bouwstenen hangt van vele factoren af. Deze komen nog ter sprake in dehoofdstukken over kontaktschakelingen en poortschakelingen. Meestal berust een goede realisatie op een eenvoudige som... Vorm of produktvorm van de functie. Er bestaan echter een paar vormen van schakelfuncties die niet onbesproken mogen blijven in een hoofdstuk over scha... kelalgebra.

Wisselkontakten maken het mogelijk om een te realiseren schakelfunctie in twee subfuncties te splitsen, elk met één variabele minder. De volgende stellingis hierop van toepassing. Fig. 1.8 geeft een toelichting.

Stelling

Een schakelfu nctie in (bijvoorbeeld) drie variabele n kan men schr ijve n met be-hulp van twee subfun cti es in één varia be le minder en wel alsvolgt :

S = f(x ,y ,z)

= j(-fI(O,y,z)+x'f_2(l,y,z)

waarbij f I (O,y,z) uit f'(x.y,z) ontstaat door voor elke x inf(x,y,z) de waarde 0 in te vull en (envoor elke ie de waa rd e 1). Evenzo onts taat f₂(l.y ,z) uit f(x,y,z) door voor x de waarde 1in te vulle n.

- - 0flx.r. z) 0 - -

>

s

s

fig. 1.8. On twikkelingvan eenschakelfu nct ie naar éénvan de variabelen. Bewijs:

1. S

=

f'(x.y.z) is gegeven in de mintermvorm. De helft der termen begint met x, de andere helft met x. Haal ie en x buite nhakenen het bewijs is geleve rd. 2. S

=

f(x,y,z) is gegeven in een willeke urige vorm . Vul links en rech t svan het

gelijk te ke n x = 0 resp . x = 1in. In beide gevallen zijn de functieslinks en rechts id entiek:

x

=

0: x

=

1:

f(x,y,z) = x'fl(O,y,z) +x'f_2(l,y,z) f(O,y,z) = l_{'f l}(O,y,z) +0'f_2(l,y,z) f(l,y ,z)= O'fl(O,y,z)+ l·f₂(l ,y ,z ).

Omdat x slechts twee waarden, 0 of 1, kan aann em en is hiermee destelling ook bewezen.

De ontbinding van een' schakelfu nc tie kan naar de overige variabele n worden VOortgezet:

S= f(x,y,z)

= j(of(O,y,z) +x' f(I ,y,z)

= xY'f(O,O,z)+ xY'f(O,I,z) + xY'f(I ,O ,z) + xy-f'(L l,z)

= xyz'f(O,O,O)+ xyz'f(O,O,I)+ ...+xyz' f(I,I ,O)+ xyz-f'( LL l). De constanten f(O,O,O)t/rn f'(L,I,I) komen overeen met de functiewaard en f_o t/rn f₇ zoalsdeze hiervo or zijn geïn t ro duceerd .

De toepassin gvan deze on tbinding bij het ontwerpen van kontaktschakelingen wor dt nader bestu d eerd in hoo fdst uk 3. Diverse ontwerpmethoden vooro.a. kontaktsch akelingen berusten hierop.

Opgaven

l.I. Vier person en A, B, C en 0 komen in aanmerking om zitting te nemen in het bestuur van een veren iging . Er zijnechterenkele beperkingen:

In verba nd met een andere fu nc tie in de vereniging,die niet kan w or-den gecombinee rd met een bestuursfunctie, dient A of B buiten het best uur te blijven.

Wegen spersoonlij ketegenst ellingen is het niet wenselijk C en 0 samen in het best u ur te kieze n .

Als Ain het bestuur zit, dan moet C er ook in en omgekeerd.

a. Formuleer in een logisch e formule de cond ities waaronder het bestuur kan worde n aangevuld, rekening hou den d met de wensen.

b. Hoeveel persone n uit de groep A tlm 0 kunnen er maximaal in het bestu ur zit ti ng nemen en welke zijn die personen.

1.2. In de uits pra ak "Het regent of de zonschijnt" komt het woord "of' voor. Wordt hierm ee de inclu sieve of de exclusieve OF bedoeld? Motiveer uw antwoord.

1.3. Bij een kru ising splits t de weg zich naar links en naar rechts. Een reiziger moet naar de stad A. Hij weetdat één van beide wegen naar A leidt. Hem is mede ged eeld dat, als hij aan eenvan twee broers die bij het kruispunt wonen een vraag stelt, hij van één van de twee broers altijd een verkeerd antwoord krijgt. De ande re bro er geeft een correct antwoord op elke vraag .

.a. Welke vraag moet hij aan één van de broe rs ste llen om de juiste rich -ting naarA tevinden?

b. Bewijs met behulp van eenof meer proposities de geschiktheid van de vraagom de juis te richtingvast te stellen.

1.4. De kluis van een ban k mag slech ts wor den geopend door: De dire cteur allee n .

- De kassier en één van een groep van vier afde lingshoofden. - Drie afdelingshoofden.

Elk heeft een eigen sleut el die, als deze inde bijbehorende gleufwordt geplaats t, een "1" doet afgeven aan het slot.

Specificeer met een sch akelfo rmule de werking van een combinatorische sch akeling, die het slot vrijgeeft (S= 1) alsde kluis mag worden geopend. 1.5. Toon met behulp van de rekenregels van de schakelalgeb ra aan dat geldt:

Geldt ook dat

(x+ y) · (x +z)·(y + z) = x·y + x·z+y·z.

(w + x+y) ·(w +x +z) ·(w +y+ z) ·(x+ y+z) =

= w·x·y +w·x·z +w·y·z +x·y·z

Toon met behulp van de rekenregels uit de schakelalgebraaan dat de

volgende twee vormen van de schakelfunctie S logisch equivalent zijn: 1.6.

.).

I.7.

SI

=

xy +xz +yz S2

=

XZ +xy +yz

Vereenvoudig de onderstaande schakelfuncties zo veel mogelijk:

SI = X(y +z) +xyz

S2= wxy +wxz + xyz+ wxyz

Gebruik uitsluitend de rekenregels van de schakelalgebra en geef de

een-voudigste formule in de sorn-van-produkten vorm.

1.8. Geef de duale vorm van onderstaande vergelijking:

(x +y)(x +z)(y +z) = xz +xy

1.9. Een schakelfunctie in drievariabelen x,y en z wordt als volgt

gespecifi-ceerd:

fo

=

f_l

=

f₃

=

f',

=

0

f2

=

f₄

=

_fs

=

f₆

=

I

Bepaal de minterm vorm, de maxterm vorm en de meest eenvoudige

vorm als sorn-van-produkten en als produkt-van-sommen.

1.10. Stel de waarheidstabel op van de schakelfunctie:

S= (x +y)(x +y + z)(x +y +z)(y+z)

1.11. Een bouwsteen met drie ingangen x, y en z, realiseert de logische functie

S= xy +Z

aan de uitgang.

a. Als voor elke ingang en uitgang een invertor wordt geplaatst (0+

en I + 0), welke logische functie wordt dan gerealiseerd?

b. Hoe is dit voor een willekeurige bouwsteen? Motiveer uw antwoord.

1.12. Lees de schakelfunctie S=·xEB YEB Z als

S= (x EB y) EB Z

a. Schrijf S in de minterm vorm.

I.13. Gegeven is de schakelfunctie S:

S= xy +xz +yz Toon aan dat

S

=

xy

+

xz

+

yz

Geldt ook dat

S= vw +xyz ~

S

=

vVi

+

xyz

Motiveer uw an twoord.

Literatuur

1. S.T.M.Ackermansen J.H. van Lint, Algebraen Analy se, Wolters-NoordhoffNV; Gr

onin-gen, 1970 .

2.F.E. Hohn ,AppliedBoolean Algebra,The Macmillan Company;New York, 1966. 3.E.Mendel son ,BooleanAlgebra and Switching Circuits, McGraw-HiliBook Company ;

New York, 1970.(Aanbevo len)

4. S.R. Petriek,A DirectDetermination of theIrredundan t Farms of a Boolean Function

from theSet of PrimeImplicant s, Computatio nLaboratory of the AFCRC,Bedford , Mass.,TR-56-11 0,April 195 6.

5.C.E.Shann on ,A SymbolicAnalysisofRe/ay and SwitchingCircuits, Transactions of the AIEEno. 57,1 93 8, pp. 713-723.

Voor eenverdere studie op het gebied van de Boole Algebra, de Logicaen de Algebr a wordt verwezen naar:

6.G.Birkho ff and S.MacLane,A Survey of Modern Algebra,The MacMillan Compan y ;

NewYor k, 1965.

7. G. Boo le,AnInvestigation oftheLaws ofThought,London, 1854.

8. Ph. Dwinger ,Introduetion to Boolean Algebras,Physica Verlag;Würzburg, 1961. 9.J.B.Fraleigh,A First Cour sein Abstract Algebra, Addison-Wesley Publ, Cie.: Readin g,

Mass.,1973.

10.P.R. Halmos,Intuitleve Verzamelingenleer, Het Spectru m, Aula 372;Utrecht, 1968.

11. P.R. Halm o s,Lectu res on Boolean Algebras,VanNostra nd,1963.

12. E.J.Lernmon ,BeginningLogic,Nelson s University Paperbacks, 1971. (ModerneLogica, Prisrna -C,56)

2. HET VEREENVOUDIGEN

VAN

SCHAK EL F UNCTIES

n-2.1.

Het Karnaughdiagram

Uit de in het hoofdstuk schakelalgebra gegeven voorbeelden blijkt dat het ve r-eenvoudigen van schakelfuncties met behulp van de rekenregels van de schakel -algebra een moeizaam proces is. Er zijn uit de literatuurenkele sy stematische methoden bekend, waaronder die van Karnaugh en van Qu ine en McCluskey. De door Veitch voorgestelde en door Karnaugh verbeterde methode maakt ge-bruik van een grafische voorstellingvan een schak el fun ctie door middel van het Karnaughdiagram. De methode is zeer geschikt als handmethode . De door Quine -McCluskey beschreven methode is ontworpen om op een digitale reken m ach ine te worden geprogrammeerd. Alseerste vereenvo u d igings metho de beh an d elen we het Karnaughdiagram.

De algemene mintermvorm van een sch akelfun cti e in twee logisch e variabelen Y en z is

geplaatst is. Deze Karnaughdiagrammen zijn zo opgesteld dat de functiewaarden S= yz + yz + yz = m_{o -0} + m, -I +m₂-I + m₃- 1 (b)

z

CT]

ylrn

(a ) S == _mofo+ m,f, + m2f2 +m3f3.

= _yzfo + yzf, + yzf₂ + yzf₃

waarin de minterm mi de waarde 1heeft alsde bijbehorende ingan gsco m bin at ie OPtreed1.In alle andere gevallen is mi=O. De fu nctiewaarde n f_ikunnen hierbij de logische waarde 0 of de logische waarde 1 aannemen, hetgeen afhangt van de Specificatie van het te onderzoeken probleem. Het Karn au ghdiagra m voor een willekeurige functie in twee variabele n is getekend in fig. 2.1.a, terw ijl in het diagram van fig. 2.1.b de schakelfunctie

i,

rdt

fig. 2.1. Karnaughdiagram me n voor functies in twee variabelen.

r~

y

l

h

z

m

2=1als

z

y

l

fi en fj welke behoren bij mintermen die slechts in één variab ele ver schille n, in aangrenzende hokjes geplaatst zijn. Derand sch ri ft e n geven aan bij welke minterm

z

s

\ w x

z

f_OO

'01

f05 fOI, f₀₂ f 03

'07

'06 f_lO f 11 f15 f11, f_{OO log} f₁₃ f₁₂ y

'o

f1

_'s

fl,

I

1₂ f₃ f 7 16 y z

de in een bepaa ld hok je geplaa ts te functie waa rde behoort. In fig. 2.2 wordt

stapsgewijs bepaald in welk hok je de bij de min term m₂ =

yz

behorende functie -waarde f₂ moet worden geplaatst.

In een Karnaughdiagram wordt een duidelijk overz icht verkregen van alle moge -lijkheden om de termen van een sch akel functie te combinere n . Bevatten twee

aangrenzende vakjes een I, dan resulteert dit in de gere duceerde vorm van de

schakelfunctie in een nieuwe term die één variabele minder bevat.

Fig. 2.3 geeft de Karnaughdiagrammen voor willekeurige functies to t en met

vier variabelen. Het diagram voor schakelfuncties in n varia be len ontstaat uit

het diagram voor n - I variabelen door spiegeling rond een der rand en .

Deze spiegellijnen zijn in fig. 2.3 dikker getekend. Bij het na spiegelin g on t st ane nieuwe gedeelte van het diagram wordt de volgendevariabele als randschrift toe -gevoegd.

x

fig.2.3 .Karnaughdiagrammen tot functies in vier variabelen.

z

x

SI,=

wx

+

wxy

+

xyz

z

mEEJ

yl~

x

z

YIffi:E

52=

yi

+yz y 0 0 1 1 1 0

_c..l-

_~ 1 1 I 0 0 0 0 0 0 w

fig. 2.4.Karnaughdi agramm envan gegeven functies.

Fig. 2.4. geeft enkele voorbeelden van schakelfuncties en het bijbehorende p

a-troon van nullen en enen in de verschillende Karnaughdiagramm en .

Het begrip aangrenzende hokje verdient voor Karnaughdiagrammen in meer dan twee variabelen een nadere toelichting. Zo verschilt de min term

x

yz

van een functie in drie variabelen slechts in één der variabelen met de mintermen xyz,

xyz

en xyz. In het Karnaughdiagram in fig. 2.3 liggen de corre spo nd ere nde ho

k-jes niet alle naast elkaar, er moet over de randen heen gekeken worden. Het-zelfde geldt voor diagrammen in vier of meer variabelen. Belangrij k is het op te

merken dat de volgorde van de variabelen in de randschriften niet essen ti eel is.

In fig. 2.5 is aangegeven dat door een andere volgorde van de variabelen in de randschriften het patroon van enen en nullen vo or dez elfde sch ak el fun ctie zich

sterk kan wijzigen. In de praktijk is het handigom een vaste volgo rde van de va -riabelen in de randschriften aan te houden.