Waterloopkundige berekeningen II

Technische Hogeschool Delft Afdeling Civiele Techniek Vakgroep Vloeistofmechanica

College b8S Waterloopkundige Berekeningen 11 C.B. Vreugdenhil december 1980

.-,.-.----.

.

----

-

j--

-

-

-

r

--r--

1

I f 2,75

____

.__j__

-

..

-

bP~_:.I__

l__;:Ql

+

O?O

.

__

_L---..L---L---L---..J...----

'---'--

-1-Inhoud _bl.z.

I. Indeling van stromingsverschijnselen

l.I. Algemeen: Navier-Stokes vergelijkingen 1.2. Vergelijkingen van Euler

1.3. Grenslagen 2. Rekenen 3. Grens lagen 2 5 9 12 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Grenslaagbenadering Karakter

Iets over turbulentie Bepaling drukgradiënt 18 21 23 26 4. Grenslagen numeriek

4.I. Enkele numerieke methodes 4.2. Eigenschappen

4.3. Turbulente grens lagen 5. Grenslagen, voorbeelden

5.1. Turbulente grens laag

5.2. Stromingsontwikkeling in een buis 5.3. Tijdsafhankelijke grenslagen 6. Grenslagen in tijd en ruimte 7. Onsamendrukbare viskeuze stroming

7.1. Formulering 7.2. Randvoorwaarden

7.3. Vorticiteit en stroomfunctie 7.4. Bepaling van de druk

8. Numerieke berekening van 2-d viskeuze stroming 8.1. Overzicht differentiemethodes

8.2. Differentie-vergelijkingen en eigenschappen 8.3. Alternatieven

8.4. De vergelijking voor de druk 8.5. Randvoorwaarden

8.6. Eindige elementenmethodes, overzicht 8.7. Interpolatie

8.8. Oplossing en eigenschappen 9. Voorbeelden van viskeuze stromingen

9.1. Stroming om een obstakel 9.2. Een uitlaat in een rivier 9.3. Drie-dimensionale stroming 28 32 33 35 36 39 I.j~ 46 47 49 51 53 55 59 63 65 66 68 70 73 75 80

-2-blz. 10. Lange golven in twee dimensies

10.1. Vergelijkingen 10.2. Analyse

10.3. Karakter en randvoorwaarden 11. Lange golven: numerieke methodes

11.1. Een expliciete differentiemethode

84 89 92 11.2. 11.3. 11.4. 11.5.

Een impliciete differentiemethode Stabiliteit

Nauwkeurigheid golfvoortplanting Eindige elementen methodes

96 97 99 103 107

12. Lange golven: voorbeelden 12.1. Stormvloeden 12.2. Getijstroming 12.3. Stationaire stroming 109 114 122 Literatuur 129

-3-I. Indeling van stromingsverschijnselen

In de waterloopkunde doen zich stromingsverschijnselen voor die om v er-schillende redenen ingewikkeld zijn:

- de stroming is bijna altijd turbulent;

- de stroming vindt plaats ~n gebieden van ingewikkelde vorm; - de stroming is vaak niet stationair;

~n veel gevallen wordt de stroming beïnvloed door meegevoerde stoffen: warmte, zout, sediment.

Om het gedrag en de uitwerking van de stromingen te bestuderen zijn er enkele hulpmiddelen, zoals metingen ~n de natuur, weergave in schaalmodellen of w eer-gave in wiskundige modellen. In dit college gaat het alleen over de laatste groep. Het toepassen van een computer hoort niet principiëel bij wiskundige modellen, maar in de meeste praktische gevallen is dat toch nodig. Het gebied wordt dan ook vaak met de term "Corrrputationalhydraulics" of "Computational fluid dynamics" aangeduid. Zonder de mogelijkheden van computers zouden wis-kundige modellen lang niet zo nuttig zijn als nu het geval is. Juist daardoor bepalen computersnelheid en -grootte echter wat nog met wiskundige stroming s-modellen gedaan kan worden. Zo is het nog praktisch onmogelijk om een

realis-tische drie-dimensionale turbulente stroming in alle detail te berekenen en het ziet er ook niet naar uit dat daar in de naaste toekomst verandering in komt.

Er zijn echter groepen van stromingsproblemen die veel voorkomen en die gemakke -lijker te beha.ndelen zijn, al of niet met behulp van benaderingen. In dit h oofd-stuk worden enkele van die groepen, voor zover van belang voor de waterloopkunde, omschreven. Een verdere uitwerking wordt dan gegeven in de volgende hoofdstukken.

l.I. Algemeen: Navier-Stokes vergelijkingen

Voor alle praktische doeleinden in de waterloopkunde mogen we aannemen dat de vergelijkingen van Navier-Stokes een afdoende wiskundige beschrijving van de stroming geven. Als we een rechthoekig coördinatenstelsel (xl' X2' x3)

gebruiken (x3 vertikaal omhoog), de snelheidscomponenten aangeven met

(Vi' v2, v3) en de druk met p, dan luiden die vergelijkingen:

a

vo

av

o

--~ + v. --~ +

a

t

J

ax·

J I

a

I

aT

..

_ ~ +gIS. _ IJ P aXi ~3

p

aXj

o

(i I, 2, 3) (I.I-I)

-4

-aangevuld met de continuïteitsvergelijking voor een niet-samendrukbare

vloeistof:

dV.

~

dX._~

o

(I.1-2)

In deze vergelijkingen is de sommatie-conve~tie gebruikt: als in een term

een index herhaald wordt, dan wordt men geacht over die index te sommeren,

bijv. 3 ~ j=1 êv. ~ V. J dX. J (I .1-3) Verder is: t tijd p dichtheid

g versnelling van de zwaartekracht

T.. viskeuze spanningscomponent ~J

ê .. Kronecker-symbool (= I als i

~J j, anders 0).

Het verband tussen de viskeuze spanning en de vervorming van de vloeistof

wordt gegeven door

T .• ~J p \) I êv . I ~ \ dX. J dV. \ + ____l J dX .. i, (I.1-4)

waarin 'J de kinematische viskositeit i.s. In het bovenstaande is de

Coriolis-versnelling weggelaten. De dichtheid kan nog afhankelijk zijn van tempera

-tuur, zoutgehalte etc.. In dat geval moet het stelsel aangevuld worden met

een transportvergelijking voor warmte, zout enz ..

Het eerste stuk van Verg. (1.1-1) heeft een hyperbolisch karakter:

dV.

~

h.

J

o

(1.1-5)

De viskeuze term wordt met (1.1-4) en gebruik makend van de continulte

its-vergelijking (1.1-2) : I dT..~J ( d2v.~

P

dX. = \) dX.dX. J J J d dV.) + dX. dX ~ ~ J \) dX.JdX. J (I .I.-6)

-6-Dat gedeelte leidt dus tot een parabolisch karakter an Verg. (1.1-1):

avo

~ _{• •• - V}

at

ax.ax.

J J

o

(1.1-7)

De aanwezigheid van de drukterm maakt de zaak nog ingewikkelder, z~e daarover verder noofdstuk 7. Hetbelang van de twee gedeelten kan globaal met elkaar worden vergeleken door in te voeren:

u orde van grootte van de snelheid,

L orde van grootte van de afstand waarover de snelheid variëert.

avo

De verhouding van de bijdragen uit (1.1-5) en (1.1-7) aan at~ wordt dan

I(v

v-)

uL

\) Re (1.1-8)

Re is het getal van Reynolds. Als dat groot is hebben de viskeuze termen

weinig invloed behalve in kleine gebieden (met name grens lagen) waardoor het stromingsbeeld ingewikkeld wordt. Berekeningsmethoden worden daarom

moeilijker naarmate Re hoger is (hoofdstuk 8).

Voorbeeld:

Een van de beschikbare technieken om 2-d viskeuze stromingen te berekenen

is de "marker-and-cell" methode (MAC). Hierbij worden deeltjes (markers) ge -bruikt, enerzijds om de stroming zichtbaar te maken, anderzijds om bij te

houden hoe het vrije oppervlak zich beweegt. Een indruk van wat op deze

manier bereikt kan worden is te zien in Fig. 1.1, ontleend aan Harlow (1971).

1.2. Vergelijkingen van Euler

Als de viskeuze tenuen in de Navier-Stokes vergelijkingen (I.I-I) helemaal

verwaarloosd kunnen worden (en daarmee ook de grenslagen) ontstaan de vergelijkingen van Euler. avo avo

_op

__L + i. + _{8. 0} V. + --- g at _J dX. p

ox

.

~3 J i, avo ~ 0 ax. ~ (1.2-1) (1.2-2)

-7-Een belangrijk gebied van toepassing LS de potentiaalstroming. Daartoe nemen

we de rotatie van Verg. (1.2-1). Het makkelijkst is dit te zien in twee

dimensies; in het algemene geval ontstaan drie soortgelijke vergelijkingen.

o

(1.2-3)

Voeren we de wervelsterkte of vorticiteit

w

in

dV1 dV2

dX2 - dX1

w (1.2-4)

dan ontstaat, weer met behulp van de continuiteitsvergelijking (1.2-2)~

o

(1.2-5)

Dit zegt dat de vorticiteit van een vloeistofpakketje constant blijft (voor

een meebewegende waarnemer). Als de vorticiteit dus oorspronkelijk nul was

dan blijft dat zo en er ontstaat een rotatievrije stroming:

w

=

O. Dit

geeft de mogelijkheid, een potentiaal ~ in te voeren zodat

v.

J (1.2-6)

Daarmee is nl. altijd

w

= 0 en er wordt dus automatisch aan de bewegings -vergelijking (1.2-5) voldàan. Door invullen in (1.2-2) blijkt dat ~ moet

voldoen aan de Laplace-vergelijking

dx.dx.

J J

o

(1.2-7)

Dit is het standaardvoorbeeld van een elliptische vergelijking. Potentia

al-theorie wordt in de waterloopkunde vooral gebruikt bij de beschrijving van

korte golven.

Voorbeeld:

Stroming door een turbine kan gedeeltelijk worden beschreven met behulp van potentiaalstroming, waarbij eventueel een correctie voor de samendrukbaarheid

wordt toegepast. In Fig. 1.2(a) is in een schets een tweetal vlakken aangegeven waarin de stroming bij benadering als twee-dimensionaal kan worden opgevat.

Het meridiaanvlak is een vlak door de as van de turbine. Het "blade-to-blade"

-8-c. .-><;(}t;:::.~o::::t::,~~-blode

to blode

vlak

r---:---,---,C

b.

_.1--L.. _ __.r._ __ _'_ __ ~D

c.

Fig. 1.2 Potentiaalstroming in een turbine, (a) definitie van het

"blade-to-blade plane", (b) schematisatie cascade, (c) berekende stroomlijnen.

-9-In dat vlak kan een rij schoepen als een cascade worden beschouwd. Een deel daarvan is in Fig. 1.2(b) aangegeven, samen met een eindige elementen verdeling. Rekening houdend met de snelheidsgradiënt in radiale richting (dus loodrecht op het vlak) kan de potentiaalstroming worden berekend, in dit geval met een eindige-elementen methode (Hirsch, 1977). De berekende stroomlijnen zijn weer-gegeven in Fig. 1.2(c). De berekening van het volledige stromingsveld omvat tevens het meridiaanvlak, grenslaagontwikkeling, etc.. Ook zijn er al pogingen gedaan, het snelheidsveld direkt driedimenionaal aan te pakken.

In een wat gewijzigde vorm komen de Euler-vergelijkingen ook voor bij twee-dimensionale horizontale waterbeweging. De vergelijkingen voor de over de diepte gemiddelde stroming luiden (zie verder hoofdstuk 10)

3v. dv. dh _..±. + v. --~ + g -- + W; dt J dXj dXi .L da d '1t + -"- (av- ) o OXj J

o

(i 1,2) (1.2-8)

o

(1.2-9)

Hierin stelt a de waterdiepte voor, h het waterniveau en Wi de bodemwrijving, hier nog niet nader gespecificeerd. De continuïteitsvergelijking (1.2-9) ver

-schilt van (1.2-2) vooral door de aanwezigheid van de term daldt. In feite zijn de Vergn. (1.2-8) en (1.2-9) praktisch gelijk aan die voor een samendruk

-bare stroming.

De oplossingen van Vergn. (1.2-8) en (1.2-9) bevatten dan ook golven, hier zwaartekrachtsgolven,die de analogie vormen van geluidsgolven bij samendrukbare stromingen. Het karakter ~s dan ook hyperbolisch. Als er echter weer viskeuze termen toegevoegd worden dan ontstaat ongeveer de samendrukbare variant van de Navier-Stokes-vergelijkingen met een gemengd karakter.

Voorbeeld

Meestal zijn differentie-methodes gebruikt voor 2-d lange-golfproblemen. Een moeilijkheid daarbij is echter het weergeven van de vaak ingewikkelde vorm van het gebied. Dit gaat makkelijker met behulp van de eindige-elementen methode, zoals bijv.

m

Fig. 1.3, ontleend aan Matsuda (1979).

-10-HAP LENG TH (Hl ~ f-a- 10,000

TIME

=

3C: 2H: OM

~~

~

VELOCITi

~~~

CURRE

N

T

SPEED

(

M/

S

J

~ f-a-<). ~t7

Fig. 1.3 Stroming in the Seto Baai na 2.167 getijcycli

1.3. Grenslagen

De Navier-Stokes vergelijkingen zijn niet altijd even eenvoudig op te lossen.

Daarom zijn vereenvoudigingen welkom. Grenslaagstromingen kunnen eènvoudiger beschreven en berekend worden. Het kenmerk is dat de stroming hoofdzakelijk

in één richting plaatsvindt en daarbij slechts langzaam verandert. Dat is bijv. het geval bij stroming langs een vlakke wand. In de richting loodrecht op de wand (en daarmee op de hoofdstroomrichting) verandert alles wel snel. Daarom zijn de gradiënten van de wrijvingskrachten in die richting overheer-send. Bovendien kan in vele- gevallen worden aangetoond dat de drukverdeling

Fig. 1.4

-I }

-12-( dV1 \ dV_{1 dp} d2V₁ 0 (j 1,3)

at)

+ v._{J dX.} + ---_{P dX}

-

v

dX 2 J 1 3 dV. _J 0 dX. J (1.3-I) (1.3-2)

waarin p onafhankelijk van x ~s.

3

dVl/dt ook nog en dan blijft vrijwel een standaard convectie-diffusie-ver ge-Bij stationaire stroming verdwijnt de term

lijking over, die met bekende technieken voor parabolische vergelijkingen redelijk efficiënt kan worden opgelost (zie verder hoofdstuk 3). In de stan -daardvorm

dVl v3 dVl

dXl + ~ dX3 (I.3-3)

as Xl (de stroomrichting) de "tijd-achtige" variabele.

Voorbeeld

Een voorbeeld van een berekende grenslaagstroming om een vliegtuigvleugel is gegeven in Fig. 1.4, ontleend aan Thames et al (1977). De ontwikkeling

van de grenslaag ~s goed te zien ~n de snelheidsverdelingen, evenals het los -laten. Overigens ~s deze berekening niet uitgevoerd met een grenslaagmethode, maar het hele 2-dstromingsveld is berekend zonder de grenslaagbenadering te maken. Echte grenslaagrnethodes, op basis van Verg. (1.3-3) hebben over het

-13-2. Rekenen

Computers zijn praktisch onmisbaar om de hydrodynamische vergelijkingen voor realistische gevallen op te lossen. De mogelijkheden worden daardoor tegelijk beperkt omdat rekensnelheid en geheugengrootte niet onbeperkt zijn. De meeste oplossingsmethodes werken via een of andere discretisatie (differenties, eindige elementen, Fourier-reeksen) en de nauwkeurigheid daarvan wordt mede bepaald door het aantal vrijheidsgraden (aantal roosterpunten of termen van de reeks), dat op zijn beurt afhangt van de fysische verschijnselen die berekend moeten worden.

Om de orde van grootte van enkele problemen aan te geven kunnen we heel globaal stellen voor de huidige grote, algemeen beschikbare, computers (bijv. een CDC 6600)

- geheugen in de orde van lOs à 106 getallen,

- rekensnelheid 300-3000 roosterpunten per s, afhankelijk van de vorm van de vergelijkingen en de efficiency van de numerieke methode en programmering, - aanvaardbare rekentijd tot enkele uren, afhankelijk van het bedrag dat men

wenst te besteden.

Ter illustratie van de ontwikkeling van rekensnelheid en kosten, z~e Fig. 2.1 en 2.2 (Chapman, 1976). Voor enkele waterloopkundige problemen is in Fig. 2.3 aang e-geven wat dit betekent en hoeveel de rekensnelheid zou moeten toenemen om de p ro-blemen alsnog binnen de grenzen te krijgen. De benodigde inspanning wordt grote n-deels bepaald door de aantallen rekenpunten en tijdstappen, die voor Fig. 2.3 z~Jn gekozen volgens de volgende tabel.

onderwerp aantal reke

n-punten aantal tijd-stappen aantal een-heden schatting aantal een-heden per s (CDC 6600) I. I-d niet-stationaire 200 600 1,2 X lOs 1000 stroming inkanaalnetwerken met bijv. flt=300 s,4 g e-tij cycli

2. idem met zouttransport 200 20 getijcycli

2-d getij stroming ~n een 200 hor. vertikaal vlak, flt= 40 s, 20 vert. 4 getij cycli

idem met zouttransport, 200 hor.

20 getij cycli 20 vert.

3000 6 600

3. 4500 1,8 X 107 1000

-14-onderwerp aantal reken- aantal tijd- aantal een- schatting

punten stappen heden aantal

een-heden per s (eDe 6600)

5. 2-d getij stroming in 104 600 6 X lOG 1000

een horizontaal vlak, l1t= 300 s, 4 getijcycli

6. idem met 10 waterkwa- 104 15000 1,5 x 108 300

liteits parameters, 100 getij cycli

7. 3-d getij stroming in 5000 hor. 4500 4,5 x 108 3000

estuaria, M= 40 s, 20 vert. 4 getijcycli

Uit de figuur blijkt dat problemen van de orde van grootte van gevallen I, 2, 3 en 5 binnen het bereik liggen maar dat er voor de overige gevallen nog duidelijke beperkingen zijn.

Gedetailleerde stromingsberekeningen, zeker in drie dimensies en tijdsafhankelijk, eventueel over lange tijd, zijn kennelijk nog niet praktisch mogelijk. Dit

brengt de noodzaak van schematisering met zich mee, die verschillende vormen kan aannemen:

benaderingen en verwaarlozing van termen ln de vergelijkingen, bijv. de

grenslaagbenadering, waardoor het aantal dimensies kleiner wordt of de vergelijkingen eenvoudiger worden zodat een snellere oplossingsmethode g e-bruikt kan worden.

middeling van de vergelijkingen over één of meer dimensies of over de tijd. Daardoor neemt het aantal dimensies in het probleem ook af.

Zulke schematiseringen beperken natuurlijk de mogelijkheden van een model en maken de fysische formulering soms moeilijker.

In veel gevallen betekent een numerieke vereenvoudiging dus een fysische com -plicatie en we zullen beide tegen elkaar moeten afwegen. De plaats van het optimum hangt af van het gewicht dat aan beide factoren wordt toegekend (Fig. 2.4).

.-1

5-GENERAL PURPOSE DIGITAL

COMPUTERS

-SPEED VS. YEAR AVAILABLE

CURRENTLY FORESEEABLE

L1MITS-cooLmG

,

SPEED

OF LIGHT, SIZE

~

~KNIGHT,

1968

" 112%/yr

1-4

,'/

CRAY

, ~COCSTAR

...360-95 360-91 <,

.<9

/. ...1<NIGHT,1966 10-2

40

Fil_;. 2.1 50

60

70

80

90

2000

YEAR AVAILABLE

F-2 COM PUTATION-COST TR EN D-COM PUTER

SIMUlATION OF A GIVEN FLOW

100 z o ;:::; 15 I ~ :!: o <.J .1 ~ ~ <.J 10.IBM650 .IBM704 IBM7090. 7094· .IBM360-50 COC 64001360-67 .360-91 COC 6600. 370-195 7600· • w > ~_{..J .01} w 0:: • STAR ILLIAC • IOUAO fi;;. 2.2 1955 1960 1965 1970

-16 -.I::. I-U C V1 C ..0

...

...

.x: 0 .:s:. :;:J c I- L-a...0

'"

0

'"

0 0 0 I.D ~ _I.D 0 U Cl U > ei

...

0

...

"0 Q) .I::. -' Cl) N C 0 V1_V1 C'I

.,

JV'1l11 - _.:s:.c L-Q) ~ 0 L-_Q) > 009[, Ja J -

i

0099 JOJ -V1 "0

.

...

...

'-Q)

...

::J Cl. E

...

0 0 u "i o N I o o

-17-1

mate van onzekerheid

gew

i

cht?

)

kosten. onzekerheid

mate van detaiL

-Fig. 2.4 Afweging van rekenkosten en onzekerheid. Als de rekenkosten af-nemen kan het optimum naar rechts verschuiven.

-18-3. Grenslagen

3.1. Grenslaagbenadering

Bij een stroming langs een vaste wand is de vloeistofbeweging zo begrensd

dat er vereenvoûdigingen in de bewegingsvergelijkingen aangebracht kunnen worden. Er zijn ook gevallen waar de wand ontbreekt maar waar toch een dergelijke be-nadering geldt; dat zijn gevallen waar de stroming hoofdzakelijk in één richting plaatsvindt (bijv. een straal water u~t een kleine opening, een rookpluim). Soortgelijke benaderingen kunnen in drie dimensies gemaakt worden.

De kern van de grenslaagbenadering is dat veranderingen in de stroomrichting en loodrecht daarop op sterk verschillende schalen optreden (Fig. 3.1). Variaties in de stroomrichting vinden plaats over een typische afstand L, loodrecht daarop over een afstand ó (zoiets als de grenslaagdikte) en L » Ó. De termen in de bewegingsvergelijkingen kunnen nu heel globaal worden geschat, bijv.

I~

L

.. I

Fig. 3.1 Snelheidsprofielen 1n een grenslaag.

dU ;::::UiL

dX ddZW ;::::W/ó (3. I-I)

waarin U en W typische waarden voor de snelheidscomponenten u (= vl) en w (= v3)

zijn. uit de continulteitsverg. (1.1-2) volgt nu

UiL 'V w/ó dus (3.1-2)

De verhouding van dwarssnelheid tot langssnelheid is kennelijk dezelfde als de

verhouding van de overeenkomstige lengteschalen (N.B. w ~ 0:)

Vervolgens bekijken we de impulsvergelijking (1.1-1), gecombineerd met (1.1-2) en

(1.1-6), in de dwarsri~hting:

dW d. d 2

-

19-Als we een tijdschaal T invoeren, hebben de termen globaal de volgende v er-houding (deel door g):

W

gT

UW

gL (3.1-4)

Hierin is P (een maat voor de drukvariatie) voorlopig nog niet bekend. Het behulp

van (3.1-2) volgt echter 2 W

(

0

)

UZ L gT '\J

L

go UT UW WZ - '\J-gL go vW

«

vW

gï7

gp-waarin Re Uo/v getal van Reynolds (3.1-5)

We kunnen alle termen ~n (3.1-4) nu met 1 vergelijken en concluderen:

o

UZ " • •

a. als

L

«

1 en go (een soort Fraude getal) n~et groot, z~Jn de convect~etermen verwaarloosbaar;

b. onder dezelfde voorwaarden is de versnellingsterm verwaarloosbaar tenzij

de tijdschaal heel klein is;

c. als Re groot is zijn de viskeuze termenverwaarloosbaar.

Onder die omstandigheden ~s er nog maar één term die de zwaartekracht kan compenseren en dat is de drukgradiënt. Er volgt dus dat de drukverdeling kwasi-hydrostatisch is:

- pg (3.1-6)

Uitwerking:

(i) grenslaag p = Pe + pg (ze - z)

Pe ~s de druk buiten de grenslaag op z z

e

~ élpe

élx

ax

De hydrostatische component ~s dus niet van belang.

-2

0-(ii) waterstroming met vrij oppervlak

p Pa + pg (h - z) (3.1-8)

Pa is de atmosferische druk, h de hoogte van de waterspiegel.

dPa dh

-- + pg

-dX dX (3.1-9)

dus Pa + pgh ~s te vergelijken met de druk Pe buiten de grenslaag.

In beide gevallen is verondersteld dat de dichtheid constant is; anders ont -staan er extra termen.

Tenslotte bekijken we de impulsvergelijking in-de richting langs de wand.

dU -+ dt (3.1-10) U gT (3.1-11 ) Hieruit volgt:

*

d2u/dX2 is te verwaarlozen t.O.V. d2U/dZ2

*

de beide convectietlmen zijn van dezelfde orde van grootte

*

het belang van de tijdafgeleide t.o.V. convectie- en viskeuze termen wordt bepaald door de verhoudingen UT/L resp. vT/62•

De grenslaagbenadering wordt

(_dtdU) + .l_ (_dX u2) +.l__dZ (uw) = _ _!__p dPe_dX +V _~d2u du De schuifspanning ~s ~n deze benadering TIp = V

az

'

Het is gevaarlijk om conclusies te trekken uit de verhouding tussen convectie

-(3.1-12)

en viskeuze termen: 6

Re

L (3.1-13)

Als Re »L/6 zou zijn zou de term

a

2u/dZ2 kunnen vervallen, maar dan kan niet meer aan de randvoorwaarde op de wand voldaan worden. Eerder is het zo dat de grens laagdikte 6 zich zo tracht in te stellen dat de viskeuze terrnv a~/dZ2

-2

1-Ver van de wand kunnen zich wél situaties voordoen waarin de viskeuze ter -men verwaarloosbaar zijn.

3.2. Karakter

In de stationaire vorm kan Verg. (3.1-12) geschreven worden als

(3.2-1)

waarbij gebruik gemaakt is van de continuiteitsvergelijking (1.1-2). Het

rechterlid is in principe een bekende functie of aandrijvende kracht. Als Verg. (3.2-1) door u gedeeld wordt heeft hij de vorm van een standaard

conve ctLe+di.f fusLe+ve rge1ijking

ac

ac

at

+ v

ax

o

(3.2-2) als de volgende "vertaling" wordt toegepast: (3.2-2) (3.2-]) t x v w/u v/u D

Verg. (3.2-1) heeft dan ook een parabolisch karakter met (gedegenereerde)

karakteristieken évenwijdig aan de z-as en met de x-as als "tijdAchtige" richting.

Een belangrijke eigenschap volgt uit de effectieve diffusiecoëfficiënt v/u. Als deze negatief is, dus als u

<

O,leidt de diffusievergelijking tot exponen

-tieel toenemende oplossingen. Deze zijn niet in de nand te houden door

rand-voorwaarden op x

=

0, zoals bij een diffusievergelijking het geval zou zijn.

Voor u

<

0 zou dus afnemende x met toenemende tijd vergeleken moeten worden en zou een randvoorwaarde aan de andere kant nodig zijn. De c?nclusie is dat de coördinaat x sleêhts als "tijdachtige" variabele in de diffusiever

-gelijking bruikbaar is voor zover hij met de stroomrichting mee wordt toege -past. Dit maakt gevallen, waarin de stroomrichting in het veld variëert, m

22

-Fig. 3.2 "Tijdachtige" richting (open pijlen) in 8renslaag met omkering van stroomrichting (dichte pijlen).

Een tweede reden waarom de analogie met de diffusievergelijking slechts beperkt geldt ligt in de drukgradiënt. Deze kan een invloed tegen de stroom in doen gelden

(opstuwing), waardoor het parabolische karakter verstoord wordt.

Wat betreft de randvoorwaardenin z-richting volgt ui t hat parabolische

karak-ter dat aan beide zijden één voorwaarde nodig 1S. Rekening houdend met het

feit dat ook de continuïteitsvergelijking nog één randvoorwaarde vraa8t, I

krijgen we de volgende typische gevallen.

a. grens laag z

=

0 u

=

0 ("no-slip" of kleef-voorwaarde)

(3.2-3)

w 0 (tenzij wordt afgezogen of geblazen)

z -+- <Xl U -+- ue (snelheid externe stroming) (3.2-4)

b. leiding z

=

0 u

=

0

(diameter D) w 0 (3.2-5)

z

=

D u

=

0

(3.2-ó)

w 0

De laatste voorwaarde is eigenlijk teveel; daarentegen is de

drukgra-diënt in dit geval onbekend. Door integratie van de

continuïteitsver-gelijking volgt uit de laatste voorwaarde (voor een 2-d geval)

D

_Q_

J

u dz

dX

o

(3.2-7)

o

en hierdoor wordt impliciet de druk vastgelegd (zie Par. 3.4).

c. kanaal (diepte a, bodemhoogte zb)

u = 0

-23-z h

( ah)

at

_{+ u}

ah

_{ax -}

_w

o

(3.2-9)

au

az

o

("free slip") (3.2-10)

Als randvoorwaarde in de x-richting (stroomrichting) is bij de grens

laag-benadering a~~een aan de instroomzijde iets nodig, nl. het snelheidsprofiel.

u(O,z)

=

uo(z) (3.2-11)

Aan de uitstroomzijde kan geen voorwaarde voor de snelheid worden opgelegd; dit

is het gevolg van de verwaarlozing van de diffusietermen in de stroomrichting. Zie echter de opmerking over opstuwing hierboven.

3.3. Iets over turbulentie

Turbulente stroming van water ~s regel, laminaire is uitzondering. Voor een bespreking van turbulentie zie bijv. Tennekes en Lumley (1972) of het

college Stromingsleer b 56B of Turbulentie b82. Hier wordt ermee volstaan om op te merken dat, door de onregelmatige beweging van vloeistofdeeltjes en dekrachten die ze daarbij op elkaar uitoefenen, een schijnbaar hogere viskositeit in de vloei

-stof heerst. Eèn van de meest gebruikelijke methodes om tûrbulente stromingen te berekenen is dan ook het invoeren van een effectieve turbulentie-viskositeit

v

t in plaats van de moleculaire viskositeit V. Er is echter, nog afgezien van

de orde van grootte, een essentieel verschil tussen beiden. De moleculaire

viskositeit V is een eigenschap van de vloeistof die niet afhangt van de

stroming (wel van de temperatuur van het water). Aangezien de turbulente

vis-kositeit

v

t duidelijk met de intensiteit van de turbulente fluktûaties samen

-hangt en die weer met de mate van vervorming van de vloeistof, is hij een

stromingseigenschap. Voor één en dezelfde vloeistof (water) kan

v

t sterk van

plaats tot plaats verschillen.

Door Prandtl (1925) is een eenvoudige theorie voor grens lagen ontwikkeld die

zegt dat de turbulente viskosi tei tevenredig is met de snelheidsgradiënt en met de

"vrije weglengte" van de vloeistofdeeltjes, de mengweglengte I.

V_t =

l2l

au

_dZ

\

(3.3-) )

De mengweglengte zal wel iets te maken hebben met de afstand tot de wand, aange -zien de vloeistofdeeltjes dichtbij de wand minder "bewegingsvrijheid" hebben

-24

-dan die veraf:

t

Kz (3.3-2)

waarin K ~ 0,4 de constante van Von Karman voorstelt.

Om het effect van de turbulentie te laten Zlen bekijken we het geval van

üniforme stroming tussen twee vlakke platen. Noemen we de drukgradiënt -pgi dan geldt voor laminaire stroming

au 0 dus 0 ax = w a2u -gi

\)

W

(Y z2 dus u a + bz - !2. _i \)

uit de randvoorwaarden

u = 0 voor z

=

0 en z

=

D volgt u

=

gi z(D - z) 2\) (3.3-3) (3.3-4) (3.3-5) (3.3-6) (3.3-7) (zie Fig. 3.3).

Voor turbulente stroming met de mengwegbenadering van Prandtl geldt:

I

au

I

aU)

dZ az -gi (3.3-8)

Dit kan uit symmetrie overwegingen alleen in de onderste helft van de waterlaag worden toegepast (in de andere helft zou I

=

K(D - z) zijn).

Integratie van (3.3-8) geeft dan

(KZ ~~

r

= a - gi z (3.3-9)

au Uit de symmetrie volgt tevens dat

az

o

op z ~D dus au KZ az I {gi (D _ 2Z)}2 2 (3.3-10)

-25-Dit kan weer geïntegreerd worden tot

I (g~D) ~ { I +

11

-

2z' KU = In .n I -

11

-

2z'_o

- 11 -

2z'

L

+

II

-

2z' ~ 2 (11 - 2z' :_-/I - 2z') o (3.3-11)

met z'

=

z/D. Hierbij is verondersteld dat u

=

0 op z

=

zo' d.w.z. op een kleine afstand tot de wand. Deze afstand heeft iets te maken met de ruwheid van de wand.

In Fig. 3.3. zijn de snelheidsprofielen voor laminaire en turbulente stroming getekend. Let op dat slechts de verhouding tot de gemiddelde snelheid is uit-gezet. De gemiddelde snelheden zelf kunnen bii gelijke drukgradiënt sterk ver-schillen. De turbulentie heeft door de grotere uitwisseling in zijdelingse richting tot gevolg dat het snelheidsprofiel afgeplat wordt. Aangezien de snelheid bij de wand toch nul moet worden, ontstaan daar sterke snelheidsgra-diënten. 0.5

z

o

t

1..!l.

o

= -3 -2 10 10 1 1 1 tomi ncir 11

/1

/ ,,;/ tur bulent

~ .... /

__

...

-:::,..."...'"

o~~~~~~~~--,---r---~---o

0.5 1.5

Fig. 3.3. Snelheidsprofielen voor uniforme stroming tussen twee platen, laminair en turbulent.

-26-3.4. Bepaling drukgradiënt

De drukgradiënt dient als aandrijvende kracht in een grens laag. In een

"echte" grenslaagstraming is de druk gelijk aan de druk buiten de grenslaag

(afgezien van een eventuele hydrostatische component). Als verondersteld wordt dat daar een niet-viskeuze stroming heerst met een snelheid u (x) in de

e

richting langs de wand, volgt uit de impulsvergelijking

dU

e

u

--e dX (3.4-1 )

De verdeling van u kan bijv. gehaald worden uit een berekening van poten

-e

tiaalstroming zonder grens laag (of alleen met een correctie voor de grens

-laagdikte). De drukverdeling p is dan bekend.

e

Bij stroming ~n een leiding is er geen sprake van een externe stroming en

moet de druk op een andere manier bepaald worden. Daarvoor geldt de vo

or-waarde dat het debiet constant moet zijn:

D

J

u dz

o

o

(3.4-2)

Hierdoor wordt de druk impliciet vastgelegd. Hij moet dan tegelijk met de stroming berekend worden. Voor een benaderingsformule, gebaseerd op (3.4-2) zie Spalding (1978).

Bij stroming ~n een kanaal met vrije waterspiegel is er een soortgelijk mecha -nisme. De druk aan het vrije oppervlak is constant en wordt gewoonlijk nul ge -steld. De drukgradiënt is dan

_!_~

p

ox

o

h

g

ox

(3.4-3)

De waterhoogte h of de waterdiepte a volgen hetzij uit de kinematische r and-voorwaarde (3.2-9), hetzij uit de gelntegreerde continulteitsvergelijking

o

h

dX f u dz

zb

o

(3.4-4)

Als het water vertraagd wordt moet de diepte dus toenemen in verband met

-27-Het is duidelijk dat de laatste twee gevallen sterk op elkaar lijken. Men past

dan ook soms de

r

ig

i

d

-

Zid

benadering toe (als men tenminste niet in

oppervlak-tegolven geïnteresseerd is) door de waterspiegel vast te houden en daarop een

druk ongelijk nul toe te laten. De druk is dan volgens (3.4-3) een maat voor

de uitwijking die de waterspiegel eigenlijk zou moeten hebben. Er wordt een·

fout gemaakt door in de continuïteitsverg. (3.4-4) niet met dit gewijzigde

__doorstromingsprofiel te rekenen (Fig. 3.4).

Ap=p~h

p=Q

-

...

.

druk opwand

/' /' /'

wukelijk

snelheidsprofiel snelheidsprofiel

bij rigid-lid benadering I I I I '/ ////"' ..'=/-///= werkelijk

-28-4. Grenslagen numeriek

4.1. Enkele numerieke methodes

In dit hoofdstuk worden alleen (kwasi-) stationaire grens lagen besproken. In Par. 3.2. is al gewezen op de overeenkomst met de convectie-diffusie

-vergelijking. Dat komt ook tot uiting in de numerieke methodes. Een een-voudige

exp

l

icie

t

e

methode zou bijv. zijn

u . - u . k,J+1 k,]-I + 21::::.z -\) u . -k,J+1 2uk . + u, J k,J-. 1 _(4.1.-I)

waarin Uk,j = u(kl::::.xjl::::.z), etc.. Nadat uk+l,j hieruit lS opgelost kan de dwarssnelheid bepaald worden uit bijv.

(u. - uk' uI' 1 - u .

I)

w . I k+l,J ,J k+, J - k,]- + k+l,J ~ I::::.x + . I::::.x - w k+l,j-1 =0 I::::.z (4.1-2) me t randvoorwaarde wk+1,1 0 (bodem). berekening u berekening w stroom-~ richting ,// ;/_=////=//// wand

Fig. 4.1 Expliciete berekening voor grenslaag.

Deze expliciete methode wordt weinig toegepast omdat stabiliteitscriteria

dwingen tot een kleine stapgrootte I::::.xDit. is vooral zo bij turbulente grens

-lagen. In verband met de sterke gradiënt bij de wanden (Fig. 3.3) zal men daar

proberen I::::.z klein te kiezenmaar dat houdt dan tegelijk een sterke begrenzing

van I::::.x in.

Meestal worden impliciete methodes gebruikt in combinatie met een coördinaten

-transformatie om het rooster in de buurt van de wand te verdichten. (Keller

1978 , zie ook Cebeci & Smith, 1974, Spalding (1978). De coördinatentransformatie dient twee doeleinden:

-29-bijv. do~r een rooster met variabele ~z te gebruiken (KeIler) (Fig. 4.2).

!A

Z

////=////

vcr icbele maaswijdte

Fig. 4.2 Roosterverdichting bij wand.

b. Aansluiting bij de variërende grens laagdikte (resp. leidingdiameter of water-diepte). In de beide varianten wordt dit bereikt door de dwarscoördinaat z

dimensieloos te maken met de (geschatte) grenslaagdikte. Deze gedraagt zich

I

in speciale gevallen ongeveer als xi, wat leidt tot de Levy-Lees transformatie (toegepast door KeIler).

_1

Tl'V ZX 2 (4.1-3)

In werkelijkheid kan de grens laagdikte op een andere manier variëren zodat

de getransformeerde dikte nog niet helemaal constant is. In het andere geval wordt het doel bereikt door de .deb ietva riáti e te normaliseren:

Tl

z

f

u dz Ijle- Ijlw0

(4.1-4)

Hierin is Ijlde stroomfunctie, gedefiniëerd door

a

Ijl

u =

az

w (4.1-5)

(waardoor automatisch aan de continuiteitsvere. wordt voldaan); Ijlwis de

waarde op de wand en Ijledie aan de rand van de grenslaag; deze moet apart bepaald worden. In dit geval loopt Tlvan 0 tot 1.Achteraf moet de "echte" coördinaat berekend

worden uit

z = (4.1-6)

zie Fig. 4.3 voor een voorbeeld .

.j\angeziende meeste methodes slechts twee x-niveaus omvatten 1S de stapgrootte ~x gemakkelijk te variëren. Spalding advis~ert

-30-lines of constant Ijl

x

Fig. 4.3.Variabel rooster volgens Spalding.

Het gevolg van de coördinaten trans formatie is dat er extra termen in de verge -lijkingen verschijnen. Zo is

au

ax

au au an

ax +

aT)

ax etc. (4.1-8)

Voor de overzichtelijkheid geven we hier de numerieke schema's in een niet getransformeerd coördinatenstelsel. Voor de getransformeerde vormen zie de oorspronkelijke publicaties.

In het zgn.

Xelle

r-

bo

x

schema worden de vergelijkingen geschreven als een stelsel Ie orde differentiaalvergelijkingen:

ou

aw

ox

+

äZ"

= 0 au au I OT u

ox

+ W

a;: -

p

äZ"

o

u

T = P\) -

_o

_z

(4. 1-9) (4.1-10) (4. I-I I)

~

_oz

=

0 (4.1-12)

Op iedere vergelijking wordt een 4-punts impliciet schema toegepast (zie Fig. 4.4) .

u I' + u . - u . - u . wk I . I - w . + wk' - wk .

k+ ,J+I k+I,J k,J+I k,J + + ,J+ k+I,J ,J+I ,J=0

2~x 2~z (4.1-13) uk_{+ ,}I . I +_J+ uk_{+ ,}I _J. -uk_,J.₊I- uk'_{,J =} uk_+I,J+. I- uk_{+ ,}I . + u_J k'_,J+I-uk,J' u 2~x + w 2~z . + Tk+1 ,j+1-Tk+1,j + Tk,j+1 - Tk,j = 2p~z Pk+1 ,j+1+Pk+1,j-Pk,j+1 -Pk,j 2p~x (4.1-14) (4.1-15)

-31-o

(4.1-16)

Hierin wordt voor u en

w

het gemiddelde tussen de vie~ betrokken punten

ge-nomen. Het resultaat is een niet-lineair stelsel algebraische vergelijkingen.

Voor ieder x-niveau wordt dat opgelost dóor middel van Newton-iteratie. De

vergelijkingen voor de correctie per iteratiestap zijn lineair met een blok-tridiagonale structuur zodat ze snel opgelost kunnen worden. In de praktijk blijken 2 à 4 iteraties voldoende te zijn.

Keiler Spalding

stroom-ric:hting

k k+1

Fig. 4.4. Impliciete grenslaagberekeningen

Spalding gebruikt een volledig impliciet 3-punts schema voor de impulsverge-lijking, dat in de oorspronkelijke uniforme coördinaten ongeveer neer zou komen op (zie Fig. 4.4.)

f

₁ uk 1 . 1 - uk ._{+ .]+ ,]+ +}I ₁uk 1 . - uk ._{+~] ,] + 1}uk 1 . 1 - uk .-_{+ .]- .]}I ] ₊

u ~ ~x 4 ~X 8 ~X

- _!_ ~

p dX (4.1-17)

Aan de wand kan dit niet worden toegepast; daar wordt de "wandwet" gebruikt (zie Par. 4.3.). Vergelijking (4.1-17) leidt tot een lineair tridiagonaal stelsel dat met behulp van het Thomas-algorithme kan worden opgelost.

-3

2-4.2. Eigenschappen

Uit de bekende stabiliteitseigenschappen voor parabolische vergelijkingen (zie bijv. Roache, 1976 of college b84, Vreugdenhil, 1979) volgt dat de im

-pliciete schema's van Par. 4.1. stabiel zijn ongeacht de stapgrootte 6x en 6z. Het toepassen van een kleine stapgrootte 6z bij de wand leidt dus niet tot stabiliteitsproblemen. De expliciete methode (4.1.1.) heeft als sta bili-teitsvoorwaarde

(4.2-1)

waarin cr -w6x~ (Courant getal)

u LlZ (4.2-2)

2 \)6 X

u6z2 (diffusie-parameter) (4.2-3)

Het eerste deel van (4.2-1) leidt tot een begrenzing van 6x:

(4.2-4)

terwijl verder een begrenzing van 6x als functie van 6z wordt gevonden. Deze is vooral hinderlijk als 6z klein iS (bij de wand). Dit is het belangrijkste motief om impliciete methodes te gebruiken.

Wat de nau~keurigheid betreft Zijn de expliciete methode en die van Spalding

mln of meer gelijkwaardig nl. O(6x,6z2). De KeIler-box methode is O(6x2,6z2).

Voor eerstgenoemde methodes ishet Ie orde gedeelte van de afbreekfout van de vorm (overgebracht naar het rechterlid)

(4.2-5)

gebruik makend van de differentiaalvergelijking om x-afgeleiden in z-afge

-leiden om te zetten. Er blijkt dus een numerieke diffusieterm (numerieke viskos i-teit) te zijn met een (negatieve!) diffusiecoëfficiënt.

2

W

U 6x (4.2-6)

Bij Spalding treedt dezelfde numerieke diffusiecoëfficiënt op maar nu met een

-3

3-Enige nauwkeurigheid kan slechts verwacht worden als D klein is t.o.v. num

de fysische viskositeitscoëfficiënt

v

:

D

I ~uml

= w

2!:,x

« 1

2uv (4.2-7)

Zoals gebruikelijk bij ook onderhevig aan een

b84)

Re = w!:,z< 2

!:,Z V

gebruik van centrale z-differenties zijn beide schema's beperking van het cell- Reynolds getal (zie college

(4.2-8)

Als hieraan niet voldaan wordt kan onnauwkeurigheid verwacht worden, eventueel gepaard gaand met oscillaties in z-richting. Dit is geen ernstige beperking

zolang w klein is. Bij grotere dwarssnelheid worden door Spaldirig"upwind" differen -ties toegepast. Deze verhogen de nauwkeurigheid echter niet. Zie daarover verder hoofdstuk 8. Ondanks het feit dat het KeIler-box schema niet op dezelfde manier centrale differenties gebruikt is het onderhevig aan dezelfde beperking (4.2-8).

4.3. Turbulente grenslagen

De behandelde methodes zijn zonder meer toepasbaar voor turbulente grens lagen als er rekening mee gehouden wordt dat de viscositeit vt variabel is (zie bijv.

(4.1-15) en (4.1-17». Wel treedt er een moeilijkheid op aan de wand in ~erband met het logarithmische karakter van de snelheidsverdeling. Dit blijkt uit de

evenwichtsverdeling (3.3-11) maar het is eenvoudig aannemelijk te maken dat het -zelfde karakter optreedt bij niet-uniforme of niet-stationaire grenslagen.

-

34-De moeilijkheid komt van het niet-uniforme gedrag van de afbreekfout van (bijv.)

de viscositeitsterm in (4.1-17); die fout is van de vorm

(4.3-1)

In de buurt van de wand is v ~ z en u ~ In z; dan blijkt de tweede term van de fout zich te gedragen als ~z2 z-3 en dat wordt niet klein als z and ~z van d e-zelfde orde van grootte zijn.

De eerste oplossing voor dit probleem ~s een zodanige coördinatentransformatie toe te passen dat

Tl ~ In z (4.3-2)

in de buurt van de wand. Het singuliere karakter van de snelheidsverdeling v er-dwijnt dan en de afbreekfout wordt klein met ~Tl. Het gevolg is dat de roos ter-punten dicht bij de wand geconcentreerd worden zodat een vrij groot aantal punten nodig zal zijn om de rest van het gebied ook nog te overdekken.

De tweede oplossing is het toepassen van de "wandwet". Dichtbij de wand wordt g e-bruik gemaakt van een benaderde analytische oplossing. Er wordt verondersteld dat de volgende relatie, die op de wand geldt:

_!_lP_

p dX (4.3-3)

bij benadering ook op kleine afstand van de wand geldt en wel tot het eerste roosterpunt. Als het rechterlid onafhankelijk van z wordt verondersteld, volgt

dU

T.lp = v

-t dZ u

_"*

2 (I - z/a) (4.3-4)

waarin a de waarde van z ~s waarop T. na extrapolatie nul zou worden. Verder is

u 2 (T. Ip)1/2 de schuifspanningssnelheid (onbekend). Uit (4.3-3) en (4.3-4)

"*

w

volgt

a = pu 2 (dpldx)-l

"*

(4.3-5)

Met (3.3-1) en (3.3-2)volgt nu voor het snelheidsprofiel dicht bij de wand:

u

"*

In

5

-:-

_

+

_

/

-;

=

1

==

z

:;:

O

7. -

/

1

-

z~ - /1 - zI

1_

2 {/1 _ z' - /1 - z'} +

/1

+ z'

f

0 (4.3-6) u K.

Vergelijkingen (4.3-4)...(4.3-6)vormen drie vergelijkingen met 4 onbekenden (a, u , u, T.) die samen tot een randvoorwaarde in het eerste roosterpunt kunnen

"*

-35-numerieke berekening ligt dan op een kleine afsta~d van de fysische rand. Die afstand moet zo gekozen worden áat de genoemde benaderingen nog zinvol zijn. 5. Grenslagen, voorbeelden

5.1. Turbulente grenslaag

Een voorbeeld van de berekening van een turbulente grenslaag bij een niet-uniforme drukgradiënt wordt gegeven door Cebeci en Smith (1974). Het gaat om

een grens laag ~n laboratorium-omstandigheden, waaraan metingen zijn verricht door Bradshaw en Ferriss. De drukgraciiënt wordt gekarakteriseerd door de snelheid u buiten de grenslaag (Verg. 3.4-1) die als volgt is ingesteld

e

(x gemeten vanaf het begin van de grenslaag)

u = x-0,255 1,92<x<3,92 ft

e

overgang

3,n<

x

<5

ft (5. 1-1)

u = const. 5 <x<7,92 ft e

Dit zöu een simulatie kunnen z~Jn van de stroming ~n een leiding met diver-gerende en daarna evenwijdige wanden.

Cebeci en Smith hebben een berekening met de Keller-box methode uitgevoerd beginnend op x = 2 ft (fig. 5.1., de publikatie is hier tegenstrijdig over). Stapgrootten zijn niet aangegeven. Voor de beschrijving van de turbulentie is gebruik gemaakt van de mengwegbenadering (3.3-1) voor y < ó en een con-stante viscositeit vt daar buiten. In fig. 5.1 worden gemeten en berekende snelheidsprofielen vergeleken op drie stations. Hieruit kan een indruk van de nauwkeurigheid worden verkregen. De berekende snelheid blijft dicht bij "de wand wat achter bij de gemeten waarde.

Verder zijn ~n fig. 5.1 de dimensieloze wandschuifspanning Cf en de dim en-sieloze grens laagdikte Re (uitgedrukt in een getal van Reynolds) aangegeven,

gedefiniëerd volgens

c

=

T

C!p

u2)-1 wrijvingscoëfficiënt (5.1-2)

f wee Re u ev-_e 1 00 e

_f

u (I u dz met

-

-) ue u 0 e (5.1-3)

-3

6-Het blijkt dat met name de ontwikkeling van de wrijvingscoëfficiënt niet zo nauwkeurig wordt berekend, wat samenhangt met de snelheidsprofielen dichtbij de wand. X=6.92ft 0.8 X·5.42ft 1.0 0.6 u

ut

_{DATA OF BRADSHAW AND}

FERRISS (1965) PRESENT METHOD 0 2.0 RexlÖ" CfxI03 Cf 0 0 0 2 4 6 8 x(ft) 00 _{2 3 4 5} Y (in.)

Fig. 5.1 Grenslaag ~n variabele drukgradiënt (Cebeci en Smith, 1974).

5.2. Stromingsontwikkeling ~n een buis

Bij de instroming van een vloeistof in een buis stelt de evenwichts

-verdeling zich pas na een zekere afstand in berekeningen van de ont

-wikkeling van het snelheidsprofiel zijn o.a. uitgevoerd door Taylor et al

(1977). Vanaf het begin van de buis ontwikkelen zich grenslagen terwijl de

kern nog een min of meer uniforme-snelheid heeft (Fig. 5.2). De hele stroming

kan dus als "grenslaag-achtig" beschouwd worden. Daarvan is overigens in de

berekeningen geen gebruik gemaakt; de volledige vergelijkingen voor een 2-d

-37-I·

~v~IOP'"9 flow

I

Developed

• • fl

••

ow

Fig. 5.2 Schema van stromingsontwikkeling in een buis

Voor de beschrijving van de turbulentie is gebruik gemaakt van een

turbulentie-viscositeit vt die continu in de moleculaire viscositeit V overgaat, volgens

een formulering van Van Driest(voor details zie de oorspronkelijke publikatie).

Als numerieke techniek is een eindige-elementen methode gebruikt, gebaseerd op de Galerkin methode met parabolische interpolatiefuncties. Dit blijkt echter 1n de buurt van de wanden tot onnauwkeurigheid te leiden omdat de snelheids-verdeling daar logarithmisch is. Er is daarom een speciaal "wand-element" in-gevoerd dat een logarithmisch verloop toelaat. Dit is te vergelijken met de

wandwet-benadering (par. 4.3).

Voor een turbulente stroming bij Re = 105 (gebaseerd op de uniforme aanstroo m-snelheid en de buisdiameter) worden enkele resultaten gegeven. Fig. 5.3 geeft het volledig ontwikkelde snelheidsprofiel (bij x/D = 60) voor een fijn rooster

(8 elementen à 2 knooppunten in dwarsrichting) en een grof rooster (5 elementen in dwarsrichting), het laatste al of niet met éen logarithmisch wandelement.

1-4 o 0 o 2

::.~-*

(:0

06 )( o __ -)(~---)( 1'2 o 02

o~---~---~---~---~---~

o 0-2 0-4 0-6 08 1-0 Y/R

Fig.10. Axial velocity plot atXID =60 lor developing ftowRI<=Ix10'_-. fine mesh; x. logcourse mesh;O.ordcourse mesh.

-38-De snelli~idsprofielen met fijn rooster en met grof rooster + logarithmisch wandelement komen goed overeen zodat aangenomen mag worden dat die nauwkeurig

zijn. De "standaard" oplossing met het grove rooster blijkt duidelijk niet in

staat de sterke gradiënten bij de wand weer te geven.

Figuur 5.4 geeft op twee manieren de snelheidsontwikkeling aan, gedeeltelijk

vergeleken met metingen. Ook daaruit blijkt nog een keer (voor r

=

0) dat de

standaard-elementen op een grof rooster niet voldoen maar dat de overige re-sultaten er redelijk uitzien. De instelling van het ontwikkelde

snelheidspro-fiel blijkt ca. 30 maal de diameter aan instroomlengte te vragen.

06 o7 o8 09 10 1·1 1 2

uIQ

Fig. 11. Axial velocity profile plot for developing flow RI'< =IX10'.

I·, 0 0 0 rIR 0 0 0 x x )( 00 12 x )( À--À-À

o

~_..!--À-JJ:

o>-t

x

)(~I__

x_I __ "-..

,

_{x-À---l 06}

"

'x ..x__ )(-x __ ,,__ x --,, _ X X

'-

x,x --;r--x-x--x

-=

--:

" x 084

..

095 06 0988 O,L---~-- __L_ ~ ~ _L ~ o 10 20 30 50 60 x/o

Fig. 12. Variation inaxial velocity R..= IX 10'. -. finemesh; x. logelement (course); O. std element

(course); ...Richmond expo

Fig. 5.4 Ontwikkeling van het snelheidsprofiel en vergelijking met

-39

-5.3. Tijdsafhankelijke grenslagen

In het voorafgaande is steeds verondersteld dat de stroming stationair is maar niet uniform in x-richting. In sommige gevallen kan het een nuttige benadering

zijn om het omgekeerde te veronderstellen: een stroming die wel tijdsafhankelijk is maar m~n of meer uniform in x-richting. De grenslaagvergelijkingen worden dan

dU I ..?E_ _{d ( dU )} (5.3-1)

at

+-p dX

az

\it ~ ..?E_ _-pg (5.3-2) dZ

Aangezien dU klein is verondersteld, dw en voor w zelf. Alle

dX geldt dat ook voor

az

convectietermen in (5.3-1) zijn daarom verwaarloosd. Vergelijking (5.3-1) lijkt erg veel op (3.2-1) of (3.2-2) met dien verstande dat er nu geen convectieterm meer voorkomt. Deze benadering is o.a. toegepast bij het bestuderen van oscil

-lerende grenslagen, oceaanstromingen onder invloed van variërende wind, en getijstromingen. Een voorbeeld van het laatste is het werk van Smith en Takhar

(1979). In hun geval is de drukgradiënt afkomstig van de waterspiegelhelling; deze

wordt bekend verondersteld in de vorm

_!_..?E_

p dX - Po sin wt (5.3-3)

waarin Po een constante is, w

=

2n/T en T de getijperiode. Daarmee hoeft alleen de diffusievergelijking (5.3-1) voor u nog te worden opgelost.

Smith en Takhar gebruikten verschillende turbulentiemodellen om de viscositeit \it

te bepalen. De eenvoudigste vorm was een zgn. I-vergelijking model (of k-model) waarin wordt verondersteld

(5.3-4)

Hierin is cl een coëfficiënt, k de turbulente kinetische energie of de intensiteit van de turbulentie, en L een nader te specificeren lengteschaal. Voor de kinetische energie kan een balansvergelijking worden afgeleid die er voor deze benadering a.v.

uitziet:

dk = \i (dU)2 _

dt t dZ

k

3/z

+ ~

(D

dk )

c2 L dZ t dZ (5.3-5)

-4

0-De verschillende termen hebben achtereenvolgens de volgende betekenis: 1. verandering van de kinetische energie per volume-eenheid;

2. arbeid verricht door de schuifspanning

v

t

dU/dZ

bij de vervorming

OU/dZ

van

de vloeistof;

3. dissipatie van energie, omzetting ~n warmte; hierin is c2 een empirische con-stante;

4. diffusie van energie door turbulentie. Er wordt verondersteld dat Dt empirische constante c3•

De lengteschaal

Z

heeft iets te maken met de mengweglengte van vgl. (3.3-1). Er wordt verondersteld dat hij er in een getijstroming uitziet als aangegeven in

fig. 5.5. 0'14 ..---~---., 0'12 0'10 ::t:

-

0 ..J

~.

ä. c:

..

..J c:

.s

Ö Q, 0·0 -;;

..

0 0'02

_-

-- - ---

--

-

-.... ,-,/ / / I / / / I I i I I I I I I I I I I 2 Equatian Model --- I Equation Model o o 0·2 0·4 0'6 08 1·0 Height above BedI ylH

Fig. 5.5. Verloop lengteschaaloverwaterdiepte

Bij de wand is een soort wandwet analoog aan (4.3-6) gebruikt. Uit vgl. (5.3-5) volgt bij lokale verwaarlozing van de tijdsafhankelijke en diffusietermen

T 2

k2 _ I

(

v

OU)2 _ I (

w

)

-S

t~

-s-

P

(5.3-6)

Dit kan vlak bij de wand als constante worden beschouwd.

Er moeten nu twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen (5.3-1) en (5.3-5) van het diffusietype worden opgelost. De numerieke techniek wordt in het rapport van Smith en Takhar niet besproken; het is een variant van de methode van Patankar en Spalding (1970), zie ook Par. 4.1. Om een periodieke oplossing te bereiken is, een willekeurige begintoestand voor u en k genomen en is er doorgerekend tot de

-41-situatie zich begon te herhalen.

Het wiskundig model is o.a. vergeleken met laboratorium metingen. De waterspi

egel-helling werd rechtstreeks uit de waarnemingen gehaald. De constanten Cl' c2 en

c3 werden zo ingesteld dat de maximale vloed- en ebsnelheden zo goed mogelijk met

de metingen overeenkwamen. De gekozen waarden zijn dan

1,8 c2 =0,225

Een vergelijking van de berekende snelheid aan het oppervlak met de metingen ~s

te zien in fig. 5.6 .. Berekende snelheids- en energieprofielen zijn weergegeven ~n

fig. 5.7 .. 4·0 v

..

2·0

..

-

E u e-, v 0 0 v > ... u-2·0

s

_..

::J VI Nurneric cl Solution Yolinor.d nU'Sfll 1966 { srr""C'lh<d dutCl} Iro," HUN 2 20 40 60 80 100 120 Time secon d5

-42 -0·2T 0·4T O·IT OT 1·0

EBB

Froctional d epth O·S 3·0 1'0

o

1'0 4·0 Velocity cmls 0·9T 0·7T 3·0 4'0

VELOCJTY PROFILES IN TIDAL OPEN CHANNEL FLOW

0'4T 0'2T O-IT 1'0 OT 07T O'ST FLOOD Fractionol depth O'S

EBB

6-0 Turbulenc e energy cm2/s

TURBULËNCE ENERGY PROFILES IN TIDA L OPEN CHANNEL FLOW

-43-6. Grenslagen 1n tijd en ruimte

De benadering van Par.

5.3.

kan niet altijd toegepast worden omdat niet-statio -nair~ grenslagen tegelijk vaak niet uniform zijn. Dit is bijv. veelal het geval in getijstromingen. Het wiskundig probleem 1S ingewikkelder dan een "gewone" grens laag omdat zowel de tijdvariabele als de plaatsvariabele een rol gaan

.spelen. In twee ruimte dimensies wordt de beschrijving: au a ( u2 ) a I~ a (v au)

at

+-ax +-

dZ

(uw) +-p ax

az-

az 0 au aw 0 dX +-az

De drukverdeling blijft hydrostatisch:

(6-1)

(6-2)

p pg (h - z) (6-3)

Voor V kan uiteraard zonodig de turbulentie-viscositeit gelezen worden. In werkelijkheid is de stroming 1n een rivier niet twee-dimensionaal en moet

(6-1) worden gezien als een over de breedte gemiddelde impulsvergeiijking

waar-na de breedte constant verondersteld is. Eigenlijk ontstaan bij het middelen van niet lineaire termen nog "dispersie" of "differential convection" termen:

b

f

(u - -u) 2 dy (6-4)

o

Het tweede stuk beschrijft een netto impuls transport in de x-richting tengevolge van de niet-uniforme snelheidsverdeling over de breedte. Het belang van deze term is niet erg duidelijk.

Aangezien er nu twee "tijdachtige" variabelen zijn 1S de rekentechniek niet meer zo eenvoudig als bij stationaire grenslagen. Het is gebruikcl~k om de vergelij-kingen stapsgewijs in de tijd op te lossen; expliciet kan dat in de volgorde:

(6-1) levert u

-44-De verandering van het vrije wateroppervlak volgt hetzij uit de kinematische

randvoorwaarde

ah ah

at

+ u ax w

o

z = h(x,t) (6-5)

of (meer gebruikelijk) uit de geIntegreerde continuIteitsvergelijking

h

J

u dz = 0

zb

De druk volgt tenslotte uit (6-3).Door de vrij ingewikkelde vorm waarin de

(6-6)

waterspiegelhoogte h via de drukterm in (6-1) voorkomt is het niet eenvoudig om impliciete technieken te gebruiken. Bovendien zou een impliciete methode tot een stelsel vergelijkingen voor het 2-dimensionale veld u(x,z) leiden dat door

zijn grootte nogal veel rekentijd zou vragen. Anderzijds leidt een volledig

expliciete methode tot stabiliteitsgrenzen van het type (deze geven alleen het

karakter aan)

;ga

g -M

<

(golven) (6-7) t:.x u t:.t

<

_{I , w} t:.t

<

_{(convectie) (6-8)} t:.x t:.z M 2v

P

<

(diffusie) (6-9)

Bij een toepassing op (bijv.) de Rotterdamse Waterweg met (in orde van grootte)

a = 20 m, u = Im/s, V = 0.1 m2/s (turbulent),t:.x

=

1000 m, t:.z

=

I m zouden

deze criteria leiden tot resp. t:.t

=

70 s (golven),t:.t 1000 s (convectie),

t:.t = 5 s (diffusie).Met name de laatste beperking LS praktisch onaanvaardbaar.

Men heeft daarom gemengde expliciete/implicietemethodes gezocht.

Perrels (1979) (zie ook Perrels en Karelse, 1980)behandelt alle processen

expliciet behalve de verticale gradiënten. Dit wordt bereikt door splitsing van de

impulsvergelijking (6-1) in twee stukken die afwisselend opgelost worden: explicie

o

(6-10)

en impliciet

au + a (uw) _

1_

(v au)

at äZ az az

o

-45

-Verder wordt (6-6) expliciet opgelost. De term met vn 1n (6-10) is een nume-rieke diffusieterm die dient voor stabilisatie van de expliciete methode

(FTCS forward time, central space). Als de dispersieterm in (6-4) belangrijk zou zijn, zou die echter ook in een dergelijke vorm in rekening gebracht kun-nen worden. Het wordt dan van belang om de fysisch correcte waarde van vn te vinden.

Het is mogelijk ook de bepaling van de waterhoogte impliciet te maken

door de (I-d) vergelijking (6-6) samen met de over de verticaal gemiddelde 1m-pulsvergelijking, die daardoor ook I-d wordt, impliciet op te lossen. Hoewel dit geen echt impliciete methode is blijkt het wel mogelijk, aan het stabiliteitscri-terium (6-7) te ontkomen.

Als voorbeeld is in Fig. 6.1 een berekening van PerreIs (1979) gegeven van de getijstroming 1n een laboratoriumgoot, waarin ook gedetailleerde metingen zijn gedaan. De meetresultaten zijn met een geschatte onnauwkeurigheidsmarge in de figuur opgenomen. Het blijkt dat de berekende snelheidsverdelingen in het alge-meen binnen die marge liggen.

De dimensies van de goot en enkele numerieke grootheden zijn:

lengte ca. 100 m diepte 0,216 m getij periode 558,75 s getij amplitude 0,025 m bovenafvoer 0,0029 m3/s 6x ca. 2 m 6z ca. 0,01 m M 0,9 s Enkele opmerkingen:

a) Er is gebruik gemaakt van een "ademend" rooster, d.w.z. dat de (variërende) waterdiepte steeds in een gelijk aantal intervallen wordt verdeeld. Formeel

is hiervoor een coördinatentransformatie nodig.

b) Als randvoorwaarde aan de "zeerand" is alleen de waterstandsvariatie opge-legd. Voor de stroomsnelheid is ook een randvoorwaarde nodig, maar als daar eerst metingen voor gedaan zouden moeten worden, werd het voorspellend ver-mogen van het wiskundig model ernstig beperkt. Daarom is als "zwakke" rand-voorwaarde opgelegd

-46-o

voor iedere z (6-12)

uit de restuitaten blijkt dat dit voldoende is om een redelijk snelheids-profiel te krijgen; kennelijk zijn de krachten die in het model werken daar-voor belangrijker dan de randdaar-voorwaarde.

c. Aangezien het turbulente stroming betreft is gebruik gemaakt van de m

engweg-benadering (3.3-1).Hoewel de stroming niet-stationair is zijn de variaties zo traag dat dit toelaatbaar is.

d. Aan de bodem treedt een soortgelijk logarithmisch snelheidsverloop op als in een "gewone" grenslaag. Daarom is ook van de wandwet gebruik gemaakt om dit gedrag te beschrijven (zie Pàr. 4.3).

e. De begintoestand is in principe onbekend; daarom is de berekening met perio-dieke randvoorwaarden uitgevoerd totdat de hele stroming periodiek werd. Dit bleek na ca. 4 getijperiodes in voldoende mate het geval te zijn.

....

_

...

\

\

""-

\

'

-4

\

....

__

\

,

• ,...._.-4

"'.

,

'

''

'

-'1

'<. O,20m Z

i

=0,96

t

I ..r-~ I I ...--Iol I I I---.I.t I I I .. -r-( I : ~ = 0,16 : I I

!

i

=0,64 I

....

-;

.

~

t=0.4

,

~

""",

I

...

__, \ !-.

-,,"1

\ ' .... f .. ' 1-'_'\ t·· ..~..• \

..

.

_'~ \ p -I I ~"""I .' .~.;l--·. . .

.

..

.

~

...

:

,

.

.

'

-.

.

.

' -0,2 -0,1 .1 _-u O.

Fig. 6.1 Snelheidsverdeling in getijgoot op 11 m vanaf de "zeerand".

Gemeten snelheden liggen in de door horizontale streepjes aangegeven intervallen.,(Perreis, 1979).

-47-7. Onsamendrukbare viskeuze stroming

7.1. Formulering

Een beschrijving van vloeistofstroming in veel praktische gevallen wordt gegeven door de vergelijkingen van Navier-Stokes. Het gaat dan om een viskeuze vloeistof met viscositeit V; we beperken ons hier tot onsamendrukbare stromingen. Voor

-beelden:

- stroming om constructies

- stroming over geulen of ribbels

- stroming in leidingen,stromingsmachines etc.

- stroming ~n vlakke gebieden zoals estuaria en meren, voorzover we niet met golven te maken hebben

stroming in bloedvaten. De vergelijkingen luiden: dV. ~ -- + v. dt J dV. i. -- + Bx . J dP

P

dX. ~ .;:.g. ~ I dT.· ~J_ 0

P

dX : -J (7.I-I)

De continuiteitsvergelijking voor een niet-samendrukbare vloeistof is:

êv . ~ dX. ~

o

(7.1-2) Hierin is: t tijd x. coördinaat ~ v. snelheiliscomponent~n x.-richting ~ ~ p dichtheid P druk

g. component van zwaartekrachtsversnelling

i.

T.. schuifspanningscomponent ~J

De vergelijkingen kunnen zowel in 2 als 3 dimensies gebruikt worden; we zullen ons hier in hoofdzaak tot het 2-d geval beperken. De schuifspanning hangt samen met de vervorming van de vloeistof volgens

T•• ~J p V ( dV. ~ dX. J dV. + ____J_ dX. ~ (7.1-3)

-48-Door substitutie ~n (7.1-1) ontstaat met gebruikmaking van (7.1-2) de gebruike -lijke vorm ov. --~ + ot vj êv. ~

o

x

.

J 02V. +

l

.1.L

+ g. _ \) -;:----;:-_~_ p

o

x

.

L

o

x

.

o

x

.

~ J J

o

(7.1-4)

De vergelijkingen (7.1-2) en (7.1-4) hebben v. en p als onbekenden. De druk komt ~

echter niet in een tijd-afgeleide voor; hij kan beschouwd worden als een soort parameter die zo bepaald moet worden dat het snelheidsveld aan de continu ïteits-vergelijking (7.1-2) voldoet (zie par. 7.4).

Het stelsel vergelijkingen heeft een parabolisch karakter door het voorkomen van de Laplace operator in (7.1-4). Het belang van de viskeuze termen t.O.V. (bijv.)

de convectieve termen wordt gegeven door het getal van Reynolds (zie ook 1.1.8).

convectieve termen

".J Re UL/'J (7.1-5)

viskeuze termen

waarin U en L typische maten zijn voor de stroomsnelheid en de afstand waarover hij variëert. Als Re heel groot wordt, verliezende vergelijkingen hun parabolisch karakter. De viskeuze termen mogen in dat geval echter niet zo maar verwaarloosd worden omdat dan niet meer aan alle randvoorwaarden voldaan kan worden. Er zullen

zich grenslagen óntwikkelen waarvan de dikte omgekeerd evenredig is met Re. Buiten

de grenslagen mag de viskositeit mogelijk wel verwaarloosd worden.

Voor stationaire stroming (%t

=

0) zijn de vergelijkingen elliptisch. Door v

er-dere benaderingen kan men dan op een grenslaagformulering komen die weer para -bolisch is, maar dan met de "tijdachtige" variabele in de stroomrichting. Dit

wordt met name nogal eens toegpast om 3-d stromingen te vereenvoudigen. De essentiële veronderstellingen zijn dan:

- de viskeuze termen in de stroomrichting zijn onbelangrijk

- de drukgradiënt in de stroomrichting is bekend of eenvoudig te bepalen.

In dat geval ontstaat weer een vergelijking van de vorm (7.1-4) maar nu met u ov./ox in plaats van 0 v./ot (als x de stroomrichting is) en verder j

=

2,3.

~ ~

Het berekenen van een 3-d grenslaagstroming lijkt daarom erg veel op het berekenen van een 2-d tijdsafhankelijke stroming (zie verder par. 9.3).

7.2. Randvoorwaarden

-49-zodat te verwachten is dat op iedere rand twee randvoorwaarden nodig zijn.

In verband met het parabolische (stationair.: elliptische ) karakter zal dit dan ook op alle punten van een gesloten rand moeten gebeuren. Voor randvoo r-waarden voor de druk zie par. 7.4.. We kunnen de volgende gevallen onderscheiden:

a. vaste wand (normaalrichting n, tangentiële richting s). Wand ~s ondoorlatend:

v

n

o

(7.2-1)

"No-slip" .of "kleef" voorwaarde:

v

s

o

(7.2-2)

Juist de laatste voorwaarde geeft aanleiding tot grenslaagvorming wanneer Re groot is.

b. vrij oppervZak x.

~ x.i.(t)

Normaalsnelheid ~s gelijk aan snelheid waarmee het oppervlak zich ~n de nor

-maalrichting verplaatst:

o

(7.2-3)

Druk ~s continu; neem aan gelijk aan de heersende atmosferische druk:

p (7.2-4)

Schuifspanning is continu; als er een schuifspanning T langs het oppervlak s

wordt uitgeoefend (bijv. door wind) is de voorwaarde dus

(

dV dV \

n s.

T

=

ov

-

,,

-

+ -,,- )

=

T

sn es On s (7.2-5)

(speciaal geval: "free-slip" voorwaarde T

=

0).

sn

We hebben hier dus drie i.p.v. twee voorwaarden; de extra voorwaarde dient om de plaats van het vrije oppervlak vast te leggen. Eventueel kan ook hier de "rigid-lid" benadering worden toegepast(zie par. 3.4.); verg. (7.2-3) gaat dan over in (7.2-1) en verg. (7.2-4) moet vervallen: er wordt dan een vooraf onbekende druk op het "deksel" uitgeoefend.

-50-c. in- en uitstroomranden

Het stelsel vergelijkingen is voldoende bepaald door het voorschrijven van

beide snelheidscomponenten Vs en vn op in- en uitstroomranden. De

moeilijk-heid is echter dat die gewoonlijk niet goed bekend zijn en bovendien

beln-vloed worden door wat er in het gebied zelf gebeurt. Omgekeerd hebben foute

randvoorwaarden een invloed die zich theoretisch over het hele gebied

uit-strekt. In de praktijk is de invloed slechts over een beperkt gebied

merk-baar. We kunnen op de volgende manier te werk gaan.

Leg Vs en vn als randvoorwaarde op

- Bepaal het invloedsgebied door de berekening te herhalen met enigszins

ge-wijzigde randvoorwaarden

Alternatief: herhaal de berekening met een rand die verder weg ligt

Indien blijkt dat er in het interessante deel van het gebied verschillen van

enig belang ontstaan, leg de rand dan verder weg.

Bij uitstroomranden wordt nog wel eens gewerkt met randvoorwaarden van de vorm

o

o

(7.2-6)

die het snelheidsprofiel m1.n of meer "vrij" laten. In principe geldt h

ier-voor het voorgaande eveneens; de fout op de rand zou echter kleiner kunnen

zijn dan wanneer de snelheid zelf voorgeschreven wordt, zodat de rand misschien

dichterbij gelegd kan worden. Dit moet dan toch op de aangegeven manier gecontro

-leerd worden.

7.3. Vorticiteit en stroomfunctie

In twee dimensies kan het aantal variabelen op eenvoudige wijze tot twee

vermin-derd worden door het invoeren van vorticiteit en stroomfunctie. De procedure

is wel tot J-d uitbreidbaarmaar biedt dan weinig voordelen. De 2-d

continulteits-vergelijking ziet eruit als

o

(7.3-1 )

Hieraan wordt exact voldaan als u en v afgeleid kunnen worden uit een, verder nog willekeurige, stroomfunctie ~: