KOLOKWIUM LOGICZNE
WROCŁAW 2008
O niezupełnych w sensie Kripkego logikach w
N EXT (KT B)
Zofia Kostrzycka
Politechnika Opolska
Logika Brouwera
KTB
Aksjomaty KRZ oraz
K
:=
(p → q) → (
p →
q)
T
:=
p → p
B
:= p →
♦
p
Semantyka relacyjna dla
KTB
Struktury Kripkego
Definicja 1. Strukturą Kripkego nazywamy parę
F
=
hW, Ri
składającą się z niepustego zbioru
W
i relacji
R na W
. W
przypadku logiki
KTB
, R jest zwrotna i symetryczna.
Elementy W nazywamy punktami lub światami, a relację
R rozumiemy jako relację dostępności: xRy znaczy: ‘y jest
dostępne z x’.
Wartościowanie w
F
jest funkcją V : V ar → W i rozszerza
się do homomorfizmu.
Definiujemy dla x ∈ W :
x |= p
wtw
x ∈ V (p)
x |= α ∧ β
wtw
x |= α
i
x |= β
x |= α ∨ β
wtw
x |= α
lub
x |= β
x |= α → β
wtw
x 6|= α
lub
x |= β
x |= ¬α
wtw
x 6|= α
x |=
α
wtw
dla każdego y ∈ W
if
xRy
then y |= α
Formuła α jest tautologią logiki KTB, gdy jest prawdziwa
we wszystkich zwrotnych i symetrycznych modelach
Krip-kego.
Rodzina rozszerzeń logiki KTB
T
n=
KTB
⊕ (4
n), gdzie
(4
n)
n
p →
n+1
p
(tran
n)
∀
x,y(jeśli xR
n+1y to xR
ny)
gdzie relacja R
n- dostępności w n-krokach, jest
zdefin-iowana indukcyjnie w następujący sposób:
xR
0y
wtw
x = y
KTB
⊂ ... ⊂
T
n+1⊂
T
n⊂ ... ⊂
T
2⊂
T
1=
S5
.
Definicja 2. Logika
L
jest
zupełna w sensie Kripkego, jeśli
istnieje klasa
C struktur Kripkego, taka że:
1. dla każdej formuły ϕ ∈
L
i dla każdej struktury
F
∈ C
zachodzi
F
|= ϕ.
2. dla każdej formuły ψ 6∈
L
, istnieje struktura Kripkego
G
∈ C, taka że
G
6|= ψ.
Problem
Miyazaki [1] zdefiniował jedną niezupełną w sensie
Krip-kego logikę w rodzinie N EXT (
T
2) i kontinuum niezupełnych
w sensie Kripkego logik w rodzinie N EXT (
T
5).
Pytanie:
Czy istnieje kontinuum niezupełnych w sensie
Kripkego logik w rodzinie N EXT (
T
2)?
[1] Y. Miyazaki, Kripke incomplete logics containing KTB,
Studia Logica, 85, (2007), 311-326.
[2] Kostrzycka Z, On the existence of a continuum of
log-ics in N EXT (KT B ⊕
2
p →
3
p), Bulletin of the Section
of Logic, Vol.36/1, (2007), 1-7.
Definicja 4. Logika modalna L jest
zwarta
(w stosunku
do struktur Kripkego) gdy każda formuła nieseparowalna
od L za pomocą struktur Kripkego, nie jest separowalna
również od skończenie aksjomatyzowalnej podlogiki L.
Logiki zupełne w sensie Kripkego są zwarte lecz nie na
odwrót.
Naszym celem jest zdefiniowanie nieprzeliczalnej rodziny
niezwartych (stąd niezupełnych w sensie Kripkego)
rozsz-erzeń logiki
T
2.
Cel
Zdefiniować nieprzeliczalną rodzinę logik L
Xi formułę ϕ
taką że, dla każdej skończenie aksjomatyzowalnej
pod-logiki L
1, L
1⊂ L
Xzachodzi:
1. Istnieje struktura Kripkego
F
taka, że
F
|= L
1i
F
6|= ϕ,
2. Jeśli istnieje struktura Kripkego
F
taka, że
F
|= L
X, to
Formuły nierównoważne zdefiniowane za pomocą jednej
zmiennej
Niech α := p ∧ ¬
♦
p.
Definicja 5.
A
1:=
¬p ∧
¬α
A
2:=
¬p ∧ ¬A
1∧
♦
A
1A
3:= α ∧
♦
A
2∧ ¬
♦
A
1Dla n ≥ 2:
A
2n:=
¬p ∧
♦
A
2n−1∧ ¬
♦
A
2n−2A
2n+1:= α ∧
♦
A
2n∧ ¬
♦
A
2n−1Twierdzenie 6. Formuły
{A
i}, i ≥ 1 są nierównoważne w
logice
T
2.
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! d d d d d d d d d
y
1|= ¬p y
2|= ¬p
y
3|= p
y
4|= ¬p
y
5|= p
y
6|= ¬p
x
1|= p
x
2|= p
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! d d d d d d d d d
y
1|= ¬p y
2|= ¬p
y
3|= p
y
4|= ¬p
y
5|= p
y
6|= ¬p
x
1|= p,
x
1|=
p
x
2|= p
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!! d d d d d d d d d
y
1|= ¬p
y
1|= ¬α
y
2|= ¬p
y
2|= ¬α
y
3|= p
y
4|= ¬p
y
5|= p
y
6|= ¬p
x
1|= p,
x
1|=
p
x
2|= p,
x
2|= ¬α
gdzie α := p ∧ ¬
♦
p.
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! d d d d d d d d d
y
1|= ¬p
y
1|=
¬α
y
2|= ¬p
y
3|= p
y
4|= ¬p
y
5|= p
y
6|= ¬p
x
1|= p,
x
1|=
p
x
2|= p
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! d d d d d d d d d
y
1|= ¬p
y
1|= A
1y
2|= ¬p
y
3|= p
y
4|= ¬p
y
5|= p
y
6|= ¬p
x
1|= p,
x
1|=
p
x
2|= p
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! d d d d d d d d d
y
1|= ¬p
y
1|= A
1y
2|= ¬p
y
2|= A
2y
3|= p
y
4|= ¬p
y
5|= p
y
6|= ¬p
x
1|= p
x
1|=
p
x
2|= p
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! d d d d d d d d d
y
1|= ¬p
y
1|= A
1y
2|= ¬p
y
2|= A
2y
3|= p
y
3|= A
3y
4|= ¬p
y
5|= p
y
6|= ¬p
x
1|= p
x
1|=
p
x
2|= p
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! ! d d d d d d d d d
y
1|= ¬p
y
1|= A
1y
2|= ¬p
y
2|= A
2y
3|= p
y
3|= A
3y
4|= ¬p
y
4|= A
4y
5|= p
y
5|= A
5y
6|= ¬p
y
6|= A
6x
1|= p
x
1|=
p
x
2|= p
Dla dowolnych i ≥ 1 i x ∈ W zachodzi:
x |= A
iwtw
x = y
iTwierdzenie 7. W logice
T
2istnieje nieskończenie wiele
nierównoważnych formuł zdefiniowanych za pomocą jednej
zmiennej.
[3] Kostrzycka Z., On formulas in one variable in N EXT (KT B),
Bulletin of the Section of Logic, Vol.35:2/3, (2006),
Struktury w kształcie koła
Definicja 8. Niech n ∈ ω i n ≥ 5. Strukturą Kripkego w
kształcie koła nazywamy parę
W
n=
hW, Ri gdzie
W = rim(W ) ∪ h i rim(W ) := {1, 2, ..., n} i h 6∈ rim(W ).
R := {(x, y) ∈ (rim(W ))
2:
|x − y| ≤ 1(mod (n − 1))} ∪
{(h, h)} ∪ {(h, x), (x, h) : x ∈ rim(W )}.
Diagram
W
8 H H H H H H H H H HH A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A H H H H H H H H H H H f f f f f f f f f @ @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @h
8
1
2
3
4
5
7
6
Niech:
β := ¬
p ∧
♦
p
γ := β ∧
♦
A
1∧ ¬
♦
A
2∧ ¬
♦
A
3ε := β ∧ ¬
♦
A
1∧ ¬
♦
A
2C
k:=
2
[A
k−1→
♦
A
k], for k > 2
D
k:=
2
[(A
k∧ ¬
♦
A
k+1)
→
♦
ε],
E :=
2
(
p →
♦
γ)
G
k:= (
p ∧
k−1 ^ i=2C
i∧ D
k−1∧ E) →
♦
2A
k.
Lemat 9. Niech k ≥ 5 i k- liczba nieparzysta.
W
i6|= G
kwtw i jest podzielne przez k + 2.
Przykład: for k = 7, i = 9.
H H H H H H H H H H H H A A A A A A A A A A A A S S S S S S S S S S H H H H H H H H H H H H g g g g g g g g g g hhh hhhhh ( ( ( ( ( ( ( ( @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @h |= p
8
6|= p
9
|= p
1
|= p,
2
|= p
3
6|= p
4
6|= p
5
|= p
7
|= p
6
6|= p
H H H H H H H H H H H H A A A A A A A A A A A A S S S S S S S S S S H H H H H H H H H H H H g g g g g g g g g g hhh hhhhh ( ( ( ( ( ( ( ( @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @
h |= p
8
6|= p
9
|= p
1
|= p,
1
|=
p
2
|= p
3
6|= p
4
6|= p
5
|= p
7
|= p
6
6|= p
H H H H H H H H H H H H A A A A A A A A A A A A S S S S S S S S S S H H H H H H H H H H H H g g g g g g g g g g hhh hhhhh ( ( ( ( ( ( ( ( @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @
h |= p
8
6|= p
9
|= p
1
|= p,
1
|=
p
2
|= p,
2
|= γ
3
6|= p
4
6|= p
5
|= p
7
|= p
6
6|= p
gdzie γ = β ∧
♦
A
1∧ ¬
♦
A
2β = ¬
p ∧
♦
p
H H H H H H H H H H H H A A A A A A A A A A A A S S S S S S S S S S H H H H H H H H H H H H g g g g g g g g g g hhh hhhhh ( ( ( ( ( ( ( ( @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @
h |= p
8
6|= p
9
|= p
1
|= p,
1
|=
p
2
|= p,
2
|= γ
3
6|= p,
3
|= A
14
6|= p
5
|= p
7
|= p
6
6|= p
H H H H H H H H H H H H A A A A A A A A A A A A S S S S S S S S S S H H H H H H H H H H H H g g g g g g g g g g hhh hhhhh ( ( ( ( ( ( ( ( @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @
h |= p
8
6|= p
9
|= p
1
|= p,
1
|=
p
2
|= p,
2
|= γ
3
6|= p,
3
|= A
14
6|= p
4
|= A
25
|= p
7
|= p
6
6|= p
H H H H H H H H H H H H A A A A A A A A A A A A S S S S S S S S S S H H H H H H H H H H H H g g g g g g g g g g hhh hhhhh ( ( ( ( ( ( ( ( @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @
h |= p
8
6|= p
9
|= p
1
|= p,
1
|=
p
2
|= p,
2
|= γ
3
6|= p,
3
|= A
14
6|= p
4
|= A
25
|= p
5
|= A
37
|= p
6
6|= p
H H H H H H H H H H H H A A A A A A A A A A A A S S S S S S S S S S H H H H H H H H H H H H g g g g g g g g g g hhh hhhhh ( ( ( ( ( ( ( ( @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @
h |= p
8
6|= p
8
|= A
69
|= p
9
6|= A
71
|= p,
1
|=
p
2
|= p,
2
|= γ
3
6|= p,
3
|= A
14
6|= p
4
|= A
25
|= p
5
|= A
37
|= p
7
|= A
56
6|= p
6
|= A
4H H H H H H H H H H H H A A A A A A A A A A A A S S S S S S S S S S H H H H H H H H H H H H g g g g g g g g g g hhhhhh hh ( ( ( ( ( ( ( ( @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @
h |= p
8
6|= p
8
|= A
69
|= p
9
6|= A
71
|= p,
1
|=
p
1
6|= G
72
|= p,
2
|= γ
3
6|= p,
3
|= A
14
6|= p
4
|= A
25
|= p
5
|= A
37
|= p
7
|= A
56
6|= p
6
|= A
4gdzie
G
7= (
p ∧
V6 i=2C
i∧ D
6∧ E) →
♦
2A
7.
Nieprzeliczalna rodzina logik L
XFromuły wyłączające:
F
∗:= p
∗∧ ¬p
0∧ ¬p
1∧ ¬p
2∧ ¬p
3∧ ¬p
4F
∗∗:=
¬p
∗∧ ¬p
0∧ ¬p
1∧ ¬p
2∧ ¬p
3∧ ¬p
4F
0:=
¬p
∗∧ p
0∧ ¬p
1∧ ¬p
2∧ ¬p
3∧ ¬p
4F
1:=
¬p
∗∧ ¬p
0∧ p
1∧ ¬p
2∧ ¬p
3∧ ¬p
4F
2:=
¬p
∗∧ ¬p
0∧ ¬p
1∧ p
2∧ ¬p
3∧ ¬p
4F
3:=
¬p
∗∧ ¬p
0∧ ¬p
1∧ ¬p
2∧ p
3∧ ¬p
4F
4:=
¬p
∗∧ ¬p
0∧ ¬p
1∧ ¬p
2∧ ¬p
3∧ p
4Q := {F
1∧
♦
F
∗∧
♦
(F
∗∗∧ ¬
♦
F
0)
∧
♦
(F
0∧ ¬
♦
F
3∧ ¬
♦
F
4)
∧
∧
♦
(F
2∧
♦
(F
3∧
♦
F
4)
∧ ¬
♦
F
0∧ ¬
♦
F
4)
∧ ¬
♦
F
3∧ ¬
♦
F
4} →
→ {
♦
(F
∗∧
♦
F
0∧
♦
(F
2∧
♦
(F
∗∗∧
♦
F
3∧
♦
F
4))
∧
♦
F
3∧
♦
F
4)},
Rola formuły Q:
c c c c c c cF
∗F
∗∗F
4F
3F
2F
1F
0P P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ c c c c c c c
F
∗F
∗∗F
4F
3F
2F
1F
0R
n:=
{F
∗∧
♦
(F
0∧ ¬
♦
F
2∧ ¬
♦
F
3∧ ¬
♦
F
4∧ [¬
♦
n−1∗∧
♦
n∗](F
1∧
∧
♦
(F
2∧
♦
(F
3∧
♦
(F
4∧
♦
(F
∗∗∧
♦
F
1∧
♦
F
2∧
♦
F
3)))))
∧
♦
(F
1∧ ¬
♦
F
3∧ ¬
♦
F
4)
∧
♦
F
2∧
♦
F
3∧
♦
F
4∧ ¬
♦
2(F
0∧
♦
F
∗∗)
}
→
♦
{F
4∧
♦
([¬
♦
n+3∗∧
♦
n+4∗]F
0∧
♦
F
∗∧
♦
F
∗∗)},
gdzie
♦
0∗ψ := ψ,
♦
1∗ψ :=
♦
(¬F
∗∧ ¬F
∗∗∧ ψ),
♦
k∗ψ :=
♦
(
¬F
∗∧ ¬F
∗∗∧
♦
k−1∗ψ)
and
[¬
♦
n−1∗∧
♦
n∗]ψ := ¬
♦
n−1∗ψ ∧
♦
n∗ψ.
Rola formuły R
1:
P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP P P P P P P P P PP H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ d d d d d d dF
∗F
∗∗F
4F
3F
2F
1F
0XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX P P P PP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ d d d d d d d d
F
∗F
∗∗F
4F
3F
2F
1F
0Rola formuły R
2:
XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XXX P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP P P P P PP H H H H H H H H H H H H H H H H H H H HH @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@ c c c c c c c cF
∗F
∗∗F
4F
3F
2F
1F
0XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX X P P P PP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP H H H H H H H H H H H H H H H H H H H HH @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@ c c c c c c c c
F
∗F
∗∗F
4F
3F
2F
1F
0 c ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ````L
X- rodzina rozszerzeń logiki
T
2Definicja 10. L
X:=
T
2⊕ {G
k: k ∈ X} ⊕ Q ⊕ {R
n: n ≥ 1}
Lemat 11. Niech X, Y ⊂ P rim i X 6= Y . Wtedy L
X6= L
Y.
Dowód. Niech Prim :=
{n ∈
N
: n + 2 jest pierwsza, n ≥
5
}.
Przypuśćmy, że X, Y ⊂ P rim i j ∈ Y \ X.
Weźmy
strukturę
W
j+2. Wtedy z lematu 9 mamy
W
j+26|= G
j, co
daje G
j6∈ L
X. Również zachodzi:
W
j+2|= Q i
W
j+2|= R
ndla każdego n ≥ 1, gdyż poprzedniki formuł Q i R
nnie sa
prawdziwe w żadnym punkcie
W
j+2.
Formuła ϕ
H
∗:=
¬s
0∧ ¬s
1∧ ¬s
2∧ s
3∧ ¬s
4,
H
∗∗:= s
0∧ ¬s
1∧ s
2∧ s
3∧ ¬s
4,
H
0:=
¬s
0∧ ¬s
1∧ s
2∧ ¬s
3∧ ¬s
4,
H
1:=
¬s
0∧
¬s
1∧ s
2∧ ¬s
3∧ s
4,
H
2:= s
0∧ ¬s
1∧ s
2∧ ¬s
3∧ ¬s
4,
H
3:= s
0∧ s
1∧ s
2∧ s
3∧ ¬s
4,
H
4:= s
0∧ s
1∧ s
2∧
s
3∧ s
4,
ϕ := ¬{H
4∧
♦
[H
3∧
♦
[H
2∧
♦
(H
1∧
♦
H
0∧
♦
H
∗∧
♦
H
∗∗)]]}.
Lemat 12. Niech
F
jest strukturą Kripkego, taka że
F
|=
L
Xdla pewnego niepustego zbioru X ⊂ P rim.
Wtedy
F
|= ϕ.
Dowód.
Przypuśćmy, że istnieje struktura Kripkego
F
,
taka że
F
|= L
Xi
F
6|= ϕ dla pewnego X ⊂ P rim. Wtedy
musi istnieć co najmniej siedem punktów x
∗, x
∗∗, x
0, x
1, x
2, x
3, x
4takich że:
b b b b b b bx
∗x
∗∗x
4x
3x
2x
1x
0V (p
i) =
{x
i}, i = 0, 1, 2, 3, 4 i V (p
∗) =
{x
∗}.
d d d d d d dx
∗|= p
∗x
∗∗|= p
∗∗x
4|= p
4x
3|= p
3x
2|= p
2x
1|= p
1x
0|= p
0d d d d d d d
x
∗|= F
∗x
∗∗|= F
∗∗x
4|= F
4x
3|= F
3x
2|= F
2x
1|= F
1x
0|= F
0Ponieważ poprzednik Q jest prawdziwy w x
1(zgodnie z
wartościowaniem V ), to następnik Q wymusi następujące
połączenia we frame:
P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP P P P P P PP H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ d d d d d d d
x
∗x
∗∗x
4x
3x
2x
1x
0Poprzednik formuły R
1jest prawdziwy w x
∗.
Stąd musi
istnieć nowy punkt y taki że yRx
4i yRx
∗. Niech y = x
5.
XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ d d d d d d d
x
∗x
∗∗x
5x
4x
3x
2x
1x
0Możemy w ten sposób (odpowiednio wartościując formuły
R
n) wydefiniować nieskończony ciąg punktów:
x
i, i =
0, 1, ... .
H H H H H H H H H H H H H H H HH @ @ @ @ @ @ @ @@ XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P b b b b b b b b b
x
∗x
∗∗x
6x
5x
4x
3x
2x
1x
0Otrzymamy nieskończoną strukturę
F
∞. W takiej
struk-turze możemy obalić każdy z aksjomatów G
i.
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A A !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! d d d d d d d d d d d A A A A A A A A A A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
x
0|=
p x
1|= γ
x
2|= A
1x
3|= A
2x
4|= A
3x
5|= A
4x
66|= A
5x
6|= ε
p
x
∗∗x
∗gdzie
G
5= (
p ∧
V4 i=2C
i∧ D
4∧ E) →
♦
2A
5.
Lemat 13. Niech X ⊂ P rim i L
1jest skończenie
aksjo-matyzowalną podlogiką L
X. Wtedy istnieje struktura
Krip-kego
F
taka, że
F
|= L
1i
F
6|= ϕ.
Dowód. Niech L
1⊂
T
2⊕ {G
k: k ∈ X, k ≤ k
1} ⊕ Q ⊕ {R
n:
1
≤ n ≤ n
1} dla pewnych k
1, n
1.
Niech
F
=
S
m1+2
gdzie
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! d d d d d d d d d d d d d d d d ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! A A A A A A A A A A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ' & $ %
