Ka˙zde zdanie oznaczone przez ?? jest prawdziwe lub fa lszywe, prosze,odpowiedzie´c TAK lub NIE.
Odpowiedzi zada´n z ♥ nie wymagaja,uzasadnienia. W zdaniach z ♠ prosze,poda´c dowody.
Punktacja: za ♥ 2pt lub −1 za z la,odpowied´z, za ♠ 5pt
1 ♥ ?? Za l´o˙zmy, ˙ze pier´scie´n R jest sko´nczony. Idea l I ⊂ R jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy jest maksymalny.
2 ♠ Niech x, y, z ∈ Z be,da, liczbami ca lkowitymi i niech N W D(x, y, z) = 1. Pokaza´c, ˙ze istnieje a ∈Z, dla kt´orego N W D(x + ay, z) = 1. Z jakich w lasno´sci pier´scienia Z korzystamy?
3 ♥ ?? Idea l (7 +√
5) jest maksymalny w Z[√ 5].
4 ♠ ?? Idea l (6 − i) ⊂ Z[i] jest pierwszy.
1
5 ♥ ?? Z r´owno´sci 3X3+ 4X2+ 3 = (X + 2)2(3X + 2) = (X + 2)(X + 4)(3X + 1) wZ5[X] wynika, ˙ze Z5[X] nie jest dziedzina,z jednoznaczno´scia,rozk ladu.
6 ♠ Niech f = a0+ a1x + ... + anxn ∈ R[X] be,dzie wielomianem. Pokaza´c, ˙ze: f jest elementem nilpotentnym ⇐⇒ wszystkie wsp´o lczynniki ai sa,nilpotentne.
7 ♥ ?? Istnieje pier´scie´n bez dzielnik´ow zera R oraz idea l I ⊂ R, I 6= R, I 6= 0 taki, ˙ze I2 = I.
8 ♠ Niech α, β ∈Cbe,da,pierwiastkami r´ownania x2− x + 3 = 0 oraz
R = {a + bα | a, b ∈Z} = {x + y√
−11 ∈Q(√
−11) | x + y ∈Z, 2y ∈Z} .
Udowodni´c, ˙ze R z waluacja,zadana,przez v(a + bα) = |(a + bα)(a + bβ)| jest pier´scieniem euklidesowym.
2
9 ♥ ?? Dany homomorfizm pier´scieni f : R1 → R2. Je´sli indukowane przekszta lcenie spektr´ow f∗: Spec(R2) → Spec(R1) jest r´o˙znowarto´sciowe, to f jest epimorfizmem.
10 ♠ Niech P be,dzie idea lem pierwszym. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli Q jest idea lem P -prymarnym, to dla b /∈ P mamy (Q : b) = Q.
11 ♥ ?? Niech k be,dzie cia lem. Idea l (x2− y, y2− x) ⊂ k[x, y] jest prymarny.
12 ♠ ?? Cia lo u lamk´ow Z[X, Y ]/(X2+ Y2) jest izomorficzne z Q(t).
3