Zastosowanie metody dekompozycji do analizy kinematycznej mechanizmów klasy drugiej

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I ŚLĄSKIEJ _____________ 1989

Seria; M E C H A N I K A z. 91 Nr kol. 1Ó?6

XIII M I Ę D Z Y N A R O D O W E K O L O K W I U M

"MOD E L E W P R O J E K T O W A N I U I K O N S T R U O W A N I U MASZYN"

13th I N T E R N A T I O N A L C O N F E R E N C E ON

"MOD E L S IN D E S I G N I N G A N D C O N S T R U C T I O N S O F M A C H I N E S “ 2 5 - 2 8 . 0 4 . 1 9 8 9 Z A K OPANE

Tadeusz M Ł Y N A R S K I Instytut M B D i R Zakład T M M

Politechnika Krakowska

Z astosow an ie m etod y d ekom pozycji do analizy kin em atyczn ej m echanizm ów k lasy drugiej

Streszczenie

W referacie zaprezentowano uniwersalny metody "dekompozycji” polegającą na ana­

litycznej analizie zespołów kinematycznych wchodzących w skład mechanizmu. Podano zależności analityczne, opracowano komputerowy program obliczeń w języku Fortran. M e ­ toda zastosowana może być do analizy kinematycznej dowolnych mechanizmów płaskich grupy III.

vV badaniach mechanizmów na szczególny uwagę zasługuje analiza kinematyczna. Interesująca wydaje się być propozycja podejścia do analizy kinematycznej w taki sposób, by była ona uni­

wersalna i możliwa do zastosowania do dowolnego mechanizmu płaskiego. Każdy mechanizm składa się z zespołów kinematycznych, które w prezentowanej metodzie traktować będziemy jako pewne "moduły” [1,2].

Zaproponowana metoda analizy polegać więc będzie na określeniu kinematyki poszczególnych

’’modułów”,czyli składowych zespołów kinematycznych, jak również na określeniu parametrów kinematycznych dowolnych punktów sztywno związanych z ogniwami zespołu. (Punkty te w dalszej szczegółowej analizie nazwane punktami przyłączeniowymi oznaczane są przez K , L).

Podejście takie do analizy kinematycznej można nazwać systemowym, a sama analiza zespołów kinematycznych musi mieć charakter ogólny. Dzieje się tak w przypadku par kinematycznych przesuwnych, gdzie rozpatrywane są prowadnice kołowe, których ruch określony jest przez pa­

rametry ruchu płaskiego.

Przed przeprowadzeniem analizy kinematycznej dowolnego mechanizmu płaskiego należy prze­

prowadzić jego analizę strukturalną w celu określenia charakteru zespołów wchodzących w jego skład i kolejności ich przyłączenia do ogniwa napędzającego (lub ogniw napędzających w przy­

padku mechanizmów z wieloma napędami) [4,5].

Dla każdego zespołu kinematycznego zaczynając od zespołu podłączonego do ogniwa napędza­

jącego napisać można N równań rzutów na 2 osie prostokątnego układu współrzędnych, a więc równań położenia [3]:

i, fa, ■ ■ ■. 4>n, 0i> <b> • • •. ir) - 0 j

118 T. Młynarski

gdzie: ^ , ( 1 = 1,2,...,N ) zmienne zależne (niewiadome), qj, (ji= 1,2,..., F) zmienne niezależne.

Układ' równań nieliniowych do określenia parametrów położenia rozwiązać można wyko­

rzystując metodą Newtona-Raphsona. W metodzie tej występuje kwadratowa macierz A ^w postaci:

d/y dfw

■ &4>N ■

która zostanie wykorzystana do wyznaczenia pochodnych # i $.

Z analizy równań (1) wynika, że pochodną względem czasu zbioru funkcji / można wyrazić korzystając z zależności»

j t f = A * - B q = ^{0 (3)}

przy czym B jest macierzą N x F o postaci:

SA SA

. .

|R I r . . w

B = - dgi dq

3

. .

■ ^Śji dqz di,

Równanie (3) można także przedstawić w postaci:

A $ = B q (5)

Równanie to jest już liniowym względem niewiadomych prędkości 9 .

Różniczkując względem czasu lewą i prawą stronę równania (5) otrzymuje się liniowe względem niewiadomych przyspieszeń # równanie w postaci:

A & — —A & + B q + B q (6)

W celu zilustrowania metody określenia parametrów kinematycznych zespołów zwanych

"modułami” przedstawimy tok analizy dla zespołów klasy drugiej. N a rys.l przedstawiony został najprostszy zespół kinematyczny II klasy z 3 parami kinematycznymi obrotowymi, oraz d w o m a punktami przyłączeniowymi K i L sztywno związanymi z ogniwami 2 i 3. Znanymi wielkościami są tutaj:

• współrzędne zewnętrznych par kinematycznych B i D oraz ich pochodne po czasie a więc,

Ib, y^{b, x b, v b, x b, Hb, x d, v d,} i v , y^d, iid,

• długości ogniw /j i l3,

• położenia punktów przyłączeniowych K ⁱ L & ^więc Ib k , ^«jb, Idl> k3D A =

SAd<h

&4> i d+i

ŚA.d*s oh

(

)

Zastosowanie metody dekompozycji.. 119

Wielkościami, które należy wyznaczyć,są: a j, a j , ich pochodne po czasie oraz współrzędne punktów przyłączeniowych i ich pochodne.

Napiszmy równanie położenia ogniw zespołu w prostokątnym układzie współrzędnych:

h = x B + lj ^cos a j ⁺ l3 ^{cos 0 3 -} x D ^{= O 1}

/j = Vb + M i n a2 + i3sina3 — yv ^{= O J ^ '} W celu możliwości zastosowania podanych zależności do obliczeń komputerowych wprowadzono następujące oznaczenia

• zmienne zależne a j i a 3 oznaczono a j = *lf a 3 = Xj (

• zmienne niezależne x B = Qi, x d = gj, yB =

93

1 2 0 T. Hłynarski.

-

Wyznaczone dla zespołu kinematycznego macierze A i B mają postać:

A = — /2sinxi — ¿3 sin ;r2

¿2 COS ¿3 COS Xj

B = - 1 1 0 0 0 0 - 1 1 a ich pochodne po czasie:

A = —i i l j cos x i —i j h cos x j

— %'jl3^sin X2 B —

[

]

W g opracowanego programu na I B M P C wykonano obliczenia wszystkich parametrów kinema­

tycznych. W podobny sposób przeprowadzono analizę zespołów kinematycznych klasy drugiej innych układów, jak np. podanych na rys. 2b, 2c.

Równania położenia w tym przypadku określone są zależnościami:

f i = I b + ¡2 cos a2 + h 3 sin( a ^ — -j^ )¡T ,/ — ‘ "'T>3 “ “ 2Jt,j cos( apf - 2Rp3 sin ) XD - 1 f i = Vb + 1 i sin a3 - h3 cos(ap3 - - 2R # sin ^ sin(ap3 - ■

) — x D = ⁰ | I - Vd - o I (8) które są podstawą do obliczeń macierzy A ⁱ B oraz ich pochodnych po czasie.

W celu zilustrowania metody przeprowadzono analizę mechanizmu klasy II składającego się z 2 zespołów klasy II (a podanego na rys.3).

Zastosowanie metody dekompozycji. 1 2 1

Graficzne wyniki obliczeń przedstawiono na wykresach 4-7.

W Zakładzie T M M Politechniki Krakowskiej zostały opracowane zależności analityczne dla wszystkich zespołow klasy drugiej i wykonany został komputerowy program ich analizy.

Opracowuje się bibliotekę programów analizy zespołów kinematycznych wyższych klas.

Zaprezentowana metoda jest metody uniwersalną, ze względu na systemowy sposób podejścia i ogromne możliwości zastosowania do różnych typów mechanizmów płaskich, a więc mecha­

nizmów z wieloma napędami, mechanizmów posiadających napęd wewnętrzny oraz mecha­

nizmów posiadających w swoim składzie pary kinematyczne wyższego rzędu. Umiejętność przeprowadzenia analizy kinematycznej poszczególnych składowych ’’modułów”, czyli zespołów kinematycznych,będzie punktem wyjścia do przeprowadzenia także ich analizy kinetostatycz- nej. Opracowany program komputerowy analizy pozwala skrócić do minimum czas obliczeń, a dokładność otrzymanych wyników jest bardzo duża.

L ite ra tu ra

[1] 1.1. Artobolewskij, Teoria mechanizmów ^t maszyn, Moskwa 1951 Leningrad.

[2] T. Młynarski, A. Listwan, E. Pazderski, Teoria maszyn ⁱ mechanizmów, cz.I, Skrypt dla studentów wyższych szkół technicznych, Kraków 1987.

[3] A. Olędzki, Podstawy teorii maszyn t mechanizmów, W N T - Warszawa 1987.

[4] O.G. Ozoł, T ieon a miechantzmow i maszin, Moskwa 1984.

[5] E. Piejsach, W.A. Niestierow, Sistiem a projektirowania ploskich ryczażnych mtechamzmow, Moskwa, Maszinostrojenije 1988.

T. Młynarską

Zastosowanie metody dekompozycji.

[m]

dS3/dt

1 2 4 T. MłynarslyC

epallon5

R c/S. e

Zastosowanie metody dekompozycji., ss

M

d S8/ d t

’— i L°J

< T 2 S e / < ł t~ 2

Rys. 7

126 T*. Miynarski

IIPHMEHEHHE METOflA ,HEKCMn03HI$IH jyifl KHHEMATHHECKOrO HCCJIEIOBAHHH MEXAHH3M0B BTOPOrO KJIACCA

P e 3 m m e

B

m s t

APPLICATION OF DECOMPOSITION METHOD

FOR KINEMATIC ANALYSIS OF SECOND CLASS MECHANISMS

S u m m a r y

In the paper universal method of "decomposition" relying on ana- litical analysis of kinematic units of the mechanism has been pre­

sented. Analytic dependences have been given; computer program of the calculations has been made in Fortran. This method is applicable for kinematic analysis of any flat mechanisms of group III.

Recenzent: prof. dr hab. ini. J. Wojnarowski

Wplynelo do Redakcji 15.XII.1988 r.