Seria: AUTOMATYKA z. 151 N r kol. 1797
Maciej H OJD A
Politechnika W rocław ska
A L G O R Y T M SZE R E G O W A N IA ZA D A Ń I STE R O W A N IA ICH W Y K O N A N IE M W SY STE M IE PR O D U K C Y JN Y M Z R U C H O M Y M I R E A L IZ A TO R A M I
Streszczenie. Praca dotyczy problem u podejm ow ania decyzji w dw upoziom ow ym system ie łączącym szeregow anie zadań i sterow anie ich wykonaniem. G łów nym celem pracy je s t przedstaw ienie algorytm u rozw iązania dla kryterium czasow ego sform ułow anego w spólnie dla obu poziom ów system u.
Proponow any algorytm opiera się na idei w ielokrotnego w ykonyw ania algorytm u szeregow ania w celu kom pensacji zm ian w czasie w ykonyw ania zadań, w ynikających z działania algorytm u sterow ania ich w ykonaniem .
T A SK SC H ED U L IN G AND E X E C U T IO N C O N T R O L A L G O R IT H M IN A PR O D U C TIO N SY STEM W IT H M O V IN G E X ECUTO RS
Sum m ary. This w ork concerns a decision-m aking problem in a tw o-level system , jo ining task scheduling and task execution. M ain point o f the w ork is to present a solution algorithm for the time criterion form ulated sim ultaneously for both levels. A lgorithm proposed is based on the idea o f rescheduling, w hich is perform ed as a m eans o f com pensation for the changes in task execution times, com ing from the perform ance o f the task execution algorithm .
1. W stęp
Jednym z kierunków badaw czych rozw ijanych w zakresie szeregow ania zadań, w szczególności w zastosow aniu do system ów w ytw arzania, s ą zagadnienia zw iązane z reharm onogram ow aniem (ang. resch edu lin g), czyli z w ielokrotnym w ykonyw aniem algorytm u szeregowania. Potrzeba taka istnieje w ów czas, gdy często lub w ręcz w trakcie w ykonyw ania algorytm u szeregow ania w system ie produkcyjnym zm ieniają się dane problem u. Stw arza to konieczność ponow nego rozpatrzenia i rozw iązania problem u szeregow ania, np. [1],
W naw iązaniu do tego kierunku badań, w pracy je st rozpatryw any tzw. dw upoziom ow y system szeregow ania (rys. 1), w którym szeregow anie zadań na ruchom ych realizatorach je st pow iązane ze sterow aniem ich ruchem . Problem y składow e, czyli szeregow anie i sterow anie, są ze so b ą pow iązane, tzn. w yniki jednego z nich s ą danym i dla drugiego. Szczegółow y opis system u dw upoziom ow ego oraz w ym ienionych problem ów składow ych je s t przedstaw iony m. in. w [2, 3].
Szeregow anie zadań na ruchom ych realizatorach polega na w yznaczeniu ich tras m iędzy stanow iskam i, na których są w ykonyw ane czynności produkcyjne, tak aby m inim alizow ać łączny czas w ykonyw ania w szystkich zadań produkcyjnych. Każde zadanie składa się z dojazdu realizatora do stanow iska oraz z w ykonania czynności na tym stanowisku. K ontrolow anie ruchu realizatora polega na sterow aniu jego m echanizm em jazd y w zdłuż trasy wyznaczonej przez algorytm szeregowania.
W ynikiem sterow ania są czasy jazd y realizatorów.
W punkcie 2 zostanie krótko przedstaw ione sform ułow anie problem u w system ie dw upoziom ow ym , a dalsze punkty pośw ięcone są prezentacji proponow anego algorytm u rozw iązania, przykładu zastosow ania oraz uw ag końcow ych.
Rys. 1. Dwupoziomowy system szeregowania i sterowania 2. Sform ułow anie problem u
W prow adźm y następujące oznaczenia: /- e R = {1,2,.../?}, R - indeks realizatora, liczba realizatorów; h e H = {1,2,...//}, H - indeks zadania (lub odpow iadającego mu stanow iska), liczba zadań; xh - położenie stanow isk, t h = f h + f rh - czas w ykonania zadania h, będący sum ą czasu dojazdu realizatora ze stanow iska g oraz czasu w ykonania czynności produkcyjnej; y =
[yrg
h]rel R.g M i,...n-n ~ m acierz decyzyjna, z elem entam i o interpretacji: y rgh = 1(0), jeśli realizator r dojechał ze stanow iska g do stanow iska h (w przeciw nym przypadku), r = [rr jr ,,]r6l R.gJiei „ +1 - m acierz czasów w ykonania zadań przydzielonych poszczególnym realizatorom ,u — [wr ]rej „ - m acierz decyzyjna, której elem enty zaw ierają zm ienne sterujące ruchem poszczególnych realizatorów.
R ozpatryw any problem szeregow ania na ruchom ych realizatorach polega na m inim alizacji długości uszeregow ania, która w przypadku braku ograniczeń kolejnościow ych na zadania ma postać:
//+1 //+1
K ( r , T{u)) = r a a ^ £ £ y r g h ( f r g h (u) + f r h ) . ( 1 ) g~l h-l
N a m acierz y są nałożone ograniczenia zapew niające w yznaczenie dopuszczalnych tras przejazdów realizatorów i w ykonania w szystkich zadań [2, 3],
W czasow o-optym alnym problem ie sterow ania ruchem pojedynczego realizatora w ykorzystuje się model m echanizm u jazdy w postaci układu następujących równań różniczkow ych:
i i j 0 = x)5) cos(xj3) - xj4> ), x (r2) = x (r5> sin(xj3) - a-'4’ ), x (r3) = a r * x (r5) sin xj4) , i ® = / ? > « , x ? = p y ?
gdzie: xjl),x j2) - w spółrzędne w ybranego punktu pojazdu, xj3> - kąt nachylenia osi pojazdu do osi O xt , xj4> - kąt nachylenia koła do osi pojazdu, xj5) - prędkość liniow a pojazdu, xj6) - prędkość kątow a pojazdu, zaś param etry ar , , /? ;, są ustalone dla konkretnego realizatora i o k re śla ją jeg o fizyczne w łaściw ości [2], W ielkości sterujące
wj1’ i u(r2) m ają interpretację m om entów sił. N a w ystępujące w m odelu w ielkości nałożone s ą typowe ograniczenia przedziałow e.
D odatkow e, dynam iczne ograniczenia w y nikają z konieczności unikania kolizji m iędzy realizatoram i, które m ogą w ystąpić podczas sterow ania ruchem całej grupy realizatorów. W rozpatryw anym zadaniu przyjm uje się, że unikanie kolizji w ym aga zachow ania przynajm niej m inim alnej dozw olonej odległości m iędzy dow olną p arą realizatorów w każdej chw ili sterow ania ruchem . Ze w zględu n a m ożliw e zróżnicow anie realizatorów pod w zględem rozm iaru, dla każdej ich pary (r , p) m inim alna odległość je st określona niezależnie i oznaczona przez d ( r , p ).
W prow adzony model realizatora je st ciągły, jed nak rozpatrzone zostało sterow anie o charakterze dyskretnym , tzn. jedyn ie na początku taktów o ściśle określonej długości v je st m ożliw a zm iana w artości w ielkości sterujących iz)1’ i u(r2).
Przyjęto, że w trakcie trw ania taktu wielkości te pozostają stałe.
W konsekw encji, problem decyzyjny je s t następujący.
Dane: R,H, Trh, r e R , h e H - czasy realizacji czynności produkcyjnych, d ( r , p ) - m inim alna odległość m iędzy dw om a realizatoram i r i p , v - zadana długość taktu sterow ania, xh - położenie stanowisk.
W yznaczyć: y (uszeregow anie) i u (sterow anie), tak aby m inim alizow ać kryterium (1) przy jednoczesnym unikaniu kolizji.
3. A lgorytm rozwiązania
A lgorytm rozw iązania będzie w yznaczany po przyjęciu następujących założeń upraszczających. T rasy realizatorów są rozpatryw ane niezależnie podczas szeregowania, natom iast unikanie kolizji dokonyw ane je st bezpośrednio na poziom ie sterow ania ruchem. Zakłada się rów nież, że w przypadku braku kolizji odcinki tras m iędzy stanow iskam i m o g ą być rozpatryw ane niezależnie (w ektor stanu realizatora jest ściśle ustalony dla każdego stanowiska). Ruch realizatora m iędzy stanow iskam i
został podzielony na dw ie fazy: obrotu i ruchu prostoliniow ego.
A lgorytm rozw iązania ma charakter iteracyjny i składa się z dwóch głów nych elem entów (rys. 2): algorytm u szeregow ania i algorytm u sterow ania ruchem , które są w ykonyw ane naprzem iennie. U zyskane podczas sterow ania czasy przejazdu są w ykorzystyw ane jak o dane w ejściow e algorytm u szeregow ania. Podobnie uzyskane uszeregow anie stanow i argum ent algorytm u sterow ania. W pierw szej iteracji, gdy czasy przejazdu nie są jeszcze znane, w ejście algorytm u szeregow ania je st uzyskiw ane przez sym ulację w system ie bezkolizyjnym . Przyjęty w arunek stopu dotyczy popraw y wartości kryterium (1) i potrzeby om ijania kolizji. A lgorytm kończy działanie, gdy nie
następuje popraw a i nie pojaw iają się now e sytuacje kolizyjne. Praca koncentruje się na przedstaw ieniu algorytm u sterow ania ruchem , odw ołując się do [2] w zakresie algorytm u szeregowania.
c
Rozpocznij działanie algorytmu Ustal iterację głównej pętli algorytmu: 8 = 0X "
J
Wyznacz sterowanie w systemie bezkolizyjnym: u(9), r(8)
Wyznacz uszeregowanie y(9) przy czasach wykonywania zadań x(9) Sterowanie ruchem
realizatorów
Czy któryś pojazd ma wyjechać ze stanowiska? -NIE—i
TAK
Wyznacz sterowanie u(8) na kolejnym odcinku trasy, dla wyjeżdżających realizatorów
~ ' - ~ T . — '
Czy są sytuacje kolizyjne? -NIE—
TAK
Wyznacz opóźnienia realizatorów
i - ś
Wykonaj kolejny takt sterowania jazdą ____________ realizatorów_____________
Czy wszystkie pojazdy skończyły ruch? -NIE-J
-T A K - ---- 9----
c
Czy spełniony został warunek stopu?
_______________ TAK______________
Wyprowadź wynik: uszeregowanie y(8) i sterowanie _______________u(9)
NIE-
D
Rys. 2. Schemat algoiytmu rozwiązania
Sterow anie ruchem realizatora na pojedynczym odcinku trasy je st przeprow adzane w dwóch fazach: obrotu i ruchu prostoliniow ego. Za dojazd do stanow iska docelow ego bezpośrednio odpow iada część prostoliniow a. R uch ten odbyw a się ju ż po odpow iednim obrocie realizatora, toteż dla uproszczenia zapisu prostoliniow a faza ruchu jest sprow adzona do przypadku jednow ym iarow ego przez obrót układu w spółrzędnych o taki kąt, aby zerow ana była w spółrzędna x (r2), a także przez takie przesunięcie tego układu, żeby jeg o początek pokryw ał się z pozycją realizatora przed rozpoczęciem ruchu. Dla ułatw ienia zapisu zakładam y także, że ruch rozpoczyna się w chwili zerowej. Po dokonaniu takiej translacji otrzym ujem y Xr2> ( 0 = X r V ( 0 = X r 4) ( 0 = ^ ( 0 = ( 0 = 0 > Z ^ X^ ( 0 ) = X^ ( 0 ) = 0 .
O ptym alne sterow anie ruchem prostoliniow ym składa się z dwóch części - fazy przyśpieszania i fazy ham ow ania, toteż sterow anie m a postać:
(w(1) 0< t < t
( 3 )
gdzie: t to m om ent przełączenia sterow ania, zaś zTj” i z / 1’ to granice zm ienności . K ryterium optym alizacji je s t czas trw ania ruchu n rgh = v * N rgJl, gdzie N rgh to liczba taktów sterow ania na zadanym odcinku trasy o długości Axr g h.
A by w yznaczyć czas jazdy, należy rozw iązać układ rów nań w ynikający z w arunków na stany końcow e pojazdu: xl') (/Jrgh) = Axrgll, u(, \ /2rgh) = 0 , gdzie pieiw szy w arunek gw arantuje dojazd realizatora do stanow iska, zaś drugi - jeg o zatrzym anie się po dojeździe. W yliczony z warunków m om ent przełączenia wynosi:
t = I 2 A y (4)
W przypadku dyskretnym szukanym m om entem przełączenia je st najbliższa czasowi tp w ielokrotność długości taktu sterow ania v. Całkow ity czas jazd y realizatora na odcinku prostoliniow ym wynosi:
. . _ 0 b ( ł ) - " ' 1>) ,
(1) p
■u— r
L ■ (
5)
Przed ruchem prostoliniow ym następuje ustaw ienie realizatora - obrót w ykonyw any w celu nakierow ania realizatora na stanow isko, do którego ma on dojechać. Sterow anie w tym ruchu je st podzielone na trzy części: obrót osi kół pojazdu tak, aby w ychylenie xj4) było m aksym alne m ożliwe (oznaczone: xj4)), ruch, w yrów nanie osi kół do osi pojazdu. C zęść odpow iedzialna za ruch je s t analogiczna do sterow ania w przypadku prostoliniow ym (3) o czasie przyłączenia równym :
t po =
_ , (
6)
^ a r sin(xj4) )p 'r [3Hr(t) - (i/rU) ) 2 h±r ]]
gdzie: Srgh - kąt, o ja k i należy obrócić realizator. Czas m ch u ę r gJt je s t dany w zorem (5), gdzie zam iast (4) podstaw ione je s t (6).
Czas obrotu w ynosi Tjr g ll = ę r gJl + &r g h, gdzie czas obrotu osi kół pojazdu to
W ’ - < • ? ) 2 ( x m - x m )
’ « “ ‘ ■ ( 7)
Położenie realizatora w każdej chw ili czasu je s t opisyw ane przez wzory:
x {'P(t) = |x j 5) cos(xj3) - x (P )) d r, = |x j 5) sin(xj3) - x ^ ) d r . (8)
o o
Jednoczesne sterow anie w ielom a realizatoram i m oże doprow adzić do kolizji.
M echanizm zapobiegania im je st realizow any przez zatrzym anie przy początkow ym stanow isku odcinka trasy jednego z pojazdów , w ybranego zgodnie z wcześniej przydzielonym priorytetem , zależnym od całkow itego czasu przejazdu (zatrzym yw any
je s t pojazd o krótszym spodziew anym czasie przejazdu). W rozpatryw anym system ie kolizję pojazdów m ożna przew idzieć, bow iem znana je st dokładna pozycja każdego pojazdu w dowolnej chw ili czasu (8).
4. Przykład zastosow ania
Przykładem ruchom ych realizatorów są roboty m obilne przeznaczone do realizacji zadań produkcyjnych. Z najdują one szerokie zastosow anie w elastycznych system ach produkcyjnych, od których wym agana je st zdolność do szybkiej rekonfiguracji linii produkcyjnej, gdy ruch narzędzia m oże ułatw ić zaprojektow anie system u bądź zm niejszyć jeg o koszty. Przykładem takich narzędzi s ą lasery przem ysłow e [4], które ze w zględu na zróżnicow any zakres zastosow ań (cięcie, spawanie, czyszczenie, znakow anie, form ow anie) są uniw ersalnym , chociaż drogim, kom ponentem system u produkcyjnego.
R ozpatrzm y system produkcji sam olotów (lub inny system produkcji dużych struktur) o czterech stanow iskach m ontażow ych H - 4 , dw óch robotach m obilnych R = 2 w yposażonych w system y laserowe o różnej w ydajności f lh = 1 0 , r 2), = 1 2 ,
z a m o n t o w a n y c h n a j e d n a k o w y c h m e c h a n i z m a c h j a z d y J3'r = p ] = a r = 1 , d ( r , p ) = 5 ,
« rw = K * , ) = l / e { 1 , 2 } , x (r4) = = 7r/3 , v = 1 , ( 0 ) = 0 i p o ł o ż e n i u s t a n o w i s k
jc, = [ 1 0 0 , 1 0 0 ] , x , = [ 1 0 0 , - 1 0 0 ] , x 3 = [ 2 0 0 , 1 0 0 ] , x 4 = [ 2 0 0 , - 1 0 0 ] , x 5 = [ 0 , 0 ] ,
W pierwszej iteracji algorytm u w yznaczone zgodnie ze w zoram i (5) i (7) czasy przejazdu w system ie bezkolizyjnym podaw ane są na w ejście algorytm u szeregowania, który zw raca trasy (5,1,3,5) dla r = 1, (5,2,4,5) dla r = 2 i czasy przejazdu f u l = 22, f ll3 = 20, f 13S=28, r 252 =22, f 224 = 20, f 245 = 28 oraz całkow ity czas jazd y K = 94. Podczas w yjazdu robotów z bazy i w jazdu do niej dochodzi do sytuacji kolizyjnych. U nikanie kolizji m odyfikuje czasy przejazdu:
r, 5, = 28 i f 2 4 s = 36 i w ydłuża całkow ity czas przejazdu do K = 102.
W drugiej iteracji uw zględnione są now e czasy przejazdu, toteż algorytm szeregow ania w ybiera inne trasy: (5,2,4,5) dla /• = 1 i (5,1,3,5) dla r = 2 , a czasy przejazdu odcinków tych tras to: rl5 2 = 22, f 124 = 20, r 145 = 28, r 25J = 22, r 2>13 = 20,
f 235 = 28. Ponownie, unikanie kolizji m odyfikuje czasy przejazdu: f 25]=28, f 14 j = 36, chociaż całkow ity czas jazd y pozostaje bez zmian.
W trzeciej iteracji trasy pozostają niezm ienione, natom iast w w yniku unikania kolizji zm ieniają się czasy przejazdu f 2 5, = 22, f, 5 2 = 28, f, 4 5 = 32 i całkow ity czas realizacji kom pleksu skraca się do Ai = 100. W arunek stopu je s t spełniony dopiero w czwartej iteracji; algorytm kończy działanie z czasem przejazdu AT = 100.
5. Uwagi końcowe
W pracy został przedstaw iony algorytm łącznego szeregow ania i sterow ania w ykonaniem zadań dla system u dwupoziom owego. W zaproponow anym iteracyjnym algorytm ie rozw iązania algorytm szeregowania je st realizow any w ielokrotnie dla różnych czasów realizacji zadań, będących w ynikiem sterow ania. A lgorytm
sterow ania w yróżnia dw ie fazy ruchu: obrót i ruch prostoliniow y. T aka dekom pozycja pozw ala na jednoznaczne ustalenie pozycji realizatorów w każdej chw ili czasu, co upraszcza proces unikania kolizji. D alsze prace nad algorytm em dotyczyć b ędą jego porów nania z rozw iązaniem optym alnym. Przew iduje się rów nież rozpatrzenie innych wersji problem u podejm ow ania decyzji w system ach dwupoziom owych.
B IBLIO G R A FIA
1. H aldun A., Law ley M ., M cK ay K., M ohan S., U zsoy R.: Executing production schedules in the face o f uncertaintities: A review and som e future directions.
European Journal o f O perational R esearch 161, 2005, s. 86-110.
2. Józefczyk J.: W ybrane problem y podejm ow ania decyzji w kom pleksach operacji.
O ficyna W ydaw nicza Politechniki W rocław skiej, W roclaw 2001.
3. Józefczyk J.: D ecision-m aking algorithm s in tw o-level com plex operation system.
D ecision Support System s 38, 2004, s. 171-182.
4. Steen W. M.: Laser M aterial Processing. Springer, 2004.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Bożena Skołud
A bstract
This w ork presents a jo in t algorithm for task scheduling and task execution in a in a tw o-level operation system . The algorithm is based on the idea o f rescheduling as a m eans o f com pensation for the changes in task execution times, w hich are a result o f the task execution algorithm . To provide solution for the problem w ith a time-optim al criterion, a series o f considerations w ere introduced. M ost notably, task execution - the m ovem ent o f executors - was divided into two parts: turning and linear m ovem ent.
D ecom position o f the control algorithm sim plifies the prediction for the collision avoidance process. A n analytical solution concerning control o f executors was provided along w ith calculation o f their m ovem ent times. O btained results were illustrated with a sim ple example.
