ZESZY TY N A U K O W E POLITEC H NIK I ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO M A TY KA z .U 8
1996 N r kol. 1338
Andrzej A D RA BIŃ SK I
Europejski Fundusz Leasingowy, Wrocław Józef G RA BOW SK I
P olitechnika Wrocławska Mieczysław W O D EC K I U niw ersytet W rocławski
S Z E R E G O W A N I E Z A D A Ń W P E W N Y M E L A S T Y C Z N Y M S Y S T E M I E P R O D U K C Y J N Y M
S tr e s z c z e n ie . W referacie przedstaw iam y przykłady zastosowania m etod o p ty m alizacji dyskretnej do rozwiązania problem u optym alnego w ykorzystania au to m atów tokarskich, zwanych elastycznymi centram i tokarsko-frezarskimi. O ptym a
lizacja pracy centrum obejm uje harmonogram owanie procesu obróbki oraz stero
w anie wykonywaniem operacji na detalach. Z p u nktu w idzenia teorii złożoności obliczeniowej rozpatryw ane zagadnienie należy do klasy problemów NP-trudnych.
A S E Q U E N C I N G P R O B L E M F O R J O B P R O C E S S I N G B Y T H E T U R N I N G - L A T H E
S u m m a r y . T he purpose of this paper is to describe an optim ization approach to a some turnirig-lathe machine. T he pap er includes two parts. T he first one considers th e sequencing problem of job processing by th e machine. We prove th a t th e problem is N P-liard. T he second p art of th e paper considers th e problem of th e tool replacem ent by th e turning-lathe. An algorithm for finding an optim al sequence of tool replacem ent intervals in the tool-store of th e m achine is presented.
1. W p r o w a d z e n ie
Ze względu n a dużą kapitalochłonność autom atów wym agany je st wysoki stopień ich w ykorzystania. Je st to możliwe dzięki optym alnem u planowaniu procesu produkcyjnego.
W trakcie produkcji detale poddaw ane są procesowi obróbki. N arzędzia potrzebne do w ykonania operacji na detalach pobierane są autom atycznie z odpow iednich magazynów w chodzących w skład centrum . Przed obróbką każdy detal mocowany je st n a specjalnej palecie.
9 fi A. A d rab iń sk i, J . G rabow ski, M . W odecki
O ptym alizacja pracy centrum obejm uje zasadniczo dwa problemy:
1 ) w yznaczanie optym alnej kolejności wykonywania detali (harm onogram ow anie p ro
cesu załadunku na palety, obróbki i rozładunku detali),
2 ) sterow anie wykonywaniem operacji na detalach, w tym :
(i) przydział i optym alizacja wykorzystania narzędzi, (ii) w yznaczenie term inów wymiany narzędzi w m agazynach.
W dalszej części pokażemy, że nawet uproszczona wersja rozpatryw anego zagadnienia należy do klasy problemów NP-lrudnych, tj. klasy problemów, dla których nie je s t obecnie możliwe skonstruow aniealgorytm ów o wielomianowej złożoności obliczeniowej.
2. S fo r m u ło w a n ie p r o b le m u
D any je st zbiór detali, które m a ją być wykonane przez centrum (w skrócie C T F ).
W skład centrum wchodzi m aszyna (obrabiarka) wykonująca operacje: tokarskie, frezar- skie i pom iarowe, m agazyny narzędzi oraz palety, na których mocowane są obrabiane detale. W zależności od rodzaju obróbki m aszyna pobiera autom atycznie odpowiednie narzędzie z m agazynu. D etal, przed wykonaniem n a nim pierwszej operacji, m usi być um ocowany na palecie, a po wykonaniu ostatniej- zdjęty. Każde narzędzie m oże być użyte w ielokrotnie, jednak łączny czas jego pracy nie może przekroczyć z góry zadanej żyw otno
ści. C entrum obsługiwane je st przez pracownika, który m .in. m ocuje oraz zdejm uje detale z p alet oraz dokonuje wymiany narzędzi w magazynach. Dany je st także porządek tech
nologiczny określony n a zbiorze detali, tj. kolejność wykonywania pewnych detali oraz dla każdego detalu, czasy i kolejność wykonywania operacji.
O ptym alizacja procesu wykonywania detali polega na ustaleniu, dla każdej zm iany pracy centrum , kolejności ich obróbki i kolejności wykonania operacji dla każdego detalu, zgodnie z wymogam i porządku technologicznego, oraz na wyznaczeniu zbiorów narzędzi i m om entów w ym iany narzędzi w magazynach tak, aby stosunek sum y czasów wykonania wszystkich operacji, tzw. czasu pracy pod wiórem, do całkowitego czasu obróbki w szyst
kich detali był m aksymalny.
S zeregow anie za d a ń w pew nym elastycznym sy stem ie p ro d u k c y jn y m 21
Na rys. 1 przedstaw iam y diagram G an tta ilustrujący harm onogram czynności wykony
wanych przez m aszynę i pracownika przy obróbce pięciu detali Di , D j , D3, Dą, D 3 w czasie 16-godzinnej pracy centrum przy założeniu, że m am y do dyspozycji dwie palety. Sym bo
lem V oznaczono czynności wykonywane przez pracownika: mocowanie detalu n a palecie (linie pogrubione) oraz zdejmowanie z palety (linie cieńsze). N atom iast M oznacza m a
szynę. D la tego przykładu stosunek czasu pracy maszyny pod wiórem do całkowitego czasu pracy wynosi 4 /5 (m aszyna kończy pracę w 15 jednostce czasu).
W dalszej części pracy zadaniem nazywać będziemy zbiór operacji wykonywanych przez m aszynę w czasie jednego zamocowania detalu n a palecie. Detal może być obra
biany w ielokrotnie, przy różnych zamocowaniach.
Rys. 1.
Załóżmy, że dany jest zbiór n zadań
J — ( J\ , Jl , ..., Jn} ,
które m a ją być w ykonane przez maszynę wchodzącą w skład centrum . Przed rozpoczęciem wykonyw ania zadania detal z nim związany mocowany je st na palecie, a po wykonaniu zdejmowany. Dla każdego zadania J; 6 .7 niech z;, p; oraz tu, będą odpowiednio: czasem załadunku, czasem wykonywania oraz czasem wyładunku detalu z palety. Zakładam y, że centrum pracuje w system ie zmianowym. Oznaczmy przez dz - długość zm iany liczoną w godzinach (dz < 24). D etal, w dniu obróbki, musi być załadowany, wykonany i zdjęty z palety. W dalszej części pracy będziemy także rozpatryw ać przypadek, gdy centrum
22 A . A d ra b iń s k i, J. G rab o w sk i, M . W odecki
pracuje w system ie ciągłym, tj. bez w yłączania maszyny.
R ozpatryw any przez nas problem harm onogram owania procesu obróbki detali polega n a wyznaczeniu w zbiorze J podzbiorów zadań, które będą wykonane w kolejnych dniach pracy maszyny, oraz kolejności ich wykonywania w każdym dniu tak , aby stosunek
W = ^ , ( 1)
zwany współczynnikiem wykorzystania m aszyny, osiągnął wartość m aksym alną, gdzie:
Cw - je st efektywnym (pod wiórem) czasem pracy maszyny, czyli Cw =
n
Pi, a¿ = i
Cc - je st całkowitym czasem wykonania zadań, tj. czasem pracy centrum , jaki upłyną!
od m om entu rozpoczęcia mocowania pierwszego detalu n a palecie do m om entu zakończenia wykonywania ostatniego zadania przez maszynę.
Dodatkowo m uszą być spełnione następujące ograniczenia:
a ) w każdej chwili m aszyna wykonuje co najwyżej jedno zadanie,
b ) wykonywanie zadania nie może być przerwane przed jego zakończeniem.
Jak łatwo zauważyć, wielkość Cw występująca w liczniku ilorazu (1) nie zależy od ko
lejności wykonyw ania zadań, a zatem m aksym alizacja tego wyrażenia je st równoważna m inim alizacji wartości mianownika, tj. Cc. Wobec tego za kryterium optym alizacji przyj
m ujem y czas wykonania wszystkich zadań Cc, który należy minimalizować.
O znaczm y przez P wyżej opisany problem optym alizacji kolejności w ykonyw ania zadań przez maszynę.
TW IERDZENIE i. Problem P optymalizacji kolejności tuykonywania zadań przez m a
szynę należy do klasy problemów NP-trudnych. m
Dowód tw ierdzenia zamieszczony jest w pracy [1].
Z powyższego tw ierdzenia wynika, że obecnie nie jest możliwa konstrukcja algorytm u, o wielomianowej złożoności obliczeniowej, wyznaczania optym alnego rozw iązania pro
blem u P . F akt ten usprawiedliwia stosowanie algorytmów heurystycznych, o wielomia
nowej złożoności obliczeniowej, do rozwiązywania tego typu zagadnień. A lgorytm y takie przedstaw iam y w dalszej części.
S zeregow anie za d a ń w p ew n y m elasty czn y m sy ste m ie p ro d u k cy jn y m 23
Załóżmy, że n a zbiorze zadań J określona je st relacja częściowego porządku R T wy
raż ają ca w ym agania porządku technologicznego. Jeśli para € R T , to oznacza, że rozpoczęcie ładow ania n a paletę detalu zadania J j może nastąpić dopiero po rozładunku detalu zad an ia J,-. M a to miejsce między innymi wtedy, gdy detal obrabiany je st wie
lokrotnie przy różnych zamocowaniach. Relację tę m ożna przedstaw ić w postaci grafu skierowanego G — ( V, E ), zwanego grafem pierwszeństwa, którego zbiorem wierzchołków je st V = {1,2, ...,n } , a E zbiorem łuków. Odpowiednikiem zadania J,- 6 J je st w grafie G wierzchołek i. P a ra różnych wierzchołków (u, u) 6 V tworzy luk w G, tj. (u , v ) € E w tedy i tylko wtedy, gdy [JU, J V) 6 R T . W dalszej części pracy, wszędzie tam ; gdzie nie prowadzi to do nieporozum ień, będziemy zamiennie pisali wierzchołek i oraz zadanie J,\
W prow adzim y teraz pewne dodatkowe pojęcia i oznaczenia. Wagą wierzchołka i £ V jest czas wykonyw ania zadania J;. Przez oznaczam y wagę luku (i , j ) € E. Jeśli fi j > 0, to znaczy, że rozpoczęcie ładowania detalu zadania Jj n a paletę może nastąpić dopiero po upływ ie f i j czasu od m om entu zakończenia w yładunku detalu zad an ia ,/;. Je st to czas p o trzebny np. do wymiany zamocowania lub ostygnięcia, gdy oba zad an ia do
tyczą dwóch różnych stron tego samego detalu. Dalej niech r; będzie najw cześniejszym m ożliw ym term inem , licząc od m om entu rozpoczęcia pracy centrum , w któ ry m m ożna rozpocząć ładowanie detalu zadania ,7, na paletę. K orzystając z wyżej przedstaw ionych pojęć i oznaczeń wprowadzamy dodatkowo następujące ograniczenia:
c) zachowany musi być porządek technologiczny wykonywania zadań oraz uwzględnione wagi wierzchołków i łuków grafu pierwszeństwa,
d)
term in rozpoczęcia załadunku detalu nie może być m niejszy niż jego najwcześniejszy możliwy term in załadunku.W dalszej części pracy rozważać będziemy problem P łącznie z ograniczeniam i c i d .
3. A lg o r y tm y o p ty m a liz a c ji p r o c e s u o b r ó b k i d e ta li
O znaczm y przez Hi całkowicie uporządkowany podzbiór zbioru zadań wykonywanych przez m aszynę w i- tym dniu pracy, tj. zbiór, w którym u stalona je st kolejność wykonywa
n ia w szystkich zadań, uw zględniająca również relację porządku technologicznego. Z kolei
24. A. A d rab iń sk i, J. G rab o w sk i, M. W odecki
niech t, (zajętość m aszyny) będzie term inem zakończenia wykonywania przez m aszynę ostatniego zadania znajdującego się aktualnie w Hi oraz Ti (zajętość pracownika) te r
m inem zakończenia przez pracownika załadunku (albo w yładunku) detalu ostatniego w i-tym dniu zadania. Zadania należące do zbiorów H i nazywać będziem y zadaniam i usta
lonymi, a pozostałe z J zadaniam i wolnymi. Dzień k-ty pracy m aszyny je st dopuszczalnym dla zadania J j , jeżeli w dniu tym zadanie to może być całkowicie wykonane, tj.r
(i) od m om entu rozpoczęcia wykonywania przez centrum zadań z J do m om entu 71*, w k tó ry m (w i-ty m dniu) pracownik może rozpocząć ładowanie detalu zadania Jj, upłynęło co najm niej r ; czasu,
(ii) załadunek, wykonanie i rozładunek zadania Jj nastąpi w i-ty m dniu,
(iii) od m om entu zakończenia rozładunku każdego zadania J, będącego poprzednikiem Jj, (tj. ( i , j ) g E) do chwili 7* upłynęło co najm niej /,> czasu.
Oznaczm y przez A,- oraz B, zbiory następników oraz poprzedników wierzchołka i w grafie G. Jeżeli z w ierzchołka i do wierzchołka j istnieje droga w G, to i g Bj oraz j g A;.
D la zadania J; g J niech
<7; = max{ £ pj, m ax{dij : j € A ,}),
;e-4,
gdzie d{j je st długością drogi w grafie G z wierzchołka i do j , tj. sum ą wag wierzchołków i łuków tworzących tę drogę. Jeśli A,- = 0, to przyjmujemy, że ę; = 0. P o nadto niech
b, = rt + pi + qi. (2 )
Ja k łatw o zauważyć, wielkość 6,- je st najwcześniejszym term inem zakończenia wykonywa
n ia zadania J;.
W yznaczając kolejność wykonywania zadań, spośród zadań wolnych, których w szystkie poprzedniki w grafie pierw szeństwa G są ju ż ustalone, w ybieram y zadanie o m aksym alnej wartości w yrażenia (2). Dla ustalenia uwagi załóżmy, że w ybraliśm y zadanie Jk. N astępnie spośród dni dopuszczalnych dla tego zadania w ybieramy pierwszy. W dniu tym zadanie Jk będzie wykonywane. Jeśli wybraliśm y dzień l, to:
S zeregow anie z a d a ń w p ew nym elasty czn y m sy stem ie p ro d u k cy jn y m 25
- ustalam y zadanie Jk w zbiorze Hi, tj. Hi <— Hi U {Jjt}, przy czym zadanie to będzie wykonywane jako ostatnie,
uaktualniam y czas zajętości pracownika i m aszyny uwzględniając fakt, że zadanie Jk będzie wykonywane w l-tym dniu,
- m odyfikujem y zbiory poprzedników zadania J*: Vi 6 A*, Bi Bi \ {A:}, - u aktualniam y najwcześniejsze możliwe term iny rozpoczęcia wykonyw ania zadań
uw zględniając term in w ykonania Jk, tj'
Yj € j4*, r j := m ax {rj, (/ - l)d z + i| + w, + f kj ).
Po wykonaniu wyżej opisanych modyfikacji w szystkie zbiory poprzedników zaw ierają jedynie za d an ia wolne, tj. zadania, które nie zostały jeszcze ustalone.
D okładny opis algorytm u jest zamieszczony w pracy [1], a jego złożoność obliczeniowa je st rów na 0 ( n 2). S trategia, któ rą stosujemy w yznaczając num er zadania i odpow iedni dzień, je s t o p a rta n a idei algorytm u najlepszego dopasowania uporządkowanych zadań (ang. first-fit decreasing) wyznaczającego rozwiązanie przybliżone dla problem u pakowa
nia (zobacz [3]).
TW IERD ZENIE 2. Jeżeli Lo? jest m inimalną liczbą dni potrzebnych do wykonania za
dań ze zbioru J , a La h z liczbą dni wyznaczoną przez wyżej opisany algorytm, to wówczas
LaH2 < ip ń o p + 4.
Powyższe tw ierdzenie zostało udowodnione w pracy [3].
W celu uproszczenia opisu algorytm u przyjęliśmy, że liczba godzin pracy centrum w każdym dniu jest stała. W ogólnym przypadku długości zm ian m ogą być różne.
S ystem pracy ciągłej, tj. bez zatrzym yw ania maszyny, m ożna traktow ać jako pracę zm ianow ą, w której długość zm iany dz jest równa nieskończoności. Ze względu jednak n a specyfikę tego problem u skonstruowaliśmy oddzielny, bardziej efektywny algorytm . W yznaczając kolejności wykonywania zadań korzystam y ze znanej w literatu rz e zasady Jacksona stosowanej w wielu algorytm ach dla problemów szeregowania zadań. D okładnie
26 A. A d rab iń sk i, J . G rabow ski, M . W odecki
je st ona przedstaw iona w pracy [2]. Poniżej zamieszczamy jedynie krótki opis algorytm u, a sam algorytm jest przedstawiony w pracy [1].
N a początku przyjm ujem y, że zajętość pracownika 7’= 0 , m aszyny t = 0 oraz zbiór zadań ustalonych H = 0. Niech
K = {./, g J : Jj i II, Bf = to, r; < i},
będzie zbiorem zadań wolnych, których wykonywanie może się rozpocząć w chwili t. Jeżeli zbiór K ^ to, to w ybieram y do wykonywania zadanie z K , dla którego wartość w yrażenia (2) je st m inim alna. Gdy K = 0, w tedy wyznaczamy zbiór
K ' = {Ji g J : J i Ć H , Bi = 0},
i do wykonywania w ybieram y zadanie z I\ o najm niejszym możliwym term in ie rozpo
częcia. Łatwo wykazać, że jeżeli zbiór K — to, to K ^ 0. Po w yznaczeniu zadania do wykonyw ania modyfikujemy zajętości pracownika i maszyny oraz zbiory poprzedników i najwcześniejsze możliwe term iny rozpoczęcia wykonywania zadań tak, jak w algorytm ie d la pracy zm ianow ej. Złożoność obliczeniowa opisanego algorytm u je st rów na 0 ( n 2).
W yniki obliczeniowe przedstawionych algorytmów, dla wielu losowo generowanych przykładów , ja k również dla dużej liczby przykładów wziętych z praktyki, w pełni po
tw ie rd z ają słuszność założeń dotyczących modelu procesu obróbki detali, ja k i w yboru algorytm ów .
4 . W s p ó ł d z i a ł a n i e o b r a b ia r k i z m a g a z y n a m i n a r z ę d z i
W chodząca w skład centrum obrabiarka wyposażona je st w m agazyny narzędzi. Z n aj
dujące się w nich narzędzia m ogą nie w ystarczyć do w ykonania wszystkich operacji prze
widzianych n a dany dzień. Dlatego w trakcie obróbki operator dokonuje w ym ian.
K ażde zadanie J, g J je st ciągiem m,- ponumerowanych operacji:
Ji = ( 0 ] , o l . . . , o r ) ,
k tó re należy wykonać w zadanym z góry porządku technologicznym, tzn. operacja O* m a być w ykonana bezpośrednio po operacji O*-1 , a przed 0}r+I. O peracja może być: tokarska,
S zeregow anie za d a ń w p ew n y m elasty czn y m sy stem ie p ro d u k cy jn y m 21
frezarska lub pomiarowa. Niech p* będzie czasem wykonywania, n f num erem ty p u narzę
dzia, a z* zm ienną, której wartością je st num er otworu w m agazynie, z którego m aszyna pobiera narzędzie do wykonywania operacji 0*. Dalej niech s j będzie num erem typ u , a ej dopuszczalnym (m aksym alnym ) czasem pracy narzędzia znajdującego się w y-tym otworze.
Podobnie ja k w przypadku zadań zakładamy, że:
a ’) w każdej chwili m aszyna wykonuje co najwyżej je d n ą operację,
b ’) wykonywanie żadnej operacji nie może być przerwane, c ’) każdą operację należy wykonać jednym narzędziem.
Problem sterow ania pracą magazynów polega na wyznaczeniu:
- narzędzia do wykonywania każdej operacji 0 \ € J; , (J< £ J ), - m om entów wymiany narzędzi w magazynach,
- zbiorów narzędzi wyjmowanych i wstawianych w trakcie wymiany,
- liczby narzędzi każdego typu potrzebnych do obróbki detali na każdy dzień p ra
cy centrum
tak , aby liczba potrzebnych narzędzi oraz liczba w ymian była jak najm niejsza.
Poniżej przedstaw im y opis algorytm u sterow ania pracą magazynów zakładając, że cen
tru m pracuje w system ie zmianowym.
Załóżmy, że rozwiązaliśmy problem wyjściowy P harm onogram ow ania procesu ob
róbki, tj. w yznaczyliśm y uporządkowane zbiory zadań n a każdy dzień. Ponieważ kolejność w ykonyw ania operacji każdego zadania je st z góry określona (porządek technologiczny), m am y więc n a każdy dzień pracy wyznaczoną kolejność wykonyw ania operacji.
Przypuśćm y, że przystępujem y do rozpatryw ania operacji O f, a wszystkie operacje, k tóre m a ją być przed nią wykonane, zostały ju ż rozpatrzone. Dla u stalenia uwagi przy j
mijmy, że je st to operacja tokarska. Omówimy teraz pewne czynności związane z u stale
niem num eru otw oru, z którego m aszyna pobiera narzędzie do wykonania tej operacji. Jeśli w m agazynie narzędzi brak je s t takiego, którym m ożna wykonać rozpatryw aną operację, a są jeszcze wolne otwory, to wykonujemy czynność wstawiania narzędzia do m agazynu.
N atom iast gdy wszystkie otwory są zajęte, to wykonujemy czynność w ym iany polegającą n a zwolnieniu pewnego otworu i następnie wstawieniu odpowiedniego narzędzia. Poniżej
28 A. A d rab iń sk i, J . G rab o w sk i, M. W odecki
opiszem y obie czynności.
W stawianie narzędzia do magazynu
Jeżeli w m agazynie brak je st narzędzia, którym należy wykonać operację Oj1, a są jesz
cze wolne otwory, to w stawiam y nowe narzędzie. Czynność ta polega więc n a w yznaczeniu wolnego otworu w m agazynie i umieszczeniu w nim narzędzia, którym będzie w ykonyw ana rozpatryw ana operacja.
W ym iana narzędzi w magazynie
Załóżmy, że w śród narzędzi znajdujących się w m agazynie nie m a takiego, którym m ożna wykonać operację Oj1, i wszystkie otwory są zajęte. Czynność w ym iany polega na wyznaczeniu num eru pewnego otworu i usunięciu znajdującego się w nim narzędzia, a następnie w ykonaniu czynności wstawiania. W pierwszej kolejności usuwać będziem y n a
rzędzie, k tó re nie będzie już używane do wykonywania pozostałych na dany dzień operacji.
Jeśli nie m a takiego, to usuwamy narzędzie należące do najliczniejszego typu i m ające n a j
m niejszy dopuszczalny czas pracy.
Pow róćm y obecnie do problem u wyznaczania num eru otworu w m agazynie, z którego należy pobrać narzędzie do wykonywania operacji. Jeśli w m agazynie je st wiele narzędzi typu n f, którym i m ożna wykonać operację Oj1, to wybieramy spośród nich takie, dla którego różnica dopuszczalnego czasu pracy i czasu wykonania operacji je st nieujem na i m inim alna, tj. w ybieram y narzędzie z otworu q, dla którego:
cq — p f = m in{ j: j - je st num erem otworu oraz Cj - p f > 0 i Sj —n f }.
N astępnie zm iennej zj1 nadajem y wartość q (num er otworu, w którym zn a jd u je się w y
brane narzędzie) oraz modyfikujemy dopuszczalny czas pracy przydzielonego narzędzia c, przyjm ując c, — pf. O pisana m etoda minimalizacji liczby narzędzi ustalonego typu, potrzebnych do w ykonania wszystkich (tego typu) operacji,sprow adza się do znanego w literatu rz e problem u pakowania. K onstruując algorytm dla tego problem u będziem y stosowali strateg ię najlepszego dopasowania (ang. best-fit), z której korzystaliśm y przy w yznaczaniu rozw iązania przybliżonego dla problem u P . Dokładny jej opis zam ieszczony je st w pracy [3], a oszacowanie uzyskanego rozwiązania daje poniższe tw ierdzenie.
S zeregow anie za d a ń w pew nym elasty czn y m sy stem ie p ro d u k cy jn y m 23.
TW IERDZENIE 3. Jeżeli Lopt je st rozwiązaniem optymalnym, a Lt,j rozwiązaniem
Dowód powyższego tw ierdzenia zamieszczony je st w pracy [3].
5. O p is a l g o r y t m u s te r o w a n ia m a g a z y n a m i m a s z y n y
Zakładam y, że centrum pracuje w system ie zmianowym. W w yniku d ziałania odpo
wiedniego algorytm u wyznaczone zostały uporządkowane zbiory zadań ( t= l,2 ,...,/mar) do w ykonania w poszczególnych dniach, gdzie lmax jest num erem ostatniego dnia pracy centrum . P onadto niech d będzie liczbą otworów w każdym magazynie.
Poniżej zamieszczamy opis procedury wyznaczania dla operacji O l num eru otworu, z którego pobierane je st narzędzie do wykonywania ustalonej operacji. W celu uproszcze
nia zapisu będziem y korzystali z elementów języka Pascal.
m in := m axint; z 3u:—0;
r e p e a t
fo r i := 1 to d do
if (są wolne otwory) t h e n wstaw narzędzie else w y m ia n a u n t i l z{ / 0
Opis czynności w staw iania i wymiany narzędzi w m agazynie, w ystępujących w proce
durze, zamieściliśm y w poprzednim rozdziale.
if (a,- = n{) a n d (c,- > jĄ) th e n if m in > ą — p i th e n
b e g in { Wybieramy narzędzie z i - tego otworu) m in := c; - pi; z{ := i
e n d ;
if m in = m a x in t th e n { Brak odpowiedniego narzędzia)
30 A. A d rab iń sk i, J. G rab o w sk i, M . W odecki
A lgorytm sterow ania m agazynam i narzędzi podczas procesu obróbki detali sprowadza się do wielokrotnego stosowania wyżej opisanej procedury, kolejno dla każdej operacji.
D okładny jego opis zamieszczony jest w pracy [1], Jego złożoność obliczeniowa jest równa 0 ( d * lop), gdzie lop je st liczbą wszystkich operacji, a d liczbą otworów w m agazynie.
Czynności w staw iania, wymiany i dublowania narzędzi mogą być zrealizowane przez algorytm y, których złożoność obliczeniowa jest stała, tj. 0 ( 1) i zależy tylko od liczby otworów w m agazynie.
6. E k s p e r y m e n t y o b lic z e n io w e
A lgorytm y harm onogram owania procesu obróbki detali dla pracy zmianowej i ciągłej, przedstaw ione w tej pracy, zostały zaprogramowane w języku T urbo Pascal i przetesto
w ane na przykładach wziętych z praktyki. Obliczony dla tych przykładów współczynnik w ykorzystania m aszyny W był dw ukrotnie większy niż dla harm onogram ów układanych ręcznie. A lgorytm y te były także testowane na wielu losowo wygenerowanych przykładach.
D la każdego zadania wszystkie jego p aram etry były realizacją zm iennej losowej o rozkła
dzie jed n o stajn y m . Przedziały, z których losowano wartości zm iennych, wyznaczono tak, aby wartości rzeczywistych danych, dla których prowadziliśmy obliczenia, należały do tych przedziałów. Każdy przykład by 1 liczony dla jedno- i dwuzmianowej oraz ciągłej pracy centrum . Oprócz w spółczynnika wykorzystania maszyny W liczono także w artość ilorazu:
gdzie Fm je st term inem zakończenia obróbki detali ze zbioru J wyznaczonym przez algorytm odpow iednio dla pracy ciągłej lub zmianowej, n atom iast w artość w yrażenia Fl,b je st dolnym ograniczeniem czasu zakończenia wykonywania zadań ze zbioru J (dokładny opis obliczania tej wartości przedstawiony jest w pracy [1],
W tablicy 1 przykładowo zamieszczone są wyniki obliczeniowe dotyczące przykładów , dla których najwcześniejsze term iny rozpoczęcia załadunku zadań są zerami oraz zbiór łuków grafu pierw szeństwa jest pusty.
Liczba zm ian rów na 3 oznacza pracę ciągłą.
P odobnie jak w yżej, generując losowo przykłady, testowaliśm y algorytm sterow ania m agazynam i maszyny. Wyniki są podobne do tych, które zamieściliśmy. Czas obliczeń
S zeregow anie z a d a ń w p ew n y m elasty czn y m sy stem ie p ro d u k cy jn y m 31
Tablica 1
liczba liczba W Oszacowanie W os
zadań zmian min. mediana max. min. mediana max.
1- .87 .90 .92 .93 .95 97
10 2 .93 .94 .95 .96 .97 .98
3 .98 .98 .98 .99 .99 .99
1 .90 .90 .90 .95 .95 .96
30 2 .95 .95 .96 .97 .98 .99
3 .99 .99 .99 .99 .99 .99
1 .91 .91 .93 .96 .96 .96
60 2 .95 .96 .96 .98 .98 .99
3 .99 .99 .99 .99 .99 .99
każdego przykładu byl nie większy niż 1 sekunda.
O trzym ane wyniki w pełni potw ierdzają słuszność wybranej m etody konstrukcji algo
rytm ów rozw iązania problem u optym alnej pracy centrum .
Przedstaw ione w pracy algorytm y zostały zaprogramowane w języku T urbo Pascal i stanow ią p akiet oprogram ow ania, który może być wykorzystywany do sterow ania pro
cesem produkcji w dyskretnych system ach produkcyjnych.
LITER A TU R A
1. A drabiński A., Grabowski J., Wodecki M.: O ptym alizacja pracy elastycznego centrum obróbczego tokarsko-frezarskiego. M at. Stos., XXXV II, 1994, str. 16-37.
2. Jackson R .J.: Scheduling a production line to minimize m axim um tardiness. Research R a p o rt 43, M anag. Sci. Res. P roj., University of California, Los Angeles, 1955.
3. Johnson D.S., Demers A., Ullman J.D ., G arey M .R., G raham R.L.: W orst-case p e r
form ance bound for sim ple one-dimensional packing algorithm s. SIAM , J.C o m p u t., 3,4(1974).
3 2 A. A d rab iń sk i, J. G rabow ski, M . W odecki
Recenzent: Dr hab. inż. Mirosław Zaborowski, prof. Pol.Śl.
W płynęło do Redakcji do 30.06.1996 r.
A b s t r a c t
T his p ap e r is dealing w ith a com puter-aided system for a turning-lathe m achine. It includes two parts. T he first one considers th e sequencing problem of job processing by th e m achine. The problem is defined and a m athem atical model along w ith an algorithm for optim izing th e processing tim e is also presented. We also prove th a t th e problem is N P -hard. T he discussed job scheduling problem m ay be briefly sta te d as follow. We are given:
1. a set
J
= { J |,J-2,
..., ./„) of jobs, 2. a p artial order R T on J ,3. a tu rn in g lathe m achine and an operator.
M oreover each job Ji consists of a given sequence of operations J,- = {OJ , O f,..., OJ"');
each operation requires a specific tool for its processing. A m achine can process only one job a t a tim e and preem ption of a job is not perm itted. An operation tim e is given for each processing operation and a processing tim e p; for a job J ; is equal to p j . F urtherm ore each job has a loading and an unloading tim e on a tray (platform ). T he loading and unloading is done by the operator who also exchanges tools in tools-store. T he problem is to sequence th e processing of the jobs on a machine to optim ize some perform ance criterion related to th e com pletion tim e. T he second part of th e paper considers th e problem of th e tool replacem ent by th e turning-lathe. An algorithm for finding an optim al sequence of tool replacem ent intervals in the tool-store of th e machine is presented. Sim ilarly to th e previous we assum e th a t:
1. a m achine can process only one operation at a tim e, 2. preem ption of an operation is not perm itted, 3. each operation requires only one specific tool.
Moreover th e tool-store has a lim ited capacity. T he problem is to find an optim al assi
gnm ent of tools to operations so th a t th e num ber of used up tools and tool exchanges is m inim al. E xtensive com putational experience w ith a set of test problem s ranging in size up to sixty jobs show a high efficiency of the system . A discussion of th e perform ance of th e im plem ented system is also presented.
