U NI VE RSIT ATI S MARIAE C UR IE - S KL O DOWSKA LUBLIN- POLONIA
VOL. I. Nr 1 SECTIO A 1946
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Z 3etnin«riuiu Matematycznego 1 Wytlz. Przyr» U. M. C. 3.
Kierownik: prof. Jr. Mieczysław Biernacki
Mieczysław Biernacki
Sur les valeurs moyennes des fonctions sousharmonïques
(0 wartościach średnich lunkcyj podharmonicznych)
MM. Hardy et Littlewood ont établi la proposition suivante* 1 11):
„Si f(z) = /(re'e) est une fonction holomorphe dans le cercle |z| eé 1 et si À est un entier positif, on a, en posant F(e) = Q j /(re'®)|, l’inégalité:
2ji 2ji
J
U(e®') 'deo o
où A est une constante numérique", et ils ont posé la question de sa
voir si la proposition subsiste pour tout À positif (Plus tard ils ont d'ail
leurs répondu affirmativement à cette question). Dans ce travail je me propose d’établir des inégalités analogues dans lesquelles le module j f | sera remplacé par une fonction u continue, non négative et sousharmonique2)
’) Acta Math. 54, 1930, pp. 81 — 116.
2) Une fonction u (x, y) est sousharmonique (certains auteurs disent subharmonique) dans un domaine D si xJ( y0 étant un point quelconque de D on a
1 p2x
u fxo, Yo)==; 2rt I u cos Yo + rsin e) d9 dès que le cercle de centre x0, y0 et de o
rayon r est intérieur à O. Si u a des dérivées secondes continues la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit sousharmonique est qu'elle vérifie l'inégalité
d2 u d2 u
d x » + y » o En ce qui concerne les propriétés des fonctions sousharmoniques cf F. R i e s z, Acta Szeged 1. et 2. Proc. Lond. Mat. Soc. (2), 23, Acta Math. 48 et 54. Lit- 11 e w o d, Journ. Lond. Mat. Soc. 2. Proc. Lond. Mat. Soc. (2). 28. H a r d y, I n g h a m et Polya, Proc. Roy. Soc. A 113, Proc. Lond. Mat. Soc. (2), 28. Mon tel, Journal de mathématiques pures et appliquées1 1928 ainsi que le livre de G. Julia: Principes géométriques d'analyse, 2 partie, Gauthier-Villars, Paris, 1932, pp. 115 — 120.
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dans un cercle. Il résulte de V une des inégalités obtenues que la pro
position de Hardy-Littlewood subsiste pour tout À positif, (cf. l'énoncé III) u (x, y) étant donc une fonction continue, non négative et sousharmoni- que dans le cercle x2 + y2 r2 3) je vais introduire pour abréger des notations suivantes (r, o ou t,a désignent des coordonnées polaires) :
2i 2i
<P (r, 2it j" Q -Ma* ; r U (t, e) (la, 1 (r, u) = ~~ | U (r, e) de
O O
Une fonction u sousharmonique dans un domaine limité par une coürbe de Jordan simple et fermée est, dans ce domaine, inférieure ou égale à la fonction harmonique qui prend sur la courbe les mêmes valeurs que ui il en résulte qu’ il suffira dans toutes les démonstrations de considérer le cas où u est harmonique.
Nous supposerons d'abord que u (x, y) est harmonique dans le cercle x2 + y2 1 et que o < r < 1’ En utilisant la formule de Poisson et en supposant que le maximum de u (t, «) dans l'intervalle o t r est atteint pour ( = ((#) on a l’égalité :
2-1
(1) îfouJ = 4^2 J u(l. <?) J 2i
[/MP
I + [t MP — 1 2/ (o) cos (ç — e)da d’f L' intégrale intérieure ne dépasse pas l'intégrale
+1
/ M f +) d ip ,
— 31
où M(>!') désigne le maximum de la fonction (1 — t2): fl + f2 — 2/ cos ip)-1 dans l'intervalle o t r. En posant rp0 = arc cos 2r fl + r2} 1 on trouve que le maximum Mf»p) est atteint pour | tp | tp0 lorsque / = r,
pour |ip0| |ipi< " l°rsclue / — fî— sin ip): cos vp et l'on a alors
M fq>9 = fsin rpj-1, pour J tp | — lorsque t — o.
Il résulte de la valeur de tp„ que % < sin ipo 31 U’r)- D'autre part
1 —r2 2 4’or
, ; a „---—<7-— on a donc M(Ap)d*p < 4jt. On trouve ensuite 1 + r2 • 2 rcos 'p 1 — r,
—’Po
i/.» +31 1 + r
j M (H1)dip = log et en définitive: ) M(»p)d’P< 2 log +51.
% ——31
3) c. à. d. le dans le cercle x2+y2 < f1 + e où c est un nombre positif suffisamment p etit.
Or d'après le théorème de Gauss on a 1( 1,u) — I(r,u), on obtient donc, d'après (1), en remplaçant encore le cercle x2 + y2 1 par le cercle x2 + y2 < R2, l'énoncé suivant
I. Si u (x, y) est une fonction continue non négative et sousharmonique à l'intérieur du cercle x2 + y2 < R1 et si o r R, on a
(P (r, u) 1 1 R+ r ,
jt s R — r I (r, u)
Le facteur qui multiplie / (r,u) ne peut être a nélioré (sauf en ce qui con
cerne la constante ) : en effet, dans le cas de la fonction :
1 —r; __Zl + z\
u — 1+r2-2 r cos« 11— z/ (z —re‘»)
harmonique et positive dans le cercle x2 + y2 1 on a, d’après les cal
culs effectués plus haut,
1 1+r
<p (r,u)> “log 1_r et I(r,u) = 1
Nous allons utiliser maintenant l'énoncé suivant du à M A. Zygmund1) :
„Si f (z)=u + iv est holomorphe dans le cercle |z < 1 on a pour z = re‘«
et r < 1 :
1 f 2n + ’
I fr, | v j ^ vfo^] + B. | u(re ‘«71 log u(re *») Ida ù +
où B est une constante numérique et log x=log x si x-1 et log x = o si x<l”. Supposons que u soit harmonique et non négative dans le cercle x2 + y2 < 1 et formons la fonction analytique f(z) = u + iv, v(o) = o, dont u'x, y) est la partie réelle. En appliquant successivement les théorèmes de Hardy-Littlewood et de Zygmund on obtient des inégalités:
<p (r,u) — cp(r, |/j) < AI(r,\t\)< A\l(r,u) + I(r, v\ J]
et l'énoncé suivant :
11. Si u(x, y) est une fonction continue, non négative et sousharmonique à l'intérieur du cercle x2+y2<Ri on a pour o r R:
2ji
1 p +
<p (r, u)< AI (r, u) + AB. J u (r, ej log u (r, e) do o
où A et B désignent des constantes numériques des théorèmes de Hardy- Littlewood et de Zygmund respectivement’).
■’) Fundamenta Mal. 13, 1924. cf. aussi Slein, Journ. Lond. Mat. Soc. 8, 1933.
“) De l’énoncé II on peut déduire l'énoncé I (avec d’autres valeurs des constantes) en remarquant que si f (z) est holomorphe et à partie réelle positive dans le cercle |z| < 1 et si 1 (o)= 1 on a |(f (z) (1+r) (1—r) •* pour |z| r (cf. p. ex. G. Julia loc. cit. *) p. 8) ou Pôlya-Szegô, Aulgaben u. LehtsUze aus der Analysis, Berlin, J. Springer, 1925. Bd 1, Aulgabe 111 284).
16 Mieczysław Biernacki On doit à M. Riesz le théorème que voici : c)
Si f (z) = u + iv est holomorphe dans le cercle | z| < r et si v fo) = o, on a pour tout p >1 I (r, f P)< A(p) 1 (r, u j P) ou A (p) ne dépend que de p". D'après M. Stein ’) on peut poser A (p)=(l—p -1)-1 lorsque 1 < p <2
_ p_
et A(p) — 2 2 pp lorsque p > 2. En supposant que u> o, que p soit un entier >2 et en appliquant successivement les théorèmes de Hardy-Little
wood et de Riesz on obtient: <p (r, u P)-S <p (r, f p)^AI(r, I p) ±=AA(p) l(r,uv) et l'inégalité:
(2) <p fr,uP)< A A'p) 1 (r, u P)
s'étend de suite à toute fonction u non négative et sousharmonique *-) Considérons maintenant une fonction f (z) holomorphe dans le cercle | z| < 1,
i(z) ! *■ est, quelque soit le nombre positif À, sousharmonique dans ce X
cercle. En posant dans l'inégalité (2) u = ! f (z) 2 et p = 2 on voit que
<ptr(|/[^) < 2 AI(r,\fl) c. à. d. que
III. L'énoncé de Hardy-Littlewood cité au début de ce travail est valable pour tout À > o, à la condition que l'on y remplace A par 2 A.
En profitant de l'énoncé III nous pouvons maintenant écrire l’inégalité (2) en y remplaçant A par 2 A, pour tout p > 1, nous obtenons, ains i
l'énoncé suivant:
IV. Si u (x, y) est une fonction continue, non négative et sousharmonique à l'intérieur du cercle x'^+y'-^R’- et si p > 1 on a pour o r < R :
rp (r, u p) < 2 A-A (py I (r, u <•)
où A est la* constante numérique du théorème de Hardy-Littlewood et où A(p)—(1—p1)'1 lorsque 1 < p < 2 et A(p) — V 2 P pp lorsque p>2,Sip est un entier on peut supprimer le facteur 2 dans le second membre de l'inégalité.
Streszczenie Badam zależność pomiędzy zwykłą średnią:
2n
I fr, u) = —J u fr, o) de o
funkcji podharmonicznej i nieujemnej ufr, e) a średnią wprowadzoną przez Hardy’ego i Littlewooda:
6) Mathem Zeilschritt, 27, 1928.
’) Journ. Lond. Mat, Soc. 8, 1933.
£) cf. la remarque qui suit la définition des expressions <t> (r, u) et l(r, u).
2n
Jeśli ufr, o) jest funkcją podharmoniczną i nieujemną w kole r < R to za
chodzą nierówności:
I. O fr, u) 1 , R+ r 5 3i l0g R - r + 2
2k
I fr, u)
1 r +
II. 0 fr, u)~ A I fr, u) + AB • 2^ I ufr, o) log u fr,e) de
(A i B są stałymi liczbowymi)
III. O (r, up) 2 A. A (p) I (r, u p) (p==-1)
-p_ p
(A jest stałą liczbową, A (p) = (l — p“1)-' gdy p < 2, A (p) — 2 2p gdy P 2).
