Wykłady z Analizy IV

Wykłady z Analizy IV

1 Wykład 27.02.2017

Teoria Miary

Przypomnienie 1.1. f : [0, 1]ⁿ → R jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy gdy zbiór punków nieciągłości f jest miary zero w sensie Lebesgeu’a.

Czym jest miara i jakie zbiory daje sie mierzyć?

Przykład 1.2. [a, b] ⊂ R miara ([a, b]) = b − a.

Własności miary: miara([a, b] t [c, d]) = miara([a, b]) + miara([c, d])

Definicja 1.3. Niech A będzie rodziną podzbiorów X. Mówimy, że A jest algebrą zbiorów jeśli:

1. X ∈ A

2. ∀A1, A₂ ∈ A mamy A₁∪ A₂ ∈ A 3. ∀A₁ ∈ A mamy X\A ∈ A

Definicja 1.4. Niech Σ będzie rodziną podzbiorów zbioru X. Mówimy, że Σ jest σ-algebrą jeśli:

1. X ∈ A

2. jeśli A_n ∈ Σ dla n ∈ N to^S∞n=1A_n ∈ Σ 3. A ∈ Σ to X\A ∈ Σ

Przykład 1.5. X− zbiór dowolny i Σ = 2^X− zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X.

Uwaga 1.6. Jeśli (Σ_i)_i∈I jest rodziną σ-algebr to ^T_i∈IΣ_i też jest σ-algebrą. W szczególności jeśli S jest dowolną rodziną podzbiorów zbioru X to istnieje najmniejsza σ-algebra Σ(S) zawierająca S.

Przykład 1.7. X = Rⁿi niech S = zbiory otwarte w Rⁿ. Wówczas Σ(S) oznaczamy Bⁿ. Elementy Bⁿ nazywamy zbiorami bolerowskimi.

Parę (X, Σ) nazywamy przestrzenią mierzalną.

Definicja 1.8. Niech (X, Σ) będzie przestrzenią mierzalną. Miarą (X, Σ) nazywamy funkcję µ : Σ → [0, ∞] taką, że jeśli A_k ∈ Σ, k ∈ N i Am∩ A_n = ∅ dla m 6= n to µ(^S∞k=1A_k) =^P∞_k=1µ(A_k).

Definicja 1.9. Premiara na algebrze A podzbiorów X jest funkcją µ : A → [0, ∞] taką, że jeśli A_k∈ A A_m∩ A_n= ∅ dla m 6= n oraz ^S∞k=1A_k∈ A to µ(^S∞_k=1A_k) = ^P∞_k=1µ(A_k).

Stwierdzenie 1.10. Niech µ będzie miarą na (X, Σ). Wówczas:

1. A ⊆ B to µ(A) ¬ µ(B)

2. A_n∈ Σ takie, że A_k⊆ A_k+1 to µ(A_k)−−−→ µ(^{k→∞ S∞}_k=1A_k) (w tym kontekście będziemy stosować symbol A_k% A =^S∞_k=1A_k)

3. An∈ Σ, Ak ⊇ Ak+1, µ(A1) < ∞ to µ(Ak)−−−→ µ(^{k→∞ T∞}_k=1Ak) (notacja: Ak& A =^T_k=1Ak) Dowód.Ad(1) µ(B) = µ(B\A t A) = µ(B\A) + µ(A) ­ µ(A)

Ad(2) Połóżmy ˜Ak= Ak\Ak−1, k > 1 oraz ˜A1 = A1. Wówczas

A_n =

n

G

k=1

A˜_k oraz

∞

[

n=1

A_n =

∞

G

k=1

A˜_k a stąd

µ(A_n) =

n

X

k=1

µ( ˜A_n)−−−→^k→∞

∞

X

k=1

µ( ˜A_k) = µ(

∞

[

k=1

A_n)

Ad(2) Połózmy B_k = A₁\A_k.. Wówczas B_k jest wstępującą rodziną zbiorów oraz B_k% A₁\^T∞_k=1A_k. Zatem

µ(A₁) − µ(Ak) = µ(Bk)−−−→ µ(A^k→∞ ₁\

∞

\

k=1

A_k) = µ(A1) − µ(

∞

\

k=1

A_k)

Definicja 1.11. Niech µ będzie miarą na (Rⁿ, Bⁿ). Jeśli dla każdego zbioru zwartego K ⊂ Rⁿµ(K) <

∞ to mówimy, że µ jest miarą bolerowską. Mówimy, że µ jest:

1. zewnętrznie regularne jeśli ∀A ∈ Bⁿ µ(A) = inf{µ(O), A ⊂ O, O − otwarty}

2. wewnętrznie regularna jeśli ∀A ∈ Bⁿ µ(A) = sup{µ(K), K < A, K − zwarty}

Jeśli 1. i 2. są spełnione to mówimy, że µ jest regularna.

Skąd brać miary regularne borelowskie na prostej rzeczywistej R?

Przypuśćmy, że µ jest taką miarą. Zdefiniujmy funkcję F_µ: R → R gdzie:

F_µ(x) =







−µ((x, 0]) dla x < 0 0 dla x = 0

µ((0, x]) dla x > 0

Wówczas Fµ jest niemalejącą funkcją ciągłą z prawej strony Fµ(x) = lim↓0Fµ(x + ) Połóżmy F_µ(x⁻) = lim_x↓0F_µ(x − ). Wówczas

µ(A) =











F_µ(b) − F_µ(a) A = (a, b]

F_µ(b) − F_µ(a⁻) A = [a, b]

F_µ(b⁻) − F_µ(a) A = (a, b) F_µ(b⁻) − F_µ(a⁻) A = [a, b)

Naszym celem jest wykazanie twierdzenia: jeśli F : R → R jest niemalejącą funkcją ciągłą z prawej strony i F (0) = 0 to istnieje dokładnie jedna miara bolerowska regularna µ : B¹ → [0, ∞] taka, że F = F_µ.

Przykład 1.12. Biorąc funkcje

F_µ(x) =

( −1 dla x < 0 0 dla x ­ 0 to odpowiednie µ jest deltą Diraca w 0 ∈ R.

δ(A) =

( 0 dla 0 6∈ A 1 dla 0 ∈ A

Przykład 1.13. F (x) = x to odpowiednie µ jest miarą Lebesgeu’a. Rzeczywiście:

µ((0, x]) = x dla x > 0 µ((x, 0]) = −x dla x < 0 czyli F_µ = F .

Definicja 1.14. Niech M będzie rodziną podzbiorów X. Mówimy, że M jest klasą monotoniczną gdy:

1. jeśli A_n ∈ M oraz A_n % A to A ∈ M 2. jeśli A_n ∈ M oraz A_n & A to A ∈ M

Uwaga 1.15. Jeśli S jest rodziną podzbiorów X to istnieje najmniejsza klasa monotoniczna zawie- rająca S, którą oznaczamy M(S).

Twierdzenie 1.16. Niech A będzie algebrą podzbiorów X. Wówczas M(A) = Σ(A).

2 Wykład II 6.03.2017

Twierdzenie 2.1. Niech A będzie algebrą podzbioru X. Wtedy Σ(A) = M(A).

Dowód. Oznaczenie: M(A) = M.

Ustalmy podzbiór A ⊂ X i rozważmy M (A) = {B ∈ M : A ∪ B ∈ M} ⊂ M. M (A) jest klasą monotoniczną. Rzeczywiście jeśli Bn ∈ M (A) oraz Bn % B to A ∪ Bn % A ∪ B ∈ M. Zatem BM (A). Podobnie argumentujemy dla B_n& B.

Jeśli A ∈ A to ∀B ∈ A mamy A ∪ B ∈ A ⊂ M, zatem B ∈ M (A). To pokazuje, że A ⊂ M (A) ⊂ M zatem M (A) = M (bo M jest najmniejszą klasą monotoniczą zawierającą A). W szczególności, mamy B₁∪ B₂ ∈ M jeśli przynajmniej jeden ze zbiorów (B₁ lub B₂) jest elementem A. To pokazuje,że A ⊂ M (B) dla wszystkich B ∈ M i M (B) = M. Czyli M jest zamknięty na branie sum.

Czy M jest zamknięty na branie dopełnień? Niech N = {A ∈ M : X\A ∈ M}. Zauważmy, że A ⊂ N oraz N jest klasą monotoniczną. Zatem N = M. Czyli M jest algebrą.

M jest σ-algebrą: niech An ∈ M, n ∈ N. Zdefiniujmy ^gAn =^Sn_k=1Ak ∈ M oraz ^gAn %^S∞_n=1An. Czyli ^S∞_n=1A_n ∈ M i M jest σ-algebrą co pokazuje Σ ⊂ M. Na odwrót: M ⊂ Σ bo Σ jest klasą monotoniczną zawierającą A.

Twierdzenie 2.2. Niech µ : A → [0, ∞] będzie premiarą σ-skończoną. Wówczas jeśli premiara µ rozszerza się do miary na Σ(A) to tylko na jeden sposób.

Przypomnienie: µ jest σ-skończona jeśli ∃ zbiory (X_i)_i∈N µ(X_i) < ∞ oraz X =^S∞_i=1X_i.

Dowód. Przypadek 1. µ(x) < ∞: przypuśćmy, że µ ma dwa rozszerzenia µf₁,µf₂ : Σ(A) → [0, ∞].

Niech M = {A ∈ Σ(A) : µf₁(A) =µf₂(A)}. Zauważmy, że A ⊂ M . Jest jasne, że jeśli An % A oraz A_n ∈ M to A ∈ M . Ponieważ µ(x) < ∞ to także dla A_n & A mamy A ∈ M . Czyli M jest klasą monotoniczną a więc M = M(A) = Σ(A).

Przypadek 2: µ jest σ-skończona: ∃ ciąg Xn% X gdzie µ(X_n) < ∞.

Na mocy poprzedniego przypadku µ_f1(A ∩ X_n) = µ_f2(A ∩ X_n), n ∈ N. Biorąc n → ∞ dostajemy µf₁(A) = µf₂(A).

Twierdzenie 2.3. Niech F : R → R będzie funkcją niemalejąca, ciągła z prawej strony. Niech A będzie algebrą skończonych sum rozłącznych odcinków. Dla odcinka A ⊂ R definiujemy

µ_F(A) =















F (b) − F (a⁻), A = [a, b]

F (b⁻) − F (a⁻), A = [a, b) F (b⁻) − F (a), A = (a, b) F (b) − F (a), A = (a, b]

Niech µ_F będzie rozszerzeniem µ_F(odcinki) do A. Wówczas µ_F jest premiarą regularną na A.

Dowód. Wprost z konstrukcji wynika, że µ_F jest addytywna. Wykażemy, że µ_F jest zew. regularna:

niech A ∈ A. Można założyć, że A jest skończoną sumą odcinków otwartych i punktów. Zewnętrzna regularność ze względu na odcinki otwarte jest oczewista. Niech x ∈ R, µF({x}) = µ_F({[x, x]}) = F (x) − F (x⁻) = lim_↓0(F (x + ) − F (x − )) = lim_↓0µ_F((x − , x + )), co pokazuje, zewnętrzną regulrność dla punktów.

Wykażemy, że µ_F jest wew. regularna: z punktami nie ma problemu. Łatwo też sprawdzić że µ_F((a, b)) = lim

n→∞µ_F([a_n, b_n]) gdzie a_n & a, b_n% b.

Wykażemy σ-addytywność: niech I =^S∞_n=1, gdzie I, I_n- skończone sumy rozłącznych odcinków.

Bez straty ogólności możemy założyć że I jest odcinkiem oraz I_n również są odcinkami.

Przypadek 1: I jest zwartym odcinkiem. ∀ istnieją odcinki otwarte Jn takie, że In ⊂ Jn oraz t. że µ_F(J_n) 6 µF(I_n) + ₂^n (zewnętrzna regularność). Skoro I jest zbiorem zwartym to ∃N t. że I ⊂ ^SN_n=1J_n. Zatem µ(I)6^PNn=1µ(J_n)6^P∞n=1µ(I_n) + , ∀ > 0 i widzimy, że µ(I)6^P∞n=1µ(I_n).

W drugą stronę ^S∞_n=1In= I to µ(I) >^PMn=1µ(In) =⇒

M →∞µ(I) > ^P∞n=1µ(In).

Przypadek 2: jeśli I jest odcinkiem ograniczonym to dokładając ewentualnie brzegi I i korzy- stając z poprzedniego argumentu dostajemy σ-addytywność .

Przypadek 2: jeśli I = [a, ∞) to biorąc x > a i rozważając przejście graniczne [a, x] %

x→∞

[a, ∞) też można pokazać, że µ(I) =^P∞_n=1µ(I_n) dla I = [a, ∞).

Niech µ : A → [0, ∞] będzie premiarą. Dla A ⊂ X definiujemy µ^∗(A) = inf{

∞

X

n=1

µ(A_n)^∗ : A ⊂

∞

[

n=1

A_n, A_n∈ A}.

Własności µ^∗ :

1. µ^∗(∅) = 0

2. A1 ⊆ A₂ to µ^∗(A1)6 µ^∗(A2), Ai ⊂ X

3. µ^∗(^S∞_n=1A_n)6^P∞n=1µ^∗(A_n) - podaddytywność 4. Jeśli A ∈ A to µ^∗(A) = µ(A)

µ^∗ jest tzw. miarą zewnętrzną.

Twierdzenie 2.4. Niech µ^∗ będzie miarą zew. na zbiorze X. Wówczas rodzina Σ podzbiorów X spełniających warunek Caratheodory’ego: A ∈ Σ iff

µ^∗(E) = µ^∗(A ∩ E) + µ^∗(A^c∩ E), dla wszystkich E ⊂ X jest σ-algebrą oraz µ^∗ obcięte do Σ jest miarą.

Dowód. A, B ∈ Σ to A ∪ B ∈ Σ.

µ^∗(E) = µ^∗(A ∩ E) + µ^∗(A^c∩ E) =

= µ^∗(B ∩ A ∩ E) + µ^∗(B^c∩ A ∩ E) + µ^∗(B ∩ A^c∩ E) + µ^∗(B^c∩ A^c∩ E) =

> µ^∗((A ∪ B) ∩ E) + µ^∗((A ∪ B)^c∩ E)

Podaddytywność µ daje nierówność przeciwną: µ^∗((A ∪ B) ∩ E + µ^∗((A ∪ B)^c∩ E) > µ^∗(E).

Niech A_n ∈ Σ. Można założyć że A_n∩ A_m = ∅, n 6= m. Niech ^gA_n=^Sn_k=1A_k oraz A =^S∞_k=1A_k. µ^∗(^gA_n∩ E) = µ^∗(A_n∩^gA_n∩ E) + µ^∗(A^c_n∩ E) =

= µ^∗(An∩ R) + µ^∗( ]An−1∩ E) = ...

= ^Pn_k=1µ^∗(Ak∩ E)

Ponadto:

µ^∗(E) = µ^∗(^gA_n∩ E) + µ^∗(^gA_n^c∩ E) =

= ^Pn_k=1µ^∗(A_k∩ E) + µ^∗(^gA_n^c∩ E) >

> ^Pnk=1µ^∗(A_k∩ E) + µ^∗(A^c∩ E), dla n ∈ N.

n→∞−→ (?)µ^∗(E) > ^P∞k=1µ^∗(A_k∩ E) + µ^∗(A^c∩ E)

> µ^∗(A ∩ E) + µ^∗(A^c∩ E)

> µ^∗(E), zatem A ∈ Σ

µ^∗ obcięte do µ jest miarą:

E = A w ? daje

µ^∗(A) =

∞

X

k=1

µ^∗(A_n∩ A) + µ^∗(A^c∩ A) =

∞

X

k=1

µ^∗(A_k)

3 Wykład 13.03.2017

Warunek Caratheodory’ego ( warunek na zbiór A): A ∈ Σ ⇔ µ^∗(E) = µ^∗(A∩E)+µ^∗(A⁰∩E) ∀E ⊂ X, gdzie Σ to σ-algebra, a µ^∗ to miara zewnętrzna.

Twierdzenie 3.1. Niech A będzie algebrą podzbiorów X oraz µ : A → [0, ∞] będzie premiarą.

Niech µ^∗ będzie miarą zewnętrzną związaną z µ. Wówczas A ⊂ Σ.

Przykład 3.2. A = {algebra skończonych, parami rozłącznych odcinków}

µ([a, b]) = µ(]a, b[) = µ(]a, b]) = µ([a, b[) = b − a Σ zawiera A oraz µ^∗|_Σ jest miarą na Σ, którą nazywamy miarą Lebesgeu’a.

Dowód. Niech A ∈ A oraz E ⊂ X. Subaddytywność µ^∗:

µ^∗(E)6 µ^∗(A ∩ E) + µ^∗(A⁰∩ E).

Niech (An)_n∈N będzie pokryciem zbioru E zbiorami An ∈ A. Wtedy

∞

X

n=1

µ(A_n) =

∞

X

n=1

µ(A ∩ A_n) +

∞

X

n=1

µ(A⁰ ∩ A_n)>

> µ^∗(A ∩ E) + µ^∗(A⁰ ∩ E).

Biorąc inf po pokryciach dostajemy µ^∗(E)> µ^∗(A ∩ E) + µ^∗(A⁰∩ E).

CAŁKA LEBESGEU’A: (X, Σ, µ) - przestrzeń z miarą

Definicja 3.3. Niech f : X → R. Mówimy, że f jest mierzalna jeśli dla każdego zbioru mierzalnego A ∈ Bⁿ (σ-algebra podzbiorów borelowskich), f⁻¹(A) ∈ Σ (przeciwobraz zbioru borelowskiego jest mierzalny).

Stwierdzenie 3.4. Funkcja f : X → Rⁿ jest mierzalna ⇔ f⁻¹(I) ∈ Σ dla wszystkich I postaci I = (a₁, ∞) × (a₂, ∞) × . . . × (a_n, ∞).

Dowód. (Szkic):

⇒ oczywiste

⇐ jeśli f spełnia f⁻¹(I) ∈ Σ to f⁻¹(J ) ∈ Σ dla J = (a₁, b₁) × (a₂, b₂) × . . . × (a_n, b_n). Dowolny zbiór otwarty w Rⁿ jest przeliczalną sumą kostek.

Stwierdzenie 3.5. f : X → Rⁿ - mierzalna oraz g : Rⁿ → R^m mierzalna. Wówczas g ◦ f jest mierzalna. W szczególności jesli f1, f2 : X → R są mierzalne to f¹+ f2, f1f2 są mierzalne.

Dowód. A ∈ Bⁿ, (g ◦ f )⁻¹(A) = f⁻¹◦ g⁻¹(A)

g⁻¹(A) - zbiór borelowski, a więc f⁻¹◦ g⁻¹(A) - mierzalny.

f : X → R² :

f (x) = f₁(x) f₂(x)

!

. g, ˜g : R² → R :

g(x₁, x₂) = x₁+ x₂, ˜g(x₁, x₂) = x₁· x₂. Wówczas:

g ◦ f = f₁+ f₂, ˜g ◦ f = f₁· f₂. Każda z funkcji g, ˜g i f jest mierzalna, więc ich złożenia również.

Twierdzenie 3.6. Niech (f_n)_n∈Nbędzie ciągiem funkcji mierzalnych. Wówczas sup_n∈N(f_n), inf_n∈N(f_n), lim infn→∞(fn), lim sup_n→∞(fn) są mierzalne.

Dowód. Wystarczy pokazać dla sup:

• inf(f_n) = − sup(−f_n),

• lim sup_n→∞(f_n) = inf_n∈N( ˜f_n), gdzie ˜f_n(x) = sup_k>nf_k(x),

• podobnie dla lim inf.

Dwodzimy więc dla sup:

x ∈ sup

n∈N

f_n⁻¹



(a, ∞)



⇔ ∃n : f_n(x) > a ⇔ x ∈ ^[

n∈N

f_n⁻¹(a, ∞) ∈ Σ

Notacja: A ∈ Σ to funkcja charakterystyczna zbioru A:

χA(x) =

( 1, x ∈ A 0, x /∈ A jest mierzalna.

Definicja 3.7. Mówimy, że funkcja s : X → R jest funkcją prostą, jesli zbiór jej wartości jest skończony.

Niech α₁, α₂, . . . , α_n ∈ R będą wartościami funkcji s, Ai = s⁻¹(α_i), wtedy s(x) =^Pn_i=1α_iχ_A(x).

Definicja 3.8. Niech s : X → R+ będzie funkcją prostą, A ∈ Σ. Wówczas liczbę ^Pn_i=1α_iµ(A_i∩ A) oznaczamy ´

As(x)dµ(x) i nazywamy całką z s po zbiorze A względem miary µ.

Twierdzenie 3.9. (i) ´

Asdµ =´

Xχ_Asdµ, (ii) ´

F∞

i=1Aisdµ =^P∞_i=1´

Aisdµ, (iii) ´

Aαsdµ = α´

Asdµ, α ∈ R+, (iv) ´

A(s + t)dµ =´

Asdµ +´

Atdµ, (v) A ⊂ B ⇒´

Asdµ >´

Bsdµ, (vi) s> t ⇒´

Asdµ >´

Atdµ.

Dowód. (i) jest wnioskiem z równości χA(x) · χB(x) = χA∩B(x).

(ii) wynika z σ-addytywności µ.

(iii) oczywiste.

(iv) s =^Pn_i=1α_iχ_Ai, t =^Pn_j=1β_jχ_Bj, C_ij = A_i∩ B_j, s + t =^P_i,j(α_i+ β_j)χ_Ai∩B_j. ˆ

A

(s + t) =^X

i,j

(αi+ βj)µ(Ai∩ B_j∩ A) =

=^X

i

αi

X

j

µ(Ai∩ A ∩ Bj) +^X

j

βj

X

i

µ(Bj ∩ A ∩ Ai) =

=^X

i

αiµ(Ai∩ A) +^X

j

βjµ(Bj ∩ A) = ˆ

A

sdµ + ˆ

A

tdµ,

(1)

gdyż np. µ(A_i∩ A) = µ(A_i∩ A ∩^Fm_j=1B_j) =^P_jµ(A_i∩ A ∩ B_j).

(v) jasne.

(vi) Jeśli s6 t i s =^Pni=1α_iχ_Ai, t =^Pn_j=1β_jχ_Bj to kładąc C_ij = A_i∩ B_j ∃γ_ij i δ_ij, gdzie γ_ij 6 δij

takie, że s =^P_i,jγ_ijχ_Cij i t =^P_i,jδ_ijχ_Cij. ˆ

A

sdµ =^X

i,j

γ_ijµ(C_ij ∩ A) 6^X

i,j

δ_ijµ(C_ij ∩ A) = ˆ

A

tdµ.

Całkowanie dowolnej (dodatniej) funkcji mierzalnej:

Definicja 3.10. Jeśli f : X → R+ to sup_s6f(sdµ) nazywamy całką po zbiorze A i oznaczamy:

ˆ

A

f dµ .

4 Wykład 20.03.2017

Przypomnienie 4.1. Jeśli f : X → R+ jest funkcją mierzalną, to całkę z f po A definiujemy wzorem A ∈ Σ, ´

Af dµ = sup_s¬f´

Asdµ gdzie s są dodatnimi funkcjami prostymi.

Twierdzenie 4.2 (Twierdzenie o zbieżności monotonicznej). Niech (f_n) będzie ciągiem rosnącym nieujemnych funkcji mierzalnych oraz niech f = lim_n→∞f_n. Wówczas:

n→∞lim ˆ

A

f_ndµ = ˆ

A

f dµ dla wszystkich A ∈ Σ.

Dowód. Zauważmy, że ciąg αn = ´

Afndµ jest rosnący. Niech α = limn→∞αn. Skoro fn ¬ f to α_n=´

Af_ndµ ¬´

Af dµ i

α ¬ ˆ

A

f dµ (2)

Nierówność odwrotna: ustalmy funkcję prostą s ¬ f oraz θ ∈]0; 1[ i niech A_n = {x ∈ A : f_n(x) ­ θs(x)}

Wówczas An% A. Zatem ˆ

A

f_ndµ ­ ˆ

An

f_ndµ ­ θ ˆ

An

sdµ Przechodząc z n → ∞ dostajemy α ­ θ´

Asdµ. Zatem α ­ θ sup

s¬f

ˆ

A

sdµ = θ ˆ

A

f dµ.

Skoro jest tak dla wszystkich θ ∈]0, 1[ to α ­ ´

Af dµ co wraz z (2) daje α =´

Af dµ.

Uwaga 4.3. Niech f : X → R+ będzie funkcją mierzalną. Weźmy funkcję prostą s_n=

n2ⁿ

X

k=0

k

2ⁿχ_Ak, gdzie Ak = f^{−1 h} k

2ⁿ;k + 1 2ⁿ

h

!

andAn2ⁿ = f⁻¹([n, ∞[).

Wówczas (s_n): jest wzrastającym ciągiem funkcji prostych oraz f (x) = lim_n→∞s_n(x). Zatem´

Af dµ = limn→∞

´

Asndµ.

Wniosek 4.4.

f₁, f₂ : X → R+

ˆ

A

(f₁+ f₂)dµ = ˆ

A

f₁dµ + ˆ

A

f₂dµ.

Dowód. Niech s_n % f₁ i t_n % f₂, gdzie s_n, t_n są funkcjami prostymi. Wtedy s_n + t_n % f₁ + f₂ i korzystając z twierdzenia o zbieżności monotonicznej dostajemy ´

A(f1 + f2)dµ = ´

Af₁dµ +

´

Af₂dµ.

Lemat 4.5 (Lemat Fatou). Niech ∀n ∈ N fⁿ: X → R⁺ będą mierzalne. Wówczas lim inf

n→∞

ˆ

A

fndµ ­ ˆ

A

(lim inf

n→∞fn)dµ.

Dowód. Zauważmy, że ciąg gn = infk­nf_k jest rosnącym ciągiem funkcji oraz lim infn→∞f_n :=

lim_n→∞g_n . Ponadto ∀n ∈ N gn ¬ f_n i´

Ag_ndµ ¬´

Af_ndµ a więc lim inf

n→∞

ˆ

A

g_ndµ ¬ lim inf

n→∞

ˆ

A

f_ndµ(?).

Z drugiej strony (´

Xg_ndµ) jest rosnący, zatem:

lim inf

n→∞

ˆ

A

g_ndµ = lim

n→∞

ˆ

A

g_ndµ Korzystając z twierdzenia o zbieżności monotonicznej widzimy, że

n→∞lim ˆ

A

gndµ = ˆ

A

n→∞lim gndµ = ˆ

A

lim inf

n→∞ fndµ

i dostajemy ˆ

A

lim inf

n→∞ f_ndµ ¬ lim inf

n→∞

ˆ

A

f_ndµ

Całkowanie funkcji rzeczywistych Niech f : X → R i będzie funkcją mierzalną oraz f⁺ = max(f, 0) i f⁻ = max(0, −f ). Funkcje f⁺ i f⁻ są dodatnie oraz f = f⁺− f⁻. Jeśli całka z f⁺ i całka z f⁻ są skończone, to całkę z f definiujemy wzorem

ˆ

A

f dµ = ˆ

A

f⁺dµ − ˆ

A

f⁻dµ.

Jeśli f : X → C oraz całki ˆ

A

<(f )⁺dµ < ∞, ˆ

A

=(f )⁺dµ < ∞ ˆ

A

<(f )⁻dµ < ∞, ˆ

A

=(f )⁻dµ < ∞

(3)

to definiujemy: ´

Af dµ = ´

A<(f )dµ + i´

A=(f )dµ ∈ C. Łatwo pokazać, że f spełnia (3) ⇔

´

A|f |dµ < ∞. Ponadto |´

Af dµ| ¬ ´

A|f |dµ oraz ´

A|f + g|dµ ¬´

A|f |dµ +´

A|g|dµ.

Uwaga 4.6. Symbolem L¹(X, dµ) będziemy oznacząć zbiór funkcji, o skończonej całce z modułu, tj:

L¹(X, dµ) = {f : X → C : ˆ

X

|f |dµ < ∞}

Twierdzenie 4.7 (Twierdzenie Lebesgeu’a o zbieżności zmajoryzowanej). Niech f_n ∈ L¹(X, dµ) i(f_n)_n∈N będzie zbieżnym punktowo do f ciągiem funkcji. Przypuśćmy, że ∃g ∈ L¹(X, dµ) taka że

∀n ∈ N|fn(x)| ¬ g(x). Wtedy limn→∞

´

Af_ndµ = ´

A(limn→∞f_n)dµ.

Terminologia: g(x) nazywamy majorantą (f_n)_n∈N.

Dowód. Bez straty ogólności możemy założyć, że ∀n ∈ Nfⁿ­ 0. Z lematu Fatou dostajemy lim inf

ˆ

A

f_ndµ ­ ˆ

A

f dµ Zauważmy, że

lim inf

n→∞(−f_n) = − lim sup

n→∞(f_n)(? ? ?).

Skoro g − f_n­ 0 to z lematu Fatou mamy lim inf

n→∞

ˆ

A

(g − f_n)dµ ­ ˆ

A

lim inf

n→∞(g − f_n)dµ = ˆ

A

(g − f_n)dµ.

Skracając´

Agdµ dostajemy: − lim sup_n→∞´

Af_ndµ ­ −´

Af dµ a więc´

Af dµ ­ lim sup_n→∞´

Af_ndµ W końcu

lim inf

n→∞

ˆ

A

f_ndµ ­ ˆ

A

f dµ ­ lim sup

n→∞

ˆ

A

f_ndµ ­ lim inf

n→∞

ˆ

A

f_ndµ.

Skoro ciąg nierówności zaczyna się i kończy lim inf_n→∞´

Af_ndµ to nierówności powyższe są rów- nościami. W szczególności lim inf_n→∞´

Af_ndµ = lim sup_n→∞´

Af_ndµ = lim_n→∞´

Af_ndµ i w końcu limn→∞

´

Afndµ =´

Af dµ.

Iloczyn tensorowy miar Niech (X₁, Σ₁, µ₁) i (X₂, Σ₂, µ₂) będą przestrzeniami z miarą σ−skończoną.

Konstrukcja przestrzeni (X₁× X₂, Σ₁⊗ Σ₂, µ₁⊗ µ₂):