Kilka uwag o aproksymacji spektralnej dla operatorów zwartych*

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XII (1978)

KRZYSZTOF MOSZYŃSKI, ANDRZEJ POKRZYWA (Warszawa)

Kilka uwag o aproksymacji spektralnej dla operatorów zwartych*

(Praca przyjęta do druku 16.11.1976)

§ 1. ^Wstęp

W pracy tej ^będziemy zajmowali ^się rodzinami operatorów i wygodnie nam

będzie posługiwać się pojęciem MS-ciągu (ciągu Moore'a-Smitha).

Dlatego poświęcimy temu ^pojęciu kilka ^zdań.

Niech w zbiorze e określona będzie relacja, którą będziemy oznaczać przez <.

O relacji < zakładamy, że jest zwrotna i przechodnia i ponadto, że

V a, /3 ^E fJ 3 Jl E fJ a < ^{y i f3} < ^Jl.

Będziemy używać również, dla wygody, symbolu ~- Jeśli spełnione są wyżej

wymienione warunki, będziemy mówili, że zbiór e jest skierow•any przez relację <.

Dalej będziemy zakładać, że e jest zbiorem skierowanym.

Jeśli X jest dowolnym zbiorem, to funkcję przyporządkowującą każdemu ele- mentowi a ^E e ^{element Xa EX nazywamy} MS-ciągiem.

MS-ciąg {xa' }a'ee' nazywamy subtelniejszym niż MS-ciąg {xa}aee, ^jeśli istnieje funkcja

cp: e' ^~ e

taka, ^że

V a' ^E fJ' Xa' = ^Xq;(a'), (1.1)

(1.2) V ^tXo Ee 3 (X~ Ef)' V a' E @' a'~ a~ ~ cp(a') ~ ao (por. [5] str. 72-81).

Relację kierującą zbiory e ^{i fJ'} oznaczyliśmy tu tym samym symbolem ^~.

Jeśli .At jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, to funkcja cp: ^{..;V ~} e ^jest

ciągiem przeliczalnym o elementach należących do zbioru e; ^{(używając terminu}

ciąg, będziemy mieli zawsze na myśli ciąg przeliczalny).

Jeśli funkcja cp: ^.;V~ e ^spełnia warunek (1.2), to ^ciąg {an}:::'=t' gdzie ^Cln = cp(n),

będziemy nazywać ciągiem @-rozbieżnym.

* Praca wykonana w ramach problemu międzyresortowego l.1.

[5]

6 K. M os z y ń s k i i A. Pokrzyw a

Jeśli ciąg { C<n}~=l nie zawiera żadnego podciągu e-rozbieżnego, to ^będziemy go

nazywać ciągiem e-ograniczonym.

Zauważmy, że zbiór elementów ciągu e-rozbieżnego {e<n}~.' CXn Ee jest zbiorem skierowanym przez relację ~:;:_ .

Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to granicą MS-ciągu {xa}aeEh Xa EX, nazy- wamy punkt XE X taki, ^że dla każdego jego otoczenia u istnieje C<o Ee takie, że:

V ^C( ~ CXo ' C( E e ^{Xcx E} u.

Piszemy X = lim Xa lub ^{Xa ---+} X, gdy ^(f Ee.

Punkt x EX jest punktem skupienia aee MS-ciągu { ^{Xa}aefh jeśli} dla ^każdego otoczenia U punktu ^X i dla każdego C<o E g istnieje ^C( -~ iXo takie, ^{że Xa} E U.

W teorii MS-ciągów, _MS-ciągi subtelniejsze spełniają rolę analogiczną, jak pod-

ciągi w teorii ciągów przeliczalnych ([5]).

Niech X ^będzie teraz zespoloną przestrzenią Banad~a oraz X' jej przestrzenią dualną. Przez [X] będziemy oznaczać przestrzeń Banacha wszystkich operatorów liniowych ograniczonych T: X--+ X.

Rodzinę operatorów ·*'" ^{c [X] nazywamy rodziną} kolektywnie zwartą, jeśli zbiór {Txl Te :/t, llxll ^~ l} ^c X

jest warunkowo zwarty w X. W szczególności operator T: X--+ X jest zwarty, jeśli

jednoelementowa rodzina {T} c [X] jest kolektywnie zwarta [I].

Zbieżność silną operatorów z przestrzeni [X] (zbieżność w normie przestrzeni X dla każdego x E X) będziemy oznaczać symbolem --+. Zbieżność słabą (zbieżność

8

słabą w X dla ^każdego x E X) oznaczać będziemy przez ... Ponadto będziemy roz-

ważać zbieżność jednostajną, to jest ^zbieżność w normie przestrzeni Banacha [X].

Dwa twierdzenia o perturbacji. Niech TE [X] ^będzie operatorem zwartym.

Wiadomo, że widmo a(T) operatora T składa się z co najwyżej przeliczalnej liczby

wartości własnych różnych od zera, o skończonej krotności algebraicznej, oraz być może z zera, które może być jedynym punktem skupienia widma, gdy jest ono nie-

skończone. ·

Będziemy poszukiwali rodziny operatorów {Ta}aefh gdzie e jest pewnym ustalo- nym zbiorem skierowanym i Ta E [X], takiej, że operatory Ta mają prostszą budowę niż operator T (np. są skończonego wymiaru) i takiej, która zapewnia dobrą aprok-

symację widma a(T) w następującym sensie:

Niech dane ^będą dwie liczby dodatnie e i 17. Oznaczmy przez K(x, r) tarczę

koła o ^środku x i promieniu r, na płaszczyźnie zespolonej C. Zauważmy, że na

zewnątrz K(O, 17) ^leży tylko ^skończona liczba wartości własnych operatora T. Niech to będą liczby A1' A2' ... ' Ap. Dla każdego e i 'YJ chcemy znaleźć takie ^cx61/ Ee, że V ex ~ ^{(X61/ ' C(} E e :

(i) Każdy zbiór K(Ai, e) zawiera dokładnie tyle wartości własnych operatora Ta ile wynosi krotność algebraiczna Ai (wartość własną r-krotną liczymy jak r

wartości własnych jednokrotnych).

Aproksymacj<,Z spektralna dla operatorów zwartych 7 (ii) Wszystkie wartości własne operatora Ta, które nie leżą w żadnym ze zbiorów K().b e), j = 1, 2, ... , p, leżą w K(O, 'YJ).

Znane ^są dwa twierdzenia:

TWIERDZENIE 1.1 (klasyczne twierdzenie o perturbacji [4]). Jeśli Te [X] jest zwarty oraz ^jeśli dla rodziny {Ta}a 6 e, Ta. E [X]

li Ta- Tl ^I--+ o, gdy a Ee,

to V e' 'Y/ > o 3 ^{aeri E} e V ^a ? 1'Xeri' a E e spełnione są warunki (i), (ii).

TWIERDZENIE 1.2 (twierdzenie Anselone'a [1]). Jeśli TE [X] jest zwarty oraz dla ciągu operatorów { Tn }~ 1

Tn 7 T, gdy n --+ oo ,

zaś rodzina { T - Tn} ^~=>I jest kolektywnie zwarta, to V e, 'Y/ 3 ct ₈₁₁ E .;V V a ? a _{811 ,} a ^E .%, spełnione są warunki (i), (ii). •

Zajmiemy się tu konsekwencjami płynącymi z obu zacytowanych twierdzeń

przy rozważaniu aproksymacji widma operatora zwartego.

§ 2. Dyskretyzacja przestrzeni [2], [7]

Przez dyskretyzację przestrzeni Banacha X będziemy rozumieli rodzinę trójek

filx = { Xa, Pa, ra}aee,

gdzie: Xa - unormowana przestrzeń liniowa wymiaru skończonego da, da --+ oo, gdy a E tJ;

Pa: Xa --+ _w X, wzajemnie jednoznaczne przekształcenie liniowe, ograniczone, zwane przedłużeniem;

ra: X--+ Xa _na przekształcenie liniowe, ograniczone, zwane obcięciem.

Będziemy przy tym zakładać, że złożenie raPa: Xa --+ Xa jest identycznością na Xa. Wynika stąd, że odwzorowanie liniowe na =Para jest idempotentne (na na = na);

mówimy, że :rta jest projekcją liniową. Dokładniej,

na: X;: pa(Xa) = Va c X,

a więc na jest projekcją liniową na podprzestrzeń Va c X, wymiaru da..

Będziemy zakładać, że projekcje na są wspólnie ograniczone w normie przestrzeni [X].

Mówimy, że dyskretyzacja filx jest zbieżna silnie, ^jeśli :rta --+ _s I, słabo, jeśli na --+ I, gdy a ee.

Wiadomo, że każda projekcja liniowa na: X--+ Va gdzie dim Va = da < oo, jest postaci

(2.1)

przy czym {q>j}f~ 1 ^{jest układem liniowo} niezależnym Va = LIN {q>~, .„, 'P~a},

•

8 K. M o s z y ń s k i i A. P o k r z ^y w a

zaś {1Pj}j~ 1 jest ^układem liniowo niezależnym w przestrzeni dualnej X', wyznaczo- nym jednoznacznie przez na i przez układ { q/j }1~ 1 •

Ponadto ?p/.(<pD = ^~k,l dla k, I= 1, 2, „., da.

Zauważmy, że wobec tego każda projekcja na: X ^~ Va c X

da się przedstawić w postaci złożenia dwóch odwzorowań

(2.2)

da

Pa: Xa-: X, Pa~= L _j=l ^'PUi;

ra: X;;! Xa, raX = ^[?p~(x), „., 'lf'da(x)].

Rozkład (2.2) nie jest na ogół jednoznaczny.

Niech ^e~ , ... , eda będzie układem wektorów jednostkowych osi współrzędnych

przestrzeni Xa, występującej w definicji dyskretyzacji filx. Niech (2.3) <pj = Pa(ej), j = 1, 2, „., ^da.

Zapisując projekcję na za ^pomocą bazy (2.3), otrzymujemy

i ^stąd dla projekcji dualnej n~: X' ~ X'

da

' ~ a (a)

nay = LJ ^'lfi Y 'Pi ' \/yEX'.

i=l

Oznaczając V x EX' V; E Xa, ; = [; 1 , ••• , ;da],

da

qa; = L _{i= I} ^?pj;j,

otrzymujemy rozkład n~ = qasa.

Rodzina trójek {Xa, qa, sa}aee jest pewną dyskretyzacją przestrzeni dualnej X'.

Będziemy ją nazywać dyskretyzacją dualną do filx i ^oznaczać symbolem fil~.

Jeśli X jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym ( · ), to rolę układu

(1PJ}1r;. 1 w przestrzeni X przejmuje pewien układ liniowo niezależny (1Pj}1r; 1 w prze- strzeni X.

Projekcja na związana z dyskretyzacją filx jest wtedy postaci

da

nax = 2: ^{<pj(x, ?pj) V x EX,}

i= 1

Aproksymacja spektralna dla operatorów zwartych 9

zaś odpowiednia projekcja sprzężona n;: X~ X wyraża się wzorem

da

V x ^E X n; ^x = I _{j= I} ^{'IJJ} (x, <pj).}

Analogicznie jak wyżej, za pomocą projekcji n; definiujemy dyskretyzację sprzę­

żoną m; = {Xa, qa, sa}aE@ przestrzeni Hilberta X kładąc V XE X V~ E Xa, ^~ =

= [~1, ... ,~da],

qa~ =I _j=I da ^1jJj~j. _I

Wtedy n; ^{= qasa.}

W tym przypadku dyskretyzacja sprzężona przyjmuje rolę dyskretyzacji ^dualnej~

Zwróćmy uwagę na to, ^że obie dyskretyzacje mx ^{i m; działają} w tej samej przestrzeni Hilberta X.

§ 3. Aproksymacja spektralna operatorów zwartych

Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha i niech T: X~ Y będzie operatorem liniowym zwartym.

Weźmy pod uwagę dwie rodziny operatorów liniowych {n~i>}aEe, i = I, ^2~

takie, ^że

V a Ee ^n~

^> E [Y] i n~

> E [X].

Połóżmy V a E e

Zachodzi następujące

TWIERDZENIE 3.1. ^Jeśli T jest zwarty oraz ^jeśli

n<l) ^~I w Y

a s '

n< _a ² > ~I _s w X', gdy a Ee, to llTa-Tll ~O, gdy a Ee.

Dowód. Mamy (3.1)

Pokażemy, że oba ^składniki tej sumy dążą jednostajnie do zera.

Zajmiemy się najpierw wyrażeniem postaci (Pa-I)TQa, gdzie T: ^X~ Yjest zwarty, Pa E [Y], Pa -: I oraz {Qa}aEe jest ^rodziną wspólnie ograniczoną, Qa E [X].

Przypuśćmy, że (Pa -1) TQa nie dąży jednostajnie do zera. To znaczy, ^że (3.2) 3 q > o ^{V !Y.} Ee ³ a' Ee' ^{a' ;;? a 3 Xa'} EX, I lxa,l I = I

ll(Pa,-l)TQa•Xa

ll;;? ^{q >O.}

10 K. M o s z y ń s k i i A. Pok r z y w a

Zauważmy, że warunek (3.2) definiuje (na ^ogół niejednoznacznie) funkcję

'Jl: f9-+f9

taką, że

VaEf9 IJl(a)=a'~a,

gdzie a' jest jednym z elementów dobranym do rx w (3.2).

Oznaczmy f9' = 1JJ(f9). Podzbiór€)' c f9 jest ^również skierowany przez relację :s;;.

Określiliśmy w ten sposób MS-ciąg {Pa,TQa,Xa'}a'eB'·

Ponieważ Tjest operatorem zwartym i rodzina {Qa}ae 6 dest wspólnie ograniczona, więc MS-ciąg {yda'eE>' = {TQa,Xa' }a

ee

^{1 )} leży w zbiorze warunkowo zwartym w X, a zatem istnieje MS-ciąg subtelniejszy {Ya" }a"eE>", zbieżny do pewnego elementu y E Y (patrz [5], str. 170, Twierdzenie 15).

Mamy

Ze względu na wspólną ograniczoność { Pa}aee (twierdzenie Banacha-Steinhausa) oraz ^zbieżność Pa i I, gdy a ^E €J, dochodzimy do wniosku, ^że IJ(Pa„-l)ya„11 --+O, gdy a" E f9". Stąd sprzeczność z nierównością (3.3). Dowodzi to, że

ll(Pa-l)TQall--+ O, gdy rx Ee.

Stąd bezpośrednio wnosimy o zbieżności jednostajnej do zera pierwszego ^składni­

ka sumy (3.1). Z założenia, że n~

>'--+ _s I, gdy a Ee, oraz z faktu, że T' jest również

operatorem zwartym, wynika w ten sam sposób, ^że

/JT(n~

>-/)JI = ll(7t< ² >'-/)T'JI-+ O, gdy rx Ef9

(por. [8] str. 193-195 oraz twierdzenie Schaudera str. 282-283), co ^kończy dowód twierdzenia. •

LEMAT 3.2. Niech dla ^każdego a ^Ee: n, lla E [X] oraz na_.. n ^(słabo). Wtedy rodzina {na}aee jest wspólnie ograniczona w normie przestrzeni [X].

Do wód (porównaj (8]). Ponieważ na _.. n, gdy rx E €J, więc V XE X V f EX' f(nax)-+ f(nx), gdy (XE e.

Niech a Ee i XE X ^będą ustalone i V f ^{EX' połóżmy:}

R;f = ^f(nax),

Rxf = f(nx).

Zdefiniowaliśmy w ten sposób operatory liniowe

gdzie C jest płaszczyzną zespoloną.

R~: X'--+ C, Rx: X'-+ C,

(1) Ciąg {Ya' }a'EE>' jest, jak łatwo zauważyć, subtelniejszy od MS-ciągu {PaTQaxa}aee.

Aproksymacja spektralna dla operatorów zwartych I l Z założenia o słabej zbieżności wynika, ^{że R~} 7 RX, gdy IX E @ przy każdym

ustalonym x ^E X, stąd na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa, dla ^każdego ustalonego x rodzina operatorów {R~}ocee jest wspólnie ograniczona w normie. Ale

I IR~! I = sup 1/(nocx)I = llnocxll, lifll=l

a zatem, korzystając jeszcze raz z twierdzenia Banacha-Steinhausa, otrzymujemy

tezę lematu. •

LEMAT 3.3. ^Jeśli noc ^E [X] V IX E@ i 1toc _.... I (słabo), gdy IX E @, oraz T: ^X~ Y jest zwarty, to

T(noc-1) i 0, gdy IX E@.

Do wód. Przypuśćmy, że T(noc-1) ^~o, gdy IX Ee. Wtedy

3 q > o ^{3 Xo EX V IX Ee 3 rx' Ee' IX'~ IX} llT(noc,-l)Xoll ~ q > O, zatem istnieje podzbiór @' c e skierowany przez ^{relację ~} taki, ^że

llT(noc,-I)x 0 11 ~ q >O V IX' E 8'.

Na mocy lematu 3.2 rodzina {noc, }oc·ee' jest wspólnie ograniczona, ^zaś operator T jest zwarty, a więc istnieje MS-ciąg {yoc„}oc"efh Yoc" =· T(nri.,, -I)x 0 , V rx" ^E @",

subtelniejszy niż {T(noc,-l)x 0 }oc•ee'' taki, że Yoc" ^~ y ^E Y, gdy IX" E 8", w normie przestrzeni Y (2). ^Zauważmy jeszcze, ^że y =/= O ze względu na to, że

V a." E 8" l)Yocull ^~ q > O.

Niech/będzie elementem przestrzeni X' takim, ^że 11/11 = I if(y) = ^{llyll. Element}

taki istnieje na mocy znanego wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha. Ze ^względu na ciągłość f

/(Yoc") ^~ f(y) = llYll ^{~ q > O, gdy IX" E @".}

Z drugiej strony, mamy (por. [8], str. 193-195)

/(Yoc") = f(T(noc„-l)xo) = (T(noc„-l)x 0 ,f) =

= ((noc„-I)x 0 , T'f) = T'f((noc„-I)xo) ~O, gdy IX" E 8" ze względu na zbieżność słabą 7lix _.... I, gdy IX E 8.

A ^więc f(y) = O; stąd sprzeczność. •

TWIERDZENIE 3.4. Niech T: ^X~ Y ^będzie operatorem liniowym zwartym. Przy- puśćmy, że rodziny operatorów ^{{7t~ 0 }ixefh} i = I, 2,

V a E@ ^it~o E [Y], ^7t~

^> E [X]

spełniają następujące warunki

(i) n~

) -: I w Y, gdy IX E 8 (silnie);

(ii) n~

> _....I w X, gdy a ^E 8 ^(słabo);

(iii) dla każdego ciągu {rxn}i= 1 , IXn E 8, n E %, 8-ograniczonego i dla każdego y EX, ciąg {n~!>y}i= 1 ^zawiera podciąg zbieżny w silnej topologii przestrzeni Y.

(2) {noc' }oc

ee' jest subtelniejszy niż MS-ciąg {nix}ixee.

12 K. ^Moszyński i A. Pokrzywa Wtedy dla T,,, = ^n~

^{> Tn~}

> zachodzą następujące warunki:

Trx. -: T, gdy a ^E e'

oraz

rodzina {T-Trx.}rx.ee jest kolektywnie zwarta.

Do wód. Mamy

Trx.- T = ^(n~

>-/) Tn~

> + ^T(n~

^>-J).

W analogiczny sposób, jak w dowodzie twierdzenia 3.1, pokazujemy, że pierwszy

składnik sumy dąży jednostajnie, a więc i silnie, do zera. Zbieżność silna do zera drugiego ^składnika sumy wynika z lematu 3.3.

Niech U= {Trx.YI llYll ^{~ I y EX} i a ^E 8} c Y. Pokażemy, że zbiór U jest warunkowo zwarty. Niech {xn}~ 1 ^, V n E .;V, Xn E U, będzie dowolnym ciągiem.

Udowodnimy, że ciąg ten zawiera podciąg zbieżny. Zauważmy, że

gdzie 'Vn E .;V llYnll ^~ 1, a { etn}~==t jest pewnym ciągiem elementów zbioru 6J.

Niech wtedy

Zauważmy, że ze względu na wspólną ograniczoność rodziny {n& ² >}ocee (lemat 3.2) oraz zwartość T, ciąg {zn} zawiera podciąg zbieżny. Bez zmniejszenia ogólności założymy, że Zn -+ z E Y, gdy n ^-+ oo.

Możliwe są dwa przypadki:

(a) ciąg {an}~==l jest e-ograniczony;

(b) warunek (a) nie jest spełniony.

W przypadku (a), Xn = n&!>(zn-z)+n~!>tz; ze względu na wspólną ograniczo-

ność rodziny {n& ¹ >}rx.ee, pierwszy składnik sumy dąży silnie do zera. Ze względu na założenie (iii), drugi zawiera podciąg zbieżny. Stąd wnosimy, że ciąg {xn}~==l zawiera

podciąg zbieżny.

W przypadku (b) ciąg {an}~==t zawiera podciąg {akJ~== 1 8-rozbieżny. Mamy;

zatem {xkJ~==t jest podciągiem ciągu {xn}~ 1 ^. Wtedy:

xk n - z = n< rx.kn n n (zk - z)+ n< akn ¹ > z - z.

Ze względu na wspólną ograniczoność rodziny {n~l)}rx.ee, pierwszy składnik dąży silnie do zera. Z drugiej strony, ze względu na spełnienie warunku (1.2), ciąg n~l) = ^n~!~ jest MS-ciągiem subtelniejszym od {n~

>}rx.ee, a więc również

n< rx.kn ¹ > -+ ^s 1 ^' gdy n E .;V.

Oznacza to, że drugi składnik również dąży do zera silnie, a więc

Aproksymacja spektralna dla operatorów zwartych 13 Pokazaliśmy w ten sposób, ^że rodzina operatorów { Ta}aee jest kolektywnie zwarta. Ze względu na zwartość T, rodzina {T- Ta}aee jest ^również kolektywnie zwarta. •

WNIOSEK 3.5. Załóżmy, że T: X-+ Y jest operatorem liniowym, zwartym i ^że spełnione są założenia (i), (ii) twierdzenia 3.4. Niech {yn}~=l, Yn ^E (9 będzie ciągiem

@-rozbieżnym.

Wtedy

Ty" --;> T, gdy n -+ oo oraz

rodzina {TYn -T}~= 1 jest kolektywnie zwarta.

Do wód. Wystarczy pokazać, że dla ciągu {yn}~ 1 ^spełniony jest warunek (iii).

Oznaczmy w tym celu przez (9' zbiór elementów ciągu {yn}~=l i niech {,l1n}~= 1 ^, f3n ^E (9' będzie ciągiem @-ograniczonym. Oznacza to, ^że Vn ^E % f3n = Yąi<n>. gdzie

<p: ..;V-+%.

Zauważmy, że c~g {<p(n)}~= 1 nie może zawierać podciągu rozbieżnego do oo,

gdyż wybierając ten właśnie podciąg, potrafilibyśmy z ciągu „ ^{f3n}~ 1 wybrać podciąg

@-rozbieżny. A więc {<p(n)}~= 1 jest ^ciągiem liczb naturalnych nie zawierającym żadnego podciągu rozbieżnego do oo, zatem w ciągu tym ^jakiś element musi ^powtarzać

się nieskończoną liczbę razy. Dowodzi to, ^że warunek (iii) jest spełniony dla ciągu

{nyJ~1· •

§ 4. Pewne zagadnienie ^własne dla pary operatorów

Rozpatrzmy teraz dwie przestrzenie Banacha Hi V oraz dwa operatory ograni- czone

J: V-: H, A: V-+ H. _na

Przypuśćmy, że J jest operatorem zwartym, A zaś ma ograniczoną odwrotność

A- ^{1 :} H-+ V. _na

Podobnie jak w [3], widmo pary operatorów związane z ^pękiem operatorów postaci

(4.1) A-U

definiujemy jako zbiór wszystkich odwrotności elementów widma operatora zwartego T = JA- 1 •

PRZYKŁAD. Niech Q c Rd będzie obszarem ograniczonym o brzegu ^gładkim.

Jeśli H = Hk(!J) oraz jeśli V jest podprzestrzenią przestrzeni H ¹ (!J) dla I > k, to Vc Hi

J: V-+ H (J oznacza zginanie V i H) jest zwarty na mocy twierdzenia Rellicha [3].

Niech H = L 2 (Q) oraz V = H5 (Q), A = LI (laplasjan); wtedy

A: H5(!J) ^-+ L2(!J)

14 K. M os z y ^ń s k i i A. Pokrzyw a jest operatorem ograniczonym, mającym ograniczoną odwrotność

A- ^{1 :} L 2 (Q)--+ H~(Q).

Przykłady innych operatorów eliptycznych posiadających podobne własności

rozpatrywane są np. w [3] (patrz także literatura tam cytowana).

Aproksymacja spektralna zagadnienia własnego dla (4.1). Niech mH ^{~ {X!, p!f,}

rf!}oeee 'i mv ^{= {X!', p~, rnoeee będą} dyskretyzacjami przestrzeni Hi V, odpowiednio,

A

H V

Aoe = roeAPoe, Ga.= rf!Jp~,

Ba. = p~ A; ^{1 rf! (jeśli} A;;- ¹ istnieje), Ta= Tnf!.

Wtedy

Ta: H-+ H. •

Rodzinę operatorów {Aa}aee będziemy nazywali dyskretyzacją operatora A zwią­

zaną Z mH ⁱ my.

Mówimy, że dyskretyzacja {Aa}aee jest stabilna, jeśli

3 K >o ^{3 O:o} Ee ^VC( Ee, ^{C( ~ O:o} A; ^{1 istnieje,} llA; ¹ 11 ^{~ K}

oraz A;;- ^{1 :} X!--+ X%.

LEMAT 4.1.

JBa-T = (T-Toe)[ABa.-1].

D o w ó d. Z definicji,

( T - Toe) A Ba = J Ba - Tpf! rf! Ap~ A; ¹ r!f.

Ponieważ zaś

otrzymujemy

i stąd tezę lematu. •

TWIERDZENIE 4.2. Niech dyskretyzacja { Aa}aee operatora A będzie stabilna i przy- puśćmy, Że istnieje ^O:o takie, ^że dfa.p ^~ o: 0 , O: E (9, operatory rf! i ^{p~ są} wspólnie ogra- niczone.

Wtedy jeśli dyskretyzacja dualna m.H jest silnie ^zbieżna, to

Do wód. Z ^założenia wynika, ^że dla ^ex~ ct ₀ operatory Boe ^są wspólnie ograni-

Aproksymacja spek traf na dla operatorów zwartych 15 czone. Ze ^względu na ^zwartość T, z lematu 4.1 oraz z twierdzenia 3.1 dla ^n~

^> = I wynika teza twierdzenia. •

TWIERDZENIE 4.3. Przy założeniach twierdzenia 4.2, wartości własne następującego

zagadnienia macierzowego (nieklasycznego):

(4.2) det(Aex- AGex) = O

dla a ^~ r:t. ₀ aproksymują widmo zadania ( 4.1) w sensie wyjaśnionym w § I (i), (ii) (dla ^wartości odwrotnych do elementów widma).

D o w ó d. Ze względu na twierdzenie 4.2, dowód będzie kompletny, jeśli za-

uważymy, że operator JBex ma te same wartości własne różne od zera, co następująca

macierz

(4.3) rex ^H .JPex ex

^vA"-1 = ^G ex ex . A"-1

Dowód tego prostego faktu o charakterze algebraicznym można znaleźć w [6]

(patrz lematy 5.1 i 5.2).

Ze względu na to, że det(A~ ¹ ) =I O, zagadnienie własne dla macierzy (4.3) można

napisać w postaci (4.2). •

Uwagi. 1. Niech T: X-> X ^będzie operatorem zwartym, zaś {7t~ ⁰ }exee i {7t~

>}exee

niech będą projekcjami określonymi przez dyskretyzacje

\lr _ «1 - {x<1> o> o>} ex ,pex 'rex exee, ^{Gr _} «2 - {x<2> p<2> r<2>} ex , ex , ex exee przestrzeni X.

Podobnie jak w twierdzeniu 4.3, widmo operatora T jest aproksymowane przez widmo macierzy

(4.4) r<2>p(l) _cx ex ex· ex i . x<2> --+ x<2> ex , gdzie Tex = r~ ⁰ Tp~ ² >.

Na podstawie twierdzenia 1.2 (twierdzenie Anselone'a) oraz wniosku 3.5 wnosimy o zbieżności widm przy założeniu silnej zbieżności dyskretyzacji m: 1 i słabej zbieżności

dyskretyzacji m:2.

Zbieżność uzyskujemy dla każdego ciągu operatorów T.,,n, gdzie frn} ^c e ^jest

ciągiem @-rozbieżnym.

Zastosowanie twierdzenia 1.1 o perturbacji oraz twierdzenia 3.1 wYmaga mocniej- szych założeń, gdyż wymaga założenia zbieżności silnej dyskretyzacji m: 1 i dyskrety- zacji dualnej m:~.

Jednakże w tym przypadku otrzymujemy również tezę nieco silniejszą, gdyż nie- potrzebny jest tu wybór ciągu frn}, @-rozbieżnego.

2. Jeśli w zagadnieniu rozpatrywanym w § 4 H jest przestrzenią Hilberta, to„

jak zauważyliśmy wyżej, rolę dyskretyzacji dualnej przejmuje dyskretyzacja sprzę­

żona. Kładąc m:H ^{= ~.:i, gdzie ~n} jest silnie zbieżną dyskretyzacją przestrzeni H,

otrzymujemy ^tezę twierdzenia 4.2 i 4.3. Jak łatwo zauważyć, w tym przypadku

macierze Acx i Gex występujące w zadaniu (4.2) są całkowicie wyznaczone przez opera

16 _K. Moszyński i A. Pokrzyw a

tory A i J oraz bazy {<pfoc}J! 1 i {<p}°'}1L związane z dyskretyzacjami '!Cn i '!Cv (por. § 2).

3. W twierdzeniach przytoczonych w § 4 nie występuje założenie o zbieżności

dyskretyzacji '!Cv w przestrzeni V. Fakt ten można wytłumaczyć tym, że założenie o stabilności dyskretyzacji {Aoc}ocee operatora A wiąże w pewien. sposób dyskretyzacje

'!(H j '!Cy.

Prace cytowane

[l] P. M. A n se l o n e, Collectively compact operator approximation theory, Prentice Hall 1971.

[2] J. P. A ub i n, Approximation of e/liptic boundary-value problems, Wiley-Interscience, New York 1972.

[3] J. H. Bram b Ie, J. E. Os bor n, Rate of convergence estimates for non-selfadjoint eigen- value approximations, Math. Comp. 27 (1973), str. 525-549.

[4] N. Du n ford, J. T. Schwarz, Linear operators, Interscience, New York, London 1958, 1963.

· [5] R. En g e 1 ki n g, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1975.

[6] K. M o s z y ń s k i, Projection methods in the approximate solution of the eigenvalue problem in a Hilbert space, Banach Center Publications 3 (Mathematical models and nl!merica/ methods), str. 183-202.

[7] R. Tema m, Numerical analysis, Reidel 1973.

[8] K. Y os i d a, Functional ana/ysis, Springer 1974.

•