Udowodnij, że (a + b)n&lt

Ćwiczenia nr 3, AM I, 18.10.2019 Indukcja matematyczna II Zadanie 1. Liczby a, b są dodatnie, n ∈ N. Udowodnij, że

(a + b)ⁿ< 2ⁿ(aⁿ+ bⁿ).

Zadanie 2. Proszę udowodnić nierówność:

1 + 1 2² + 1

3² + . . . + 1 n² (a) stosując metodę indukcji (należy wzmocnić tezę);

(b) korzystając z oszacowania _k¹2 < _k(k−1)¹ .

Zadanie 3. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność n

2 < 1 + 1 2+ 1

3+ . . . + . . . + 1

2ⁿ− 1 < n.

Zadanie 4. Udowodnij, że

1

n + 1+ 1

n + 2+ . . . + 1

3n + 1 > 1.

Zadanie 5. Udowodnij, że 2(√

n + 1 − 1) < 1 + 1

√2 + 1

√3 + . . . + 1

√n ¬ 2√ n − 1.

Zadanie 6. Udowodnij nierówność Bernoulliego: dla x > 1 i n ∈ N zachodzi (1 + x)ⁿ ­ 1 + nx.

Zadanie 7. Udowodnij, że

(a) (a + b)ⁿ =^Pn_i=0^n_i^aⁱbⁿ⁻ⁱ, gdzie a, b ∈ R, n ∈ N;

(b) aⁿ− bⁿ= (a − b)(aⁿ⁻¹+ aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b²+ . . . + abⁿ⁻²+ bⁿ⁻¹).

Zadanie 8. Która z liczb jest większa √ⁿ

n czy ⁿ⁺¹√ n + 1?

Zadanie 9. Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n mamy



1 − 1 n

n

>



1 − 1 n + 1

n+1

.

Zadanie 10. Uzasadnij, że z dowolnego zbioru 2ⁿ⁺¹− 1 liczb całkowitych można wybrać 2ⁿ liczb, których suma jest podzielna przez 2ⁿ.

Zadanie 11. Uzasadnij, że w ciągu b2ⁿ√

2c jest nieskończenie wiele liczb parzystych.

Zadanie 12. W wyrażeniu powstałym przez rozwinięcie (1 + x² − x³)⁹ i redukcję wyrazów podobnych znajdź współczynnik przy x⁹.

Zadanie 13. Znajdź największy składnik rozwinięcia (1 +√ 2)²⁰⁰.

Zadanie 14. Udowodnić zasadę szufladkową Dirichleta: X jest zbiorem skończonym, mającym więcej niż n elementów (|X| > n). Zbiór X przedstawiamy w postaci sumy teoriomnogo- ściowej

X = X₁∪ X₂∪ . . . ∪ X_n−1∪ X_n. Wtedy istnieje 1 ¬ k ¬ n takie, że |Xk| > 1.

Zadanie 15. Wykaż, że spośród dowolnych 18 liczb całkowitych można wybrać dwie takie, których różnica dzieli się przez 17.

Zadanie 16. Wykaż, że wśród liczb 1, 11, 111, . . . znajdzie się lcizba podzielna przez 2019.

Zadanie 17. Niech A ⊂ {1, 2, 3, . . . , 199, 200}, |A| = 101. Wtedy (a) w A istnieją dwie liczby względnie pierwsze,

(b) w A istnieją liczby a < b takie, że a|b.

Zadanie 18. Udowodnij metodą indukcji, że liczba a^p−a, gdzie a ∈ N, a p jest liczbą pierwszą, jest podzielna przez p.

Zadanie 19. Uzasadnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi równość b2ac = bac + ba + ¹₂c.

Zadanie 20. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi ba+bc ­ bac+bbc.

Zadanie 21. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość b√

n +√

n + 1c = b√

4n + 1c.

Zadanie 22. Udowodnij, że

1 2 ·3

4 · . . .2n − 1 2n < 1

√2n.

2